Un nuovo modello a telaio equivalente per l’analisi statica non
lineare di pareti in muratura
G. Rizzano, R. Sabatino, G. Torello
DICIV – Università degli Studi di Salerno. Via Ponte Don Melillo, 84084 Fisciano.
Keywords: Muratura, Analisi Pushover, Telaio Equivalente, Maschi, Fasce di piano, Modello FEM
ABSTRACT
La forte non linearità che caratterizza il comportamento meccanico della muratura rende inapplicabili le procedure
di analisi lineare comunemente adoperate per le strutture intelaiate in c.a. o in acciaio, in cui l’estensione al campo
elastoplastico è ottenuta con l’utilizzo di fattori di struttura. Ciò è chiaramente riconosciuto dal D.M. 14/01/2008
“Norme Tecniche per le Costruzioni”, che indica come le strutture in muratura siano più significativamente
rappresentate attraverso un’analisi statica non lineare. In questo quadro la scelta del modello di calcolo più
adeguato assume un ruolo determinante: da un lato la necessità di accurate previsioni della risposta strutturale
spinge verso l’adozione di modelli FEM, dall’altro la loro complessità e la loro onerosità computazionale
suggeriscono di far ricorso, specie in ambito professionale, a metodi semplificati come quelli basati sull’approccio
a telaio equivalente. Nel presente lavoro è proposto un nuovo modello a telaio equivalente per la definizione della
capacità di pareti in muratura, il modello FREMA (Equivalent Frame Analysis of Masonry structures) messo a
punto dagli autori, mostrandone le principali caratteristiche (legame momento-curvatura accurato per i maschi,
assunzione di una soglia di resistenza a trazione per le fasce, approccio a plasticità diffusa, analisi in controllo di
spostamento) e procedendo alla sua validazione mediante un’ampia casistica di confronti sia con i risultati di prove
sperimentali, sia con i risultati di altre simulazioni numeriche disponibili in letteratura.
1
INTRODUZIONE
Negli ultimi anni, l’adozione nell’ambito
dell’ingegneria sismica dei concetti del
performance-based design ha condotto alla
creazione di molteplici procedure di calcolo
statico non lineare per la valutazione del
comportamento sotto sisma degli edifici (si
vedano tra gli altri il metodo dei coefficienti [1],
il metodo dello spettro di capacità [2, 3] e il
metodo N2 [4]). Tali procedure richiedono
solitamente il confronto tra la domanda sismica e
la capacità dell’edificio, visto come un sistema ad
un solo grado di libertà (SDOF) [5] ed espressa in
termini di spostamenti. Il comportamento della
struttura può ottenersi mediante un’analisi
pushover, in cui è monitorato lo spostamento di
un punto della stessa (solitamente il baricentro
dell’ultimo impalcato) in funzione della risultante
di una distribuzione incrementale di forze
orizzontali, che riprendono l’azione sismica.
La scelta del modello più appropriato per
l’esecuzione dell’analisi pushover di strutture in
muratura è una questione di rilievo. Allo stato
attuale sono due gli approcci di più ampio
utilizzo. Il primo fa uso del metodo degli
elementi finiti (FEM), in cui le parti costituenti la
muratura (blocchi lapidei e giunti di malta) sono
discretizzate in un numero finito di elementi che,
caratterizzati per il tramite di opportuni legami
costitutivi, permettono di portare in conto in
maniera molto accurata tutte le non linearità
coinvolte nel problema. Il risultato è in grado di
cogliere egregiamente il comportamento dei
pannelli, evidenziando i meccanismi di rottura
che intervengono nel processo di carico. Tuttavia,
allo stato attuale, tale tipo di approccio è più
spesso applicato a singoli pannelli che ad edifici
interi, per il grave onere computazionale che
l’accuratezza di tale modellazione richiede e che
può risultare inaccettabile ai fini professionali.
Inoltre i modelli FEM soffrono di una serie di
altri problemi come la potenziale dipendenza
dall’infittimento della mesh, il grande numero di
parametri che sono richiesti in input (che peraltro
non sempre sono disponibili nelle usuali
applicazioni ingegneristiche) e la necessità di
utenti particolarmente specializzati.
