Fondamenti di Meccanica delle Vibrazioni
Sistemi continui e discreti
Molti sistemi meccanici possono essere descritti impiegando un numero FINITO di g.d.l.
Questo è possibile quando sono presenti elementi con elevata elasticità e scarsa massa, e al tempo stesso elementi di
elevata massa ed elevata rigidezza.
N°finito di g.d.l.
SISTEMI DISCRETI A PARAMETRI CONCENTRATI
Quando il sistema ha un n° infinito di punti di massa presenta membri deformabili, è necessario un N°
INFINITO di coordinate per specificare la configurazione deformata.
N°infinito di g.d.l.
SISTEMI CONTINUI
!!!!A volte i sistemi continui possono essere descritti così come sono, senza essere approssimati ma
sono casi molto rari,di conseguenza i sistemi continui vengono studiati come sistemi discreti i cui risultati
risultano più accurati aumentando il n°di g.d.l.
Elementi elastici
I modelli impiegati per i membri dotati di elevata elasticità sono ipotizzati privi di massa e non si considera la dissipazione
di energia.
MOLLE LINEARI
Quando la molla lavora nel campo elastico entro il limite di proporzionalità, la forza che si sviluppa quando la molla si deforma
è proporzionale alla deformazione stessa.
K = rigidezza
1/K = cedevolezza.
F= K x con x=x2-x1
Il lavoro compiuto per deformare la molla viene immagazzinato come energia potenziale V:
V=1/2 K x2
Altri elementi elastici si comportano come molle:
Es:Trave incastrata con estremo libero massa concentrata all’estremo e massa della trave trascurabile.
Wl 3 mgl 3
 st 

 freccia statica all' estremo libero
3EI 3EI
K
W
 st

3EI
 costante elastica della trave
l3
MOLLE NON LINEARI
Il comportamento degli elementi elastici è lineare entro certi limiti di deformazione e quando la tensione eccede il limite di
proporzionalità del materiale, la relazione tra forza e deformazione diventa NON LINEARE.
•In molte applicazioni pratiche, le deformazioni sono così piccole che si considerano le molle aventi comportamento lineare anche
se sono fuori dal campo di linearità.
•In altri casi anche se la molla è non lineare,si approssima ad una molla lineare con il seguente processo di linearizzazione:
•Sia F = carico statico agente su una molla non lineare e che causa una deformazione x* se viene incrementata di ΔF la
molla si deforma di Δx.
Pertanto riprendendo lo sviluppo in serie attorno alla posizione di equilibrio statico:


 
dF
F  F  F x  x  F x 
dx
*
*
1 d 2F
x  
*
2! dx 2
x
1 d nF
x   ....
n! dx n
x*
Per piccoli Δx i termini di ordine superiore al primo possono essere trascurati ed avremo


 
F  F  F x*  x  F x* 
dF
dx
x 
x
*
Ma poiché F=F(x*) si può esprimere ΔF=K Δx
con K= rigidezza linearizzata della molla in corrispondenza di x*
x n
2
K
dF
dx
x*
x*
Elementi smorzanti
In molto elementi smorzanti l’energia di vibrazione è gradualmente convertita in energia termica o
cinetica per questa riduzione di energia, la risposta della vibrazione subisce un graduale decremento.
Tale meccanismo prende nome di SMORZAMENTO delle VIBRAZIONI. Anche sa la quantità di
energia convertita in calore o in suono è relativamente piccola, considerare lo smorzamento
è di notevole importanza per prevedere adeguatamente il fenomeno vibratorio.
Si assume che l’elemento smorzante sia privo di massa e di elasticità.
La forza che esercita uno smorzatore esiste solo in presenza di velocità relativa tra i due estremi
dello smorzatore.
Determinare le cause di smorzamento nei sistemi meccanici è abbastanza difficile, ma solitamente
viene modellato come una combinazione dei seguenti tipi:
•SMORZATORE VISCOSO,
•ATTRITO COULUMBIANO (attrito secco),
• SMORZAMENTO ISTERETICO(smorzamento strutturale).
Smorzamento viscoso
E’ quello più usato nello studio delle vibrazioni. Quando un sistema meccanico si muove in un fluido, la
resistenza che il fluido offre al movimento dei corpi causa dissipazione di energia. L’ammontare di questa
energia dipende da molti fattori, come la dimensione dei corpi e la forma dei corpi.
La forza è proporzionale alla velocità relativa dei corpi e la costante di proporzionalità dipende dalla
viscosità del fluido e dalla geometria dei corpi.
ATTRITO COULMBIANO (attrito secco)
Smorzamento isteretico (smorzamento strutturale)
Quando un corpo si deforma, l’energia di deformazione è assorbita e dissipata dal materiale. Tale effetto è dovuto
all’attrito nello scorrimento tra le fibre del materiale all’atto della deformazione. Quando un corpo soggetto a questo
tipo di deformazione è sottoposto alternativamente a trazione e compressione, o nello specifico, vibra, la relazione
tra tensione e deformazione è del tipo di figura e l’energia dissipata ad ogni ciclo vale D:
Moto Armonico
In figura è rappresentato un meccanismo mediante il quale alla massa m è impartito un moto
armonico semplice quando alla manovella OP si impone un moto rotatorio continuo uniforme.
Se ω è la velocità angolare della manovella ed A è la sua lunghezza, la
massa si muove con legge di moto x(t):
x(t )  A sin(t )
dx
 x  A cos(t )
dt
d 2x
2
2



x


A

sin(

t
)



x
2
dt
Rappresentazione vettoriale
Un moto armonico può anche essere rappresentato mediante un vettore OP,di ampiezza A , rotante con velocità ω. Le
proiezioni di questo vettore in direzione x ed y.
Rappresentazione con i numeri complessi
Ogni vettore X nel piano xy può essere rappresentato con il numero complesso:
X=a+ib
dove a e b sono la parte reale e la parte immaginaria.
A  a 2  b2
A= ampiezza vettore X
θ = argomento del vettore
  tan 1
b
a

