Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali
Facoltà di Scienze MM FF e NN, Università Sannio
Introduzione alla
probabilità
Giovanni Filatrella ([email protected])
G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali
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Saper calcolare bene una
probabilità può tornare utile
Abbiamo novanta probabilità su cento.
Napoleone, Waterloo, 1815
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Legame fra probabilità e
statistica
L’obiettivo: costruire una tecnica che permetta di
“prevedere” i risultati di esperimenti quando
questi danno risultati che comunque non si
ripetono sempre uguali.
Es.: se consideriamo l’esperimento “lanciare un dado
e leggere la faccia superiore”, questo è un evento
casuale. E’ possibile prevedere cosa
ragionevolmente succede?
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Introduzione storica alla
formulazione di probabilità (1)
Origine della teoria della probabilità: come dividere
equamente la posta se il gioco viene interrotto
prima della fine.
Ex.: Fra Luca Paccioli's “summa de Arithmetica,
Geometria, Proportioni et Proportionalità”, 1494:
“una squadra gioca in un torneo nel quale sono necessari 60
punti per vincere. Ogni risultato positivo si ottengono 10
punti. La posta è 10 ducati. Il gioco si interrompe quando
una squadra ha 50 punti, l’altra 20. Come dividere il
premio di 10 ducati?”
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Una soluzione che (oggi)
riteniamo corretta
La prima sistematica formulazione del problema
viene riportata nella corrispondenza fra Pascal
(1623-1662) e Fermat (1601- 1665). In una
lettera di Mercoledì 29Luglio 1654, Pascal scrive
a Fermat:
“This is your procedure when there are two players: If two players,
playing several games, find themselves in that position when the
first man needs two games and second needs three, then to find
the fair division of stakes, you say that one must know in how
many games the play will be absolutely decided.”
(in Florence David: Games, Gods and Gambling)
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Definizioni di probabilità (1)
• Approccio “classico” (Laplace):
“Il rapporto fra il numero di casi favorevoli ed il
numero di casi possibili, supposti equiprobabili”
Questo approccio suppone che sia possibile
decidere che due eventi sono equiprobabili, e
quindi contiene un ragionamento circolare
Approccio “frequentistico” (MonteCarlo)
“La probabilità di un evento, ritenuto ripetibile, è
uguale al numero di eventi favorevoli che i sono
verificati diviso il numero totale di eventi”
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Come si calcola una probabilità
Es.: una moneta ha due facce. Se :
1) costruisco il dado in modo che sia completamente
simmetrico;
2) il lancio non favorisce nessuna delle due facce.
Allora è ragionevole che i due eventi T(esta) e C(roce) siamo
equiprobabili. La probabilità dell’evento T è:
# di casi favorevoli a T 1
P(T) 

# di casi possibili
2
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Metodo di calcolo
In base alla definizione “classica” il calcolo di
una probabilità dipende dalla nostra
capacità di valutare gli eventi elementari
equiprobabili e poi di contarli.
Es.: qual è la probabilità che lanciando due
dadi a sei facce si ottenga 4?
Sono possibili (almeno) due schemi logici:
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I ragionamento possibile
I possibili esiti dell’esperimento sono un
qualsiasi numero fra 2 e 12, quindi sono 11
casi possibili. La probabilità di ottenere 4
risulta dunque:
# di casi favorevoli a 4 1
P(4) 
  0.091
# di casi possibili
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II ragionamento possibile
I possibili esiti dell’esperimento sono 36,
1=2
infatti:
+
2=3
1
2
3
4
5
6
3=4
4=5
5=6
6=7
1=3
2=4
3=5
4=6
5=7
6=8
.
.
.
.
.
.
E fra questi 36
occorre contare
quanti danno
come esito “4”
D.: quanti sono?
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Tecnica di base da conoscere
per il calcolo delle probabilità
CONTARE
e sapere cosa contare
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Cosa significa questo numero?
Aver trovato il modo di calcolare una
probabilità non significa avere un
collegamento con gli esperimenti. Il legame
è dato dalla legge empirica:
La frequenza osservata di un evento tende a
coincidere con la probabilità.
Maggiore è il numero osservazioni, minore è la
differenza aspettata fra frequenza e probabilità.
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Sul significato di frequenza e
probabilità
Probabilità
Frequenza
Osservazioni 
Calcoli
a priori
Osservazioni
a posteriori
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Le
osservazioni
(frequenze)
sono diverse
dalle
possibilità
teoriche
(probabilità)
Gary
Larson
"Fair is fair, Larry. We're out of food,
we drew straws-you lost:'
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Osservazione di (#T-#C)
1) Il numero di teste tende ad essere uguale a quello delle
croci solo in termini relativi.
2) L’andamento non è uniforme, vi sono zone in cui aumentando
gli esperimenti la differenza diminuisce.
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Definizione alternativa
Es.: Il numero di nati in Campania nel 2001:
M: 34320
F : 32355
Totale: 66675
se ne deduce che presumibilmente la
probabilità che in Campania nasca un
maschio (M) o una femmina (F) sono:
# di casi favorevoli a M 34320
P(M) 