Il secondo approccio si basa sull’adozione di
elementi monodimensionali equivalenti. La
struttura è idealizzata mediante un assemblaggio
di elementi verticali ed orizzontali: i primi
(maschi murari) sono gli elementi predisposti a
resistere sia ai carichi verticali sia alle azioni
sismiche; gli elementi orizzontali (fasce di piano),
invece, forniscono l’accoppiamento dei montanti
sotto l’azione sismica. Maschi e fasce sono
collegati da zone rigide ed ognuno di essi è
modellato con le leggi costitutive più appropriate.
Le semplificazioni introdotte da questo approccio
sono significative e pertanto l’accuratezza dei
risultati dipende dalla rispondenza delle ipotesi
introdotte rispetto al problema strutturale reale.
Da quest’analisi sommaria risulta chiaramente
come la scelta tra i due modelli stia nel giusto
compromesso tra accuratezza e complessità, e in
alcuni casi (per esempio nella valutazione della
vulnerabilità di edifici in aggregato) l’adozione di
modelli FEM può divenire insostenibile,
spingendo verso l’adozione di un un modello a
telaio equivalente.
Questo lavoro intende quindi fornire un
contributo all’analisi sismica di edifici in
muratura, proponendo il codice di calcolo
FREMA (Equivalent Frame analysis of Masonry
structures) [6-9], finalizzato, allo stato attuale di
sviluppo, all’analisi statica non lineare di pareti in
muratura.
2
2.1
IL CODICE DI CALCOLO FREMA
Il codice FREMA è in grado di fornire la curva
forza-spostamento di pareti piane in muratura
sotto carichi gravitazionali e sismici.
L’approccio è basato sull’assunzione che una
parete bidimensionale forata possa essere resa
mediante un assemblaggio di elementi verticali
(maschi murari) e di elementi orizzontali (fasce di
piano), connessi da zone rigide.
Il modello è pertanto in grado di analizzare
una parete con una distribuzione qualsiasi di vani,
sebbene sia consigliabile una certa regolarità (che
generalmente è presente negli edifici in
muratura).
L’analisi è condotta in controllo di
spostamenti,
aspetto
fondamentale
della
modellazione in quanto capace di cogliere il ramo
degradante della curva forza-spostamento.
Generalmente, nei modelli a telaio equivalente
le non linearità di maschi e fasce sono portate in
conto con un approccio a plasticità concentrata,
inserendo opportune cerniere plastiche flessionali
ai due estremi dell’asta e una cerniera a taglio
nella mezzeria.
Sebbene sia improbabile che lo snervamento si
raggiunga lungo tutta la lunghezza del maschio o
della fascia, in questo lavoro si assume un
approccio a plasticità diffusa: ogni elemento è
diviso in un certo numero di conci con sezione
trasversale omogenea, andando a monitorare
sforzi e deformazioni nella mezzeria di ognuno di
essi. Il comportamento del pannello è quindi
ottenuto dalla somma dei contributi di ogni
concio, modellati appropriatamente, così come
descritto nel seguito.
2.2
Estensione dei tratti rigidi
La presenza di tratti rigidi è una caratteristica
derivante dall’osservazione fenomenologica dei
danni in pareti in muratura dopo eventi sismici,
che evidenziano la sostanziale indeformabilità
delle zone di intersezione tra maschi e fasce.
Descrizione del modello proposto
L’approccio a telaio equivalente non è nuovo
nell’ambito dell’analisi sismica di edifici in
muratura. A partire dal metodo POR proposto da
Tomaževič [10] negli anni settanta, numerosi
autori hanno poi messo a punto diverse varianti
dello stesso metodo [11-13]. Tuttavia le sue
potenzialità non sono ancora state investigate in
maniera approfondita, soprattutto nell’ambito
delle applicazioni non lineari.
Si descrive pertanto un nuovo modello a telaio
equivalente, sottolineandone le caratteristiche
principali e le assunzioni alla base della
modellazione.
Figura 1. Altezza della parte deformabile dei maschi murari
[14].
Poiché l’estensione dei tratti rigidi ha
un’importanza fondamentale sulla stima della
2.3
Modellazione dei maschi murari
Nel modello proposto sono stati considerati
tutti i meccanismi di collasso dei maschi (Figura
2) ed è stata portata in conto l’interazione tra
sforzo normale e momento flettente (N-M) e tra
sforzo normale e taglio (N-V).
