Il laboratorio di matematica per costruire un
ambiente di insegnamento apprendimento volto alla
costruzione di significati degli oggetti matematici:
i casi della geometria analitica e dell’analisi
Domingo Paola
Liceo Issel di Finale Ligure
G.R.E.M.G. Dipartimento di Matematica Università di Genova
Riflessioni conclusive sul precedente incontro:
l’uso di Cabri nell’avvio al pensiero e al sapere teorico
Cabri sembra creare una sorta di spazio per la comunicazione,
aiutando gli studenti, impegnati nella risoluzione di problemi, a
comunicare idee e strategie risolutive
L’uso di Cabri e la proposta di problemi aperti favoriscono attività
di osservazione, scoperte e produzione di congetture, dando luogo
alla necessaria continuità cognitiva tra le fasi di produzione di una
congettura, costruzione e sistemazione della dimostrazione
È necessaria una genesi strumentale, sulla quale l’insegnante ha forti
responsabilità. A questo proposito diventano assai importanti le
osservazioni sulle metafore, sulle parole, sui gesti utilizzati dagli
studenti, soprattutto se si condivide che la conoscenza sia
profondamente embodied, situata.
Alcune premesse relative all’incontro odierno
• La centralità del concetto di funzione nei programmi
•I concetti di curva e di funzione sono originariamente strettamente
associati al movimento
• Un’introduzione ai concetti di funzione e di curva fondata su aspetti
dinamici non solo rispetta l’evoluzione storica della formazione di tali
concetti, ma è particolarmente attenta agli aspetti cognitivi (c’è chi pensa
che un approccio dinamico sia cognitivamente e didatticamente più
efficace di uno statico per quel che riguarda la costruzione di concetti
come quello di curva e di funzione)
• Nella prassi didattica si incontrano forti ostacoli nella costruzione di
significati legati ai concetti di curva e di funzione
• Le nuove tecnologie (ma non solo esse) consentono di costruire
ambienti di apprendimento particolarmente adatti a un approccio
dinamico ai concetti di curva e di funzione
Che cosa è una curva? Che cosa è una funzione?
Punto di vista cognitivo
… Una funzione è legata a esperienze di grandezze che
variano rispetto ad altre grandezze, in particolare rispetto
al tempo …
Una funzione è legata alle esperienze di scatole nere a
uno o più ingressi e a una sola uscita …
… Una curva può essere generata da un punto in movimento; è
continua e dolce (ha tangenti in ogni punto); se è chiusa, delimita una
regione al suo interno e tale regione ha un’area; una curva non è una
superficie, ma è formata dall’intersezione di due superfici …
Aspetti storico – epistemologici, tecnici e cognitivi relativi al concetto
di funzione
L’interesse per i problemi relativi al moto dei corpi:
il problema di migliorare la determinazione e il calcolo delle
posizioni dei pianeti nel loro moto attorno al Sole.
la necessità di determinare con più accuratezza la latitudine e,
soprattutto, della longitudine, problema legato, all’epoca anche a
una migliore determinazione dell’orbita lunare
il problema del moto dei proiettili, questione di fondamentale
importanza che portava a investimenti enormi da parte degli Stati
la richiesta di misure più precise del tempo
Aspetti storico – epistemologici, tecnici e cognitivi relativi al concetto
di funzione
Il concetto di funzione, come legge che esprime la variazione di
una grandezza rispetto a un’altra (in genere il tempo), può essere
considerato come un emergente delle pratiche matematiche volte
alla risoluzione del problema del moto dei corpi.
La storia suggerisce che la definizione di funzione data nel
linguaggio insiemistico è il risultato di una lunga evoluzione di cui
il movimento e la dinamicità non sono stati solo i punti di partenza,
ma anche le caratteristiche salienti per molto tempo
Quadri teorici relativi al concetto di funzione
punto di vista della corrispondenza: il concetto viene espresso nel
linguaggio degli insiemi (ma anche nel linguaggio grafico dei
diagrammi a frecce e in quello statico di tabella letta riga per riga);
punto di vista della scatola nera: la funzione intesa come macchina
input –output che da uno o più ingressi genera un’uscita;
il punto di vista della covarianza: ossia il pensare alla funzione
come variazione coordinata tra y e x, ponendo attenzione alla
variazione della variabile dipendente (per esempio, leggere, in una
funzione tabulata, i valori della variabile dipendente);
punto di vista variazionale: si osserva di quanto variano le
variazioni delle y rispetto alle x: ossia si tratta di porre attenzione
alle variazioni seconde.
Come si situano in questa problematica le nuove tecnologie?
Ricordo che le caratteristiche principali dell’esperienza sono le
seguenti:
recuperare quegli aspetti dinamici, legati al movimento, alle variazioni
di grandezze nel tempo proprie dell’ipostazione newtoniana del
concetto di funzione
prestare particolare attenzione, nelle tabelle, alle variazioni della
variabile dipendente
impostare lo studio delle variazioni sul concetto locale di pendenza e di
variazione della pendenza
usare le calcolatrici grafico – simboliche e i sensori di movimento
come mediatori nel processo di acquisizione del concetto di funzione
evidenziare il ruolo delle funzioni come particolari modelli matematici
di situazioni oggetto di studio.
