Fisica
Sistemi di molte particelle
Facoltà di Scienze MM FF e NN, Università Sannio
Definizione di
temperatura e calore
Giovanni Filatrella ([email protected])
G. Filatrella: Corso di Fisica
1
In dinamica si studiano sistemi di pochi corpi:
¾ Un sasso che cade
¾ Un pianeta che orbita attorno al sole
¾ Il moto di molte particelle descritto dal centro di
massa.
Molti oggetti reali sono invece descritti da molte
particelle interagenti per le quali non si può
risolvere la II legge della dinamica F=ma:
¾ Un gas in un recipiente
¾ Un liquido che evapora
¾ Un solido che si dilata.
L’approccio termodinamico
Termodinamica
Quando il numero di particelle diviene molto
grande per prevedere il comportamento del
sistema si usano delle nuove variabili
macroscopiche (pressione, volume,
temperatura, etc) legate alla variabili
dinamiche (posizione, velocità, energia, etc)
delle particelle che compongono il sistema.
G. Filatrella: Corso di Fisica
2
G. Filatrella: Corso di Fisica
3
Alcune definizioni:
• TERMO – connesso al calore
• DINAMICA – lo studio del moto
• SISTEMA – un oggetto o un insieme di oggetti
• AMBIENTE – ciò che circonda il sistema
• MICROSCOPICO – su scala atomica o molecolare
• MACROSCOPICO – su scala percepibile dai nostri sensi
TERMODINAMICA
¾ studio delle relazioni fra calore e moto
¾ Offre una descrizione macroscopica delle proprietà del
sistema usando variabili di stato (ex. volume, temperatura,
pressione)
4
G. Filatrella: Corso di Fisica
Sistema e ambiente
Le fasi della materia
La distinzione di sistema
ed ambiente è in qualche
modo arbitraria, ma non
per questo non
importante!
+ - + - + - - +
- + - + - + - + - - + - + - + + -- + - + - + + -- + - + - + + -- + - + - + + -- + - + + + +- + - + - + + -- + - + -+ -- + - + - + + + - + - + - + -
Solida
Liquida
Gas o Vapore
Plasma
Temperatura
Solidi e liquidi sono composti di atomi connessi fra di loro da
forze elettriche a distanze di circa 10-10 m. Nei gas e vapori ( e
nei plasma) gli atomi o le molecole sono in moto casuale.
G. Filatrella: Corso di Fisica
5
G. Filatrella: Corso di Fisica
6
1
La storia dell’esplorazione delle
temperature in un’esposizione divulgativa
Zero assoluto
La conquista del freddo
Temperatura
Temperatura
• È una misura di quanto caldo o freddo sia
un oggetto.
• Per ottenere una valutazione quantitativa è
necessario adoperare un termometro.
Tom Shachtman
Sperling&Kupfer, 2001
G. Filatrella: Corso di Fisica
7
Esperimento delle due bacinelle
Immergete la mano destra e sinistra in due bacinelle di acqua
fredda e calda
8
G. Filatrella: Corso di Fisica
Sensazione e misura
La differenza
fra avvertire
e misurare:
Sento caldo
Mescolate l’acqua ed immergete la mano destra e sinistra nell’acqua tiepida.
La mano destra dirà che l’acqua è calda, la sinistra che è fredda.
E’ caldo!
G. Filatrella: Corso di Fisica
9
Termometri
10
Come si misura la temperatura?
Si sceglie una sostanza termometrica chimicamente definita
(mercurio, alcool, toluene, elio, rame, ecc.)
I Termometri sono invece basati su
proprietà fisiche oggettive che variano
con la temperatura, per esempio:
Si sceglie una grandezza G adatta a descrivere una qualche proprietà
della sostanza termometrica (ad es: lunghezza colonnina di mercurio o
di alcool, pressione del gas, resistenza elettrica del filo di rame, ecc.)
