Consideriamo la seguente frase:
La somma di un numero con se stesso è uguale al suo doppio
Se alla parola numero sostituiamo la lettera
x possiamo scrivere la seguente
uguaglianza:
Otteniamo delle uguaglianze fra espressioni letterali che sono sempre vere qualunque
sia il valore che diamo a x. Infatti, ad esempio:
se x=3 si ha: 3+3=2•3=6 e quindi 6=6
se x=1 si ha: 1+1=2•1=2 e quindi 2=2
se x=0 si ha: 0+0=2•0=0 e quindi 0=0
Un poligono regolare ha tutti i lati congruenti.
Si può osservare che la frase precedente risulta sempre valida nel caso di tutti i poligoni
regolari, una frase simile si dice frase vera.
Un’IDENTITÀ è una uguaglianza fra due espressioni (di cui
almeno una letterale) verificata per qualsiasi valore delle lettere
che vi figurano.
Consideriamo il seguente problema:
La differenza tra il triplo di un numero ed il suo doppio è uguale a
5
Se alla parola numero sostituiamo la lettera
x possiamo scrivere la seguente
uguaglianza:
Questa uguaglianza è verificata “solo” nel caso in cui alla lettera x assegniamo il valore
5.
Infatti:
se x=5 si ha: 3•5-2•5=5 e quindi 5=5
se x=1 si ha: 3•1-2•1=5 e quindi 15
se x=0 si ha: 3•0-2•0=5 e quindi 05
Il poligono……………ha 8 lati.
Si può osservare che la frase precedente risulta valida solo nel caso di un ottagono,
mentre è falsa se al posto dei puntini scriviamo il nome di un qualsiasi altro poligono
Un’EQUAZIONE è un’uguaglianza fra due espressioni, di cui
almeno una letterale, verificata solo per particolari valori delle
lettere che vi figurano.
PRIMO MEMBRO
SECONDO MEMBRO
3x+5 = 2x-7
COEFFICIENTE
INCOGNITA
TERMINE NOTO
L’insieme S di tutte le soluzioni (o radici) si chiama
insieme soluzione o insieme delle soluzioni.
Per termine di un’equazione si intende ogni
monomio.
x=3
x=3
Due equazioni si dicono equivalenti se hanno le stesse
soluzioni.
S1=S2
3x+5=2x-3
+5
-2
3x+5
3x+5+5
2x-3+5
2x-3
3x+5-2
2x-3-2
Aggiungendo o sottraendo ai due membri di un’equazione uno stesso numero o una
stessa espressione algebrica contenente l’incognita, si ottiene un’equazione equivalente
alla data.
REGOLA DEL TRASPORTO
x+3=10
x=7
x+3-3=10-3
x=10-3
-3
x +3=10
x=7
ELIDERE I TERMINI UGUALI
2x+5=12+x+5
x=12
2x=12+x+5-5
2x=12+x
x=12
2x+5=12+x+5
+5
+5
Dimezziamo
(dividiamo per 2)
Triplichiamo
(moltiplichiamo per 3)
2x+4
(2x+4)•3
(6x) •3
6x
(2x+4):2
(6x):2
Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di un’equazione per uno stesso numero,
diverso da 0, si ottiene un’equazione equivalente a quella data.
-x+4=-6
x=10
(-x+4)•(-1)=(-6)•(-1)
x=10
x-4=6
3 1 1
 x x
4 3 12
3
4
1
x=1
3 1 1
12

12
x

12
 
12
x
4 3 12
1
1
9+4x=1+12x
m.c.m dei denominatori
1
x=1
Equazione di partenza
Ridotta a forma normale
ax=b
ax b

a a
2
x
18
2
91
con a≠0
b
x
a
REGOLE DEL BUON RISOLUTORE:
elimina le parentesi eseguendo le operazioni indicate
secondo le regole del calcolo letterale.
Se l’equazione è a termini frazionari, riducila in forma intera
moltiplicando tutti i suoi termini per il m.c.m. dei
denominatori.
Trasporta tutti i termini in x al primo membro e tutti i termini
noti al secondo membro tenendo presenti le leggi del
trasporto.
Esegui le addizioni algebriche ottenute al primo e al
secondo membro in modo tale da ottenere l’equazione in
forma normale del tipo ax=b.
Determina la soluzione x=b/a ( se a≠0).
esempio
3x=15
coefficienti
soluzione
l’equazione è
a0
b0
x=b\a
determinata
a0
b=0
x=0
determinata
0•x=4
a=0
b0
nessuna soluzione
impossibile
0•x=0
a=0
b=0
infinite soluzioni
5x=0
Indeterminata
= IDENTITÀ
Data un’equazione
portata in forma normale
ax = b
NO
NO
L’equazione è
determinata,
con la
soluzione
x
b
a
b = 0?
SI
a = 0?
SI
L’equazione è
determinata,
con la
soluzione
NO
L’equazione è
impossibile
b = 0?
SI
L’equazione è
indeterminata*.
x0
IDENTITÀ