Capitolo 8
Sistemi lineari
Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e
statistica
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Sistemi lineari e matrici
Sia A una matrice di tipo m X n e x un vettore di dimensione m. Il prodotto
Ax è un vettore di m componenti che indicheremo con b.
Per esteso avremo che Ax = b quindi
detto sistema lineare.
Nota. Un'equazione lineare è un'equazione nella quale le incognite,
compaiono tutte al primo grado. In altre parole non compaiono quadrati,
cubi o potenze più elevate, né prodotti di due o più incognite, né funzioni
delle incognite tipo radice, seno, coseno, esponenziale, ecc.
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statistica
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Il Problema
Problema. Dato il vettore b, determinare x soluzione del
sistema lineare, ossia tale che Ax = b. Tale problema è
rappresentato
da un sistema lineare di m equazioni nelle n incognite x1; x2;
…; xn. Gli elementi della matrice A sono detti coefficienti del
sistema lineare. Gli elementi del vettore b sono detti termini
noti.
Osserviamo che se indichiamo con A1, A2, …, An i vettori colonna della
matrice A ossia
con
il sistema precedente può anche scriversi come
Nota. Un sistema lineare che non ammette nessuna soluzione è detto
inconsistente. Se il termine noto è un vettore nullo b = 0, il sistema si
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dice omogeneo e in tal caso ammette sempre
la soluzione banale data
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statistica
Metodo di eliminazione di Gauss
Idea: arrivare a un sistema equivalente ma più “semplice” (in qualche senso) da
risolvere.
Esempio. Consideriamo il sistema lineare di 3 equazioni in 3 incognite
La somma delle prime due equazioni consente di eliminare z (sostituiamo il risultato
nella seconda) nella seconda, mentre sommando alla terza due volte la seconda
si ottiene,
Si noti che la seconda e la terza equazione rappresentano ora un sistema di due
equazioni in due incognite.
Possiamo eliminare y aggiungendo cinque volte la prima equazione alla seconda
27x = 27  x = 1.
Dalla prima equazione avremo 4 – y = 5  z = 2.
Infine sostituendo questi due valori in una delle equazioni date inizialmente (per
esempio la prima)
1 + 2 + z = 5  z = 2.
Matematica
I: Calcolo
differenziale,
Algebra
lineare,
Probabilità
e
La
soluzione
è
quindi
x
=
1,
y
=
1,
z
=
2.
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statistica
Metodo di eliminazione di Gauss
Nel caso di un sistema di n equazioni in n incognite l'idea di base è quella di
ricondursi a un sistema di n - 1 equazioni in n - 1 incognite, poi a un sistema di
n - 2 equazioni in n - 2 incognite e così via fino alla risoluzione del sistema per
sostituzione.
Il vantaggio di questo metodo è che si basa su poche semplici operazioni che sono
ripetute a ogni passo. Tale metodo infatti, noto come metodo di eliminazione di
Gauss, può essere facilmente messo in forma algoritmica e implementato si di
un calcolatore.
Nell’esempio precedente il sistema finale è
Con matrice triangolare.
Nel metodo di Gauss la matrice finale è detta matrice ridotta.
Operazioni che possiamo applicare alla matrice del sistema e al vettore dei termini
noti:
• Moltiplicazione (divisione) di una riga per un numero (diverso da zero);
• Somma (sottrazione) di un multiplo di una riga da un’altra;
• Scambio di righe.
• Tali operazioni
sono dette
elementari
applicate alle righe.
Matematica
I: Calcolo differenziale,
Algebraoperazioni
lineare, Probabilità
e
statistica
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Metodo di eliminazione di Gauss
Dato un sistema lineare Ax = b, con A matrice m X n, consideriamo la matrice  =
(A|b) di tipo m X n (n + 1), detta matrice ampliata o matrice completa del
sistema lineare,
Applicare il metodo di eliminazione di Gauss: trasformare, tramite operazioni
elementari, tale matrice in una forma ridotta avente elementi tutti nulli sotto la
diagonale principale ed elementi uguali a 1 o a 0 sulla diagonale principale.