¾ il volume di un liquido
¾ la lunghezza di un solido
¾ la pressione di un gas
¾ la resistenza elettrica di un solido
¾ la differenza di potenziale fra due solidi
¾…
G. Filatrella: Corso di Fisica
G. Filatrella: Corso di Fisica
Si ipotizza la validità della relazione di proporzionalità:
T=a•G
con la costante a determinata fissando convenzionalmente il valore
della temperatura in corrispondenza di un particolare stato termico di
riferimento ben riproducibile (punto fisso).
11
G. Filatrella: Corso di Fisica
12
2
Scale di temperatura più comuni
Taratura di un termometro
Fahrenheit:
• Basata sulla temperatura fredda raggiungibile con un
miscuglio di sale e ghiaccio (0ÈF) e scelta in modo che
la temperatura di fusione del ghiaccio (32F) fosse un
terzo della temperatura corporea (96↑F).
Scala
centigra
da:
Celsius o Centigrada:
• Basata su proprietà fisiche dell’acqua a pressione
atmosferica standard (0ÈC è il punto di congelamento
and 100↑C è il punto di ebollizione).
T(ÈC) = (5/9)[T(ÈF) – 32]
T (ÈF) = (9/5)T(ÈC) + 32
13
G. Filatrella: Corso di Fisica
Principio Zero della Termodinamica
L’esperienza ci dice che oggetti in contatto
raggiungono la stessa temperatura, ovvero
l’equilibrio termico. Si postula che
Se due sistemi A e B sono in equilibrio
termico con un terzo oggetto C, allora A e
B sono pure in equilibrio termico l’uno con
l’altro.
14
G. Filatrella: Corso di Fisica
Scambi termici
Modi degli scambi
termici fra un solido ed
un liquidi in contatto
I sistemi in equilibrio termico hanno la stessa
temperatura. Questo principio è essenziale
per una teoria fisica della definizione di
temperatura.
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G. Filatrella: Corso di Fisica
Dilatazione termica
Effetti del calore
Si nota che:
La maggior parte dei materiali si dilata se
riscaldati:
Tubo sottile
(Fornisce
grandi
cambiamenti
per piccole
variazioni di
volume)
¾ La distanza media fra gli atomi aumenta con la
temperatura.
¾ L’aumento è proporzionale alla variazione di
temperatura.
Un oggetto di lunghezza Li a temperatura Ti
¾ Se l’oggetto è portato ad una temperatura Tf
Lf – Li = α Li (Tf – Ti)
Un serbatoio di
grande volume
G. Filatrella: Corso di Fisica
16
G. Filatrella: Corso di Fisica
o
∆L = α Li ∆T
α = coefficiente di espansione lineare [ºC-1]
(α dipende dal materiale)
Più caldo
17
G. Filatrella: Corso di Fisica
18
3
Dilatazione termica dei solidi e dei
liquidi
Materiale
α (ºC -1)
Vetro
9 x 10-6
Cemento
12 x 10-6
Rame
17 x 10-6
Piombo
29 x 10-6
Mercurio
1.8x 10-4
Benzina
3.2 x 10-4
Per una data variazione
di temperatura la
dilatazione dei liquidi è
molto maggiore di
quella dei solidi (> 10
volte).
• E’ possibile che due sistemi siano
in equilibrio termico senza
toccarsi?
Area :
• Possono due sistemi avere
temperature diverse anche se
sono in contatto?
∆A = 2α Ai ∆T
Volume:
∆V = 3α Vi ∆T
19
G. Filatrella: Corso di Fisica
Comportamento anomalo dell’acqua
Densità dell’acqua
g/(cm3)
1
0.99
0.98
0.97
0.96
0.95
0
4
12 20 50 100
Temperatura in Celsius
Domande
20
G. Filatrella: Corso di Fisica
Dettaglio comportamento acqua
L’acqua si contrae mentre
viene riscaldata fra 0ºC e
4ºC, quindi riprende ad
espandersi fra 4 ºC e
100 ºC.
