Claudio Borri
MECCANICA COMPUTAZIONALE
Lezione 2
TITOLO
Rev. 21 dicembre 2015
Università degli Studi di Firenze
Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Meccanica Computazionale
Claudio Borri
(rev. 21/12/2015) Capitolo 2: 1/NDIAP
Sommario
 SOMARIO
Università degli Studi di Firenze
Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Meccanica Computazionale
Claudio Borri
(rev. 21/12/2015) Capitolo 2: 2/NDIAP
Problema elastostatico (continuo 3D)
Il problema elastostatico è caratterizzato dai tre gruppi di equazioni
definiti in ogni punto del continuo
1  ui u j 





Congruenza:
ij
2  x j xi 
Legame:
Equilibrio:
 ij 
 ij
xi
E
1 







kk ij 
 ij
1  2


in V
 bj  0
Cui si aggiungono le condizioni al contorno:
c.c. statiche
 ij n j  tˆi
su S t
c.c. cinematiche
ui  rˆi
su S r
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(rev. 21/12/2015) Capitolo 2: 3/NDIAP
Notazione computazionale
In meccanica computazionale si è soliti raccogliere spostamenti, deformazioni e
sforzi nei vettori:
b1 
b  b2 
b3 
 11 
 
 22 
 33 
σ 
 12 
 23 
 
 31 
 1 
 
 2
 3 
ε 
 12 
 23 
 
 31 
u1 
u  u2 
u3 
tˆ1 
 
tˆ  tˆ2 
tˆ 
 3
 rˆ1 
rˆ   rˆ2 
 rˆ3 
Si noti come anche i tensori del secondo ordine di sforzi e deformazione
vengano rappresentati in vettori colonna.
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(rev. 21/12/2015) Capitolo 2: 4/NDIAP
Problema in notazione computazionale
congruenza: ε   cin  u
legame:
equilibrio:
 sta T   cin
 1
0

0

 2
0

  3
c.c. statiche:
σ  Eε
c.c. cinematiche: R cin  u  rˆ
sta  σ  b  0
0
2
0
1
3
0
0
0 
3 

0
2 

1 
1 0 0  2 0  3 
R sta   0  2 0 1  3 0 
 0 0  3 0 1  2 
Rsta  σ  tˆ su St

0
1  
  1  
0

 
 1 
0

1  2
 0
E
0
0
E
2
1  1  2  
 0
0
0
0

1 0 0  
0
0
0
 0
R cin  0 1 0 
0 0 1 
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0
0
0
0
1  2
2
0
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(rev. 21/12/2015) Capitolo 2: 5/NDIAP
su Sr





0 


0 

1  2 

2 
0
0
0
Diagramma di Tonti
spostamenti
u
b
EQUILIBRIO
R cin  u  rˆ
CONGRUENZA
sta  σ  b  0
ε   cin  u
LEGAME
sforzi
generalizzati
σ
Rsta  σ  tˆ
ε
σ  Eε
deformazioni
generalizzate
condizioni al contorno statiche
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(rev. 21/12/2015) Capitolo 2: 6/NDIAP
condizioni al contorno
cinematiche
carichi esterni
Problema unidimensionale (asta)
È possibile generalizzare la notazione matriciale utilizzando la stessa scrittura
per differenti problemi strutturali.
Ad esempio per il caso unidimensionale della biella, i vettori (con una sola
componente) sono:
b   qx 
σ  N
ε   x 
qx
N̂
u  u x 
tˆ   Nˆ 
rˆ  uˆx 
N̂
x
e le matrici relative sono banalmente:
d
 sta T   cin   
E   EA
 dx 
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Rsta   1
Rcin  1
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(rev. 21/12/2015) Capitolo 2: 7/NDIAP
Trave piana rigida a taglio
 qx 
b 
qy 
N 
σ 
M 
qy
x
y
 
ε 
 
u x 
u 
u y 
 Nˆ 
 
ˆt  Tˆ 
 ˆ
 M 
uˆx 
 
rˆ  uˆ y 
ˆ 
 
qx
ux
uy
f
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sta   cin
T
N
T
M
d x

0
0
d x2 
A 0
EE

0 J 
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(rev. 21/12/2015) Capitolo 2: 8/NDIAP
Trave piana deformabile a taglio
 qx 
 
b  qy 
m 
 
qy
x
y
 
ε   
 
N 
σ  T 
 M 
qx
u x 
 
u  u y 
 
 
m
 sta T   cin
ux
uy
f
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 Nˆ 
 
ˆt  Tˆ 
 ˆ
 M 
N
T
M
d x
  0
 0
uˆx 
 
rˆ  uˆ y 
ˆ 
 
0
dx
0
0
1 
d x2 
0
 EA 0
E   0 GAs 0 
 0
0 EJ 
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(rev. 21/12/2015) Capitolo 2: 9/NDIAP
Problema piano (di tensione)
Per il problema piano di tensione (che verrà meglio analizzato nel cap. 4), si ha:
 qx 
b 
qy 
 nxx 
 
σ   n yy 
n 
 xy 
 xx 
 
ε   yy 
 
 xy 
u x 
u 
u y 
uˆn 
rˆ   
uˆt 
 pˆ n 
tˆ   
 pˆ t 
p̂n
0
0
1  
 sta T   cin
qx
x
1 
Eh 
E
 1
1  2 
 0 0
p̂t
qy
y



2 
  x2
R sta  
  x y
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 y2
 x2   y2
2 x y 

 x y 
 x

0
 y

0

y 
 x 
 x  y 
R cin  




x
 y
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(rev. 21/12/2015) Capitolo 2: 10/NDIAP
Piastra (o lastra inflessa) rigida a taglio
(teoria di Kirchhoff-Love)
 mxx 
 
σ   mxx 
 mxy 
 
b   qz 
  xx 


ε    yy 
 2 xy 


u  u z 
x
y
n
z
qz
z
tx
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 sta T   cin
h
t
mxy
 tˆ 
tˆ   
 mˆ 
uˆz 
rˆ   
ˆt 
  xx 


   yy 
 2 xy 




1 
0 
3


Eh
E

1
0

12(1  2 ) 
1  
0 0

2 

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(rev. 21/12/2015) Capitolo 2: 11/NDIAP
Energia potenziale totale

EPT
u
1
  εuT  σ u dV   u T  b dV   u T  tˆ dA
V
St
2 V
Il pedice “u” indica che si tratta di un funzionale in cui la variabile
indipendente sono gli spostamenti (deformazioni e tensioni sono assunti in
funzione di questi tramite congruenza e legame). Nella formulazione agli
spostamenti del FEM è questo il funzionale che utilizzeremo.
È possibile scrivere funzionali analoghi dove le variabili indipendenti sono gli
sforzi (metodo delle forze):
• energia potenziale complementare
Per problemi specifici si ricorre inoltre alle formulazioni miste con
l’assunzione di più variabili indipendenti:
• potenziale di Hellinger-Reissner (spostamenti e sforzi)
• potenziale di Veubeke-Hu-Washizu (spostamenti, deformazioni e sforzi)
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(rev. 21/12/2015) Capitolo 2: 12/NDIAP