X  A cos   iA sin   Ae i

X  Ae i t
Dove ω è detta frequenza circolare di rotazione espressa in rad/sec.
Derivando rispetto al tempo si ha:


dX d Ae i t 

 iAe i t  iX
dt
dt


d 2 X d 2 Ae i t  d iAe i t 
2
i t
2





Ae



X
dt 2
dt 2
dt
L’operazione di derivazione si traduce nel moltiplicare il vettore per iω
Oppure nel moltiplicare l’ampiezza del vettore per ω e ruotarli in avanti
di 90°.
Lavoro compiuto nei moti armonici
Un importante concetto in molte applicazioni è quello del lavoro compiuto da una forza, che varia armonicamente
con una certa pulsazione, per un moto armonico avente la stessa pulsazione.
Sia data la forza
P=P0 sin(ωt+φ)
agente su un corpo dotato di legge di moto:
x=x0 sin(ωt)
Il lavoro compiuto dalla forza in un periodo 2π/ω :
W
2 / 
2 / 
0
0
 Pdx  
dx
P dt 
dt
2 / 

0
dx
P d (t ) Po x0
dt
2 / 
 sin(t   ) cos t d (t ) 
0
2 / 
 Po x0
 cos tsin t cos   cos t sin  d (t ) 
0
 Po x0 cos 
2 / 

cos t sin t d (t )  Po x0 sin 
0
2 / 
2
cos
 t d (t ) 
0
 0  Po x0 sin  .
W   Po x0 sin .
Ottava = Quando il max valore di una banda di frequenza è il doppio del
minimo, tale banda è detta BANDA D’OTTAVA.
Es: ciscuna banda seguente è una banda d’ottava 75Hz-150Hz
150Hz-300Hz
300Hz-600Hz
Decibel (dB)
P
dB  10 log 
 Po 
P0  valore di riferiment o
Definito inizialmente per le potenze elettriche, essendo la potenza elettrica proporzionale
Al quadrato della tensione (X), si può anche esprimere:
2
 X 
 X 
  20 log

dB  10 log
X
X
 o
 o
X 0  valore di riferiment o
Nel campo delle vibrazioni e del rumore il dB viene usato per esprimere
il rapporto di altre quantità come: spostamenti,velocità,accelerazioni, pressione
Vibrazioni ad 1 GdL
Vibrazioni LIBERE DEL SISTEMA MOLLA-SMORZATORE
Equazione del moto
•
c x + kx = 0 equazione del 1° ordine
Caratteristica dell’equazione
cz + k = 0
La soluzione dell’equazione del moto è
z1 =
x(t ) = A1e
−k
t
c
dove la costante A 1è valutata con la condizione iniziale
x(t ) = xo e
−k
t
c
−k
c
x(0 ) = xo ⇒ A1 = xo
Vibrazioni LIBERE DEL SISTEMA MASSA-SMORZATORE
Equazione del moto
••
.
m x+ c x = 0
 •
m y+ c = 0

•
 y = x
Si tratta di un sistema del 1° ordine che si può scrivere
mz + c = 0 ⇒ z1 = −
L’equazione caratteristica è:
y (t ) = B1e
−c
t
m
c
m
dove la costante B 1è valutata con la condizione iniziale
y (0 ) = v o ⇒ B1 = v o
c
vo
m
L’integrale generale è pertanto:
reale
c
− t
c
x(t ) = ∫ y (t )dt + B2 = B2 − vo e m
m
dove la costante B 2 è valutata con la condizione iniziale
x(0 ) = xo ⇒ B2 = xo +
è
c
− t 
m 
x(t ) = xo − vo 1 − e m 
c 

Vibrazioni libere del SISTEMA MASSA-MOLLA
••
m x + kx = 0 equazione del 2° ordine la cui equazione caratteristica è
Equazione del moto
mz 2 + k = 0 per tanto le soluzioni z1, 2
La soluzione dell’equazione del moto è
Introducendo le relazioni dei Eulero
con le condizioni iniziali
x(0) = x0
•
x(0) = v0
ω n = pulsazione naturale del sistema
−k
=±
= ± iω n
m
x (t ) = C1e jω n t + C 2 e − jω n t
x (t ) = D cos(ω n t ) + E sin (ω n t )
x (t ) = x 0 cos(ω n t ) +
Che si può anche scrivere:
x (t ) = G sin (ω n t − ψ
)
oppure
x (t ) = E sin (ω n t + ψ
)
v0
ωn
sin (ω n t )
OSSERVAZIONE!!!:
La risposta di un sistema ad 1 g.d.l. può essere rappresentata nel piano spostamento-velocità ( detto
SPAZIO DEGLI STATI o PIANO DELLE FASI).
Considerando la risposta nella forma: x(t ) = A cos(ω n t − ψ )
 x (t )
= cos(ω n t − ψ )

A


 .
 x (t )

= sin (ω n t + ψ )

ω
A
−
n

•
x (t ) = −ω n A sin (ω n t + ψ
Per cui quadrando e sommando
2


(
)
x
t
 x(t ) 