Appena al di sopra del punto
di congelamento l’acqua
più fredda (e meno densa)
risale in superficie-> laghi
e fiumi congelano dalla
superficie verso il basso.
Questo comportamento
anomalo permette la vita
nelle acque fredde!
21
G. Filatrella: Corso di Fisica
22
G. Filatrella: Corso di Fisica
La scala assoluta (Kelvin) della
Temperatura
La TEMPERATURA ASSOLUTA
Il volume occupato da un gas a pressione
costante è una funzione lineare della
temperatura, ed estrapola a zero a –273.15 ºC.
Questa è la legge di
Charles, ed è il
principio fisico alla
base della scala di
temperatura
assoluta o Kelvin :
T(K) = T(ºC) + 273.15
G. Filatrella: Corso di Fisica
23
G. Filatrella: Corso di Fisica
24
4
Approfondimenti sullo”zero assoluto”
Lo zero assoluto
¾ Nella scala assoluta o Kelvin lo 0 ha un
significato fisico -- nelle altre scale è scelto
arbitrariamente.
Gas diversi possono avere comportamenti
diversi a temperatura finita, ma non allo
zero assoluto: –273.15 ºC.
La legge di Charles,
prevede che tutti i gas
occupino volume
nulla a
T(K) = 0 =-273.15 ºC 273.15
¾ L’intervallo di temperatura denotato dal grado
Celsius è lo stesso dell’intervallo corrispondente
sulla scala Kelvin. Quindi per ogni variazione di
temperatura: ∆T(ºC) = ∆T(K).
¾ T = -273.15 ºC = 0 K è la più bassa temperatura
raggiungibile per qualsiasi sistema fisico.
¾ Lo zero assoluto della temperatura (0 K) è un
limite teorico comunque irraggiungibile.
¾ Il record sperimentale attuale è di circa 10-9
25
G. Filatrella: Corso di Fisica
Le scale Celsius e assoluta
L’unità di misura della scala
Celsius, 1°C, è uguale al
campione della scala Kelvin, 1 K.
L’unità di misura della scala
assoluta, 1 K, è uguale al campione
della scala Celsius, 1°C.
1°C = 1K
La temperatura di 0°C è un punto
fisso per calibrare i
termometri
K, ottenuto nei condensati Bose-Einstein
(1998, Premio Nobel per la Fisica nel 2001)
G. Filatrella: Corso di Fisica
26
L’ipotesi di Thomson: gli effetti
termici sono dovuti al moto
Il calore può essere prodotto in quantità
apparentemente infinita da un corpo...come
quando si forano i cannoni.
Lo 0 K è una proprietà fisica dei
sistemi. Il punto di
congelamento si trova alla
temperatura di 273.15 K.
La relazione tra le due temperature è:
t C = T − 273.15
tc temperatura in gradi Celsius, T temperatura in K (Kelvin)
G. Filatrella: Corso di Fisica
27
28
Numero di Avogadro e massa
molare
Gas ideale
¾ La relazione fra la pressione P (forza per unità
di superficie), il volume V e la temperatura T di
un sistema è detta equazione di stato.
¾ Un gas ideale ha un’equazione di stato semplice:
PV = nRT
• NA = 6.023 x 1023 = numero di Avogadro
• 1 mole è una quantità di gas che contiene un
numero di Avogadro di molecole.
n = numero di moli (6.023 x 1023 molecole)
R = costante universale dei gas = 8.31 J/(mole K)
• La massa grammo-molecola M di una
sostanza è la massa di una mole di tale
sostanza:
¾ La maggior parte dei gas a temperatura
ambiente e alla pressione atmosferica si
comportano come i gas ideali.
