(aggiornamento 21-12-2009) Torsione La teoria tecnica delle travi (De Saint Venant) sottovaluta la resistenza e la rigidezza torsionale dei profili aperti Æ teoria delle aree settoriali o della torsione non uniforme. Per effetto del comportamento spaziale nascono deformazioni lungo le fibre longitudinali della trave e conseguenti tensioni longitudinali σω (tensioni da ingobbamento impedito). Questo stato tensionale, detto complementare o secondario, è trascurato dalla teoria classica della torsione. Le σω possono essere dello stesso ordine di grandezza di quelle da flessione. = + x F d F/2 flessione semplice sezioni piane F/2 flesso-torsione ingobbamento (warping) Nella sezione di ascissa x ciascuna flangia è soggetta al momento flettente F/2 x. Si dice che la sezione è soggetta ad una forza generalizzata detta momento da ingobbamento impedito o bimomento. B≅ F d x [N m2 ] 2 Torsione pura (o uniforme) Sezione circolare piena T x dx θ deformata a elica θ+dθ T dx τ τ γ τ max dρ τ dθ ρ r dT = (τ 2πρ dρ ) ρ = 2π τ ρ 2 dρ essendo : τ = r T = ∫ dT = 0 τ max = τ max r ρ r τ max → dT = 2π r ∫ 2πρ 0 Tr I0 3 dρ = τ max r r dθ = γ dx → r Mz ) I dθ γ τ max / G T = = = dx r r GI o G = modulo di elasticità tangenziale = E 2(1 + ν ) ν = modulo (coefficiente) di Poisson =0.3 E = 210 000 N/mm2 G = 80 700 N/mm2 ρ 3 dρ I 0 = momento d ' inerzia polare = I y + I z I0 ( flessione σ = τ max ( flessione d 2z M = ) dx 2 EI dθ = angolo unitario di torsione dx In generale, per qualsiasi sezione: dθ T = dx GI T IT = momento di inerzia torsionale ≤ I0 Non esiste un’espressione generale per IT (così come non esiste per il taglio A/χ). Sezione chiusa in parete sottile τ T T t A r t T = (τ t 2π r ) r = 2τ tA → τ = T 2 At ( formula di Bredt ) Il flusso tensionale τ t è tangente al perimetro ed è costante τ dθ γ T T = = = = dx r Gr 2GAtr GI T 2πr 4 A 2 I T = 2 Atr = 2 Atr = 2πr s / t ( s = perimetro medio) La formula è valida per qualsiasi sezione chiusa in parete sottile, monoconnessa. Se lo spessore è variabile: IT = 4 A2 s ∫ ds / t 0 Sezione rettangolare piena z τy t y τz b Il flusso delle τ è costante, cioè: 1 t 1 b τy = τz 2 2 2 2 cioè il momento torcente T viene portato per metà dalle τy e per metà dalle τz. Nel caso di sezioni sottili (b/t >> 2) le τy rimangono pressoché costanti in tutta la larghezza b, smorzandosi improvvisamente ai bordi. Si ha quindi: t τy fy 2/3t b 1t τy 22 bt 2 T =τ y 3 T τy = 2 = bt 3 dθ T = dx GI T T 2 = f yb t 2 3 fy = Tt Tt = bt 3 I T 3 con IT = bt 3 3 Sezione r b IT Tr I0 I0 T 2At min A b τ max t T Tt = bt 2 /3 I T 2 4A ds/t bt 3 3 ESEMPIO Per le sezioni di figura determinare: 1. il momento d’inerzia torsionale 2. il momento torcente Tadm che provoca una τmax = 90 N/mm2 (τadm per acciaio Fe360) 3. la rotazione relativa fra le facce estreme distanti L=2000 mm nell’ipotesi di momento torcente costante pari a Tadm 60 b) 7 Ø5 c) 3 60 c) 188 1. Momento d’inerzia torsionale Sezione a) A = 57 x 37 = 2109 mm2 (area racchiusa dal perimetro medio) s = 2(57+37)= 188 mm (perimetro medio) IT = 4A 2 = 283 907 mm4 s/t Sezione b) A = π 602 /4 = 2827 mm2 s = π 60 = 188 mm IT = 4A 2 = 510 280 mm4 s/t Sezioni c) Tutte e tre le sezioni aperte sono equivalenti dal punto di vista torsionale IT = bt 3 188 ⋅ 33 = = 1692 mm4 3 3 2. Momento torcente ammissibile Sezione a) Tadm = 2A t τadm = 2 · 2109 · 3 · 90 = 1 