Proposizione 8.1 (Regola generale) Se, dopo aver applicato il metodo di
eliminazione di Gauss,
1.
(Non esistono soluzioni) l’ultima riga non nulla ha un valore uguale a 1 come
ultimo elemento a destra e 0 altrove;
2.
(Esiste un’unica soluzione) ci sono esattamente n righe non nulle, l’ultima delle
quali ha 1 come penultimo elemento a destra;
3.
(Esistono infinite soluzioni) le righe non nulle sono meno di n e non è verificata
la condizione 1.
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Metodo di eliminazione di Gauss
Esempi (forme ridotte).
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Metodo di eliminazione di Gauss
Le trasformazioni che eseguiamo sulla matrice ampliata del sistema
lineare durante il metodo di eliminazione di Gauss possono
essere rappresentate come una successione di prodotti di
particolari matrici, dette matrici elementari, per la matrice
ampliata.
Definizione 8.1 (Matrice elementare) Una matrice elementare è una
matrice quadrata ottenuta applicando a una matrice identità una
sola operazione elementare di riga.
Proprietà I. Sia E una matrice ottenuta applicando a una matrice
identica m X m una sola operazione elementare di riga e sia A
una qualunque matrice m X n. Allora la matrice prodotto EA è la
stessa matrice che si otterrebbe applicando direttamente ad A la
stessa operazione elementare di riga.
Proprietà II. Sia E una matrice ottenuta da I tramite una operazione
elementare di riga. Se F è la matrice elementare ottenuta da I
eseguendo l'operazione elementare inversa, allora chiaramente
FE = I.
Inoltre che anche EF = I e quindi le due matrici sono l'una l'inversa
dell'altra.
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Metodo di eliminazione di Gauss
In forma matriciale l'eliminazione di Gauss per una matrice quadrata
A, dopo r passi fornisce una matrice triangolare superiore U
avente elementi uguali a 0 o 1 sulla diagonale,
ErEr-1…E2E1A = U
Se la diagonale della matrice U non presenta alcuno 0 ma solo degli
1 allora possiamo pensare di continuare ad applicare operazioni
elementari di riga in modo da annullare anche tutti gli elementi
sopra la diagonale della matrice U. Dopo ulteriori s
trasformazioni elementari otterremo
Er+sEr+s-1…Er+2Er+1U = 1
Posto B = Er+sEr+s –1…E2E1, abbiamo BA = I (e AB = I).
Quindi B = A-1 è l’inversa di A.
Nota. In pratica si applica il metodo di eliminazione alla matrice
à = (A|I).
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Dipendenza lineare e rango
Dati i vettori A1, A2,…, Ar una combinazione lineare è un'espressione
del tipo
a1A1 + a2A2 + … + arAr
dove gli ai sono numeri reali.
Se è possibile determinare gli ai non tutti nulli in modo tale che
a1A1 + a2A2 + … + arAr = 0
allora i vettori A1, …, Ar si dicono linearmente dipendenti.
Se invece l'espressione precedente può essere soddisfatta solo
prendendo i a1 = 0 per ogni valore di i, allora i vettori si dicono
linearmente indipendenti (abbreviati l.i. e l.d.).
Nota. Nel caso in cui i vettori sono l.d. allora alcuni di essi sono
combinazione lineare degli altri.
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Vettori ortogonali
Se i due vettori x e y sono tali che xTy = 0 (e quindi anche yTx = 0) i vettori sono
detti ortogonali.
Proposizione 8.2 Un insieme di vettori (non nulli) ortogonali, ossia A1, …, Ar tali che
AiT Aj  0
per ogni valore di i  j, è necessariamente linearmente indipendente.
Definizione 8.2 (Base) Se un generico insieme di vettori V può essere generato da
un suo sottoinsieme B di vettori linearmente indipendenti, si dice che i vettori
del sottoinsieme B formano una base per l'insieme di vettori considerato.
Esempio (base canonica). Prendiamo Rm; esso può essere generato da un insieme
di m vettori l.i. per esempio dai vettori e1, e2, …, em definiti come
che costituiscono una base Rm.