 A  +  ω A  = 1
 n 
2
•
Equazione dell’ellisse
con A che dipende dalle
condizioni iniziali.
)
Vibrazioni libere del SISTEMA MASSA-MOLLA-SMORZATORE
••
•
m x + c x + kx = 0
Si tratta di un sistema del 2° ordine la cui equazione caratteristica è
mz 2 + cz + k = 0
2
le radici
c  c  k
z1,2 = − ±   −
2m  2m  m
x(t ) = C1e z1t + C 2 e z2t
la soluzione dell’equazione del moto è:
2
Si definisce smorzamento critico il valore dello smorzamento che annulla
Si definisce fattore di smorzamento
ξ=
c
ccrit
=
c
2mω n
c crit = 2m
E quindi l’equazione del moto:
x(t ) = C1e
(
k
= 2 mk = 2mω n
m
(
z1, 2 = ω n − ξ ± ξ 2 − 1
Le soluzioni diventano, con il fattore di smorzamento:
)
ω n  −ζ − ζ 2 −1  t

k
 c 
 − =0

m
 2m 
+ C2e
(
)
)
ω n  −ζ + ζ 2 −1  t

LA NATURA DELLE DUE RADICI E DI CONSEGUENZA DEL SISTEMA DIPENDE DALL’ AMMONTARE
DELLO SMORZAMENTO.
SISTEMI POCO SMORZATI (ξ<1 OPPURE c<ccrit)
Le due radici sono coniugate e complesse e si possono esprimere come:
ponendo
(
ωs = ωn 1 − ξ 2
(
z1, 2 = ω n − ξ ± 1 − ξ 2
)
)
detta pulsazione naturale del sistema smorzato, si ha:
z1, 2 = −ξω n ± ω s l’integrale dell’equazione del moto diventa
Introducendo le equazioni di Eulero
{
x(t ) = e −ξωnt C1e jωst + C 2 e − jωst
x(t ) = e −ξωnt {D cos ω s t + E sin ω s t}
E si può anche scrivere:
x(t ) = X 0 e −ξωnt sin(ω s t + ϕ ) = X 0 e −ξωnt cos(ω s t − ϕ )
con le condizioni iniziali
D = xo
vo + ξω n x0
E=
ωs
x(t ) = xo
•
x(t ) = v o
iL MOTO RISULTA OSCILLATORIO
PSEUDO-PERIODICO SMORZATO
}
SISTEMI CON SMORZAMENTO CRITICO (ξ=1 OPPURE c=ccrit)
Le due radici dell’equazione caratteristica sono reali e coincidenti
z1 = z 2 = −ω n
L’integrale dell’equazione del moto diventa
x(t ) = C1e z1t + C 2 te z1t = (C1 + C 2 t )e z1t = (C1 + C 2 t )e
Con le condizioni iniziali:
−ω t
x(t ) = xo
•
x(t ) = v o
MOTO APERIODICO SMORZATO
Il moto risulta:
x(t ) = [xo + (vo + ω n xo )t ]e
−ω t
SISTEMI MOLTO SMORZATI (ξ>1 OPPURE c>ccrit)
Le due radici dell’equazione caratteristica sono reali, distinte ed entrambe negative:
)
(
z1, 2 = ω n − ξ ± ξ 2 − 1  0
x(t ) = C1e z1t + C 2 e z2t
L’integrale dell’equazione del moto è:
 x(0) = x0
 •
 x(0) = v o
Le condizioni iniziali:
[ω x (ξ + ξ − 1)+ v ]e
x(t ) =
2ω ( ξ − 1 )
2
0
n o
2
n
ω n  −ξ + ξ 2 −1  t


 C1 + C 2 = x0

 z1C1 + z 2 C 2 = v o
[ω x (− ξ + ξ − 1)− v ]e −
+
2ω ( ξ − 1 )
2
0
n o
2
n
(

xω ξ+
 C1 = 0 n

2ω n

 = − x 0ω n ξ −
C 2
2ω n

(
ω n  ξ + ξ 2 −1  t


)
ξ 2 − 1 + v0
ξ 2 −1
ξ 2 − 1 − v0
)
ξ 2 −1
CONFRONTO DEL MOTO DEL SISTEMA MASSA-MOLLA-SMORZATORE
NEI 3 DIFFERENTI CASI
Le radici del’equazione caratteristica ed i corrispondenti valori del fattore di smorzamento possono
essere rappresentati in un piano complesso.
La semicirconferenza di raggio ωn rappresenta il luogo delle
radici per valori di ξ tra 0 e 1.
Questo tipo di rappresentazione permette di vedere l’effetto
del fattore di smorzamento sul comportamento del sistema
Vibrazioni forzate ad 1 g.d.l.
VIBRAZIONI FORZATE
Supponiamo che il disco rotoli senza strisciare su una guida rettilinea richiamato da una molla di costante K e da uno smorzatore viscoso di costante C.
Sia applicata una forza esterna f(t) nel baricentro de disco.
Le varabili che descrivono il moto sono la traslazione x o la rotazione del disco θ e essendo il sistema ad un g.d.l. perché il disco rotola senza strisciare. X=R θ
Assumiamo la traslazione x del baricentro del disco come variabile indipendente e scriviamo con I vari metodi le equazioni del moto:
Equazioni di d’Alambert
( metodo che presenta lo svantaggio di avere un numero di equazioni superiore a quello dei g.d.l. ma permette di determinare le reazioni)

••
•
− m x − c x − kx + f (t ) + T = 0

••
− J G θ − TR = 0


mg − N = 0



••
•
− m x − c x − kx + f (t ) + T = 0

••

x
−J
− TR = 0

G R

mg − N = 0



J G  •• •

+
m

 x + c x + kx = f (t )
R2 

Essendo il sistema semplice si poteva arrivare all’equazione del moto facendo l’’equilibrio dinamico del sistema rispetto al c.i.r. tra disco e guida.
Principio dei lavori virtuali
Consideriamo uno spostamento infinitesimo compatibili con i vincoli δx
••
••
δWi = −m x δx − J G θ δθ
Applicando PLV
•
δWkc = −kxδx − c x δx
δWe = f (t )δx
E tenuto conto del legame tra x e θ
••
••
δWi + δWkc + δWe = −m x δx − J G θ δθ − kxδx − c x δx + f (t )δx = 0
δθ =
1
∂θ
δx = δx
∂x
R
•
J G  ••