139 000 Nmm = 1,139 kNm Sezione b) c) 3 7 Ø5 68 a) 40 3 3 Tadm = 2A t τadm = 2 · 2827 · 3 · 90 = 1 527 000 Nmm = 1,527 kNm Sezione c) Tadm = I T τ adm = 1692 · 90/3 = 50 760 Nmm = 0.051 kNm t 3. Rotazione torsionale θ G = 80 700 N/mm2 θ= T L GIT Sezione a) θ = 0.103 rad = 5.9° Sezione b) θ = 0.074 rad = 4.2° Sezione c) θ = 0.770 rad = 44.1° !! Pur essendo tutte le sezioni equivalenti come quantità di materiale, le sezioni chiuse sopportano momenti torcenti di gran lunga maggiori con deformazioni di gran lunga inferiori. I valori del momento di inerzia torsionale riportati nei profilari dei prodotti laminati sono leggermente superiori a quelli ricavabili con le formule sopra esposte perché tengono conto della presenza dei raccordi. (Ballio) Torsione da ingobbamento impedito Torsione non uniforme. L’incastro torsionale deve impedire l’ingobbamento appoggio torsionale semi-incastro torsionale Illustriamo il fenomeno della torsione non uniforme per il caso di un’asta con sezione a doppio T nel quale è particolarmente evidente. Un’asta libera ad un estremo e vincolata all’altro estremo in modo da impedirne la rotazione torsionale ma non l’ingobbamento (cerniera o appoggio torsionale o vincolo a forcella) si deforma per effetto del momento torcente T come in figura 1a). L’asta è soggetta a momento torcente costante e le sue sezioni si ingobbano liberamente. Si ha torsione pura, l’angolo unitario di torsione dθ/dx è costante e valgono le formule del capitolo precedente. Fig. 1 Se invece la base è impedita anche di ingobbarsi (incastro torsionale), l’asta si deforma come in figura 1b). Ciascuna delle due ali si comporta parzialmente come un’asta isolata, di sezione rettangolare, inflessa intorno al suo asse z di massima inerzia. All’incastro l’angolo unitario di torsione dθ/dx è nullo e il momento torcente T è sopportato interamente dalla coppia H1d. Il flusso delle tensioni tangenziali non è più quello della torsione pura (figg. 1d, 2a), ma è quello dovuto alla forza di taglio H agente sulla sezione rettangolare dell’ala (figg. 1e, 2b), che chiameremo flusso delle tensioni tangenziali secondarie da ingobbamento impedito e indicheremo con τω. Fig. 2 Le forze H decrescono verso l’estremo. Pertanto, allontanandosi dall’incastro torsionale, l’aliquota del momento torcente sopportata dalle H diminuisce a favore di quella sopportata dal flusso tensionale della torsione pura. Il momento torcente esterno T è quindi sopportato (fig. 1d) dal flusso delle tensioni primarie di torsione pura, che ha come risultante il momento torcente TT (momento torcente primario o torsione alla De Saint Venant, pure torsion) e dal flusso delle tensioni secondarie, che indicheremo col suffisso ω, di risultante Tω (momento torcente secondario o da ingobbamento impedito, warping torque). Naturalmente la distribuzione delle H richiede in ogni ala la presenza di un momento flettente (M1 di fig. 1b) e quindi la presenza di tensioni σx (fig. 2c) che indicheremo con σω. Lo stato tensionale ora descritto si chiama torsione mista o torsione non uniforme o torsione da ingobbamento impedito e si ha tutte le volte che l’ingobbamento delle sezioni non è costante per la presenza di vincoli (ingobbamento impedito) o perché varia il momento torcente (torsione non uniforme). Rispetto al caso della torsione pura, l’asta risulta più rigida. Se