UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI FIRENZE
DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE
Sezione geotecnica
“COMPRESSIBILITÀ E CONSOLIDAZIONE EDOMETRICA ”
Corso di Fondamenti di Geotecnica
Scienze dell’Ingegneria Edile, A.A. 2004\2006
Dott. Ing. Johann Facciorusso
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Sezione geotecnica
Introduzione
COMPRESSIBILITÀ E CONSOLIDAZIONE
Le deformazioni volumetriche indotte nel terreno dall’applicazione di un
carico (o da uno scarico) possono essere dovute:
9 ad espulsione dell’aria dai vuoti di terreno non saturi (costipamento)
9 ad espulsione dell’acqua dai vuoti in terreni saturi (consolidazione
primaria)
9ad effetti viscosi (consolidazione secondaria)
9compressione delle particelle solide (incluso lo strato di acqua adsorbita)
9compressione dell’aria e/o dell’acqua all’interno dei vuoti
OSS. Ci possono anche essere deformazioni di taglio a volume costante,
che si verificano nei terreni saturi e poco permeabili in condizioni
non drenate all’atto stesso di applicazione dell’incremento delle tensioni
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Sezione geotecnica
Introduzione
COMPRESSIBILITÀ E CONSOLIDAZIONE
Nell’ipotesi di terreno saturo e trascurando la compressibilità delle
particelle solide e del fluido interstiziale
le deformazioni volumetriche possono attribuirsi alla sola espulsione
dell’acqua dai vuoti
Le particelle di terreno si assestano in una configurazione più stabile
e con meno vuoti, con conseguente diminuzione di volume oppure
nel caso contrario, in cui l’acqua venga richiamata (scarico
tensionale), si ha invece un aumento di volume.
OSS. È un fenomeno dipendente dal tempo (ovvero dal coefficiente
di permeabilità del terreno), l’entità della variazione di volume è
legata alla rigidezza dello scheletro solido
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Introduzione
COMPRESSIBILITÀ E CONSOLIDAZIONE
Compressibilità : è la risposta in termini di variazione di volume di un
terreno sottoposto ad un incremento o ad una riduzione dello stato
tensionale efficace
serve a stimare l’entità delle deformazioni volumetriche (dipendente dalla
rigidezza del terreno)
Consolidazione : è la legge di variazione del volume di terreno nel tempo
serve a stimare il decorso delle deformazioni volumetriche nel tempo
(dipendente dalla permeabilità del terreno)
N.B. : sono problemi importanti specie per i terreni a grana fine (argille)
dove si hanno in genere i cedimenti maggiori e tempi di consolidazione
molto più lunghi
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Introduzione
COMPRESSIBILITÀ E CONSOLIDAZIONE
La deformazione volumetrica di un elemento di terreno di volume iniziale
V0 è data da:
∆R
εr =
R0
R0
∆V
εv =
V0
= ε x + ε y + εz = εa + 2 ⋅εr
∆R
∆H
εa =
H0
Stato tensionale assial-simmetrico
∆V
∆e
=
Inoltre si può dimostrare: ε v =
V0 1 + e 0
∆H
D2
V0 = π ⋅
⋅ Ho
4
H0
dove H0 è l’altezza iniziale e e l’indice dei vuoti iniziale
∆H rappresenta invece il cedimento verticale
N.B. : convenzionalmente si assume:
εv > 0 in corrispondenza di riduzioni di volume (COMPRESSIONE)
εv < 0 in corrispondenza di aumenti di volume (ESPANSIONE)
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Introduzione
COMPRESSIBILITÀ EDOMETRICA
Se la compressibilità di un terreno viene valutata in assenza di
deformazioni laterali, tali condizioni sono dette “edometriche” (si
realizzano ad esempio in condizioni di carico assiale uniformemente
distribuito).
In tal caso:
ε v = εa + 2 ⋅ε r = εa
εv =
∆V
∆e
∆H
=
=
V0 1 + e 0 H 0
1) Si consideri il caso della formazione di un deposito di terreno per
sedimentazione
lacustre
a)
b)
e
A
B
∆e
C
(C)
(B)
(A)
P
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∆σ’v
σ’v (log)
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Compressibilità
2) Si supponga ora che il terreno sia soggetto a un ciclo di scarico e
ricarico (erosione e successiva sedimentazioni fino a superare lo strato
eroso) in condizioni edometriche.
e
EROSIONE
D
C
(C)
(D)
P
RISEDIMENTAZIONE
σ’v (log)
e
(E)
(C)
D
C
E
(D)
P
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σ’v (log)
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Compressibilità
TRATTO 1 e 4 - FASE DI PRIMO CARICO
(linea di compressione vergine, NCL)
1
e
TRATTO 2 - FASE DI SCARICO
(linea di scarico, UL)
3
2
4
TRATTO 3 - FASE DI RICARICO
(linea di scarico, RL)
log σ'v
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Compressibilità
Nei TRATTI 2 e 3, se si approssimano con
l’asse del ciclo d’isteresi, il
Comportamento comportamento è elastico (carico e
elasto- plastico scarico coincidono) non lineare (perché è
lineare il legame tra deformazioni e
1
tensioni in scala logaritmica, la rigidezza
3
cresce con la tensione efficace).
Ciclo d’isteresi
e
2
4
Comportamento
elastico non lineare
log σ'v
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Nei TRATTI 1 e 4 il comportamento è
elasto-plastico con incrudimentio
positivo (la maggior parte delle
deformazioni prodotte durante la
compressone vergine non viene
recuperata in fase di scarico).