 m + 2  x + kx + c x = f (t )
R 

••


••
•
x


m
x
J
−
−
−
kx
−
c
x
+
f
(
t
)
G

δx = 0
R2


Equazioni dl Lagrange
 
d  ∂T  ∂T ∂V
−
+
=Q
dt  ∂ q• 
  ∂q ∂q
•
J  ••

 m + G2  x + kx + c x = f (t )
R 

•
•2
1 •2 1
T = m x + JG θ
2
2
V =
1
k∆l 2
2
•
δWd = −c ∆l δx
δWe = f (t )δx
Eccitazione armonica
Consideriamo un sistema ad 1 g.d.l. soggetta ad una forza armonica F(t)=Focosωt
La soluzione è somma dell’integrale dell’omogenea associata e di un integrale particolare:
x(t ) = xo (t ) + x p (t ) = xo (t ) + X o cos(ωt − ψ )
A regime, trascorso il transitorio,resta l’integrale particolare le cui costanti Xo e ψ dipendono dalle caratteristiche
del sistema e dell’eccitazione.
Gli andamenti per diversi valori di fattore di smorzamento ξ di ampiezza Xo e di fase ψ
della risposta forzata a regime sono riportati in figura in funzione di (ω/ωn )2 dove
l’ampiezza è stata divisa per la deformazione della molla sotto l’azione della forza statica Fo.
Si parla di risonanza di ampiezza quando l’ampiezza dell’oscillazione a regime Xo
Raggiunge il valore massimo. Tale condizione si ha per
ω
= 1 − 2ξ 2
ωn
Ed il valore max dell’ampiezza vale:
X RA =
Fo / k
2ξ 1 − 2ξ 2
Si parla di risonanza di fase quando la fase raggiunge il valore di π/2 e ω/ωn =1
Ed il valore dell’ampiezza a regime vale:
X RF =
Fo / k
2ξ
L’l’andamento del rapporto XRF /XRA in funzione dello smorzamento ξ. Si nota come le due risonane tendono a coincidere al
diminuire di ξ.
Funzione di Risposta in Frequenza (FRF)
Consideriamo l’eccitazione armonica
F (t ) = F0 e jωt
L’equazione del moto di un sistema ad 1.g.d.l. con smorzamento viscoso risulta
••
•
m z + kz + c z = F0 e jωt
Eccitazione proporzionale al quadrato della frequenza
••
•
m x + c x + kx = Aω 2 cos ωt
x(t ) = X o cos(ωt − ψ )
La risposta a regime
Xo =
A ω

m  ωn
 ω
1 − 
  ω n




2
2
Es_caso di macchine con rotori squilibrati



2
  ω
 +  2ξ
  ω n




2
ECCITAZIONE ARMONICA IN RISONANZA DI FASE
Consideriamo il caso particolare in cui la forza eccitatrice ha pulsazione coincidente con
quella naturale del sistema, cioè siamo in condizioni di RISONANZA DI FASE.
Per il sistema non smorzato abbiamo:
••
••
m x + kx = F cos ω n t cioè x + ω n2 x = F
m
cos ω n t
L’integrale dell’equazione è dato dalla somma dell’integrale particolare più quello
dell’omogenea associata:
x(t ) = A1 cos ω n t + A2 cos ω n t +
1 Fo
tω n sin ω n t
2 k
Che con le condizioni iniziali
•
1 Fo
x(t ) = x1 cos ω n t +
tω n sin ω n t
cos ω n t +
ωn
2 k
x2
Si osserva che l’integrale dell’equazione è un’oscillazione di ampiezza che
cresce linearmente nel tempo.
Per il sistema smorzato abbiamo:
••
•
••
•
m x + c x + kx = F cos ω n t cioè x + 2ξω n x + ω n2 x = F
m
cos ω n t
L’integrale dell’equazione è dato dalla somma dell’integrale particolare più quello
dell’omogenea associata e con le condizioni iniziali nulle abbiamo:
Fo

 e −ξωnt
k
x(t ) =
sin ω s t + sin ω n t 
−
2ξ  1 − ξ 2


Sistemi a 2 g.d.l.
••
•
•
m1 x 1 + (c1 + c 2 ) x 1 − c 2 x 2 + (k1 + k 2 ) x 1 − k 2 x 2 = F1 (t )
••
•
•
m2 x 2 + (c 2 + c3 ) x 2 − c 2 x 1 + (k 3 + k 2 ) x 2 − k 2 x1 = F2 (t )
Che in forma matriciale
Con
[M ] = 
m1
0
•• 
 • 
[M ] x(t ) + [C ] x(t ) + [K ] x(t ) = F (t )





 

− c2 
0
c1 + c 2
 k1 + k 2
[
]
[
]
=
=
C
K
 −c
 −k

+
c
c
m2 
2
3
2
2


Le matrici possono risultare, a seconda delle coordinate scelte :
-complete e non simmetriche
-simmetriche
-diagonali.
− k2 
k 3 + k 2 



  x1 (t ) 
 x(t ) = 
 = vettore spostamento

  x 2 (t )





  F1 (t ) 
 = vettore forza
 F (t ) = 

  F2 (t )


Esempio
Consideriamo il sistema di figura e si assumano le nuove coordinate z1 e z2.
x1 = ( z1 − z 2 )
x 2 = (z1 + z 2 )