N
V
N
V
M
M
D
t
D
x
x
σ (ε)
σ (ε)
Figura 3. Applicazione del legame costitutivo σ-ε alla
sezione integra e fessurata del pannello per la scrittura degli
equilibri.
Sezione integra (ξ>1)
2
C +1
υ = k1 ⋅ ⎡ξ 2 − (ξ − 1) ⎤ + k2 ⋅ ⎡ξ C +1 − (ξ − 1) ⎤
⎣
⎦
⎣
⎦
k1 ⎡ 2
k
2
3
⋅ ξ + (ξ − 1) ⎤ + 1 ⋅ ⎡(ξ − 1) − ξ 3 ⎤ +
⎦ 3 ⎣
⎦
2 ⎣
k2 ⎡ C +1
k
C +1
C
+2
+ ⋅ ξ + (ξ − 1) ⎤ + 2 ⋅ ⎡(ξ − 1) − ξ C + 2 ⎤
⎣
⎦
⎣
⎦
C+2
2
µ=
Rocking
Sliding Failure
Diagonal Cracking
N
N
t
rigidezza dell’intera parete, diverse proposte sono
state avanzate finora, considerando altezze
“efficaci” per i maschi e lunghezze “efficaci” per
le fasce. In questo lavoro le fasce sono modellate
assumendo che la parte deformabile delle stesse
corrisponda alla luce delle aperture, mentre per i
maschi si fa riferimento allo schema in Figura 1
[14].
N
V
(2)
(3)
Sezione fessurata (ξ<1)
2.3.1 Comportamento flessionale
Il comportamento flessionale dei maschi è
espresso in termini di legame momentocurvatura, ottenuto a partire dalla legge uniassiale
sforzi-deformazioni di compressione:
⎛ε ⎞
σ
ε
= A + B⎜⎜ ⎟⎟
σd
εd
⎝ εd ⎠
(4)
υ = k1 ⋅ ξ 2 + k 2 ⋅ ξ C + 1
Figura 2. Meccanismi di collasso dei maschi murari.
C
(1)
dove σ è la tensione di compressione
corrispondente alla deformazione ε, σd è la
resistenza a compressione della muratura e εd il
livello deformativo corrispondente. Nelle
simulazioni che seguiranno sarà generalmente
adottata la terna di valori A=2, B=-1, C=2
secondo quanto riportato in [15], mentre εd è
ricavato direttamente dalla (1), imponendo che il
modulo di Young secante della muratura sia
raggiunto per un livello tensionale pari a 0.75σd
[15].
Se si considera la sezione trasversale di
spessore t e larghezza D (Figura 3), a partire dalla
relazione (1), è possibile ottenere tramite
considerazioni di equilibrio la relazione tra la
curvatura χ e il momento M, per il livello di
azione assiale N agente, sia per il caso di sezione
integra sia per il caso di sezione fessurata.
µ=
k1 2 k1 3 k2 C+1 k2
⋅ξ − ⋅ξ + ⋅ξ −
⋅ ξ C +2
2
3
2
C+2
(5)
Nelle equazioni (2-5) ξ=x/D è l’asse neutro
adimensionale, ν=N/Dtσd è lo sforzo assiale
adimensionalizzato, µ=N/Dt2σd è il momento
adimensionalizzato, k1 e k2 sono due coefficienti
che dipendono dalla curvatura χ tramite le
relazioni (6):
B ⎛ χD ⎞
A ⎛ χD ⎞
k1 = ⎜
⎟ ; k2 =
⎜
⎟
C +1⎝ εd ⎠
2 ⎝ εd ⎠
C
(6)
Le equazioni (2-5) descrivono il legame
momento-curvatura applicato su ogni concio, e
permettono di dedurre il comportamento
flessionale dell’intero pannello (Figura 4). La
condizione
di
collasso
corrisponde
al
raggiungimento della curvatura ultima χu, che a
sua volta corrisponde al raggiungimento della
deformazione ultima εu (assunta comunque non
superiore a 1.50εd) sulla fibra estrema
maggiormente compressa.