le due ali non fossero collegate dall’anima (Fig. 3) il momento T sarebbe sopportato interamente dalle H (T=Hd ) che sarebbero costanti. Questo caso limite rappresenta il comportamento di un’asta che resiste a torsione per puro ingobbamento impedito, mobilitando una resistenza biflessionale. Ricaviamo le formule che reggono la torsione mista nel caso della Fig. 3 sezione a doppio T, per poi estenderle al caso di sezione generica. Il momento torcente T si divide nelle due aliquote TT e Tω: T = TT + Tω 1 ) Per quanto detto nel paragrafo precedente: TT = GI T dθ dx 2) Tω è determinato dalla coppia Hd. A sua volta la forza di taglio H agente nell’ala è legata al momento flettente M (che varia nell’ala raggiungendo il valore M1 alla base) dalla nota relazione: H= dM dx 3) Il legame tra M e lo spostamento x è dato dall’equazione differenziale della linea elastica: M = − EI1z EI z d 2 y d2y = − dx 2 2 dx 2 4) avendo indicato con I1z il momento d’inerzia della singola ala intorno all’asse di flessione z, cioè, trascurando il piccolo contributo dell’anima, metà del momento Iz della sezione. Sostituendo la 4) nella 3) si ha pertanto: EI z d 3 y H =− 2 dx 3 5) d/2 θ Dalla figura si ricava y=θd/2. Ricordando inoltre che H=Tω/d si ha infine: Tω d 3θ =− 3 dx EI z d 2 / 4 6) Il termine Izd2/4 è una caratteristica della sezione che in generale viene chiamata momento di inerzia settoriale Iω (dimensioni L6). In generale si ha quindi: Tω = − EI ω d 3θ dx 3 7) Combinando le (1), (2), (7) si ottiene l’equazione differenziale della torsione mista: EI ω d 3θ dθ − GI T = −T 3 dx dx 8) Nel caso di momento torcente distribuito (fig. 4), di valore mt per unità di lunghezza, per l’equilibrio si ha: (T+dT)+mtdx =T da cui: dT=-mtdx In figura 4 sono indicate le convenzioni di segno. Con freccia doppia si indica il vettore momento Fig. 4 Derivando la (8) si ha pertanto: col segno dato dalla regola del cacciavite (cavatappi !!). EI ω d 4θ d 2θ − GI = mt T dx 4 dx 2 9) Questa equazione differenziale è formalmente uguale a quella che regge il problema dell’asta sottoposta a carico trasversale q=q(x) in presenza di forza assiale P di compressione (v. Caironi Instabilità dei telai piani par. 3.6). Si ha infatti: Fig. 5 EI y d 2z + Pz = − M dx 2 10) Derivando due volte e ricordando che d2M/dx2=-q sia ha: EI y d 4z d 2z + P =q dx 4 dx 2 11) Si può quindi affermare che la rotazione θ provocata dal momento torcente mt è uguale all’abbassamento z provocato dal carico distribuito q su una trave fittizia con momento d’inerzia Iy=Iω, soggetta alla forza di compressione P=-GIT (cioè ad una forza di trazione). L’analogia è illustrata in Fig. 5. Lo stato flessionale che accompagna la torsione non uniforme è descritto da un parametro che è funzione della distribuzione del momento flettente sulla sezione. Poiché globalmente il momento flettente è nullo sulla sezione (v. fig. 1b ove sulla sezione agiscono le due coppie M1 uguali e contrarie), tale parametro sarà funzione del valore e della posizione del momento massimo. Il parametro normalmente usato viene detto bimomento (B) o momento da ingobbamento ed ha le dimensioni di un momento per una distanza. Nel caso della sezione a doppio T si ha: B=M d ricordando la (3) si ha: B=− EI z d 2 y EI z d d 2θ d 2 d 2θ d d EI = − = − z 2 dx 2 2 2 dx 2 4 dx 2 B = − EI ω d 2θ dx 2 12) E’ evidente