Anche in tal caso il legame tra tensioni e
deformazione è lineare in scala
logaritmica (la rigidezza cresce con la
tensione efficace).
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Compressibilità
3) Il terreno è soggetto a più cicli di scarico e ricarico (erosioni e
successive sedimentazioni fino a superare lo strato eroso) che
avvengono a pressioni efficaci diverse sempre in condizioni edometriche.
O
e
A'
La pendenza dei tratti elastici di scaricoricarico (AA’A, BB’B, CC’C) è la stessa
A
B'
La massima pressione verticale efficace
sopportata dall’elemento di terreno
durante la sua storia tensionale è detta
pressione di consolidazione, σ’c.
B
C'
C
log σ'v
La pressione di consolidazione rappresenta la soglia elastica o di
snervamento del materiale. Per valori di tensione inferiori alla pressione
di consolidazione il comportamento è elastico non lineare. Se un terreno
NC viene compresso la pressione di consolidazione, ovvero la soglia
elastica aumenta di valore (incrudimento positivo).
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Compressibilità
GRADO DI SOVRACONSOLIDAZIONE
Quando l’elemento di terreno si trova sulla linea di carico vergine (AOBC) è
soggetto ad una pressione verticale efficace, σ’v0, pari alla pressione di
consolidazione, σ’c (terreno NORMALCONSOLIDATO, NC);
Quando l’elemento di terreno si trova nei tratti AA’, BB’ e CC’, è soggetto ad
una pressione verticale efficace inferiore alla pressione di consolidazione
(terreno SOVRACONSOLIDATO, OC).
Si definisce grado di sovraconsolidazione (OCR):
σ c'
OCR = '
σ v0
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Compressibilità
DETERMINAZIONE SPERIMENTALE
DELLA COMPRESSIBILITÀ EDOMETRICA
Determinare le caratteristiche di compressibilità in condizioni edometriche
di un terreno significa determinare, sul piano e-σ’v o εv-σ’v la pendenza
della linea di compressione vergine, dei rami di scarico e ricarico (a
differenti valori della pressione efficace) nelle condizioni edometriche , cioè
condizioni di carico e di vincolo presenti durante il processo di formazione
di un deposito per sedimentazione (carico verticale infinitamente esteso,
strati orizzontali infinitamente estesi, filtrazione e deformazioni solo
verticali).
Per studiare in laboratorio la compressibilità (e la consolidazione) nelle
condizioni di carico e di vincolo considerate viene eseguita una prova di
compressione a espansione laterale impedita, detta prova edometrica
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Compressibilità
PROVA EDOMETRICA
La prova edometrica viene in genere eseguita su provini di terreno a grana fine
(argille e limi) indisturbati e saturi
N
Capitello
Anello edometrico
2.5 <
D
H0
D = 6 cm
Cella edometrica
<4
H
Pietre porose
0
H 0 = 2 cm
D
La forma “schiacciata “ del provino è motivata dalle necessità:
• di ridurre al minimo le tensioni tangenziali indesiderate di attrito e di
aderenza con la parete dell’anello
• di contenere i tempi di consolidazione
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Compressibilità
PROVA EDOMETRICA
La prova edometrica può essere eseguita secondo differenti modalità.
La prova edometrica eseguita secondo la modalità standard o ad
incrementi di carico (EdoIL) consiste nell’applicazione del carico verticale N
per successivi incrementi, ciascuno dei quali è mantenuto il tempo
necessario per consentire l’esaurirsi del cedimento per consolidazione
primaria (in genere 24h).
Durante la prova viene misurata la variazione di altezza del provino, ∆H
al termine del processo di consolidazione primaria per ciascun gradino di
carico (o, per comodità, corrispondente al termine delle 24h di permanenza
del carico di ogni gradino) e, quindi, vengono calcolate:
; le deformazioni assiali (e volumetriche)
; la variazioni di indice dei vuoti ∆e =
ε v = εa =
∆H
⋅ (1 + e 0 )
H0
∆H
H0
corrispondenti alla pressione verticale media efficace raggiunta:
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N
4⋅ N
σ = =
A π ⋅ D2
'
v
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Compressibilità
CURVA DI COMPRESSIBILITÀ EDOMETRICA
Si possono distinguere:
¾ un tratto intermedio a
pendenza crescente
(punti 2-5)
¾ un tratto finale a
pendenza maggiore e
quasi costante
(punti 5-8)
1
indice dei vuoti, e
¾ un tratto iniziale a
debole pendenza
(punti 1-2)
0.7
2
3
4
0.6
5
0.5
6
11
7
0.4
10
9
0.3
0.01
0.1
8
1
10
Tensione efficace verticale, σ'v (Mpa)
¾ un tratto di scarico (punti 9-11) a pendenza minore e quasi costante
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Compressibilità
CURVA DI COMPRESSIBILITÀ EDOMETRICA
STORIA TENSIONALE DEL PROVINO
1.
2.
3.
4.
5.
Il provino, quando si trova in sito, è soggetto alla pressione litostatica.
Durante il campionamento, l’estrazione, il trasporto, l’estrusione dal
campionatore, subisce una decompressione fino a pressione
atmosferica in condizioni di espansione libera.
A causa della decompressione il provino si espande e , a parità di
contenuto in acqua, non è più saturo e si generano pressioni
interstiziali negative.