 •• •• 
m1  z 1 − z 2  + (k1 + k 2 ) z 1 − z 2  − k 2  z 1 + z 2  = 0






••
••
m1 z 1 − m1 z 2 + k1 z 1 − (k1 + 2k 2 ) z 2 = 0
••
••




 •• •• 
m2  z 1 − z 2  + (k 3 + k 2 ) z 1 + z 2  − k 2  z 1 − z 2  = 0
m2 z 1 − m2 z 2 + k 3 z 1 + (k 3 + 2k 2 ) z 2 = 0






m − m1 
 k1 − ( k1 + 2 k 2 ) 
MATRICI COMPLETE E NON SIMMETRICHE
[M ] =  1
[
]
=
K



k 3 + 2k 2 
m2 m2 
− k 3
Se in particolare:
m1 = m2 = m
k1 = k 2 = k 3 = k
Le due equazioni diventano:
••
••
m1 z 1 − m1 z 2 + k z 1 − 3k z 2 = 0
••
••
m2 z 1 + m2 z 2 + k z 1 + 3k z 2 = 0
m
m
[M ] = 
−m 
m 
k
− k
[K ] = 
− 3k 
3k 
••
••
m1 z 1 − m1 z 2 + k z 1 − 3k z 2 = 0
••
••
m2 z 1 + m2 z 2 + k z 1 + 3k z 2 = 0
Sommando e sottraendo membro a membro le equazioni del moto, si ottiene:
••
m z 1 + k z1 = 0
m
[M ] = 
0
••
m z 2 + 3k z 2 = 0
0
m 
[K ] = 
k
0
Le matrici massa e rigidezza sono ora diagonali e le due equazioni disaccoppiate,
e z1 e z2 sono le coordinate principali
e si vede subito che le due pulsazioni naturali sono:
ω 21 =
k
m
ω 22 =
3k
m
0
3k 
Vibrazioni libere
Consideriamo il caso in cui lo smorzamento e le forzanti siano nulle:
••
m1 x 1 + (k1 + k 2 ) x 1 − k 2 x 2 = 0
••
m2 x 2 + (k 3 + k 2 ) x 2 − k 2 x1 = 0
poniamo k1+k2=k11, -k2=k12=k21, k2+k3=k22.
Moti sincroni o modi di vibrazione
Cerchiamo uno speciale tipo di soluzione in cui tutti i gradi di libertà siano legati alla stessa legge temporale,
ma caratterizzati da ampiezze che possono essere diverse. In questo tipo di moti, nel caso di oscillazione,
tutti i gradi di libertà raggiungono il massimo e passano per lo zero contemporaneamente. Questo tipo di
moto è detto modo naturale di vibrazione o modo normale:
x1(t)=Φ1r (t)
x2(t)=Φ2r (t)
Dove: Φ1= le ampiezze (costanti),
r(t) =la legge di moto.
Si noti che imponendo questo tipo di moto si impone anche che il rapporto tra gli spostamenti delle due
masse mantengano un rapporto costante.
••
m1φ1 r + k11φ1 r + k12φ 2 r = 0
••
m2φ1 r + k 21φ1 r + k 22φ 2 r = 0
••
k φ + k12φ 2
k φ + k 22φ 2
r
= − 11 1
= − 21 1
= cos t = λ
r
m1φ1
m 2φ 2
••
r+ λ r = 0
r = Ae α t
la soluzione di questa equazione è ben nota,
con α = ± − λ
D’altra parte sappiamo che il sistema è conservativo poiché è composto di elementi (masse e molle) che
non dissipano né forniscono energia, perciò λ non può essere negativo e possiamo porre: λ=ω2.
(k
11
)
− ω 2 m1 φ1 + k12φ 2 = 0
(
)
k12φ1 + k 22 − ω 2 m2 φ 2 = 0
che possiamo scrivere in forma matriciale:
(
)
 k11 − ω 2 m1
k12

k 22 − ω 2 m 2
k12
(



)
φ1 
 =0
φ 2 
Il sistema ammette soluzione non banale solo se le equazioni sono linearmente dipendenti, cioè il determinante
della matrice =0 che sviluppato fornisce la seguente equazione biquadratica
ω 4 (m1 m2 ) + ω 2 (− k11 m2 − k 22 m1 ) + (k11 k 22 − k122 ) = 0
avente la seguente soluzione
ω
2
1, 2
=
k11 m2 + k 22 m11 ±
(k11m2 + k 22 m1 )2 − 4(m1m2 )(k11k 22 − k122 )
2m2 m1
le due radici ω1,2 sono le pulsazioni proprie del sistema,
cioè il moto sincrono è dato da una oscillazione armonica che può avere due tipi di moto individuati dalle
due frequenze proprie ( dette anche naturali).
r1, 2 (t ) = A sin ω1t + B sin ω 2 t
Questo sistema avente 2 g.d.l. è dunque caratterizzato da due frequenze naturali di vibrazione, tale
proprietà è più generale, infatti
il numero di frequenze naturali di un sistema meccanico è pari al numero di gradi di libertà.
Torniamo al sistema omogeneo le radici ω1 2 , ω2 2 sono gli autovalori del problema, restano da calcolare
gli autovettori Φi
2
k12
k 22 − ω1 m2
φ1 (1)
=−
=−
(1)
2
k12
k11 − ω1 m1
φ2
2
k12
k 22 − ω 2 m 2
φ1 ( 2 )
=−
=−
( 2)
2
k12
k11 − ω 2 m1
φ2
dove si è indicato con Φi ( j ) la i-esima componente del j-esimo autovettore Φi questo autovettore è
comunemente detto modo naturale, modo normale o modo proprio di vibrazione.
Si ricordi che ad ogni autovalore è associato un autovettore, cioè ad ogni frequenza è associato un
modo (una forma).
vediamo che le componenti di questi modi non sono univocamente determinate, ma in questo caso
esse sono definite come rapporto: i modi sono definiti a meno di una costante;
I modi godono di importanti proprietà di ortogonalità che saranno sviluppate in seguito nello studio dei
sistemi ad n gradi di libertà.
Vibrazioni forzate
•• 
 • 
[M ] x(t ) + [C ] x(t ) + [K ] x(t ) = F (t )





 

m
[M ] =  1
0
0
m2 
c +c
[C ] =  1 2
 − c2
− c2 
c3 + c 2 
k +k
[K ] =  1 2
 − k2
− k2 
k 3 + k 2 
Se le forzanti esterne sono
F j (t ) = F j 0 e jωt
j = 1,2
x j (t ) = X j e jωt
Le soluzioni a regime sono del tipo:



  x1 (t ) 
 x(t ) = 
 = vettore spostamento

  x 2 (t )