2.3.2 Comportamento a taglio
Il comportamento a taglio dei maschi è
modellato con una legge bilineare (Figura 4), in
cui il taglio ultimo Vu è ottenuto come il minimo
tra il taglio ultimo per il meccanismo di rottura
per scorrimento Vs (Equazione (7)) e quello
corrispondente al meccanismo di fessurazione
diagonale Vd. Per quest’ultimo si distingue tra i
casi di murature con tessitura irregolare
(Equazione (8), Turnšek-Cačovič [16] e TurnšekSheppard [17]), e di murature con tessitura
regolare (Equazione (9), Mann-Müller [18]).
Vs =
Dt
(c + µ p)
b
(7)
Vd =
Dt
p
f tu 1 +
b
f tu
(8)
Vd =
⎧⎪ f
⎫⎪
Dt
p
min ⎨ bt 1 + ; c + µ p ⎬
b
fbt
⎩⎪ 2.3
⎭⎪
(9)
Nelle equazioni (7-9), t è lo spessore del
pannello e D la larghezza, c è la coesione della
malta, µ il suo coefficiente di attrito interno, p il
livello di compressione assiale medio agente, ftu
la resistenza convenzionale per trazione della
muratura, b un coefficiente dipendente dalla
geometria del pannello [19] o anche dal grado di
vincolo agli estremi per il tramite del fattore di
taglio M/VD [20], c = c (1 + µϕ ) e µ = µ (1 + µϕ )
sono la coesione e il coefficiente di attrito
“ridotti”
(dipendenti
dal
parametro
di
interconnessione dei blocchi ϕ=2∆y/∆x, essendo
∆x e ∆y l’altezza e la larghezza media dei
blocchi).
comportamento delle fasce murarie. I risultati di
prove sperimentali sono di fondamentale
importanza per la definizione della risposta di tali
elementi, che differiscono considerevolmente dai
maschi, essendo sotto sisma soggetti a bassi
valori di sforzo assiale. Questo stato sollecitativo
con bassi valori di azione assiale agente crea non
poche difficoltà nella definizione di criteri di
resistenza adeguati per tali elementi nell’ambito
della modellazione a telaio equivalente. È altresì
utile osservare preliminarmente che nelle fasce di
piano il collasso avviene tipicamente secondo i
meccanismi di flessione o di fessurazione
diagonale. La crisi per scorrimento infatti non
avviene per i fenomeni di interconnessione
all’interfaccia tra le sezioni terminali di maschi e
fasce, mentre lo schiacciamento, per quanto detto,
resta una modalità di collasso che non ha modo di
attivarsi nelle fasce.
2.4.1 Comportamento flessionale
Nel modello qui presentato è adottata una
legge elasto-plastica bilineare per schematizzare
il comportamento flessionale delle fasce (Figura
5); la valutazione del momento ultimo è condotta
in accordo alle formulazioni proposte dalle NTC
2008 [21], distinguendo tra i seguenti due casi:
1) se l’azione assiale N agente sulle fasce è
nota, le fasce possono considerarsi come dei
maschi ruotati di 90° e il loro momento
ultimo si calcola come:
Mu =
Figura 4. Legami momento-curvatura e taglio-scorrimento
adottati per i maschi murari.
Il collasso per taglio corrisponde al
raggiungimento del drift ultimo δu, che può
assumersi, in accordo con le NTC 2008 [21], pari
allo 0.4% dell’altezza della zona deformabile del
maschio.
2.4
Modellazione delle fasce di piano
Le fasce di piano giocano un ruolo
fondamentale nel comportamento sismico delle
pareti in muratura, poiché determinano il grado di
accoppiamento tra i maschi murari.
Sfortunatamente, mentre sono disponibili un
gran numero di risultati sperimentali per i maschi,
poche sono le prove finalizzate ad investigare il
Nh ⎛
N ⎞
⎜⎜1 −
⎟
2 ⎝ κf d ht ⎟⎠
(10)
dove h e t sono l’altezza e lo spessore
dell’elemento, κ=0.85 per l’ipotesi di
distribuzione rettangolare di tensioni di
compressione e fd è la resistenza a
compressione di calcolo della muratura;
2) se l’azione assiale N agente sulle fasce non è
nota, la loro resistenza flessionale può
assumersi pari a:
Mu =
H ph ⎛
Hp ⎞
⎜⎜1 −
⎟
2 ⎝ κf hd ht ⎟⎠
(11)
essendo Hp il minore tra la resistenza a
trazione
dell’elemento
teso
disposto
orizzontalmente (per esempio un cordolo in
c.a o una catena) e 0.4fhdht, dove fhd è la
resistenza a compressione della muratura in
direzione orizzontale.