Poi viene fustellato con l’anello metallico della prova edometrica e
inserito nella cella riempita d’acqua, dove in parte rigonfia assorbendo
acqua in condizioni di espansione laterale impedita.
Infine inizia la fase di carico.
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Compressibilità
CURVA DI COMPRESSIBILITÀ EDOMETRICA
Il tratto iniziale della curva di (punti 1-2) corrisponde ad una
ricompressione in condizioni edometriche che tuttavia segue ad
uno scarico non edometrico. Perciò il primo tratto non è rettilineo,
e comunque non ha pendenza eguale a quella del ramo di scarico.
2.
Il secondo tratto della curva (punti 2-5) è marcatamente
curvilineo e comprende il valore della pressione di consolidazione
0.7
in sito
Il terzo tratto della curva
1
2
3
di carico (punti 5-8)
4
0.6
corrisponde ad una
5
compressione edometrica
0.5
vergine
3.
4.
Il quarto tratto della curva
di scarico (punti 8-11)
corrisponde ad un r amo
di scarico e ha un
andamento rettilineo
indice dei vuoti, e
1.
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6
11
7
0.4
10
9
0.3
0.01
0.1
8
1
10
Tensione efficace verticale, σ'v (Mpa)
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Compressibilità
CURVA DI COMPRESSIBILITÀ EDOMETRICA
La curva sperimentale di compressione edometrica e-logσ'v viene
approssimata, per le applicazioni pratiche, con tratti rettilinei a differente
pendenza, dove il tratto “ginocchio” (punti 2-5) è sostituito con un punto
angolare (punto A), corrispondente alla pressione di consolidazione, σ’c :
INDICE DI RICOMPRESSIONE
Cr =
(e1 − e 2 )
(log10 σ 'v 2 − log10 σ 'v 2 )
e
Cr
A
1
INDICE DI COMPRESSIONE
Cc =
Cc
(e 5 − e 8 )
(log10 σ 'v8 − log10 σ 'v 5 )
1
Cs
INDICE DI RIGONFIAMENTO
(e11 − e8 )
Cs =
(log10 σ 'v8 − log10 σ 'v11 )
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1
σ 'c
Cr poco significativo
Cc = 0.1 ÷ 0.8
Cs = 1/5÷1/10 Cc
σ'v (log)
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Compressibilità
PRESSIONE DI PRECONSOLIDAZIONE
Per determinare la pressione di preconsolidazione sono state proposte
varie procedure, tra cui la più comunemente utilizzata è quella di
Casagrande, che prevede i seguenti passi:
e
1.
2.
3.
si determina il punto di
massima curvatura (M) del
grafico e-logσ’V
si tracciano per M la retta
tangente alla curva (t), la retta
orizzontale (o), e la retta
bisettrice (b) dell'angolo
formato da t e o
l'intersezione di b con la retta
corrispondente al tratto
terminale della curva di primo
carico individua la pressione di
preconsolidazione.
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σ’p,min
σ’p,max
S
o
M
R
b
t
σ’c
σ’v (log)
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Compressibilità
PRESSIONE DI PRECONSOLIDAZIONE
Indice dei vuoti, e
Il disturbo tende a
distruggere in parte o in
σ’v0 (= σc’ )
tutto la struttura del
e0
Curva di
terreno e le informazioni
compressione
in essa contenute (in
“in sito”
particolare la memoria
dello stato tensionale),
rendendo meno
pronunciato il passaggio
dal tratto di
Provino ricostituito
ricompressione a quello
di compressione, e
Provino disturbato
alterando le pendenze
Provino indisturbato
rispetto alla curva in sito
0.4 e 0
e rendendo quindi
difficoltosa la
determinazione di σ’c.
log σ’
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Compressibilità
ALTRI PARAMETRI DI COMPRESSIBILITÀ
La curva di compressibilità edometrica può anche essere rappresentata in
scala lineare, rendendo ancor più evidente la non linearità e l’aumento di
rigidezza al crescere della tensione applicata. I parametri di compressibilità
ora sono dipendenti dal campo di tensione cui si riferiscono:
Modulo edometrico
∆σ 'v
1
M=
=
m v ∆ε a
[F L-2]
Indice dei vuoti, e [-]
Coefficiente di compressibilità
di volume
∆ε a
[F-1 L2]
mv =
'
∆σ v
Coefficiente di compressibilità
∆e
[F-1 L2]
av =
'
∆σ v
0,7
1
2
0,6
3
4
5
0,5
6
11
7
0,4
10
9
0,3
0,00
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0,50
8
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
Tensione efficace verticale, σ 'v (Mpa)
mv =
av
1
=
1 + eo M
M = 2,3 ⋅
(1 + e 0 )
Cc
⋅ σ 'v
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3,50
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Compressibilità
CEDIMENTO DI CONSOLIDAZIONE PRIMARIA
È possibile calcolare il cedimento di uno strato di terreno al quale è
applicato un carico uniformemente distribuito ∆σv, nel caso in cui possa
ritenersi soddisfatta l’ipotesi di deformazione monodimensionale,
assimilando il comportamento dello strato a quello di un provino
sottoposto ad una prova edometrica e assumendo che i parametri di
compressibilità dello strato siano uguali a quelli determinati per il provino
e
σ’v (log)
σ’v 0
σ’c
σ’v 0 +∆σv
∆σv
Cr
