Claudio Borri
Luca Salvatori
MECCANICA COMPUTAZIONALE
Capitolo 5
Modellazione delle strutture
Rev. 31 maggio 2006
Università degli Studi di Firenze
Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Meccanica Computazionale
Wolfhard Zahlten
Claudio Borri, Luca Salvatori
(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 1/70
Argomenti trattati nel capitolo 5
Criteri di modellazione
Esempi di discretizzazione di continui 2D:
Convergenza al raffinamento del reticolo
Effetti della distorsione del reticolo
Raffinamento locale del reticolo
Modellazione di singolarità
Esempi di modellazione strutturale:
Elementi troppo rigidi
Cinematismi
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1
Idealizzazione
membrature
Struttura reale
vincoli
collegamenti
[figure per gentile concessione
del Prof. C. Felippa]
Struttura idealizzata
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(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 3/70
Esempi di idealizzazione dei componenti
strutturali in elementi
biella
trave
parete di
taglio
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(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 4/70
2
Programmi FE: alcuni nomi
FEMAS
(University of Bochum)
ANSYS
(Houston, TX)
DIANA
(TU-Delft)
SAP
(Berkeley)
MARC
(privato)
ABAQUS
(Brown University)
NASTRAN
(NASA)
STRUDL
(Georgia Tech)
FEABL
(MIT)
ADINA
(MIT)
NONSAP
(Berkeley)
BERSAFE
(Berkeley)
CASTEM
(Université de Bourgogne)
…
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Operazioni (ed errori conseguenti)
idealizzazione
sistema
fisico
discretizzazione
FEM
modello
ingegneristico
approssimazione
della realtà nel
modello
soluzione numerica
modello
discreto
approssimazione
indotta dalla
discretizzazione
soluzione
discreta
errore numerico
(precisione finita dei
calcolatori)
Il processo di idealizzazione è il passaggio fondamentale della pratica ingegneristica,
consiste nel costruire un modello matematico in grado di simulare (predire) alcuni
aspetti della realtà. Il problema risulta semplificato (si idealizzano carichi e sezioni, si
trascurano effetti, ecc.).
La discretizzazione (con il FEM) consente di approssimare il problema al continuo con
un numero discreto di variabili (il problema diviene algebrico).
L’errore numerico è spesso marginale, ma utilizzando oggetti con rigidezze molto
diverse si può incorrere negli effetti della cancellazione numerica (v. seguito).
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3
Regole di modellazione: SEMPLICITÀ
Regola 1: SEMPLICITÀ. Usare modelli e tipi di elementi i più semplici
possibile (ma non più semplici, cfr. Einstein)!
Tipi di elementi “speciali” e complessi vanno usati con consapevolezza della
teoria con cui sono formulati.
Diffidare dagli automatismi di molti programmi commerciali che possono
allontanare dalla percezione del modello con la grafica: il “disegno” della
struttura non è il suo modello!
È necessario conoscere la teoria per comprendere i risultati: i programmi
agli elementi finiti non sostituiscono l’ingegnere, sono un potente ausilio
che deve essere saputo utilizzare!
È inutile modellare dettagli quando si hanno grandi incertezze su altri dati
(e.g. in un edificio in muratura non ha significato modellare leggere
irregolarità quando le proprietà dei materiali e dei collegamenti fra i vari
membri sono note solo con grande approssimazione!).
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Quando raffinare la discretizzazione
spigoli rientranti
aperture
fessure
in prossimità di carichi
concentrati e zone di contatto
saldature
zone ove vengano
scambiate azioni
(saldature, bullonature,
rinforzi, armature, …)
bruschi cambiamenti
di spessore
[figure per gentile concessione
del Prof. C. Felippa]
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interfacce fra
materiali diversi
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4
Mantenere le proporzioni fra le dimensioni degli
elementi continui (aspect ratio)
OK ☺
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rapporti fra le dimensioni
troppo elevati
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Tipiche fonti di errore nei modelli
Fonte di errore
Controlli da effettuare
Errori di introduzione dati (e.g.
carichi, vincoli, caratteristiche dei
materiali).
Equilibrio globale della struttura;
Errori di modellazione (uso di
elementi sbagliati o errate
combinazioni degli stessi).
Teoria;
Errori di approssimazione.