È interessante osservare che, in accordo alla
(11), se la fascia è sprovvista di cordolo o catena,
non si può fare affidamento su alcun meccanismo
di resistenza per flessione. Diversamente
nell’equazione (10), in cui si assimilano le fasce a
maschi ruotati di 90°, si attribuisce loro
un’aliquota di resistenza flessionale che in ogni
caso resta molto bassa, essendo legata ai valori di
N agenti.
È chiaro che questo tipo di approccio conduce
a stime fortemente cautelative della reale capacità
della parete.
verticale e una distribuzione uniforme delle
tensioni tangenziali lungo i giunti di malta
orizzontali.
Sotto tali ipotesi, considerando il volume di
riferimento di Figura 6, i due meccanismi
conducono alla seguente espressione per ftu:
ftu ,1 = fbt
∆y
2 ( ∆y + g )
ftu ,2 = ( c + µ p )
Figura 5. Legami momento-curvatura e taglio-scorrimento
adottati per le fasce murarie.
Per questo motivo, nel codice FREMA è stato
considerato per le murature di mattoni a tessitura
regolare un modello alternativo per la valutazione
della resistenza a flessione delle fasce. Tale
modello è stato dapprima studiato per i maschi in
[22-23] e quindi applicato in [24], dove sono
riportati dei confronti con modellazioni FEM più
accurate.
Il modello assume che il meccanismo a
puntone nell’elemento fascia possa svilupparsi a
condizione che si abbia una resistenza a trazione
“equivalente” in direzione orizzontale, introdotta
localmente per le sole fasce e non per l’intera
muratura.
f tu
∆y
f tu
∆x
Brick Failure
p
ftu
∆y
ftu
∆x
2 ( ∆y + g )
(12)
(13)
essendo g lo spessore del giunto di malta. In
definitiva, la resistenza equivalente a trazione
della fascia in direzione orizzontale è la minore di
quella fornita dai due differenti meccanismi: ftu =
min {ftu,1; ftu,2}.
Figura 7. Legame costitutivo σ-ε assunto per la muratura a
tessitura regolare delle fasce di piano.
Nell’equazione (13) p può assumersi pari al
65% della tensione media di compressione agente
al piede del maschio adiacente alla sezione
terminale della fascia, come suggerito in [24].
L’introduzione di una resistenza a trazione
conferisce un significativo incremento di
resistenza per flessione alla fascia. Infatti,
assumendo una legge costitutiva elasto-plastica
sia a trazione che a compressione (Figura 7),
dotata di duttilità a compressione µc, di duttilità a
trazione infinita (µt=∞), e detto η il rapporto tra
la tensione di trazione equivalente fd e la
resistenza a compressione della muratura ftu. e
applicando le equazioni di equilibrio alla sezione
trasversale della fascia, il dominio di resistenza
(M-N) risulta notevolmente incrementato.
∆x
Joint Failure
Figura 6. Modalità di attivazione della resistenza a trazione
equivalente nelle fasce di piano.
Al fine di valutare la resistenza a trazione
equivalente ftu, sono portati in conto due differenti
meccanismi di rottura (Figura 6): 1) rottura per
trazione dei blocchi; 2) rottura a taglio dei giunti
di malta. Il modello trascura la resistenza dei
giunti di malta verticali, assume una distribuzione
uniforme delle tensioni di trazione sulla sezione
Figura 8. Dominio di resistenza (M-N) per le fasce di piano
in muratura con tessitura regolare.
Un esempio di tale dominio è riportato in
Figura 8, dove è ottunuto per η=0.1, µc=1.18,
µt=∞, Nlim= htfd, Mlim= ht2fd/4.