∆H
1
(σ’v 0 , e0 )
∆e
H
0
Cc
εa
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Compressibilità
CEDIMENTO DI CONSOLIDAZIONE PRIMARIA
Ricordando che in condizioni edometriche:
Il cedimento ∆H sarà dato da : ∆H =
Ho
⋅ ∆e
1 + eo
e
TERRENI OC
σ 'c
σ 'vo + ∆σ v
Ho
∆H =
⋅ [C s ⋅ log ' + C c ⋅ log
]
1 + eo
σ vo
σ 'c
se σ’vo + ∆σ’v > σ’c
∆H =
∆H
∆e
=
Ho 1 + eo
σ’v (log)
σ’v0
Cr
Ho
σ + ∆σ v
⋅ [C s ⋅ log
]
1 + eo
σ 'vo
'
vo
σ’c
σ’ +∆σ
v
v
1
∆e
se σ’vo + ∆σ’v < σ’c
Cc
TERRENI NC
1
Ho
σ 'vo + ∆σ v
]
∆H =
⋅ [C c ⋅ log
'
1 + eo
σ vo
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εa
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Compressibilità
CEDIMENTO DI CONSOLIDAZIONE PRIMARIA
Il cedimento di consolidazione primaria con riferimento ai coefficiente di
compressibilità di volume, mv, o al modulo edometrico, M, o al coefficiente
di compressibilità, av, scelti opportunamente in funzione dell'intervallo
tensionale significativo per il problema in esame (tenendo conto del fatto
che tali parametri dipendono dal livello di tensione) risulta:
∆σ v
Ho
∆H = H o ⋅ ∆σ v ⋅ m v = H o ⋅
=
⋅ ∆σ v ⋅ a v
M
1 + e0
Nel caso di terreno eterogeneo , è opportuno suddividere lo strato in più
sottostrati:
H oi
σ 'voi + ∆σ v
σ 'ci
]
∆H = ∑
⋅ [C si ⋅ log ' + C ci ⋅ log
'
σ ci
σ voi
i =1 1 + e oi
n
oppure:
n
n
H
∆H = ∑ (H oi ⋅ ∆σ v ⋅ m vi ) = ∑ ( oi ⋅ ∆σ v ⋅ a vi )
i =1
i =1 1 + e oi
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Compressibilità
CEDIMENTO DI CONSOLIDAZIONE PRIMARIA
I parametri che compaiono nelle formule precedenti sono sempre riferiti
alla mezzeria dello strato, in particolare per stimare l’incremento ∆σv
indotto dal carico applicato in superficie alla generica profondità z, si
procede come segue:
1) Nell’ipotesi di carico, q, applicato in superficie, uniformemente
distribuito ed infinitamente esteso, il conseguente incremento della
tensione verticale totale, ∆σv, è costante sia in direzione orizzontale
che al variare della profondità ed è pari al carico applicato:
∆σv = q
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Compressibilità
CEDIMENTO DI CONSOLIDAZIONE PRIMARIA
Impronta di carico
2) Nell’ipotesi di carico, q, distribuito
su una superficie di dimensioni
limitate il valore di ∆σv si riduce al
crescere della profondità e varia in
direzione orizzontale; tale
incremento può essere
determinato con riferimento alla
teoria dell’elasticità (Boussinesq)
oppure, in prima approssimazione,
nel caso di carico q
uniformemente distribuito su
un’area rettangolare, può essere
così stimato al variare della
profondità z:
B
L
L
q
2
z
1
z/2
L+z
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∆σ v (z) =
q⋅L⋅B
(L + z ) ⋅ (B + z )
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Sezione geotecnica
Consolidazione
CONSOLIDAZIONE
L’applicazione di un sistema di sollecitazioni induce nel terreno un sistema
di distorsioni (cambiamenti di forma) e/o di deformazioni (variazioni di
volume)
Ogni variazione di volume di un elemento di terreno corrisponde ad una
variazione del volume dei vuoti, che, se il terreno è saturo, comporta un
moto di filtrazione dell’acqua interstiziale (in allontanamento se il volume
si riduce, in entrata se il volume aumenta).
Il processo di espulsione dell’acqua
avviene quando, per effetto del
carico applicato, si genera,
all’interno di un certo volume di
terreno, un campo di sovrapressioni
neutre, ∆u, variabile da punto a
punto con conseguente differenza
di carico idraulico (regime
transitorio)
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u + ∆u
0
u
0
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DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE
Sezione geotecnica
Consolidazione
CONSOLIDAZIONE
Via via che l’acqua viene espulsa dai pori, le particelle di terreno si
deformano e si assestano in una configurazione più stabile e con meno
vuoti, con conseguente diminuzione di volume.
Ö La velocità di questo processo (consolidazione) dipende dalla
permeabilità del terreno.
Ö L’entità della variazione di volume (compressibilità), dipende dalla
rigidezza dello scheletro solido, cioè dalla struttura del terreno.
TERRENI A GRANA GROSSA
Riferendosi quindi solo al caso di carichi statici o quasi statici, nei terreni
a grana grossa (ghiaie e sabbie), a causa della loro elevata permeabilità
(k > 10-6 m/s), l’espulsione dell’acqua è praticamente istantanea e
quindi anche la deformazione volumetrica.
TERRENI A GRANA GROSSA
Nel caso dei terreni a grana fine (limi e argille), invece, a causa della loro
scarsa permeabilità (k <10-6 m/s) l’espulsione dell’acqua dai pori con
dissipazione delle sovrapressioni neutre, e quindi la deformazione
volumetrica, risulta differita nel tempo.