Infittire la discretizzazione (è
difficile dare criteri esatti, il test
da fare e la variazione di risposta
all’infittimento della
discretizzazione).
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Deformata;
Stato di tensione.
Esperienza;
Intuizione.
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5
Esempi di modellazione per problemi piani
Gli esempi numerici riportati nel seguito sono stati analizzati da:
Prof. Dr.-Ing. Wolfhard Zahlten
Istituto di Meccanica delle Strutture e Metodi Numerici
Università di Wuppertal
Si ringrazia l’autore per averli messi a disposizione del corso.
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y
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Esempio 1: trave appoggiata,
convergenza all’infittimento del reticolo
q
0.5 m
E = 3.0 107 kN/m2
ν = 0.0
h = 0.2 m
q = 240.0 kN/m
x
5.0 m
rapporto fra lunghezza e altezza
della trave pari a 10
vale il modello teorico
della trave
Soluzione analitica nella sezione di mezzeria
(momento, freccia e massima tensione per unità di spessore):
M max =
qL2
5qL4
qL2
= 750.0 kNm
wmax =
+
= 31.75 mm
8
384 EI 8GAQ
M d
nxx =
h = 18000.0 kN / m
I 2
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6
Ordine di descrizione delle varie grandezz
grado del polinomio
uy(x)
nxx(x)
nxx(y)
nxy(x)
ISO 3
ISO 4
ISO 6
ISO 8
Teoria
De Saint Venant
1
1
2
2
4
0
0
1
1
2 (~ momento)
0
1
1
2
1
0
1
1
2
1 (~ taglio)
Per la simmetria della struttura
è possibile discretizzarne solo
metà imponendo le opportune
condizioni di vincolo.
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s
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ISO 3: spostamenti
reticolo 10x10
GdL
230
v = 22.98 mm (errore -27.6 %)
reticolo 20x10
GdL
450
v = 28.82 mm (errore -9.2 %)
reticolo 40x10
GdL
890
v = 30.85 mm (errore -2.8 %)
L’errore è sempre per difetto, di fatto la struttura è più rigida che nella
realtà perché le funzioni di forma sono un vincolo per gli spostamenti.
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7
ISO 3: sforzi
reticolo 10x10
GdL
230
nxx = 12819 kN/m (errore 28.7 %)
reticolo 20x10
GdL
450
nxx = 16048 kN/m (errore 10.8 %)
reticolo 10x10
GdL
890
nxx = 17112 kN/m (errore 4.9 %)
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ISO 6: spostamenti
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reticolo
GdL
v [mm]
errore [%]
1x1
14
26.40
-16.8
2x1
26
30.86
-2.8
4x1
50
31.74
0.0
8x1
98
31.91
0.5
16x1
194
31.96
0.6
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8
ISO 6: sforzi
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reticolo
GdL
nxx [kN/m] errore [%]
1x1
14
13249
-26.4
2x1
26
17312
-3.8
4x1
50
17955
0.3
8x1
98
17998
0.0
16x1
194
18000
0.0
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ISO 4: spostamenti
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reticolo
GdL
v [mm]
errore [%]
1x1
5
1.92
-94.0
2x1
9
7.35
-76.9
4x1
17
17.67
-44.3
8x1
33
26.57
-16.3
16x1
65
30.36
-4.4
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9
ISO 4: sforzi
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reticolo
GdL
nxx [kN/m]
errore [%]
1x1
5
667
96.3
2x1
9
3818
78.8
4x1
17
9789
45.6
8x1
33
14942
17.0
16x1
65
17128
4.8
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ISO 8: spostmenti
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reticolo
GdL
v [mm]
errore [%]
1x1
12
27.33
-13.9
2x1
22
31.25
-1.6
4x1
42
31.86
0.3
8x1
82
31.99
0.8
16x1
162
32.03
1.0
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10
ISO 8: sforzi
reticolo
GdL
nxx [kN/m]
errore [%]
1x1
12
14580
19.0
2x1
22
17870
0.7
4x1
42
18107
0.6
8x1
82
18042
0.2
16x1
162
18011
0.0
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(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 21/70
Convergenza degli spostamenti
spostamenti [mm]
36.0
ISO8
30.0
ISO6
ISO3
24.0
18.0
ISO4
12.0
6.0
0.0
0
80
160
240
320
400
480
560
640
720
800
880
960
numero di GdL
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(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 22/70
11
Convergenza degli sforzi
sforzo n xx [kN/m]
ISO8
18000
ISO6
15000
ISO3
12000
ISO4
9000
6000
3000
0
0
80
160
240
320
400
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480