G. Filatrella: Corso di Fisica
G. Filatrella: Corso di Fisica
¾ Elio (He)
M = 4 g/mole
¾ Azoto (N2)
M = 28 g/mole
¾ Ossigeno (O2) M = 32 g/mole
29
G. Filatrella: Corso di Fisica
30
5
La temperatura assoluta come conseguenza
dell’equazione di stato dei gas perfetti
La legge dei gas perfetti contiene la
previsione che la pressione sia una funzione
lineare della temperatura ed estrapoli
sempre a zero a –273.15 ºC.
Per un gas di N atomi o molecole, il numero di moli è
n = N/NA.
La legge dei gas ideali è:
Questa è la legge di
Charles, ed è una
conseguenza
dell’equazione di
stato
PV = nRT
31
G. Filatrella: Corso di Fisica
Applicazione della legge del gas
ideale
Per un gas ideale:
Stato iniziale (1)
P1, V1, T1, n1
P1V1 = n1RT1
R = P1V1/n1T1
(n varia)
(n fissato)
G. Filatrella: Corso di Fisica
33
Quindi la legge dei gas ideali si può formulare in due
modi:
PV = NkBT (N = numero di atomi o molecole)
PV = nRT (n = numero di moli)
G. Filatrella: Corso di Fisica
32
Problema tipico
34
G. Filatrella: Corso di Fisica
Visualizzazione del modello
cinetico di gas
Teoria cinetica dei Gas
Assunzioni:
1. Un grande numero N di molecole che si
muovono in direzioni casuali a differenti
velocità.
2. Le molecole sono assai separate
3. Le molecole si muovono seguendo le leggi
della dinamica di Newton ed interagiscono
solo attraverso le collisioni.
4. Le collisioni sono perfettamente elastiche:
conservano l’energia.
G. Filatrella: Corso di Fisica
PV = nRT = (N/NA)RT = N(R/NA)T = NkBT
dove
kB = R/NA = 1.38 x 10-23 J/K (costante di Boltzmann)
Se 18.75 moli di elio gas sono a 10.0ºC e ad una
pressione di 0.350 atm., calcolare
a) Il volume del gas elio a queste condizioni.
b) La temperatura del gas se fosse
compresso a metà volume e portato alla
pressione di 1.00 atm.
c) Quanto gas elio è necessario immettere
per effettuare l’operazione b) a
temperatura costante.
Stato finale (2)
P2, V2, T2, n2
P2V2 = n2RT2
R = P2V2/n2T2
P1V1/n1T1 = P2V2/n2T2
Se n1 = n2:
P1V1/T1 = P2V2/T2
Formulazioni dell’equazione di stato del
gas ideale
Modello cinetico del
gas in un cilindro
35
G. Filatrella: Corso di Fisica
36
6
Modello della teoria cinetica dei gas
Le molecole di massa m si
muovono con velocità vx
nella direzione x in un cubo
di lato L e collidono
elasticamente con le
pareti.