  F1 (t ) 
 = vettore forza
 F (t ) = 

  F2 (t )


j = 1,2
Dove X1 ed X2 sono in generale, quantità complesse che dipendono da ω e dai parametri del sistema.
Pertanto sostituendo si ha:
(
(
 − m11ω 2 + jω c11 + k11

2
 − m21ω + jω c 21 + k 21
(
Z rs ( jω ) = − mrs ω 2 + jω c rs + k rs
Dove
) (− m
) (− m
)
ω 2 + jω c12 + k12 )  X 1   F10 
 = 
2
X
 F20 
22 ω + jω c 22 + k 22 )  2 
12
[Z ( jω )]{X } = {F0 }
 Z 11 ( jω ) Z 21 ( jω ) 
[Z ( jω )] = 
 = matrice di impedenza
ω
ω
Z
(
j
)
Z
(
j
)
22
 12

La soluzione si riduce a:
{X } = [Z ( jω )]−1 {F0 }
X 1 ( jω ) =
Z 22 (iω ) F10 − Z 12 (iω ) F20
Z 22 (iω ) Z 11 (iω ) − Z 12 (iω ) Z 21 (iω )
X 2 ( jω ) =
− Z 21 (iω ) F10 + Z 11 (iω ) F20
Z 22 (iω ) Z 11 (iω ) − Z 12 (iω ) Z 21 (iω )
Esempio:
Trovare la risposta a regime del sistema quando la massa
m1 è eccitata dalla forzante armonica F
m
0

••
•



0   x1  0 0  x1   2k
 +
 +
m   ••  0 c   •  − k
 x2 
 x2 
Si ha
(
Z 22 ( jω ) = − mω 2 + jcω + 2k
Quindi:
)
 
− k   x1   F cos ωt 

 =
2k    0

 x2 
Z 12 ( jω ) = Z 21 ( jω ) = −k
(−mω + jcω + 2k ) F
(− mω + jcω + 2k )(− mω 2 + 2k ) − k 2
kF
X 2 ( jω ) =
(−mω + jcω + 2k )(− mω 2 + 2k ) − k 2
c
 ω2
ω

X 1 ( jω ) =
Ponendo:
ω0 2 =
k
;
m
a=
c
=
2mω 0 2 km
F

−
+
+
2
2
aj
 ω 2
 k
ω
0
0


X 1 ( jω ) =
2 
 ω2

ω
−
1 − ω  − 1
+
+
aj
2
2
 ω 2

ω0
ω 0 2 
0


F
k
X 2 ( jω ) =
2
2 
 ω

ω
ω
−


 ω 2 + 2aj ω + 2 1 − ω 2  − 1
0
0
0



X 1 ( jω ) al variare di a e si vede che con a>>1 il sistema si comporta
Grafico
Come un sistema ad 1.g.d.l. con un’unica risonanza
ω n = 2k / m
ωn
ω0 = 2
In altre parole è come se la massa inferiore fosse solidale al telaio.
Smorzatore dinamico
Supponiamo un macchinario sottoposto ad un’eccitazione con pulsazione molto prossima a quella naturale
del macchinario stesso. In tal caso, le vibrazioni eccessive del sistema possono essere ridotte impiegando
uno smorzatore dinamico di vibrazioni ( o assorbitore dinamico) costituito da una massa collegata al
macchinario da una molla.
Lo smorzatore dinamico deve essere progettato in modo che le frequenze naturali del sistema siano il più
possibile lontane dalla frequenza di eccitazione.
Per studiare il problema si schematizzi la macchina come un sistema ad 1 g.d.l. sottoposto ad una forzante
armonica F(t)= cosωt, in cui ω2=k/m, ossia il sistema è in risonanza.
A questo punto si supponga di collegare al macchinario una seconda massa m2 mediante una molla di
costante elastica k2.
Le equazioni del moto sono:
••
m1 x1 +(k 1+ k 2 )x1 − k 2 x 2 = F cos ωt
••
o anche:
m2 x 2 + k 2 x 2 − k 2 x1 = 0
••
0  x1  k1 + k 2
m1
 0 m   •• +  − k
2
2  x  

 2
Assunte come soluzioni:
x j = X j cos ωt
j = 1,2
− k 2   x1   F cos ωt 

 =
k 2   x  0

 2
Z 11 (ω ) =− m1ω 2 + (k1 + k 2 )
X 1 (ω ) =
Z 22 (ω ) =− m2ω 2 + k 2
(− m ω + k )F
+ k + k )(− m ω + k ) − k
2
2
(m1ω 2
2
2
2
1
2
2
Se è soddisfatta la condizione
2
ω=
X 2 (ω ) =
2
k1
=
m1
Z 12 (ω ) = Z 12 (ω ) =− k 2
k2 F
(
)
(m1ω 2 + k1 + k 2 ) − m2ω 2 + k 2 − k 2
2
k2
m2
Si ha per x1(t) una antirisonanza, ossia la massa m1 non vibra , pertanto posto
ω10 =
k1
m1
ω 20 =
k2
m2
2 

F
1 − ω 
 ω 2  k1
20 

X 1 (ω ) =
 k 2 ω 2 
ω2
1 +


−
1−
2 

k
ω
ω 20 2
1
20 

Si nota che quando
 k2
−
 k
1

F
k1
X 2 (ω ) =
 k 2 ω 2 
ω2
1 +


−
1−
2 

k
ω
ω 20 2
1
20 

ω10 = ω 20 = ω
risulta
X 1 (ω ) = 0
 k2
−
 k
1

X 2 (ω ) = −
F
k2
In poche parole la massa m1 non oscilla poiché la massa m2 trasmette alla massa
m1 una forza uguale ed opposta all’eccitazione.
Moti rigidi
Consideriamo il sistema a 2 g.d.l. (potrebbe essere , ad esempio,il modello di due vagoni ferroviari).
Le equazioni del moto sono le seguenti:
••
m1 x1 + k ( x1 − x 2 ) = 0
••
m2 x 2 + k ( x 2 − x1 ) = 0
assunto il moto nella forma
x j = X j cos(ωt + φi )
j = 1,2


