Misure ed Errori
Prof Valerio CURCIO
Errori nelle misure
Ogni misura, per quanto accurata e precisa, è
affetta da errore. Errore non è sinonimo di
“sbaglio”, ma sta ad indicare proprio che
ogni strumento di misura, per diverse cause,
ha dei “limiti” nel misurare. Basta pensare,
ad esempio, alla sensibilità. E’ quindi
impossibile ottenere il valore “reale” della
misura di una qualsiasi grandezza fisica.
Errori sistematici
Un errore si dice sistematico se è causato da
uno strumento di misura difettoso. Un
cronometro tarato male, per esempio per
difetto, avrà sempre la tendenza a stimare
misure di tempo eccedenti rispetto alla
realtà. Un righello deformato dal caldo non
può offrire ovviamente una misura corretta.
Errori accidentali
Un errore si dice accidentale se viene
commesso per semplice casualità. È un
errore accidentale la lettura non in asse di
uno strumento a scala, come ad esempio un
termometro analogico. È un errore
accidentale il ritardo nello starter di un
cronometro, azionato a mano, dovuto al
tempo di reazione di chi esegue la misura.
Teoria degli errori
Le misure ottenute con strumenti di misura,
come detto, sono inevitabilmente affette da
errori. Esistono però dei metodi, descritti
dalla teoria degli errori, che servono a
limitare al minimo l’incidenza degli errori
stessi sulle misure. Parleremo di Valor
Medio, Errore Assoluto, Intervallo di
Incertezza, Errore Relativo ed Errore
Percentuale.
Valore Medio
Supponiamo di aver eseguito n misure di una
stessa grandezza con uno strumento di
misura. L’insieme delle misure è il
seguente:
｛x1, x2, … , xn｝.
Definiamo Valore Medio G il rapporto
x1  x2    xn
G
n
Errore Assoluto
In un insieme di misure ｛x1, x2, … , xn｝c’è
sempre una misura più grande, xmax, ed una
più piccola, xmin. Si definisce Errore
Assoluto ea (o Semidispersione Media) il
rapporto
xmax  xmin
ea 
2
Intervallo di Incertezza
Come abbiamo detto, non è possibile ottenere
una misura esatta. Risulta allora utile
ottenere un intervallo minimo in cui siamo
sicuri che ricade la misura esatta. Questo
intervallo, detto Intervallo di Incertezza, è il
seguente:
x  G  ea
Dove x indica la misura esatta, G il valore
medio e ea l’errore assoluto.
Intervallo di Incertezza
Scrivere una misura nel modo seguente:
m  12.51  0.02 kg
significa che il valore della massa m che si
sta cercando è tale che
12.49 kg  m 12.53 kg
ossia che la massa m ha un valore compreso
tra i 12.49 kg e i 12.53 kg.
Errore Relativo
Non sempre l’errore assoluto ci offre una
stima efficiente del “peso” dell’errore stesso
sulla misura. È più grave commettere un
errore di 1 cm su 1 m, o di 1 m su 1 km?
Sicuramente è più grave il primo. Perché?
Chiamiamo Errore Relativo er il rapporto:
ea
er 
G
Errore Relativo
Ora vediamo il perché della risposta
precedente. Nel primo caso abbiamo un
errore relativo
0.01m
er 
 0.01
1m
mentre nel secondo caso abbiamo
1m
er 
 0.001
1000m
che è più piccolo del primo.
Errore Percentuale
Quando si fanno tante misure di una
grandezza, siamo in grado di scartare quelle
misure che sono fuori da un intervallo
accettabile. L’Errore Percentuale ep, definito
come segue, ha proprio questo scopo:
e p  er  100
e si esprime come percentuale, cioè col
simbolo “%”.
Errore Percentuale
Tornando alla domanda precedente possiamo
dire che nel primo caso avevamo
ep = 0.01×100 = 1%
mentre nel secondo caso
ep = 0.001×100 = 0.1%
Livello di Confidenza
L’errore percentuale serve a stabilire il livello di
confidenza di una misura. Solitamente vengono
scartate tutte quelle misure per le quali l’errore
percentuale supera il 2%.