CONSOLIDAZIONE
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DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE
Sezione geotecnica
Consolidazione
CONSOLIDAZIONE EDOMETRICA
p (carico uniformemente distribuito,infinitamente
esteso e applicato istantaneamente)
SABBIA
ARGILLA
SABBIA
DEPOSITO saturo infinitamente
esteso in direzione orizzontale
In ogni punto del semispazio si produce istantaneamente un incremento
di tensione verticale totale ∆σv = p. Per ragioni di simmetria non possono
esservi deformazioni orizzontali. (CONDIZIONI EDOMETRICHE)
Nella sabbia, molto permeabile, l’incremento di tensione totale determina
(quasi immediatamente) un eguale incremento della tensione efficace
(sopportata dallo scheletro solido), mentre l’acqua in eccesso filtra
rapidamente in direzione verticale e la pressione neutra (praticamente)
non varia. I grani si deformano e si addensano con riduzione dei vuoti, e
quindi di volume.
SISTEMA APERTO
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DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE
Sezione geotecnica
Consolidazione
CONSOLIDAZIONE EDOMETRICA
Nell’argilla, poco permeabile, il fenomeno sopra descritto per la sabbia è
molto rallentato:
I.
inizialmente il sovraccarico applicato è sopportato quasi
esclusivamente dall’acqua interstiziale (p = ∆σv = ∆u; ∆σ’v = 0);
II. gradualmente l’acqua viene espulsa dai pori, con filtrazione
verticale, e il carico viene trasferito allo scheletro solido che si
comprime, con conseguente aumento delle pressioni effettive (∆σ’v
aumenta e ∆u diminuisce);
III. alla fine del processo di consolidazione tutte le sovrapressioni
neutre si sono dissipate (∆u = 0) e il sovraccarico totale applicato è
interamente sopportato dallo scheletro solido (cioè interamente
equilibrato da un incremento delle pressioni verticali efficaci, ∆σ’v =
∆σv = p).
SISTEMA CHIUSO
Per meglio comprenderei modi e i tempi secondo cui si svolge tale
fenomeno si fa riferimento alla teoria della consolidazione edometrica
(ovvero monodimensionale) di Terzaghi
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Sezione geotecnica
Consolidazione
MODELLO MECCANICO DI ELASTICITÀ RITARDATA
Molla a
comportamento
elastico lineare (K)
Chiuso
Valvola
Aperto
Pressione
A
W i
Q (t )
Q
Sovraccarico
M i
Q (t )
∆uw(t1) = Q/A
Q = QM (t i ) + Q W (t i ) =
K ⋅ ∆l( t i ) + ∆u w ( t i ) ⋅ A
0
t
0
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t
1
t
2
t
3
t
4
t
5
t
6
t
Tempo
7
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Sezione geotecnica
Consolidazione
MODELLO DI TERZAGHI
C
E
∆σ’
γw
∆σ/γw
∆u’
γw
D
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DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE
Sezione geotecnica
Consolidazione
TEORIA DELLA CONSOLIDAZIONE EDOMETRICA
La teoria della consolidazione edometrica di Terzaghi si basa sulle seguenti
ipotesi semplificative :
I.
consolidazione monodimensionale, cioè filtrazione e cedimenti in
una sola direzione (verticale);
II. incompressibilità dell’acqua e delle particelle solide;
III. validità della legge di Darcy;
IV. terreno saturo, omogeneo, isotropo
V.
legame sforzi deformazioni elastico lineare
VI. permeabilità costante nel tempo e nello spazio
VII. validità del principio delle tensioni efficaci
VIII. sovraccarico applicato, σv, costante nel tempo
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DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE
Sezione geotecnica
Consolidazione
TEORIA DELLA CONSOLIDAZIONE EDOMETRICA
Equazione di continuità (principio di conservazione della massa)
Mw,in – Mw,out
(in un intervallo di tempo dt)
∂M w
∂t
=
Mw,in – Mw,out
(in un intervallo di tempo dt)
x
Vw,out
= ρw· [(Vz · 1 · 1) - 1 · 1· ( v z +
= − ρw ⋅
vz +
Vw,in
∂v z
dz
∂z
∂v z
dz )] =
∂z
∂
∂
( v z ) dz = − (ρ w ⋅ v z ) dz
∂z
∂z
Incompressibilità dell’acqua (II)
Terreno saturo (IV)
y
dz
∂M w ∂ (ρ w ⋅ Vw ) ∂ (ρ w ⋅ VV )
=
=
=
∂t
∂t
∂t
z
1
1
vz
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=
V
VV )
V
=
∂t
∂ (ρ w ⋅
V
e
∂
∂
∂
(ρ w v dz) = (ρ w ⋅ n ⋅ dz) = (ρ w
dz)
V
∂t
∂t
1 + e0
∂t
V = dz ·1 ·1
34/57
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Sezione geotecnica
Consolidazione
TEORIA DELLA CONSOLIDAZIONE EDOMETRICA
Equazione di continuità
Mw,in – Mw,out
(in un intervallo di tempo dt)
−
Flusso monodirezionale (I)
Legge di Darcy (III)
=
∂M w
∂t
∂
∂
e
(ρ w ⋅ v z )dz = (ρ w
dz)
∂t
∂z
1 + e0
∂ 2h