Il risultato più importante è la presenza di una
resistenza a flessione anche in presenza di valori
esigui o nulli dell’azione assiale agente
sull’elemento; tale effetto è ancora più evidente
se comparato con il dominio fornito
dall’equazione (10) e riportato nella stessa figura.
2.4.2 Comportamento a taglio
Il comportamento a taglio delle fasce è
modellato come elasto-fragile con una soglia di
resistenza residua, come riportato in Figura 5. Il
taglio ultimo è dato da:
Vu = htf vd 0
(14)
essendo h e t rispettivamente l’altezza e lo
spessore della fascia, e fvd0 la resistenza a taglio in
assenza di forzo normale. Nel presente lavoro, la
resistenza residua è assunta pari al 25% di Vu
(α=0.25), sebbene recenti studi sperimentali [25]
suggeriscano l’adozione di valori più alti.
Pavia
Door
Wall
Via
Martoglio
Via
Verdi
Salonikios et al.
Renata
di
Francia
Muratura
E
[MPa]
1400
1600
1500
1650
1650
G
[MPa]
480
300
250
660
690
fwc
[MPa]
6.20
6.00
2.40
3.00
2.20
fvd0
[MPa]
0.18
0.16
0.13
0.10
0.12
1.22
1.00
2.00
1.00
1.00
Mattoni
[MPa]
fbt
Malta
c
[MPa]
0.23
0.15
0.20
0.10
0.12
µ
-
0.58
0.50
0.50
0.58
0.35
Il confronto mostra un sostanziale accordo tra i
risultati sperimentali e il codice proposto; si
riscontra inoltre un sostanziale accordo anche con
gli altri risultati numerici.
VALIDAZIONE PRELIMINARE DEL
MODELLO
Il modello descritto è stato validato attraverso
una serie di confronti con i risultati di tests
sperimentali, modelli accurati agli elementi finiti
e ulteriori modelli a telaio equivalente. Per tutti i
confronti riportati, le proprietà meccaniche
adottate nelle analisi sono sintetizzate nella
Tabella 1.
3.1
Tabella 1. Caratteristiche meccaniche adottate nelle analisi.
Figura 9. Pavia Door Wall, schema della prova.
Test sperimentali dell’Università di Pavia:
la “Pavia Door Wall” [26, 27]
Un test sperimentale molto accurato è stato
condotto dall’Università di Pavia [26-27]. Un
prototipo di edificio di due piani (6.00 x 4.40 m
di dimensione in pianta) in muratura ordinaria è
stato sottoposto a spostamenti ciclici a livello
degli impalcati (Figura 9), in modo da ottenere
una distribuzione di forze laterali proporzionali ai
pesi sismici (con sovraccarichi di 248.8 kN al
primo livello e di 236.8 kN al secondo). Il
prototipo presenta una parete che può
considerarsi indipendente (“Pavia Door Wall”) e
che costituisce un benchmark interessante per
molti autori [28-30].
In Figura 10 è riportato il confronto tra i
risultati ottenuti dal codice FREMA e quelli della
prova sperimentale. Nella stessa figura sono
200
TREMURI
Calderini et al.
175
FREMA
150
Total base shear [kN]
3
diagrammati anche i risultati di altri modelli
numerici – SAM [11], TREMURI [30], modelli
FEM accurati [28].
125
Experimental
100
SAM
75
50
Italian Building Code
25
0
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
1,40
1,60
1,80
2,00
top displacement [cm]
Figura 10. Pavia Door Wall, confronto tra i risultati ottenuti
in termini di curva forza-spostamento.
La sovrastima della resistenza che si osserva in
tutte le simulazioni numeriche è giustificata dal
fatto che la curva sperimentale è l’inviluppo
3.2
1600
1400
1200
Total base shear [kN]
monotono di una curva ciclica, e pertanto
rappresenta solo un limite inferiore della risposta
monotona. Nella stessa Figura 10 è riportata
anche la curva forza-spostamento ottenuta
applicando le prescrizioni delle NTC 2008 [21].
In questo caso la risposta sottostima chiaramente
la reale resistenza e rigidezza della parete, a causa
dell’assunzione di rigidezze fessurate pari alla
metà di quelle non fessurate e della modellazione
delle fasce di piano.
Genoa R.G.
200
Total base shear [kN]
800
600
400
SAM
Genoa R.G.