Questo parametro è fondamentale per quanto
riguarda il controllo di qualità dei prodotti
industriali, ma anche per tutte le costruzioni in
generale; in questo caso si parla di “tolleranza”.
Importante
• Il valor medio, l’errore assoluto e
l’intervallo di incertezza hanno la stessa
unità di misura della grandezza misurata e,
come tale, è obbligatorio specificarla
sempre!
• L’errore relativo e l’errore percentuale, al
contrario, sono numeri “puri”, ossia non
possiedono alcuna unità di misura.
Arrotondamenti
Quante cifre bisogna indicare dopo la virgola, in un
risultato decimale?
Nel caso di valore ottenuto da uno strumento di
misura il problema non si pone essendo lo
strumento stesso ad indicarle.
E se durante una misura indiretta (calcoli) otteniamo
numeri a più cifre decimali?
In questo caso si scelgono tante cifre quante sono
quelle relative alla sensibilità dello strumento col
quale
si
è
misurato,
operando
degli
“arrotondamenti”.
Arrotondamenti
Un numero a più cifre decimali può essere
sempre arrotondato per eccesso o per
difetto.
Si arrotonda per eccesso quando si vuole un
valore leggermente più alto di quello che si
ha.
Si arrotonda per difetto quando si vuole un
valore leggermente più basso di quello che
si ha.
Eccesso e Difetto
1. Si sceglie il numero di cifre decimali da
tenere.
2. Si guarda la prima cifra decimale tra
quelle da scartare.
3. Se essa è maggiore o uguale a 5 si
aumenta di 1 l’ultima cifra decimale da
tenere (arrotondamento per eccesso).
4. Se essa è minore di 5 si lascia inalterata
l’ultima cifra decimale da tenere
(arrotondamento per difetto).
Esempio
Si vuole arrotondare a 3 cifre decimali il
numero 11.3567099.
11.3567099
In rosso sono le cifre da tenere. La prima cifra
da scartare, il 7 (in blu), essendo maggiore
di 5, fa sì che il numero finale diventi
11.357
L’arrotondamento eseguito è per eccesso.
Esempio
Si vuole arrotondare a 2 cifre decimali il
numero 15.9523137.
15.9523137
In rosso sono le cifre da tenere. La prima cifra
da scartare, il 2 (in blu), essendo minore di
5, fa sì che il numero finale diventi
15.95
L’arrotondamento eseguito è per difetto.
Cifre significative
Si chiamano Cifre Significative di una misura
le cifre “certe” e la prima “incerta”, in
riferimento all’intervallo di incertezza. In
generale, il numero delle cifre significative
si trova contando la cifra incerta e le cifre
che stanno alla sua sinistra fino all’ultima
cifra, se essa è diversa da zero.
Esempi
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12.45 ha 4 cifre significative
47.3 ha 3 cifre significative
0.34 ha 2 cifre significative
0.340 ha 3 cifre significative
23.073 ha 5 cifre significative
10.0220 ha 6 cifre significative
0.001 ha 3 cifre significative
Propagazione degli errori
Quando si eseguono misure indirette, cioè
quando si fanno calcoli con le misure di
grandezze (per esempio calcoli di aree o
volumi), gli errori si propagano nei calcoli.
Vediamo come risultano l’errore assoluto e
relativo
a
seguito
di
operazioni
matematiche.
Somma e differenza
Se X è una misura indiretta, ottenuta dalla
somma o dalla differenza di due misure
omogenee a e b, allora
ea(X) = ea(a) + ea(b).
Gli errori assoluti di a e b si sommano
sempre, indipendentemente dal fatto che la
misura X sia ottenuta come somma o come
differenza tra a e b.
Il tutto vale anche se le misure sono più di
due.
Prodotto e quoziente
Se X è una misura indiretta, ottenuta dal
prodotto o dal quoziente di due misure a e
b, allora
er(X) = er(a) + er(b).
Gli errori relativi e percentuali di a e b si
sommano sempre, indipendentemente dal
fatto che la misura X sia ottenuta come
prodotto o come quoziente tra a e b.
Il tutto vale anche se le misure sono più di
due.