 0.515  P( F )  0.485
# di casi possibili
66675
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Interpretazione della
probabilità “frequentistica”
L’interpretazione del numero che esprime la
probabilità non dipende dal metodo con
cui è stata calcolata.
Anche nel caso della probabilità calcolato con
il metodo frequentistico il legame con gli
esperimenti è dato dall’aspettativa che
che la frequenza osservata deve tendere
alla probabilità.
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L’approccio assiomatico:
definizioni
• Spazio degli eventi : un insieme U i cui elementi
sono tutti i possibili esiti degli esperimenti
• Eventi E: un qualsiasi sottoinsieme di U: EU
• Probabilità: una qualsiasi funzione P tale che:
– P(U) = 1
– P(ø) = 0
– E1,E2: E1E2= ø => P(E1E2)=P(E1)+P(E2)
• Eventi complementari: due eventi disgiunti la cui
unione è lo spazio degli eventi:
A, A tali che: A A  ø, A  A = U
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Un importante definizione per il
calcolo:
Base: un insieme di eventi tali che:
Bi  B j  ø,
N
B
i
i 1
U
Gli eventi sono disgiunti
Gli eventi ricoprono
tutti i possibili eventi
Se si conosce la probabilità degli eventi
elementari della base si possono trovare le
probabilità di eventi arbitrari.
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Interpretazione grafica
Se questo è lo spazio di tutti gli eventi, e se si conoscono le probabilità di
tutti gli eventi elementari (i ), allora per trovare la probabilità di un
evento basta contare il numero di eventi elementari che lo compongono.
U
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A
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In formule
se tutti i B sono equiprobab ili :
altrimenti :
P( A)  (# B  A)  P( B)
P( A)   P( Bi ), Bi  Ai
i
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Conseguenze dell’approccio:
Da questa definizione di probabilità è
possibile dedurre dei teoremi del tipo:
• P(A-B)=P(A)-P(A  B)
• Se AB => P(A)P(B)
Questi teoremi sono facilmente visualizzabili
grazie alla teoria degli insiemi e ai
diagrammi di Venn
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Operazioni sugli insiemi utili per
la teoria della probabilità
E’ possibile tradurre alcune operazioni sugli
eventi in operazioni sugli insiemi che
rappresentano la probabilità degli eventi
stessi
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Interpretazione con i
diagrammi di Venn
U
P( A  B)  P( A) + P(B)  P( A  B)
P( A  B)  P( A) + P(B)  P( A  B)
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Teorema delle probabilità
condizionate
Un evento A si dice condizionato da un altro B, nel
senso che assumiamo che B si sia verificato. In
simboli: A | B
Poiché si assume che B si sia verificato, si può
anche dire che B è divenuto lo spazio degli
eventi.
# di casi favorevoli ad A e B
P(A | B) 

# di casi favorevoli a B
# di casi favorevoli ad A e B # di casi possibili
P( A  B)


# di casi possibili
# di casi favorevoli a B
P( B)
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Probabilità condizionata con
diagrammi di Venn
P( A  B)
P(A | B) 
P( B)
U
A
B
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Una possibile confusione fra
individui ed esiti
dell’esperimento
Una possibile applicazione è chegli eventi “A”
e “B” siano del tipo “Soffrire di una
malattia X” e “Essere fumatori”. In
questo caso l’insieme dei possibili risultati
è composto da 4 casi:
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I possibili esiti risulterebbero:
1.
Non si soffre della malattia X e non si è
fumatori (area bianca);
2. Si soffre della malattia X e non si è fumatori
(area gialla);
3. Non si soffre della malattia X e si è
fumatori(area verde);
4. Si soffre della malattia X e si è fumatori (area
tratteggiata rossa).
Però gli esiti non sono equiprobabili!
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Per calcolare le probabilità
usare invece:
Un individuo soffre (/non soffre) della malattia X
ed è (/non è) fumatore.
La determinazione su ogni individuo dell’essere
affetto dalla malattia X e di fuamre è un
possibile esito dell’esperiemento.
In questo caso vi è il pericolo di confondere gli esiti
con gli individui – fare attenzione alla distinzione
concettuale!
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Eventi indipendenti e regola del
prodotto
Chiamiamo eventi indipendenti A, B se
P(A|B) = P(A).
Per eventi indipendenti, la probabilità che si
verifichino entrambi è data dal prodotto delle
probabilità dei singoli eventi:
P( A  B)
P( A | B)  P( A) 
 P( A  B)  P( A)  P( B)
P( B)
Es. La probabilità di estrarre due carte d’oro (rimescolando) o
di due numeri pari consecutivi sulla ruota di Napoli.
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