 − m1 ω 2 + k  X 1 − kX 2 = 0




 − m2 ω 2 + k  X 2 − kX 1 − = 0


l’equazione caratteristica diventa:




ω 2 m1 m2 ω 2 − k (m1 + m2 ) = 0
ω1 = 0 ω 2 =
k (m1 + m2 )
m1 m2
In questo caso essendo nulla una delle due pulsazioni, il sistema non vibra a tale pulsazione in altre parole il
sistema si muove come un unico corpo rigido senza moto relativo tra le due masse;
Si dice pertanto che il sistema ha un MOTO RIGIDO:
Come ovvio, alla pulsazione ω1 corrisponde il modo di vibrare:
X 
r1 =  2 
=1
X
 1 ω =ω1
Mentre alla pulsazione ω2 corrisponde il modo di vibrare:
X 
m
r2 =  2 
=− 1
m2
 X 1 ω =ω2
Sistemi non smorzati ad n g.d.l.
Per le vibrazioni libere di un sistema non smorzato le equazioni del moto sono del tipo:
•• 
[M ] x(t ) + [K ] x(t ) = 0




 m11
m
[M ] =  21
 .....

mn1
m12
.....
mn 2
m1n 
m2 n 
..... ..... 

mnn 
k1n 
 k11 k12
k

k
n
21
2

[K ] = 
..... ..... ..... ..... 


k
k
k
n2
nn 
 n1
La matrice massa e la matrice rigidezza possono essere in generale, complete e non simmetriche.
Se però ad ogni massa (generalizzata) è associata una coordinata ( generalizzata), allora la matrice massa
risulta diagonale.
Supporremo sempre che le matrici di massa e di rigidezza siano simmetriche.
!!!! Ciò è lecito perché scegliendo opportunamente le coordinate è sempre possibile ricondursi a tale
situazione.
L’equazione del moto della massa n-esima si ha:
••
n
∑m
j =1
ij
n
x j + ∑ k ij x j = 0
(i = 1,2,3...n )
j =1
gli elementi della matrice massa rappresentano
l’azione inerziale agente sulla massa i-esima in corrispondenza di un’accelerazione
unitaria del punto in cui è concentrata la massa j-esima ( essendo nulle le accelerazioni dei
restanti n-1 punti).
gli elementi della matrice di rigidezza
rappresentano l’azione elastica agente sulla massa i-esima in corrispondenza di uno spostamento unitario
del punto in cui è concentrata la massa j-esima ( essendo nulle le accelerazioni dei restanti n-1 punti).
Gli elementi mij sono detti coefficienti di influenza inerziali.
Gli elementi kij sono detti coefficienti di influenza per la rigidezza.
Per determinare i modi di vibrare del sistema poniamo:
E si ottiene :
x j (t ) = X j e jωt
j = 1,2...n
Dove il vettore ampiezze di spostamento:




− ω 2 [M ] X (t ) + [K ] X (t ) = 0
{X } = [X 1 X 2 ..... X n ]T




Si perviene al sistema di equazioni analogo a quello visto a 2 g.d.l.:
det[A − µI ] = 0
avendo posto [A] = [M ] [K ] = (matrice dinamica)
Per il quale deve essere:
−1
[A − µI ]{X } = 0
Le radici μi dell’equazione caratteristica sono gli autovalori e le pulsazioni naturali del
sistema definite dalla relazione ω2 =μi . Sostituendo μi nelle equazioni si ottengono gli
autovettori, che forniscono i modi di vibrare corrispondenti alle pulsazioni trovate ωni.
{X }1
 X 11 
X 


=  12 
..... 
 X n1 
{X }2
 X 1n 
 X 12 
X 
X 
 2n 
 22 
{
}
=
.......
=
X


;
n
..... 
..... 
 X nn 
 X n 2 
Gli autovettori sono definiti a meno di una costante arbitraria
PROPRIETA’ DI ORTOGONALITA’
PROPRIETA’ DI ORTOGONALITA’= è una proprietà di cui godono le matrici di massa e di rigidezza.
Consideriamo le equazioni del moto scritte per il modo i-esimo:
[K ]{X }i = µ i [M ]{X }i premoltiplicando per il trsposto del j.esimo autovettore si ha
{X }T j [K ]{X }i = µ i {X }T j [M ]{X }i
Scambiando il modo i-esimo e j-esimo:
{X }T i [K ]{X } j
T
{X }T i [K ]{X } j = {X }T j [K ]{X }i
{X }T i [M ]{X } j = {X }T j [M ]{X }i
0 = (µ i − µ j ){X } j [M ]{X }i
ed essendo µ i ≠ µ j
T
risulta : {X } j [M ]{X }i = 0
T
Essendo le matrici simmetriche
= µ j {X } i [M ]{X } j
oppure
{X } j T [K ]{X }i = 0
Definiscono il grado di ortogonalità dei modi propri di vibrare.
Tale proprietà è di fondamentale importanza per procedere
al disaccoppiamento delle equazioni del moto del sistema
Se poniamo i=J
l ' equazione 0 = (µ i − µ j ){X } j [M ]{X }i
T
Risulta soddisfatta per ogni valore del temine:
{X } j T [M ]{X }i
M i = {X } j [M ]{X }i
T
e
Massa modale
e
K i = {X } j [K ]{X }i
T
le chiamiamo
rigidezza modale
Le relazioni soprascritte consentono di adottare
come criterio di normalizzazione
degli autovettori.
la condizione:
M i = {X } j [M ]{X }i = 1
T
E quindi:
K i = {X } j [K ]{X }i = µ i {X } j [K ]{X }i = µ i = ω i
T
T
2
La matrice modale
Raccogliamo n autovettori di una matrice, otteniamo così:
 X 11
X
[φ ] =  21
 .....

 X n1
X 1n 
X 2 n 
..... ..... ..... 