∂h ⎞ ⎞
∂ ⎛
⎛
− ⎜⎜ ρ w ⋅ ⎜ − k ⎟ ⎟⎟dz = ρ w ⋅ k 2 dz
∂z
∂z ⎠ ⎠
∂z ⎝
⎝
Permeabilità costante (VI)
ρw
dz ∂e
1 + e 0 ∂t
Volume dei solidi, incompressibile (II)
Incompressibilità dell’acqua (II)
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Sezione geotecnica
Consolidazione
TEORIA DELLA CONSOLIDAZIONE EDOMETRICA
Equazione di continuità
Mw,in – Mw,out
(in un intervallo di tempo dt)
h =z+
=
∂M w
∂t
(u p + u e )
Up lineare con z
γw
∂ 2h
dz ∂e
k 2 dz =
1 + e o ∂t
∂z
∂ 2h
1 ∂ 2u e
=
⋅ 2
2
∂z
γ w ∂z
av = −
∂e
∂σ 'v
∂σ'v
∂e ∂e ∂σ'v
= ' ⋅
= −a V ⋅
∂t ∂σ v ∂t
∂t
up = componente idrostatica della pressione interstiziale;
ue = sovrappressione dovuta all’applicazione del carico
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Sezione geotecnica
Consolidazione
TEORIA DELLA CONSOLIDAZIONE EDOMETRICA
Equazione di continuità
Mw,in – Mw,out
(in un intervallo di tempo dt)
=
∂M w
∂t
a V ∂σ'v
k ∂ 2u e
=
−
⋅
2
γ w ∂z
1 + e o ∂t
Pressione idrostatica
costante nel tempo
∂σ 'v ∂σ v ∂u ∂σ v ∂u p ∂u e
∂u
=
−
=
−
−
=− e
∂t
∂t
∂t
∂t
∂t
∂t
∂t
Principio delle
tensioni efficaci (VII)
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σv costante nel tempo
(VIII)
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Sezione geotecnica
Consolidazione
TEORIA DELLA CONSOLIDAZIONE EDOMETRICA
Si ottiene così l’equazione differenziale della consolidazione
monodimensionale di Terzaghi :
k (1 + e o ) ∂ 2 u e ∂u e
=
2
∂t
γ w ⋅ a v ∂z
oppure:
∂ 2 u e ∂u e
cv
=
2
∂t
∂z
con
k (1 + e o )
k
=
= cv
γw ⋅av
γ w ⋅ mv
[L2/T]
COEFFICIENTE DI CONSOLIDAZIONE VERTICALE
dove u e = u e (z, t )
rappresenta il valore dell’eccesso di pressione neutra nel punto a quota z,
e al tempo t dall’istante di applicazione del carico
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Sezione geotecnica
Consolidazione
TEORIA DELLA CONSOLIDAZIONE EDOMETRICA
∂ 2 u e ∂u e
cv
=
2
∂t
∂z
Z=
∂ 2 u e ∂u e
=
2
∂Tv
∂Z
H=
u e = u e ( z, t )
z
c ⋅t
(H = altezza di drenaggio) Tv = v 2 (FATTORE DI TEMPO
H
H ADIMENSIONALE)
u e = u e ( Z, TV )
spessore dello strato se drenato da un lato solo (0 < Z < 1)
metà dello spessore dello strato se drenato da entrambi i lati (0 < Z < 2)
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Sezione geotecnica
Consolidazione
TEORIA DELLA CONSOLIDAZIONE EDOMETRICA
∂ 2 u e ∂u e
=
2
∂Tv
∂Z
u e = u e ( Z, TV )
Per risolvere l’equazione differenziale della consolidazione
monodimensionale di Terzaghi occorre fissare, per la variabile ue:
¾ le condizioni al contorno (condizioni di drenaggio da uno od entrambi i
lati)
¾ le condizioni iniziali (distribuzione iniziale di ue con la profondità z,
isocrona iniziale):
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Sezione geotecnica
Consolidazione
TEORIA DELLA CONSOLIDAZIONE EDOMETRICA
Nel caso edometrico:
Ö per t = 0 ue= uo, ∀z (isocrona iniziale costante con la profondità)
Ö per z = 0 e z = 2H ue= 0, ∀t ≠ 0 (superfici superiore e inferiore
perfettamente drenanti)
∆p
0
zw
z
Argilla
2H
u all’istante t = 0
zw
Profondità
Sabbia
u ad un generico istante t
ue
up
u
u0
Zw + 2H
Pressione dei pori
Sabbia
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Sezione geotecnica
Consolidazione
TEORIA DELLA CONSOLIDAZIONE EDOMETRICA
m =∞
2u o
− M 2 Tv
π
u e ( Z, Tv ) = ∑
(sin MZ)e
con M = ( 2m + 1)
m =0 M
2
u o − u e ( z, t )
u e ( z, t )
Uz =
= 1−
GRADO DI CONSOLIDAZIONE
uo
uo
A(Tv)
A t = Area totale del grafic o
Z= z/H
Grado di consolidazione medio
Um (Tv) = A(Tv)/At
Grado di consolidazione, Uz
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N.B. La stessa soluzione si applica
anche nel caso di strato drenate da
un solo lato (assumendo H =
spessore dell’intero strato)
42/57
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DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE
Sezione geotecnica
Consolidazione
TEORIA DELLA CONSOLIDAZIONE EDOMETRICA
GRADO DI CONSOLIDAZIONE MEDIO
∞
u o − u e ( z, t )
2 − M 2Tv
U = ∫ U z (z, t ) dz = ∫
dz = 1 − ∑ 2 ⋅ e
uo
m =0 M
0
0
2H
2H
Il grado di consolidazione medio in termini di sovrapressione interstiziali,
U, (rapporto tra la sovrapressione dissipata al tempo t e la sovrapressione
totale iniziale) coincide con il grado di consolidazione medio in termini di
cedimento, Um, definito come rapporto tra il cedimento al tempo t, s(t), e il
cedimento totale, sf:
2H
σ ' v ( z, t )
u 0 ( z ) − u e ( z, t )
=
dz
∫0 u 0 (z)
∫0 σ v (z) dz =
2H
U=
2H
M ⋅ ε ( z, t )