Il concetto di funzione.
I sensori di movimento e le grandezze che variano nel tempo
A turno, ciascun coordinatore di ogni gruppo si è mosso
rispetto al sensore, osservando la traccia del proprio
movimento proiettata su un muro dell'aula grazie a un view
screen posto su una lavagna luminosa e collegato alla
calcolatrice. La consegna prevedeva che anche gli altri
studenti osservassero attentamente, dal proprio banco, il
movimento dei coordinatori e la traccia descritta sul muro
dell'aula.
Gli studenti si sono riuniti nei gruppi di lavoro per
riflettere e discutere su quanto avevano fatto o visto fare.
La consegna era quella iniziare ad avanzare ipotesi (o di
confrontare
quelle
eventualmente
già
pensate
individualmente durante la precedente attività) sul come e
perché il movimento fosse legato al grafico osservato sul
muro.
A turno, tutti gli alunni che nella prima attività si erano limitati
semplicemente a osservare il movimento dei coordinatori dei
gruppi di lavoro, sono stati chiamati a compiere essi stessi il
movimento. Inizialmente, però, il sensore non è stato messo in
funzione: i compagni di gruppo (eventualmente anche di altri
gruppi) dovevano disegnare un grafico tempo-posizione che
rappresentasse il movimento. Subito dopo, lo stesso movimento
veniva riprodotto con il sensore in funzione, in modo che gli
studenti potessero confrontare la traccia ora disegnata sul muro
con il grafico tempo-posizione prima prodotto.
Gli studenti si sono nuovamente riuniti in gruppo
per
rispondere
a
domande
riguardanti
l'interpretazione di alcune caratteristiche grafiche
delle tracce osservate sul muro (per esempio, che
cosa suggerisce un segmento orizzontale, uno
obliquo, oppure un tratto di curva e così via…)
A turno, i coordinatori di ciascun gruppo si sono mossi con il sensore
in funzione e con la traccia proiettata alle loro spalle, in modo tale che
essi, al contrario dei compagni, non potessero osservare la traccia
prodotta dal proprio movimento. I coordinatori dovevano descrivere
verbalmente, al tempo stesso, i propri movimenti e le caratteristiche
significative della traccia proiettata sul muro e visibile a tutti gli altri
studenti. I compagni di gruppo dovevano prendere nota di eventuali
errori commessi dal coordinatore per poi discuterne al termine
dell'esperienza.
A turno, ogni studente doveva cercare di riprodurre, con il proprio
movimento, un grafico tempo-posizione generato dalla calcolatrice.
A turno, ciascun coordinatore si è mosso e i compagni di gruppo
hanno riportato, sul proprio quaderno, la traccia proiettata sul
muro durante il movimento del coordinatore. Al termine del
movimento, il coordinatore, utilizzando una specifica funzione
fornita dalla calcolatrice, ha rilevato un certo numero di coppie di
dati "tempo-posizione". I dati i raccolti sono poi stati elaborati a
casa dagli studenti.
Circa due mesi dopo queste prime attività, sono state svolte
altre attività sempre con l’uso dei sensori. Innanzitutto sono
state ripetute le attività 5 e 6 sopra descritte, per consentire
agli studenti di rinfrescare l’esperienza. In seguito è stato
chiesto agli studenti di tracciare un grafico velocità – tempo
relativo a un determinato grafico posizione – tempo. Gli
studenti dovevano anche produrre congetture sulle seguenti
questioni
•che cosa accade alla
allontanandosi dal sensore?
velocità
avvicinandosi
o
•È possibile partire con velocità diverse da 0?
•È possibile riprodurre, con il proprio movimento, un
grafico tempo – posizione che presenti punti angolosi come
quelli dei grafici generati dalla calcolatrice?
Il concetto di funzione.
Le calcolatrici simboliche e la definizione di funzioni
La calcolatrice è molto utile, perché consente di esplicitare
in modo molto chiaro la visione della funzione come
macchina con uno o più ingressi e un’uscita. In tal caso,
per la funzione pendenza, le variabili di ingresso sono
punti e quella di uscita è un numero reale. Ciò non è
banale, in quanto si tratta non solo di utilizzare un
linguaggio rigoroso e una sintassi precisa, ma soprattutto
perché la funzione “pendenza di un segmento” è una
funzione di più variabili (due coppie ordinate di numeri
reali in ingresso). La calcolatrice consente, al tempo stesso,
di esplicitare questa “non banalità” e di renderla gestibile
per o studente (il formale è giustificato!).
quali sono le strutture dati di cui la calcolatrice dispone e che
sono adatte a rappresentare un punto? Per rispondere è intanto
utile far capire agli studenti che cosa è un punto per la
calcolatrice nell’ambiente di programmazione: non una traccia
lasciata da una matita sul foglio, ma una coppia ordinata di
numeri reali. Nella calcolatrice esistono le liste, che sono elenchi
ordinati di dati. Proprio quello che si voleva. Per comunicare
una lista alla calcolatrice è sufficiente scrivere lettere separate
da una virgola, racchiudendo l’elenco fra due parentesi graffe.