X n2
X nn 
Per l’ortogonalità dei modi propri,il prodotto seguente:
M 1
 0
T
[φ ] [M ][φ ] = 
 .....

 0
X 12
0
0 
M2
0 
= [M ]P

..... ..... .....

0
Mn
MATRICE MODALE
E’ una matrice diagonale, gli elementi
della diagonale principale sono le
masse modali e la matrice prende nome
di matrice massa modale.
Analogamente,il prodotto seguente:
0
 K1 0
0 K

0
T
2
 = [K ]P
[φ ] [K ][φ ] = 
..... ..... ..... .....


0
0
K
n

E’ una matrice diagonale, gli elementi
della diagonale principale sono le
rigidezze modali e la matrice prende nome
di matrice rigidezza modale.
Se si adotta la normalizzazione rispetto alla matrice massa:
ω12 0
0
0
0
1


2
0

0
0
ω
2
1
0

[K ]P = 

[M ]P = 
..... ..... ..... .....
..... ..... ..... .....

2


0
0
ω

n 

0
1
0
Disaccoppiamento delle equazioni del moto
Scriviamo le equazioni del moto pre-moltiplicando i termni per[φ]T
e post-moltiplicando i termini per [φ][φ]-1=[I]
[φ ] [M ][φ ][φ ]
T
−1
−1
T
•• 
 x  + [φ ] [K ][φ ][φ ] {x} = {0}
 
•• 
[M ] q  +[K ]P {q} = {0} avendo posto
P 
{q} = [φ ]−1 {x} = coordinate principali
Le equazioni del moto scritte in termini di coordinate principali, risultano disaccoppiate,
quindi si passa da queste a quelle di origine con la trasformazione
x =φ q
{ } [ ]{ }
Partendo dagli autovettori precedentemente calcolati, si ottengono gli
autovettori normalizzati rispetto alle masse moltiplicando gli elementi di ogni autovettore
per uno scalare pi dato da:
pi =
1
{X }i [M ]{X }i
(i = 1,2...., n )
Moti di corpo rigido
Consideriamo un sistema ad n g.d.l. che ammetta più moti rigidi, siano per esempio i primi due
ω1 =ω2 =0
[K ]{X }1 = 0 [K ]{X }2 = 0
(i = 3,4,......n) )
[K ]{X }i = ωi 2 [M ]{X }i
{X }T i [K ]{X }1 = {X }T i [K ]{X }2 = 0
T
inoltre {X } 1 [K ]{X }2 = 0 ma
che è la relazione di ortogonalità.
{X }T 1 [M ]{X }2 ≠ 0
xchè non vale la relazione da cui si ricava l' ortogonalità.
Quindi la presenza di moti di corpo rigido può dar luogo alla presenza nella matrice massa
principale di termini al di fuori della diagonale.
VIBRAZIONI LIBERE
Il più generale moto libero è la sovrapposizione di tutti modi propri. Ogni modo
vi partecipa in una certa porzione, dipendente dalle condizioni iniziali. Se le condizioni iniziali
Eccitano un solo modo, alle vibrazioni libere partecipa solo quel modo.
Sistemi con smorzamento
Le equazioni del moto diventano:
•• 
 • 
[M ] x(t ) + [C ] x(t ) + [K ] x(t ) = 0






La matrice [C] è di regola simmetrica ed introducendo le coordinate principali
{q} = [φ ]−1 {x}
T
•• 
• 
[M ] q  + [φ ] [C ][φ ]q  + [K ]P {q} = {0}
 
P 
In generale la matrice
[φ ]T [C ][φ ]
Se però lo smorzamento è proporzionale
con β e α costanti scalari , allora si ha:
è simmetrica ma non diagonale
[C ] = α [M ] + β [K ]
[φ ]T [C ][φ ] = α [φ ]T [M ][φ ] + β [φ ]T [K ][φ ] = α [M ]P + β [K ]p = [C ]p
[C ]p
è’ una matrice diagonale detta matrice smorzamento principale:
[C ] p
C1

=


0
C2
0
0
0 
..... .... 

Cn 
e C i = {X } i [C ]{X }i
T
sono gli smorzamenti modali
le equazioni del moto risultano così disaccoppiate
Si può così definire lo smorzamento modale critico
C cr = 2 M i ω i = 2 K i M i
e quindi il fattore di smorzamento modale :
ξi =
βω i
Ci
Ci
α
=
=
+
C cr 2 M i ω i 2ω i
2
Vibrazioni forzate
Le equazioni del moto diventano:
•• 
 • 
[M ] x(t ) + [C ] x(t ) + [K ] x(t ) = { f (t )}






 f1 (t ) 
 f (t ) 
{ f (t )} =  2  = vettore
..... 
 f n (t )
forze applicate
Introducendo le coordinate principali e pre-moltiplicando ambo i membri per [φ]T si ottiene
T
•• 
•
[φ ] [M ][φ ]q  + [φ ] [C ][φ ]q  + [φ ]T [K ][φ ]{q} = [φ ]T { f (t )}
 
 
T
Facendo l’ipotesi di smorzamento proporzionale si ottiene un sistema di equazioni disaccoppiate:
•• 
•
[M ] p q  + [C ] p q  + [K ]p {q} = [φ ]T { f (t )}
 
 
 X 11 f1 (t ) + X 21 f 2 (t ) + ....... + X 1n f n (t ) 
[φ ] { f (t )} =  X 12 f1 (t ) + X 22 f 2 (t ) + ....... + X 2 n f n (t )
 X 1n f1 (t ) + X 2 n f 2 (t ) + ....... + X nn f n (t )
T
dette forze generalizzate
Quindi le n-equazioni differenziali, vengono risolte singolarmente con i procedimenti visti
per i sistemi ad 1 g.d.l. e si ottengono le componenti del vettore delle coordinate principali e
Si può poi risalire a quelle del vettore delle coordinate effettive.