FREMA
0
30
40
50
60
70
FREMA
5
10
15
20
25
30
35
top displacement [mm]
1000
20
SAM
0
1200
10
600
0
Il “Progetto Catania” [31] è un interessante
progetto di ricerca italiano finalizzato alla
valutazione della performance sismica di due
edifici in muratura della città di Catania,
analizzati da gruppi di ricerca (R.G.) afferenti ad
alcune Università Italiane (R.G. Pavia [29], R.G.
Genova [32], R.G. Basilicata [33]).
La prima parete analizzata (parete di Via
Martoglio) fa parte di un edificio di cinque piani.
Sono stati analizzati tre diversi modelli: parete in
muratura non rinforzata (modello 1); parete con
cordoli elastici in c.a., assumendo per essi
Ec=4000 MPa (modello 2), ed Ec=20000 MPa
(modello 3), essendo Ec il modulo di Young del
calcestruzzo.
0
800
400
Simulazioni numeriche: il “Progetto
Catania” [31]
200
1000
80
Figura 13. Parete in via Martoglio, modello 3 (Ec=20000
MPa)
Il confronto tra il modello proposto e i risultati
dei vari R.G. sono riportati in Figura 11, 12 e 13.
L’accordo del codice proposto con il codice SAM
è molto soddisfacente; un buon accordo con i
risultati del R.G. di Genova si ritrova in termini
di rigidezza e di resistenza residua per la parete in
muratura senza cordoli.
Nello stesso “Progetto Catania”, sono stati
analizzati altre tre pareti con differenti
caratteristiche geometriche (pareti “A”, “B”, “C”
in Via Verdi). Per le pareti “A” e “D” sono
disponibili analisi pushover (SPO1 e SPO2)
eseguite da Pasticier et al. [34] tramite un
modello a telaio equivalente implementato in
SAP2000® V.10.
I confronti riportati nelle Figure 14-16
mostrano un sostanziale accordo tra i modelli a
telaio equivalente (SAM, SAP2000, FREMA),
mentre l’andamento generale del R.G. di Genova
è caratterizzato da valori più alti di resistenza e
rigidezza.
top displacement [mm]
2000
Figura 11. Parete in via Martoglio, modello 1.
1750
1500
1200
1250
Total base shear [kN]
1400
Total base shear [kN]
1000
800
600
1000
750
Basilicata R.G.
Genoa R.G.
500
SAM
Pasticier ‐ SPO2
250
FREMA
400
0
SAM
0.00
Genoa R.G.
200
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
top displacement [cm]
FREMA
Figura 14. Parete A in via Verdi.
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
top displacement [mm]
Figura 12. Parete in via Martoglio, modello 2 (Ec=4000
MPa).
Questo
si
può
spiegare
facilmente
considerando che le resistenze degli elementi
calcolate nei modelli a telaio equivalente sono
sempre ottenute portando in conto la
parzializzazione della sezione, per la mancanza di
una resistenza a trazione. Il modello FEM, al
contrario, considera una piccola resistenza a
trazione dei giunti di malta che, sebbene
trascurabile, può incidere significativamente sulla
resistenza degli elementi, soprattutto se la
sollecitazione assiale su di essi è molto bassa.
250
Total base shear [kN]
200
150
100
Basilicata R.G.
SAM
50
I confronti mostrano un accordo soddisfacente
tra il modello proposto e i risultati del SAP e di
CAST3M in termini di rigidezza e di soglia di
resistenza. Un aspetto importante da sottolineare
è che, mentre il SAP non sembra risentire della
distribuzione di carichi laterali, nel FREMA tale
influenza è chiaramente riscontrabile. In
particolare, il caso ACC presenta una maggiore
rigidezza della parete se confrontato col caso
LOAD perché, mentre i maschi del primo piano
sono soggetti agli stessi carichi laterali, i maschi
al secondo piano sono soggetti a tagli molto più
bassi nel caso ACC, risultando uno spostamento
inferiore del nodo di controllo. A differenza del
modello commerciale, il codice FREMA riesce
efficacemente a cogliere a questo aspetto, in linea
con i risultati forniti dal modello agli elementi
finiti.