560
640
720
800
880 960
numero di GdL
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(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 23/70
Esempio 2: trave appoggiata,
effetti della distorisione del reticolo
a
b
c
d
d
c
a
b
Fattore di distorsione f=a/b=c/d
La mesh è fissata 4x2, poiché la soluzione non è esatta, la soluzione di
riferimento è quella con f=1
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(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 24/70
12
ISO 4: risultati
f = 0.9
f = 0.8
f = 0.5
f = 0.2
f
1.0
0.9
0.8
0.5
0.2
v [mm]
17.67
17.47
16.67
12.08
8.32
nxx [kN/m]
9789
9624
9077
5955
3569
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(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 25/70
ISO 8: risultati
Discretizzazione per f = 0.2
Deformata:
v(f=1.0) = 31.86 mm
v(f=0.2) = 30.90 mm (-3.0%)
Sforzo nxx:
nxx(f=1.0) = 18107 kN/m
nxx(f=0.2) = 16972 kN/m (-6.2%)
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(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 26/70
13
Esempio 3: stato di tensione monoassiale,
infittimento del reticolo errato con nodi singolari
q
E = 1.0 106 kN/m2
ν = 0.2
h = 0.1 m
0.2 m
q = 10.0 kN/m
0.6 m
Discretizzazione con elementi ISO 4, infittita introducendo nodi singolari:
nodo singolare
(solo parzialmente
connessi con gli
elementi
circostanti)
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(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 27/70
Nodi singolari: spostamenti
soluzione analitica: u = 6.0 10-5 m
u = 6.610 10-5 m
u = 6.625 10-5 m
u = 6.631 10-5 m
Effetti dei nodi singolari:
I nodi singolari “si staccano” dai lati cui non sono connessi.
Il campo di spostamenti non è continuo (nonostante ciascun elemento
sia di per sé conforme).
Gli spostamenti lungo il lato libero sono a loro volta non uniformi poiché
influenzati dalla presenza delle discontinuità interne.
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(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 28/70
14
Nodi singolari: sforzi
15.21
15.32
In prossimità dei nodi singolari
lo stato tensionale è
pesantemente alterato:
nxx [kN/m]
10.0
variazioni “a dente di sega”
per nxx.
9.93
6.21
valori di nyy e nxy dello
stesso ordine di grandezza
di nxx anziché nulli.
nyy [kN/m]
Allontanandosi dai nodi singolari
si ritonra progressivamente ad
uno stato tensionale corretto
(cfr. principio di De Saint
Venant).
2.46
nxy [kN/m]
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(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 29/70
Esempio 4: stato di tensione monoassiale,
mescolanza di elementi di diverso ordine
ISO4
Anche se in maniera
meno marcata rispetto
alla presenza di nodi
singolari:
ISO8
-5 m
u = 6.024 10
-5 m
u = 6.021 10
Gli spostamenti del
bordo libero sono
disuniformi.
-5 m
u = 6.020 10
Gli spostamenti non
sono continui lungo
le interfacce fra
elementi.
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(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 30/70
15
Mescolanza di elementi di ordine diverso: sforzi
9.13
nxx [kN/m]
11.06
10.04
10.03
nxy [kN/m]
1.98
0.48
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nyy [kN/m]
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(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 31/70
Esempio 5: stato di tensione monoassiale,
differenti elementi ma dello stesso ordine
ISO3
Deformata e sforzi
corretti: è il giusto
modo di infittire la
discretizzazione!
ISO4
v = 6.000 10-5 m
v = 6.000 10-5 m
v = 6.000 10-5 m
nxx = 10.0 kN/m (in tutti gli elemenit)
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(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 32/70
16
Esempio 6: carico concentrato
sottostruttura 1
H
V
E = 2.1 108 kN/m2
ν = 0.2
h = 0.05 m
V
H
P
P = 1.0 kN
sottostruttura 2
1.0 m
possibile rottura nella
sottostruttura 2
1.0 m
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(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 33/70
Carico concentrato: spostamenti
mesh
spostamento
massimo [m]
2x2
3.436 10-5
4x4
4.796 10-5
8x8
6.195 10-5
16x16
7.604 10-5
32x32
9.016 10-5
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Non c’è convergenza!