Proposizione 8.3 Siano A1, A2, …, Ar vettori linearmente indipendenti. Supponiamo
che a1, a2, …, ar e b1, b2, …, br siano tali che
a1A1 + a2A2 + … + arAr = b1A1 + b2A2 + … + brAr.
Allora aj = bj per j = 1, 2, …, r.
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Rango
Definizione 8.3 (Rango) Dato un insieme di vettori {A1, A2…, An} dicesi
rango dell'insieme il massimo numero di vettori l.i. nell'insieme.
Data la matrice A, il rango della matrice A, indicato con rank(A), è il rango
dell'insieme dei suoi vettori colonna.
Possiamo enunciare le seguenti regole
Regola I. Dato un insieme di vettori A1, …, An di dimensione m, per
verificare se l'insieme di vettori è l.i. si costruisce la matrice A
di tipo m X n colonne i vettori A1, …, An e si applica a essa l'eliminazione di
Gauss. Se la matrice risultante ha meno di n righe non nulle l'insieme
assegnato è l.d., altrimenti è l.i..
Regola II. Qualunque insieme di vettori di dimensione n formato da più di n
vettori distinti è linearmente dipendente.
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Consideriamo ora il sistema lineare Ax = b con A matrice di tipo m X n.
Sia  = (A|b) la corrispondente matrice ampliata.
Teorema 8.1 (Rouche-Capelli) Condizione necessaria e sufficiente affinché
il sistema Ax = b ammetta soluzioni è che il rango di A e quello di Â
coincidano.
Consideriamo ora i possibili casi
Tabella 8.1: Sunto conseguenze del Teorema di Rouche-Capelli con A
matrice
di tipo m X n.
Teorema 8.2 (Teorema di struttura) Sia x1 una soluzione del sistema
lineare Ax = b, con A di tipo m X n. Allora ogni altra soluzione della
forma x = x1+x0 dove x0 una soluzione del sistema omogeneo Ax = 0.
In particolare
x1 è Algebra
l'unicalineare,
soluzione
Matematica
I: Calcolo differenziale,
Probabilitàse
e e solo se le colonne di A sono
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statistica
l.i.
Determinante
Definizione 8.4 (Matrici di permutazione) Definiamo le
matrici Prs, dette matrici di permutazione elementari,
ottenute dalla matrice identità scambiando le righe r e s.
Definizione 8.5 (Determinante) Dato l'insieme delle matrici
quadrate di ordine n; a ogni matrice A di questo insieme
associamo un numero che indicheremo con det(A), detto
determinante di A, tale che
1. Se A è una matrice triangolare (superiore o inferiore),
allora det(A) è uguale al prodotto degli elementi sulla
diagonale.
2. Se A e B sono due matrici quadrate di ordine n;
det(AB) = det(A) det(B) .
3. det(Prs) = - 1 per ogni valore di r, s con r  s.
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Proprietà del determinante
1. Se la matrice A ha due righe o due colonne uguali, il
determinante è nullo.
2. Dato a in R, det(aA) = an det(A).
3. Se A è la matrice ottenuta moltiplicando tutti gli elementi di
una riga (o di una colonna) di A per a, allora det(A) =
adet(A).
4. Se una riga o una colonna di A sono nulli, il determinante
sarà nullo.
5. Se una riga o una colonna di A è combinazione lineare delle
altre, allora il determinante è nullo.
6. Sia A non singolare, ossia le colonne sono linearmente
indipendenti. Allora
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Proprietà del determinante
Teorema 8.3 (Teorema di equivalenza) Sia A una matrice
quadrata di dimensione n. Allora le seguenti proprietà sono
equivalenti.
i) A è invertibile.
ii) Il rango di A è uguale a n.
iii) Le colonne di A sono l.i.
iv) Il sistema omogeneo Ax = b ha una unica soluzione (se b =
0
ammette solo la soluzione x = 0).
v) Il determinante di A è diverso da zero.
Nota. Per il calcolo del determinante, a parte casi particolari, si
puòdifferenziale,
utilizzare
metodo
die eliminazione di Gauss.
Matematica I: Calcolo
Algebraillineare,
Probabilità
statistica
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