FREMA
1000
0
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
3.50
4.00
4.50
5.00
800
top displacement [cm]
Total Base Shear [kN]
Figura 15. Parete B in via Verdi.
700
600
600
400
Salonikios et al. ‐ Eq. Frame
200
Salonikios et al. ‐ Discrete FEM
Total base shear [kN]
500
FREMA
0
400
0
2
4
6
8
10
12
14
16
top displacement [mm]
300
Figura 17. Salonikios et al., caso di carico ACC.
Basilicata R.G.
200
Genoa R.G.
SAM
100
Pasticier ‐ SPO1
1000
FREMA
0
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
800
Figura 16. Parete C in via Verdi.
3.3
Simulazioni numeriche: Salonikios et al.
[35]
Un’ulteriore validazione del codice è stata
ottenuta comparando i risultati ottenuti con
l’applicazione del modello proposto all’analisi di
una parete in muratura di due piani e sette
campate caricata nel piano. La parete è stata
analizzata in [35] con un modello a telaio
equivalente commerciale (SAP2000®) e con un
modello agli elementi finiti (CAST3M®). Sono
state condotte due analisi pushover, applicando
sia una distribuzione di forze laterali
proporzionali ai pesi sismici (caso di carico ACC;
vettore delle forze laterali F={1.00, 0.59}), sia
una distribuzione triangolare inversa (caso di
carico LOAD; F={1.00, 1.19}). I risultati dei tre
modelli sono messi a confronto in Figura 17 e 18.
Total Base Shear [kN]
top displacement [cm]
600
400
Salonikios et al. ‐ Eq. Frame
200
Salonikios et al. ‐ Discrete FEM
FREMA
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
top displacement [mm]
Figura 18. Salonikios et al., caso di carico LOAD.
3.4
Simulazioni numeriche: Palazzo Renata di
Francia [36]
Mallardo et al. hanno analizzato in [36] il
comportamento sismico del Palazzo Renata di
Francia in Ferrara di epoca rinascimentale. Di
interesse ai fini del presente lavoro sono i risultati
delle analisi numeriche della parete di facciata di
due piani e quattordici campate, eseguite con tre
differenti approcci: modelli a telaio equivalente
(Pro_SAP® e PC.M®), modello FEM (ADINA®)
e analisi limite.
Le analisi sono state condotte assumendo una
distribuzione di forze laterali triangolare inversa.
I risultati dei diversi modelli sono riassunti in
Figura 19.
Il confronto mostra un buon accordo tra i
risultati del modello FEM e quelli ottenuti con il
codice FREMA, sia in termini di rigidezza che di
resistenza ultima della parete. Notevole è, invece,
il divario con i risultati degli altri modelli
commerciali a telaio equivalente in cui sono
implementate le prescrizioni dell’OPCM 3431,
del tutto simili a quelle delle NTC 2008. Ciò
conferma non soltanto la bontà delle previsioni
del codice FREMA, ma soprattutto che
un’efficace definizione del comportamento delle
fasce di piano gioca un ruolo fondamentale nella
valutazione del comportamento sismico delle
strutture in muratura.
6000
Total Base Shear [kN]
5000
4000
3000
2000
Analisi Lim.
ADINA
PC.M
Pro_SAP
FREMA
1000
0
0
10
20
30
40
50
top displacement [mm]
Figura 19. Parete di facciata del Palazzo Renata di Francia.
4
CONCLUSIONI
In questo lavoro è stato presentato un nuovo
modello a telaio equivalente sviluppato dagli
autori, finalizzato, all’attuale stadio di sviluppo,
all’analisi del comportamento sismico di pareti in
muratura. Si sono illustrate le principali
caratteristiche del codice, con particolare
riferimento alla modellazione di maschi e fasce di
piano. È quindi stata condotta una validazione
preliminare del codice di calcolo comparando i
risultati ottenuti con quelli relativi a prove
sperimentali, a simulazioni accurate agli elementi
finiti e ad altri modelli a telaio equivalente
disponibili in letteratura. Si è potuto così
riscontrare una buona aderenza dei risultati del
modello proposto con i dati analizzati,
dimostrando quindi che il codice di calcolo
FREMA può costituire un utile strumento nel
calcolo sismico di strutture in muratura.
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