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17
Carico concentrato: sforzi
mesh
nyy [kN/m]
4x4
960
8x8
1920
16x16
3839
32x32
7678
La massima tensione dipende
linearmente dalle dimensioni
dell’elemento!
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(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 35/70
Stiamo cercando di modellare una singolarità!
Nella realtà non esistono carichi concentrati.
Il modello di carico concentrato va bene se ci interessa lo stato di
sollecitazione solo in punti lontani dal punto di applicazione (Saint Venant).
Distribuendo l’azione P lungo la sua effettiva (piccola ma finita) lunghezza
di applicazione si ottiene un modello realistico e convergente!
PP = p a
a
p
1.0 m
1.0 m
1.0 m
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1.0 m
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18
Modello convergente con carico distribuito:
spostamenti
mesh 4x4: v = 2.977 10-5 m
mesh 8x8: v = 3.013 10-5 m
mesh 16x16: v = 3.030 10-5 m
mesh 32x32: v = 3.033 10-5 m
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Modello convergente con carico distribuito: sforzi
mesh 4x4
mesh 16x16
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mesh 8x8
mesh 32x32
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19
Esempio 7: modellazione di spigoli acuti
Membrana sollecitata sollecitata
uniformemente con apertura rettangolare
Problema:
Stato tensionale in prossimità dell’apertura
1.5 m
0.5 m
Ci sono due assi di
simmetria
axes of symmetry
0.5 m
è sufficiente
modellare un quarto
della struttura.
1.5 m
E = 3.4 107 kN/m2
ν = 0.2
h = 0.2 m
q = 10.0 kN/m
q
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Reticolo 12x12
deformata
sforzi principali
nmax = 34.11 kN/m
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20
Reticolo 24x24
deformata
sforzi principali
nmax = 47.42 kN/m
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Reticolo 48x48
deformata
sforzi principali
nmax = 65.40 kN/m
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21
Interpretazione
Le tensioni nello spigolo divergono all’infittirsi del reticolo: si
è in presenza di una singolarità.
Nella realtà nello spigolo le tensioni superano immediatamente
il limite elastico e, a seconda dei materiali danno luogo a
plasticizzazione o alla formazione di fessure.
Di conseguenza lo spigolo “si arrotonda”.
La singolarità sparische nella realtà.
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Modellazione con lo spigolo arrotondato
1.5 m
0.5 m
r
axe di simmetria
assi
0.5 m
modellazione
1.5 m
q
le tensioni non sono
più singolari!
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22
Conclusioni per le modellazioni di continui 2D
Elementi diversi hanno comportamenti diversi.
Attenzione a:
Discretizzazioni poco raffinate.
Discretizzazioni che non rispettano la continuità (nodi singolari,
elementi di ordine diverso).
Applicazione errata dei carichi.
Interpretazione dei risultati.
I programmi FE sono un ausilio se utilizzati intelligentemente e
imprescindibilmente dalla conoscenza di:
Meccanica teorica: continui, piastre, gusci, …
Meccanica computazionale: funzioni di forma, conformità, GdL degli
elementi, …
E.g. modellare spigoli acuti e carichi concentrati è perfettamente corretto,
si deve essere consapevoli però che i risultati in quei punti non sono
attendibili!
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Unioni rigide
struttura
piastra di
collegamento
idealizzazione
elementi trave
molto rigidi
cavi
elementi biella
pilone
elementi trave
Talvolta è necessario idealizzare dei collegamenti con elementi trave di elevata
rigidezza (grandi sezioni e piccole lunghezze).