l’analogia della (12) con l’equazione differenziale della linea elastica: d 2z M = − EI y 2 dx 13) Per quanto riguarda la distribuzione delle σx si considera ancora il caso della sezione a doppio T. Nell’ala si ha una σx data dalla nota formula: σx = M M y= y I1z Iz /2 Moltiplicando e dividendo per d2/2 si ha: σω = σ x = Md d B d y = y 2 Iz d 2 Iω 2 2 2 Il prodotto yd/2 rappresenta il doppio dell’area tratteggiata in figura 6, detta area settoriale ω, che è l’area descritta dal raggio vettore CP percorrendo il contorno medio della sezione Fig. 6 con polo C (C = centro di taglio). Fig. 7 La coordinata s viene misurata a partire da un punto P0 detto punto settoriale nullo (Fig. 7). Si ha quindi: σω = σ z = B ω (s) Iω (14) Rinviando alla letteratura specializzata1 per gli ulteriori approfondimenti sulla teoria delle aree settoriali, si riassumono i parametri caratteristici della torsione non uniforme, notando che hanno nomi e utilizzo analoghi a quelli della flessione e del taglio e che il parametro area settoriale ω, che è funzione della posizione del punto considerato, sostituisce il parametro distanza dall’asse baricentrico. s - area settoriale ω = ω ( s) = ∫ rt ( s )ds [L2] 0 s - momento statico settoriale Sω = ∫ ω dA [L4] 0 s - momento d’inerzia settoriale I ω = ∫ ω 2 dA [L6] 0 - tensione tangenziale primaria τT = TT t IT - tensione tangenziale secondaria τω = Tω Sω tI ω - tensione normale σω = σ z = 1 B ω (s) Iω Cfr. “La torsione nei profilati e nelle travi metalliche”, F. M. Mazzolani, Ed. Cisia. Vedi anche il Ballio. Nello specchietto che segue viene riassunta l’analogia tra la presso-flessione e la torsione mista. Per una migliore comprensione si vedano gli esempi numerici. Analogia presso-flessione torsione mista presso-flessione torsione mista q(x) mt(x) P -GIT I Iw P EI y α= α= − GI T GI T =i EI ω EI ω θ z T dθ = T dx GI T TT GI T dz =ϕ dx ϕ d z V =− 3 dx EI y d 2θ B =− 2 dx EI ω B 3 T dθ =− ω 3 dx EI ω V Tw d 2z M =− 2 EI y dx M 3 Si ricava in particolare che il bimomento B corrisponde nell’analogia al momento flettente del secondo ordine M e il momento torcente da ingobbamento Tw corrisponde al taglio V. G θ G T sse r (a d on azi t o ir e) C C=centro di taglio Fig. 8 – Asse di rotazione C Per quanto riguarda l’asse intorno al quale avviene la rotazione per torsione, esso è parallelo all’asse baricentrico e passa per il centro di taglio (retta r fig. 8). Questa affermazione è dimostrabile applicando il teorema di reciprocità di Betti. E’ noto infatti che un carico trasversale Q con retta di applicazione passante per il centro di taglio non dà torsione e quindi determina traslazione della sezione senza rotazione. Il momento torcente T compirà quindi lavoro nullo per la deformazione prodotta da Q. Reciprocamente il carico Q compie lavoro nullo per la deformazione prodotta da T e quindi la retta r non può traslare ed è l’asse di rotazione. E’ utile introdurre il coefficiente k che rappresenta la “lunghezza dimensionale caratteristica” della trave: k=L GI T EI ω La torsione secondaria è tanto maggiore quanto più è piccolo il valore di k, cioè quanto più è grande la “rigidezza torsionale secondaria” EIω/L2 rispetto a quella primaria GIT. In Fig. 9 (Fig 8.34 Ballio) è evidenziato il comportamento torsionale di vari tipologie di travi in funzione del parametro k. Fig. 9 Per i profili