∫0 M ⋅ ε f (z) dz =
2H
∫ ε (z, t ) dz
0
2H
∫ε
f
(z) dz
=
s( t )
= Um
sf
0
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Sezione geotecnica
Consolidazione
TEORIA DELLA CONSOLIDAZIONE EDOMETRICA
10
0.0077
20
0.0314
30
0.0707
40
0.126
0
Grado di consolidazione medio, Um [%]
Grado di consolidazione medio, Um [%]
Um
Tv
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Fattore di tempo, Tv
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1.2
50
0.196
70
0.403
90
0.848
95
1.129
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0.001
0.01
0.1
1
Fattore di tempo, Tv
44/57
10
UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI FIRENZE
DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE
Sezione geotecnica
Consolidazione
TEORIA DELLA CONSOLIDAZIONE EDOMETRICA
Soluzioni semplificate
Um = 6
Tv
3
Tv + 0.5
3
; Tv = 3
0.5 ⋅ U m
1− Um
6
6
(Brinch-Hansen)
Tv
π
2
; Tv = ⋅ U m
per U m ≤ 60%
π
4
Tv = 1.781 − 0.933 log(100 − U m (%)) per U m > 60%
Um = 2 ⋅
⎛ 4 ⋅ Tv ⎞
⎜
⎟
π
⎝
⎠
(Terzaghi)
0.5
π
2
⋅ Um
4
Um =
;
T
=
v
0.179
5.6 0.357
⎡ ⎛ 4 ⋅ Tv ⎞ 2.8 ⎤
1− Um
⎟ ⎥
⎢1 + ⎜
π
⎠ ⎦⎥
⎣⎢ ⎝
[
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]
(Sivaram & Swamee)
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UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI FIRENZE
DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE
Sezione geotecnica
Consolidazione
Grado di consolidazione medio, Um [%]
TEORIA DELLA CONSOLIDAZIONE EDOMETRICA
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0.001
0.01
0.1
1
10
Fattore di tempo, Tv
Se fossero verificate le ipotesi della teoria della consolidazione, le curve sperimentali
in prova edometrica cedimento – tempo dovrebbero essere eguali, a meno di fattori
di scala (cv, etc.), alle curve teoriche adimensionali Um = f(Tv). (Um proporzionale al
cedimento, Tv proporzionale al tempo).
In realtà l’accordo è accettabile per gradi di consolidazione non superiori al 60% (per
valori superiori la curva teorica tende ad un asintoto orizzontale, quella reale ad un
asintoto obliquo (consolidazione secondaria).
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46/57
UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI FIRENZE
DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE
Sezione geotecnica
Consolidazione
LIMITI DELLA TEORIA DELLA CONSOLIDAZIONE
La teoria della consolidazione monodimensionale di Terzaghi non
corrisponde al reale comportamento dei terreni per vari motivi:
¾ lo schema di carico e di vincolo geometrico considerato (strati
orizzontali, carico uniforme e infinitamente esteso, deformazioni e flusso
solo verticali) non sempre si riscontra nella realtà (ad es. l’area di carico è
di dimensioni piccole rispetto allo spessore dello strato compressibile)
¾ il legame tensioni deformazioni è marcatamente non lineare
¾ la permeabilità del terreno varia nel tempo, durante il processo di
consolidazione, perché diminuisce l’indice dei vuoti.
¾ è trascurata la componente viscosa delle deformazioni.
Per potere comunque utilizzare la soluzione di Terzaghi, si ipotizza che il
terreno abbia un comportamento lineare e a permeabilità costante
nell’ambito di ogni gradino di carico, e che le deformazioni viscose abbiano
inizio solo quando la consolidazione edometrica è in gran parte esaurita.
Diffusione delle tensioni – Fondamenti di Geotecnica
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47/57
UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI FIRENZE
DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE
Sezione geotecnica
Consolidazione
DETERMINAZIONE SPERIMENTALE DI CV
Per applicare la soluzione dell’equazione differenziale della consolidazione
mondimensionale e determinare quindi l’evoluzione nel tempo delle
sovrappressioni (grado di consolidazione) o dei cedimenti (grado di
consolidazione) di uno strato di terreno coesivo, occorre conoscere:
Ö le caratteristiche geometriche dello strato (spessore dello strato)
Ö l’isocrona iniziale delle sovrappressioni (legata al carico applicato)
Ö le condizioni di drenaggio (percorso massimo di drenaggio, H)
Ö le caratteristiche di permeabilità del terreno (coefficiente di
consolidazione verticale, cv)
Ö il cedimento finale di consolidazione primaria (i parametri di
compressibilità del terreno)
Il coefficiente di consolidazione verticale, cV, si può determinare in
laboratorio a partire dai risultati della prova edometrica.