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23
Esempio 8: portale,
elevati rapporti fra sezioni
Nb3
P = 100 kN
AAb ==αA
αAcc
b
IIb ==IIc
b
c
3
0.2 m
Qc3
3.0 m
0.3 m
2
AAc ==0.06
0.06m
m2
c
-3
4
IIc ==0.45
0.4510
10-3m
m4
c
Rh1
Rh2
1
A
2
6.0 m
Facciamo aumentare il rapporto fra l’area della trave e quella dei pilastri…
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Risultati
discretizzazione con 3 elementi
discretizzazione con 30 elementi
Ab/Ac
Rh1[kN]
Rh2 [kN]
Qc3 [kN]
Nb3 [kN]
Rh1[kN]
Rh2 [kN]
Qc3 [kN]
Nb3 [kN]
100
50.1992
49.8008
49.80
-49.80
50.1992
49.8008
49.80
-49.80
101
50.0200
49.9800
49.98
-49.98
50.0200
49.9800
49.98
-49.98
102
50.0020
49.9980
50.00
-50.00
50.0020
49.9980
50.00
-50.00
106
50.0000
50.0000
50.00
-50.00
50.0000
50.0000
50.00
-50.00
1012
50.1384
50.1384
50.14
-50.35
51.6677
51.6677
51.67
-53.74
1013
50.9811
50.9811
50.98
-45.17
107.6923 107.6923
107.69
-111.39
1014
39.1916
39.1916
39.19
-62.13
1015
matrice di rigidezza singolare!
matrice di rigidezza singolare!
All’aumentare del rapporto fra le aree i risultati si deteriorano fino ad
arrivare ad avere la matrice di rigidezza singolare!
Infittire la discretizzazione è controproducente (3 elementi sono
teoricamente sufficienti a fornire la soluzione analitica esatta).
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24
Spiegazione
Durante l’assemblaggio la rigidezza flessionale dei pilastri viene sommata a
w
quella assiale della trave:
K ww =
trave
12 EI c
EAb
+
3
Lc
Lb
pilastro
I numeri reali sono rappresenti dal calcolatore in forma esponenziale con un
numero finito di cifre significative per mantissa ad esponente (rappresentazione
in virgola mobile con precisione finita): R = x.yyy * 10m
Se due numeri hanno grandezze molto diverse il minore si perde durante le
operazioni di somma!
1000.0000
+
0.0001
= 1000.0001
entrambi i numeri vengono scalati secondo il
massimo esponente e rappresentati con un
numero finito di decimali (3 nell‘esempio)
1.000 0000 103
+ 0.000 0001 103
=
1.000 103
Quando Ab/Ac è grande, il pilastro è come se non esistesse per quel GdL!
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Esempio 9: mensola,
elemento troppo corto (e dunque troppo rigido)
P = 1.0 kN
0.2 m
E = 3.4 107 kN/m2
0.3 m
10.0 m
soluzione analitica
w =
PL3
= 2.1786 cm
3 EI
discretizzazione
22elementi
elementitrave
travedi
dilunghezza
lunghezzadisuguale
disuguale
M = − PL = − 10.0 kNm
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25
Risultati ed interpretazione
L1[m]
L2[m]
analitica
w[cm]
M[kNm]
2.1786
-10.0
5.0
5.0
2.1786
-10.0
9.999
0.001
2.1782
-9.9996
9.9999
0.0001
2.1859
-10.03
9.99995
0.00005
-0.5307
-2.44
9.99999
0.00001
matrice di rigidezza singolare!
Anche in questo caso al variare delle proporzioni la rigidezza della trave più
corta tende a cancellare numericamente quella del restante tratto fino ad
eliminarlo del tutto creando un cinematismo!
K ww =
12 EI
12 EI
+
3
L1
L23
Elementi molto rigidi (o molto corti) vanno utilizzati con estrema cautela: la
formazione di un cinematismo è il caso estremo, normalmente si ha solo
un’alterazione dei risultati (più difficile da verificare!).
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Esempio 10:
cinematismi di bielle
Discretizzazione
Discretizzazionedel
deltraliccio
traliccio
con
elementi
trave
con elementi traveeebiella
biella(4
(4
bielle
per
ogni
“X”)
bielle per ogni “X”)
elementi
elementibiella
biella
elementi
elementitrave
trave
incastri
incastrialla
allabase
base
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Si
Siottiene
ottieneuna
unamatrice
matricedi
di
rigidezza
rigidezzasingolare!
singolare!
La
Lastruttura
strutturaèèun
un
cinematismo!
cinematismo!