-vx
Forza esercitata dalla molecola sulla parete:
Variazione della q. moto:
∆p = p f − p i = mv x − ( − mv x ) = 2mv x
Tempo fra le collisioni
con la stessa parete:
∆t =
37
La velocità quadratica media è definita come:
< v 2x > =
v
+v
+v
2
x3
+ ⋅⋅⋅ + v
2
xN
N
2
2
2
2
2
2
F =
m
< v2 >
N
L
3
40
G. Filatrella: Corso di Fisica
Interpretazione della temperatura
F F m < v2 > 1 N
=
= N
=
m < v2 >
A L2 L3
3
3V
Interpretazione
microscopica
m
< v2 >
N
L
3
2 1
1
PV = Nm < v 2 > = N m < v 2
3 2
3
Legge macroscopica
1
2 1

PV = Nm < v 2 > = N m < v 2 > 
3
3 2

Legge dei gas di Boyle: il
2 1
2

PV = N m < v 2 >  = NK prodotto della pressione per
il volume è costante
3 2
 3
L’energia traslazionale di ogni molecola determina PV
G. Filatrella: Corso di Fisica
Vero per ogni vettore
Se le velocità sono distribuite a caso e nello stesso modo
in tutte le direzioni:
La forza totale sulle pareti:
Pressione sulle pareti a causa degli
impatti delle molecole
F =
2
< v 2 > = < vx > + < vx > + < vx > = 3 < vx >
39
poichè
2
v 2 = vx + v y + vz
2
G. Filatrella: Corso di Fisica
Volume
38
< vx > = < v y > = < vz >
m
N < v 2x > ( per v lungo l' asse − x )
L
P=
)
G. Filatrella: Corso di Fisica
2
La forza totale esercitata sulla parete da N particelle:
F=
(
m 2
v x1 + v 2x 2 + v 2x 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + v 2x N
L
Velocità in direzioni casuali
Velocità quadratica media
2
x2
( per molecola )
Forza esercitata da N molecole con
differenti velocità:
F=
2L
vx
G. Filatrella: Corso di Fisica
2
x1
∆p 2mv x
mv 2x
=
=
∆t 2 L / v x
L
F=
L
vx
Forza esercitata dalla parete
L
41
PV = nRT =
 2
>  = NK
 3
N
R
RT = N
T = Nk BT
NA
NA
3
2
1
NK = Nk BT ⇒ m < v 2 >= k B T
3
2
2
Legge dei gas ideali
kB = Costante di
Boltzmann
L’energia media traslazionale è proporzionale a T
G. Filatrella: Corso di Fisica
42
7
Curiosità: come si distribuiscono le velocità attorno al valore
medio: la distribuzione delle velocità di Maxwell-Boltzmann
Velocità quadratica media
v rms
− mv 2
m
f (v) = 4π N (
) 3 / 2 v 2 e 2 k BT
2π k BT
3k BT
= < v2 > =
m
∞
∫ f (v)dv = N
0
f ( v)dv = numero di molecole con velocità fra v e v + dv
vp =
v =
43
G. Filatrella: Corso di Fisica
Ricapitolazione del modello
cinetico di gas ideale
k BT
velocità
m
media
3k BT
k T
= 1.73 B velocità quadratica media
m
m
G. Filatrella: Corso di Fisica
v rms =
44
1. Di quanto cambia la velocità media delle
molecole di un gas ideale se raddoppia la
temperatura assoluta?
2. Di quanto cambia la velocità media delle
molecole di un gas ideale se raddoppia la
temperatura Celsius?
3. Cambia la velocità delle molecole di un gas
ideale se la pressione viene aumentata a
temperatura costante?
4. Cosa bisogna fare per aumentare la pressione e
tenere la temperatura costante?
45
Calore
G. Filatrella: Corso di Fisica
46
Il calore è una forma di energia
• Il calore è definito come l’energia
trasferita da un sistema all’altro a causa
della differenza di temperatura.
Il calore è definito come l’energia trasferita da un sistema
all’altro a causa della differenza di temperatura.
Unità di misura del calore:
• caloria è il calore necessario per innalzare
la temperatura di 1 g d’acqua di 1°C
• Unità termica britannica (Btu) è il calore
necessario per innalzare la temperatura di
1 libbra d’acqua di 1°F
G. Filatrella: Corso di Fisica
8k BT
= 1 . 60
πm
Domande
• Il comportamento del gas è dovuto solamente al
moto degli atomi e delle molecole che lo
compongono;
• I parametri macroscopici che lo descrivono
(Pressione, Volume e Temperatura) si possono
dedurre da quelli microscopici (posizione e
velocità delle singole molecole).
• Le equazioni della dinamica non vengono
veramente risolte, ma servono a trovare le
proprietà statistiche del sistema.