laminati a caldo con le luci usuali per la flessione prevale la torsione pura (5<k<20). Ad esempio per un profilo HE300B, con una luce di 3 m (rapporto luce/altezza=10, valore modesto nel caso di flessione), si ha: k=L GI T 80 769 ⋅ 185 ⋅10 4 = 3000 = 1.95 EI ω 210 000 ⋅ 1 688 000 ⋅ 10 6 Siamo al limite del campo della torsione mista, nonostante la luce modesta per il tipo di profilo. ESEMPIO 1 Studiare la ripartizione fra TT e Tω e lo stato tensionale per la trave di figura, torsionalmente appoggiata (vincolo a forcella) agli estremi e soggetta al momento torcente T=4.5 kN concentrato in mezzaria. Q T=4.5 kNm 250 cm 250 cm TT b) 2.25 1.83 Tω 2.25 kNm IPE 450 h (mm) = 450 b (mm) = 190 tw (mm) = 9,4 tf (mm) = 14,6 d (mm) = 435,4 Iy (cm4) = 33740 Iz (cm4) = 1676 Wz (cm3) = 176,4 IT (cm4) = 66,87 Iw (cm6) = 791000 B 2.46 kNm E (MPa) = 210000 G (MPa) = 80769 θ = 0.00746 rad a) Fig. 1 Le caratteristiche meccaniche della sezione, ricavate dal programma profili, sono riportate in figura. Per un confronto si ricavano con le formule illustrate in precedenza, che sono approssimate perché non tengono conto dei raccordi fra ali e anima: Iω = I z momento d’inerzia settoriale area settoriale ω= b d b 43.54 = = 206.8 cm 2 22 2 2 s momento statico settoriale 43.54 2 d2 = 1676 = 794311 cm 6 4 4 Sω = ∫ ω dA = 0 momento d’inerzia torsionale I T = ∑ ωbtf 4 = 206.8 ⋅19.0 ⋅1.46 = 1434 cm 4 4 bt 3 2 ⋅ 19 ⋅ 1.46 3 + 42.08 ⋅ 0.94 3 = = 51.04 cm 4 3 3 La trave è soggetta a torsione non uniforme (il momento torcente varia) con ingobbamento nullo in mezzaria per ragioni di simmetria. Il coefficiente k vale: k=L GIT 80 769 ⋅ 66,87 ⋅10 4 = 2500 = 1.43 < 2 EI ω 210 000 ⋅ 791 000 ⋅106 Siamo nel campo della torsione da ingobbamento impedito. CALCOLO APPROSSIMATO F z ala d=435.4 mm y 1z x L 1z F Fig. 2 Se consideriamo il solo comportamento biflessionale, con ali separate dall’anima, possiamo interpretare l’effetto del momento torcente T come l’effetto della coppia di forze F agenti sulle ali (fig. 2). La forza F vale: F = T/d = 10.3 kN η F d/2 F θ F Fig. 3 Ciascuna ala è quindi inflessa dalla forza F in senso contrapposto (fig. 3). Si ha: M = FL/4 = 6.44 kNm I1z = b3 tf/12 = 834.5 cm4 W1z = b2 tf/6 = 87.84 cm3 (singola ala) Spostamento dell’ala in direzione di F e rotazione torsionale (fig. 3): ηF = FL3 = 1.91 mm 48 EI1z θ Tω = ηF d /2 = 8.79 ⋅10 −3 rad Se consideriamo il solo comportamento alla De Saint Venant si ha: θT = T 2.25 dθ L T / 2 L = = 1.25 ⋅10 5 = 52.1 ⋅10 −3 rad dx 2 GI T 2 80769 ⋅ 66.87 Dal confronto fra le rotazioni si evince che il comportamento è prevalentemente bi-flessionale. Si possono quindi calcolare le tensioni massime in mezzaria, dove comunque si ha TT = 0: σω = σ x = 6.44 3 3 F / 2 3 5150 M 10 = 73.3 MPa τ ω = τ y = = = = 2.79 MPa 2 A1 2 190 ⋅14.6 W1z 87.84 Con il calcolo esatto si ha (v. più avanti): σ ω = 63.3 MPa τ ω = 2.8 MPa Il calcolo approssimato è quindi leggermente a favore di sicurezza. CALCOLO CON PROGRAMMA AGLI ELEMENTI FINITI Gli elementi “beam” normalmente implementati nei programmi commerciali non considerano il comportamento biflessionale. Per cogliere il comportamento della trave dell’esempio è quindi necessario schematizzarla con elementi plate (fig. 4). Fig. 4 – Mesh con elementi plate (a sinistra) e con elementi beam (a destra) Nella mesh con elementi plate la rotazione torsionale