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26
Analisi agli autovalori
La
Lamatrice
matricedi
dirigidezza
rigidezzaha
ha
12
autovalori
12 autovalorinulli
nulli
Ad
Adessi
essicorrispondono
corrispondono12
12cinematismi
cinematismi
individuati
individuatidai
daicorrispondenti
corrispondenti12
12
autovalori
autovalori
Nell’esempio sono i 12 spostamenti fuori dal piano dei
centri delle “croci di S. Andrea”.
primo
primocinematismo
cinematismo
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Modello con pretensione
Un
Unmodo
modoper
pereliminare
eliminarelalasingolarità
singolaritàdella
della
matrice
matricedi
dirigidezza
rigidezzaeedi
diconseguenza
conseguenzai i
cinematismi
cinematismiconsiste
consistenell‘introdurre
nell‘introdurreuna
unadebole
debole
pretensione
negli
elementi
biella.
pretensione negli elementi biella.
In
Intal
talmodo
modoquesti
questiacquistano
acquistanorigidezza
rigidezzaanche
anche
fuori
dal
piano
(v.
cap.
fuori dal piano (v. cap.6).
6).
Nell‘esempio
Nell‘esempiouna
unapretensione
pretensionedi
di0.1
0.1kN
kNèè
sufficiente
a
stabilizzare
l‘analisi
senza
alterare
sufficiente a stabilizzare l‘analisi senza alterare
ininmaniera
manierapercettibile
percettibileleleproprietà
proprietàdel
delsistema.
sistema.
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27
Esempio 11: formazione di cinematismo fra
elementi trave ed elementi guscio
elementi
elementiguscio
gusciopiani
piani
elementi
elementitrave
trave
incastro
incastro
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Formazione di un cinematismo!
Discretizzazione
Discretizzazionecon
condue
dueelementi
elementi
guscio
ed
un
elemento
guscio ed un elementotrave
trave
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Rigidezza
Rigidezzasingolare!
singolare!
Si
forma
Si formaun
uncinematismo!
cinematismo!
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28
Spiegazione
x
m
mxxxx
y
z
m
mxyxy
m
myyyy
m
mxyxy
La
Lalastra
lastrainflessa
inflessapossiede
possiede22momenti
momentiflettenti
flettenti(m
(mxxxxeem
myyyy))ee11momento
momento
torsionale
(m
).
Non
c‘è
alcun
momento
m
attorno
all‘asse
torsionale (mxyxy). Non c‘è alcun momento mzzzz attorno all‘assenormale.
normale.
Una
Unarotazione
rotazioneattorno
attornoall‘asse
all‘assezznon
noncompie
compielavoro
lavoroeedunque
dunque
l‘elemento
l‘elementonon
nonha
harigidezza
rigidezzarispetto
rispettoaaϕϕz. .
z
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Discretizzazione corretta
Si
Siaggiunge
aggiungeun
unsegmento
segmentodi
dielemento
elementotrave.
trave.
La
Larigidezza
rigidezzanon
nonèèsingolare!
singolare!
IlIlmomento
momentosulla
sullatrave
traveèègenerato
generatoda
dauna
unacoppia
coppiadi
diforze.
forze.
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29
Esempio 12: travi incernierate
30 kN
20 kN
10 kN
0.5 m
1.0 m
1.0 m
Struttura spaziale incernierata.
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Discretizzazione con elementi biella
⎡ 2.062 ⎤
v = ⎢⎢ 4.124 ⎥⎥ 10 −5 m
⎣⎢− 6.186 ⎦⎥
NN4 ==-25.98
-25.98kN
kN
4
NN3 ==-17.32
-17.32kN
kN
3
NN1 ==0.00
0.00kN
kN
1
NN2 ==-8.66
-8.66kN
kN
2
Con
Conelementi
elementibiella:
biella:nessun
nessunproblema.
problema.