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48/57
UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI FIRENZE
DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE
Sezione geotecnica
Consolidazione
DETERMINAZIONE SPERIMENTALE DI CV
I valori dell’altezza del provino osservati nel tempo durante ciascun
gradino di carico applicato sono generalmente diagrammati secondo due
modalità:
Ö in funzione del logaritmo del tempo
Ö in funzione della radice quadrata del tempo
Dai diagrammi così ottenuti è possibile determinare, relativamente a
ciascuno dei gradini di carico applicati, il coefficiente di consolidazione, cv,
mediante una delle due procedure di seguito descritte che consistono nel
sovrapporre e far coincidere la curva teorica adimensionale Um=f(Tv) con
la curva sperimentale cedimento-tempo (limitatamente al 60% della
consolidazione primaria) allo scopo di determinare i fattori di scala.
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UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI FIRENZE
DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE
Sezione geotecnica
Consolidazione
DETERMINAZIONE SPERIMENTALE DI CV
Metodo di Casagrande
1. Determinazione
dell’altezza iniziale del
provino, 2Hi (Um = 0%).
Ricordando che (Terzaghi):
Um = 2 ⋅
Tv
;
π
2H
2 Hi
per U m ≤ 60%
considerati due istanti, t1 e
t2, e i relativi cedimenti, s(t1)
e s(t2) (tali che Um < 60% e
che t2 = 4 t1), vale la
relazione:
S( t 1 )
=
S( t 2 )
t1
t2
S( t1 ) =
1
⋅ S( t 2 )
2
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50/57
2
H 50
⋅ 0.197
cv =
t 50
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DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE
Sezione geotecnica
Consolidazione
DETERMINAZIONE SPERIMENTALE DI CV
2. Determinazione
dell’altezza finale del
provino, 2Hf (Um = 100%).
3. Determinazione
dell’altezza del provino
corrispondente alla metà
della consolidazione
primaria, 2H50 (Um = 50%).
2H50 = (2Hi + 2Hf)/2
4. Si determina il valore di Tv
corrispondente a Um = 50%,
es. Tv =0.197).
2H
2 Hi
2 H50
CONSOLIDAZIONE
PRIMARIA
2 Hf
CONSOLIDAZIONE SECONDARIA
2
H 50
⋅ 0.197
5. Si determina il valore di Cv corrispondente: c v =
t 50
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51/18
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DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE
Sezione geotecnica
Consolidazione
DETERMINAZIONE SPERIMENTALE DI CV
Metodo di Taylor
1. Si traccia la retta interpolante i
punti iniziali (corrispondenti a Um
< 60%), ricordando che
(Terzaghi):
Um = 2 ⋅
Tv
;
π
per U m ≤ 60%
2. Si disegna la retta con ascisse
incrementate del 15% rispetto a
quella interpolante, in quanto
l'ascissa, t90, è 1.15 volte il valore
dell’ascissa corrispondente alla
stessa ordinata sulla retta
interpolante i dati sperimentali
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2H
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UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI FIRENZE
DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE
Sezione geotecnica
Consolidazione
DETERMINAZIONE SPERIMENTALE DI CV
3. Dall'intersezione di
quest’ultima con la curva
sperimentale, punto C, si ricava
√t90 e, proiettato sull’asse delle
ordinate, l’altezza 2H90
corrispondente
4. Determinazione dell’altezza
iniziale del provino, 2Hi (Um = 0%),
prolungando la retta interpolante
fino ad incontrare l’asse delle
ordinate, punto O
2 Hi
2 H90
2 Hf
5. Determinazione dell’altezza finale
del provino, 2Hf (Um = 100%)
2H f =
10
⋅ 2H 90
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Diffusione delle tensioni – Fondamenti di Geotecnica
Corso di Laurea in Scienze dell’Ingegneria Edile A.A. 2005/2006
2H
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Sezione geotecnica
Consolidazione
DETERMINAZIONE SPERIMENTALE DI CV
4. Si determina il valore di Tv corrispondente a Um = 90%, es. Tv =0.848).
5. Si determina il valore di Cv corrispondente:
2
H 90
⋅ 0.197
cv =
t 90
N.B. Dopo avere ricavato dalla prova edometrica oltre al coefficiente di
consolidazione verticale, cV, anche il coefficiente di compressibilità di
volume, mv, è possibile ottenere una stima del coefficiente di permeabilità
k del terreno:
k = cv ⋅ γ w ⋅ mv
Ovviamente, potendo determinare tanti valori di cv e di mv, quanti sono i
gradini di carico applicati al provino, si possono ottenere altrettanti valori
del coefficiente di permeabilità. In genere si assume come valore più
rappresentativo per il terreno in sito quello corrispondente al gradino di
carico entro cui ricade la tensione litostatica valutata alla profondità di
estrazione del provino.
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Sezione geotecnica
Consolidazione
CONSOLIDAZIONE SECONDARIA
La consolidazione secondaria è conseguente alle deformazioni viscose
dello scheletro solido, che avvengono prevalentemente al termine della
consolidazione primaria (quindi a tensione efficace costante) e sono
rappresentate, nella curva sperimentale cedimenti-tempo, dall’asintoto
obliquo.
La pendenza dell’asintoto inclinato nel piano semilogaritmico e-logt, è
detto indice di compressione secondaria:
Cα =
∆e
∆ log t
Terreno
Argille tenere organiche
Argille tenere inorganiche
Sabbie
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Cα/Cc
0,05 ± 0,01
0,04 ± 0,01
da 0,015 a 0,03
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