in mezzeria vale θT=7,72·10-3rad. Nella mesh con elementi beam si ha invece θT=68,7·10-3rad, valore inferiore a quello calcolato nel paragrafo precedente θT=52,1·10-3rad. La differenza si spiega col fatto che nel programma si sono caricati i dati della sezione dalla libreria dei profili, che evidentemente non comprende il valore del momento di inerzia torsionale che viene calcolato con la formula approssimata I T = ∑ bt 3 / 3 , trascurando la presenza dei raccordi che hanno un’influenza sensibile (il programma adotta IT=51,1 cm4 anziché 66,87). Il valore massimo della tensione nelle ali è (v. Fig. 5) σ ω = 69.9 MPa Fig. 5 – Tensioni massime negli elementi plate. CALCOLO ESATTO Il calcolo viene eseguito utilizzando l’analogia con la presso-flessione (teoria del secondo ordine). La trave, con rigidezza flessionale fittizia EIω, va studiata come se fosse soggetta al carico Q = T concentrato in mezzaria e alla forza assiale di compressione P = - GIT (fig. 1b). Si ha pertanto: Q = T = 4.5 kNm = 4.5 ⋅10 6 N mm P = −GI T = −5.401 ⋅1010 N mm 2 EI ω = 210000 ⋅ 791000 ⋅10 6 = 1.661⋅1017 N mm 4 α= − GI T P = = 0.5702 ⋅10 −3 − 1 = 0.5702 ⋅10 −3 i mm −1 EI EI ω αL = 1.426 i L’espressione della deformata del secondo ordine, che rappresenta nell’analogia la rotazione torsionale θ, è 2: θ =z= Q ⎛ sen (αL / 2) x⎞ ⎜⎜ sen (α x) − ⎟⎟ P ⎝ α sen (αL) 2⎠ Derivando si ha: dθ dz Q ⎛ sen(αL / 2) 1⎞ = = ⎜⎜ cos(α x) − ⎟⎟ dx dx P ⎝ sen(αL) 2⎠ 2 Si veda ad esempio “Teoria e tecnica delle costruzioni – Instabilità dei telai”, Mario Caironi, Ed. CLUP, par. 3.6.1.1 eq. (1). Queste espressioni contengono numeri complessi. Se non si ha a disposizione un programma che opera con i numeri complessi, si possono trasformare ricordando le relazioni tra funzioni circolari e iperboliche: sen(iγ ) = i Shγ cos( iλ ) = i Chγ Ponendo α = i γ si ha: θ =z= Q ⎛ i Sh(γL / 2) x ⎞ Q ⎛ Sh(γL / 2) x⎞ ⎜⎜ Sh(γ x) − ⎟⎟ [i Sh(γ x)] − ⎟⎟ = ⎜⎜ P ⎝ iγ i Sh(γL) 2 ⎠ P ⎝ γ Sh(γL) 2⎠ dθ dz Q ⎛ Sh(γL / 2) 1⎞ = = ⎜⎜ Ch(γ x) − ⎟⎟ dx dx P ⎝ Sh(γL) 2⎠ Introducendo i valori numerici otteniamo: Sh(γL / 2) = Sh(1.426 / 2) = 0.7750 Sh(γL) = Sh(1.426) = 1.961 γSh(γL) = 0.5702 ⋅10 Sh(1.426) = 1.118 ⋅10 −3 Ch(γL / 2) = 1.265 −3 θ =z= 4.5 ⋅10 6 ⎛ 0.7750 x⎞ x⎞ ⎛ Sh(γ x) − ⎟ = −0.0833 ⋅10 −3 ⎜ 693.2Sh(γ x) − ⎟ 10 ⎜ −3 2⎠ 2⎠ − 5.401⋅10 ⎝ 1.118 ⋅10 ⎝ 1⎞ dθ ⎛ = −0.0833 ⋅10 −3 ⎜ 0.3952 Ch(γ x) − ⎟ 2⎠ dx ⎝ Valori in corrispondenza degli appoggi (x=0) θ =0 dθ = 8.730 ⋅10 −6 rad / mm dx Momento torcente primario: TT = GI T dθ = 471500 Nmm = 0.471 kNm dx Il momento torcente secondario è uguale al taglio del secondo ordine nella trave fittizia: Q dz 4.5 ⋅10 6 +P = + (−5.401 ⋅1010 ) ⋅ 8.730 ⋅10 −6 = (2.25 − 0.472)10 6 = 2 dx 2 Tω = 1.778 ⋅10 6 Nmm = 1.778 kNm TT + Tω = 2.25 (O.K .) Tω = V = Valori in mezzaria (x=L/2) θ = z = −0.0833 ⋅10 −3 (693.2 ⋅ 0.7750 − 625) = 7.31⋅10 −3 rad dθ −3 dx = −0.0833 ⋅10 (0.3952 ⋅1.265 − 0.5) = 0 → TT = 0 Q dz 4.5 ⋅10 6 +P = +0= 2 dx 2 Tω = 2.25 ⋅10 6 Nmm = 2.25 kNm TT + Tω = 2.25 (O.K .) Tω = V = Il bimomento è uguale al momento flettente del secondo ordine nella trave fittizia: 4.5 ⋅10 6 ⋅ 2500 QL + Pz = − 5.401⋅1010 ⋅ 7.31⋅10 −3 4 4 6 B = (2812 − 395) ⋅10 Nmm 2 = 24.2 kNm 2 B=M = Lo stato tensionale è il seguente: σω = Bω 24.2 ⋅108 ⋅ 206.8 ⋅10 2 = = 63.3 MPa Iω 791000 ⋅10 6 τω = Tω Sω 2.25 ⋅10 6 ⋅1434 ⋅10 4 = = 2.8 MPa tI ω 14.6 ⋅ 791000 ⋅10 6