G. Filatrella: Corso di Fisica
2k BT
k BT
= 1 . 41
velocità più probabile
m
m
47
Le dimensioni fisiche del calore sono:
[forza]x[spostamento]
L’unità di misura del calore è il Joule:
1 cal = 4.186 J
1 kcal = 4186 J = 1 Caloria
alimentare
1 Btu = 1055 J = 252 cal
G. Filatrella: Corso di Fisica
48
8
Energia interna di un sistema
• L’energia interna U di un sistema è l’energia
totale microscopica di tutte le molecole del
sistema.
• Per esempio per un gas ideale di N molecole alla
temperatura T:
3
1

3
 3
U = N  m < v 2 >  = N  k BT  = Nk BT = nRT
2
2

2
 2
N = numero di molecole
49
50
G. Filatrella: Corso di Fisica
Calore specifico
Capacità termica
Il cambiamento di temperatura ∆T di un
oggetto a causa del trasferimento della
quantità Q di calore dipende da:
Dato un sistema termodinamico a cui
- viene ceduto una quantità di calore Q
- subisce una variazione di temperatura ∆T
si definisce capacità termica il rapporto C =
– la massa dell’oggetto.
– il materiale di cui è fatto l’oggetto.
Q
∆T
L’energia necessaria per determinare una
variazione di temperatura ∆T è la Capacità
termica media nell’intervallo di
temperatura ∆T.
G. Filatrella: Corso di Fisica
Sostanza
C [J/(kg °C)]
Acqua; liquida
Acqua; ghiaccio
4186
2100
Acqua: vapore
Alcol etilico
Legno
2010
2400
1700
Allumino
Marmo
Vetro
900
860
840
Ferro
Rame
Argento
450
390
230
G. Filatrella: Corso di Fisica
• Se le molecole contengono più di un atomo occorre
includere altri contributi all’energia interna oltre a
quella cinetica: ad es. Le vibrazioni e le rotazioni.
• Per i liquidi ed i solidi occorre anche aggiungere
l’energia potenziale interna della ‘colla’ fra le
molecole.
n = numero di moli
G. Filatrella: Corso di Fisica
Calori
specifici di
alcune
sostanze
(a 20°C)
Approfondimento sul concetto
di energia interna di un sistema
C=
Q
∆T
Cambiamento di temperatura
Q = m c ∆T
51
Calore specifico del materiale
Massa dell’oggetto
Quantità di calore trasferito
G. Filatrella: Corso di Fisica
52
Problema tipico
Quanto calore è necessario per portare 200
cm3 di acqua in una tazza di vetro di massa
100 g dalla temperatura ambiente (22°C) a
quella di ebollizione?
53
G. Filatrella: Corso di Fisica
54
9
Calorimetria
Problema tipico di calorimetria
dei miscugli
Calorimetria è la determinazione e misura del
calore scambiato fra sistemi isolati e discende
dall’applicazione della conservazione
dell’energia.
Quando sistemi isolati differenti sono posti a
contatto termico, il calore fluirà dal sistema a
temperatura più alta a quello a temperatura più
bassa obbedendo alla legge di conservazione
dell’energia:
Calore perso da
Calore ricevuto da un
=
un sistema
altro sistema
55
G. Filatrella: Corso di Fisica
Si mescolano due quantità d’acqua di 100 g e
200 g. Se la prima è alla temperatura di 30
°C e la seconda alla temperatura di 70 °C,
quale sarà la temperatura del miscugli in
gradi Kelvin?
G. Filatrella: Corso di Fisica
56
Il serbatoio di calore o
termostato
Con questo nome indicheremo un sistema termodinamico tale
che
- Può assorbire o cedere quantità anche rilevanti di calore
senza che la sua temperatura vari apprezzabilmente
Dalla definizione di capacità termica appare che un tale
sistema deve
- avere una capacità termica molto elevata
- avere una massa molto grande
• Serbatoi di calore naturali sono gli oceani e
l’atmosfera.
Q
Q Q
C =
∆T = =
∆T
C mc
∆T → 0 se C → ∞(m → ∞ )
G. Filatrella: Corso di Fisica
57
10