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30
Discretizzazione con elementi trave
Discretizzazione
Discretizzazionecon
conelementi
elementitrave
trave
(può
(puòessere
essereutile
utileper
peranalisi
analisidi
distabilità)!
stabilità)!
nodi
nodi11,12,13,14
11,12,13,14
Rigidezza
Rigidezzadi
disistema
sistemasingolare!
singolare!
elemento
elemento3:3:3-13
3-13
elemento
elemento1:1:1-11
1-11
elemento
elemento4:4:4-14
4-14
nodo
nodo33
nodo
nodo11
elemento
elemento2:2:2-12
2-12
vincoli:
vincoli:
nodi
nodi1-4:
1-4: UUxx==0;0;UUyy==0;0;UUz z==00
nodi
nodi11-14:
11-14:UUx UUy UUz uguali
ugualifra
fraloro
loro
x
y
node
node44
node
node22
z
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Analisi agli autovalori
44autovalori
autovalorinulli.
nulli.
Le
Lecorrispondenti
corrispondentiforme
formenon
nonmostrano
mostranodeformazioni.
deformazioni.
autovettori
autovettori1-4
1-4
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31
Andando a vedere i valori numerici ci si accorge
che sono rotazioni attorno agli assi delle travi!
nodo 11:
Φ11
⎡0.8067⎤
= ⎢⎢0.8067⎥⎥
⎢⎣0.8067⎥⎦
GdL locali:
⎡1.3972⎤
ϕ11 = ⎢⎢ 0.0 ⎥⎥
⎢⎣ 0.0 ⎥⎦
nodo 1:
⎡0.8067⎤
Φ1 = ⎢⎢0.8067⎥⎥
⎢⎣0.8067⎥⎦
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Soluzione del problema
Ad
Adogni
ognicerniera
cernierasisiaggiungono
aggiungonomolle
mollerotazionali
rotazionalidi
dipiccola
piccola
rigidezza
(0.1
kNm).
La
labilità
viene
così
eliminata
rigidezza (0.1 kNm). La labilità viene così eliminatasenza
senza
alterare
alterareapprezzabilmente
apprezzabilmenteililcomportamento
comportamentodella
dellastruttura.
struttura.
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32
Nota
• Sottostrutture di un sistema possono dar luogo a cinematismi
per differenti ragioni, e.g.:
• bielle complanari,
• travi incernierate,
• unione di elementi con differenti GdL
• ...
• I cinematismi possono venire individuati con analisi agli
autovalori, i programmi commerciali tuttavia non offrono
questa possibilità!
• Esperienza e conoscenza della teoria sono le uniche difese per
evitare, individuare e risolvere questi problemi.
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Esempio 13: stabilità di trave IPE caricata di
punta, modello con elementi guscio piani
modellazione
analisi
prima
forma
gusci piani a 4 nodi
6 GdL/nodo (vx,vy,vz,ϕx,ϕy,ϕz)
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seconda
forma
terza
forma
la continuità degli spostamenti
non è rispettata!
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33
Interpretazione del risultato errato
Ancora una volta il problema è dovuto agli elementi guscio piani che non hanno
rigidezza alla rotazione attorno all’asse ortogonale agli elementi stessi:
sottostruttura 1
ϕz
ϕy
ϕx
sottostruttura 2
ϕn
vz
vy
vx
Le sottostrutture sono collegate nei nodi, essendo fra loro ortogonali ciascuna
non offre rigidezza alle rotazioni dell’altra.
si comportano come vicendevolmente incernierate nei nodi e le forme di
instabilità viste sono possibili!
sottostruttura 1
sottostruttura 2
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Soluzione: discretizzazione più fine
Discretizzando con un reticolo più fine le forme di instabilità delle singole
lamine si ottengono per valori del carico via via più alti (diminuisce la distanza
fra gli appoggi e dunque la lunghezza di libera inflessione) ed è così possibile
cogliere il comportamento globale della struttura.
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34
Conclusioni
L’utilizzo del FEM non è banale: gli errori in cui si può incorrere sono di
molti tipi.
Iniziare sempre con modellazioni semplici (meglio controllabili) ed
aggiungere dettagli (se necessario!) per passi.
Mai prendere risultati per buoni senza verifica!
In caso di dubbio semplificare il problema al massimo ed eseguire
verifiche anche manuali.
Non credere all’infallibilità dei programmi commerciali con
comportamento “black box”.
La conoscenza della teoria (sia della meccanica che del FEM) è
indispensabile.
L’esperienza è altrettanto importante: quanto visto in questo capitolo
può solo dare un’idea!
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Nel prossimo capitolo
Introduzione all’analisi non-lineare
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35