Ecco la definizione di una funzione “pendenza di un segmento”
per una calcolatrice TI – 89:
: Pend(c,d)
: FUNC
A
B
: (d[2] – c[2])/(d[1] – c[1])
: EndFunc
[y(A) – y(B)]/[x(A) – x(B)]
Pendenza
AB
Il concetto di funzione.
Funzioni e modelli
Una studentessa si è prodotta una distorsione al ginocchio durante una
partita di pallavolo e il suo dottore le ha prescritto un farmaco
antinfiammatorio per ridurre il gonfiore. Deve prendere due pastiglie da
220 mg ogni 8 ore per 10 giorni. Il suo rene filtra il 60% di questo
farmaco dal suo corpo ogni 8 ore. Quanta medicina c’è nel suo
organismo dopo 3 giorni? E dopo 4 giorni? E dopo 10 giorni? Cercate
di studiare l’evoluzione del farmaco nel tempo; in particolare, cercate di
capire che cosa accadrebbe se la studentessa continuasse a prendere il
farmaco per molto tempo: pensate che la presenza del farmaco nel suo
organismo tenderebbe prima o poi a diminuire o aumenterebbe sempre?
E, nel caso aumentasse sempre, pensate che potrebbe superare un
qualunque valore prefissato, oppure tenderebbe a un valore che non è
superabile nemmeno lasciando passare molto tempo? Come evolve la
presenza del farmaco se, dopo dieci giorni, la studentessa non lo assume
più? Quanto tempo impiega a ridursi a 1/100 del farmaco presente dopo
dieci giorni?
Provate a costruire una tabella del tipo
n
Giorno Tempo
(ore)
0
1
2
3
…
n
1
1
1
2
…
F(n) Farmaco che rimane
(mg)
0
8
16
24
…
Riprendete in considerazione le varie domande che
vi sono state poste nel testo del problema …
ovviamente, per rispondere, aiutatevi anche con la
calcolatrice… ricordate eventuali problemi simili
già svolti
Ricordate che
organizzare i dati
in modo
intelligente aiuta
… per esempio a
definire una
funzione che
rappresenti
l’andamento della
presenza del
farmaco
nell’organismo
della
studentessa…
Alcune idee degli studenti
“se la studentessa continuasse a prendere le pillole, il farmaco
tenderebbe a stabilizzarsi, perché anche se aumenta del 40%, il suo
rene filtra il 60% che è sempre maggiore… è come se diamo delle
palate di sabbia e dal mucchio, sempre più grande, leviamo sempre
il 60%, ossia una quantità sempre più grande…prima o poi quello
che aggiungo è uguale a quello che levo e il processo si stabilizza”
“la concentrazione del farmaco cresce sempre, ma sempre meno,
ossia, la pendenza diminuisce”
“parte da 440 e poi filtra il 60%, quindi abbiamo 440 + il 40% di
440 e poi il 40% di questo più 440 e così via …”
La difficoltà è tradurre tutto ciò formalmente
F(0) = 440
F(1) = 0.4 F(0) + 440
F(2) = 0.4F(1) + 440
…..
F(n) = 0.4F(n-1)+440
Per rispondere alla seconda domanda, gli studenti scrivono
G(0) = 733,33
G(2) = 0,4G(1)
G(1) = 0,4G(0)
.......
G(n) = 0,4G(n-1)
Non si accorgono che, in tal caso, è semplice trovare una forma
chiusa
G(n) = 0,4n G(0)
Ma capiscono subito che si tratta di una curva la cui pendenza è negativa
e diminuisce in valore assoluto, anche se non raggiungerà mai lo 0
F(3)?
714.56
F(3) = 0.4*F(2)+440
686.4
F(2)?
F(2) = 0.4*F(1)+440
F(1)?
616
F(1) = 0.4*F(0)+440
F(0)= 440
Come determinare il valore di equilibrio?
X = 0.4*X + 440
Invece, per rispondere alla domanda quanto tempo impiega la
concentrazione a ridursi a 1/100 del valore iniziale si deve risolvere
l’equazione
7,33 = 0,4 n 733,33.
La soluzione si può trovare per tentativi o graficamente.
Tra l’altro le risoluzioni grafiche richiedono cambi di scala, uso di
finestre grafiche adeguate, capacità di osservazione e di fare
previsioni, capacità di accorgersi di qualcosa che non era atteso e di
spiegarsi perché;
portano, attraverso gli zoom, a accorgersi della proprietà di
linearizzazione di certe funzioni e quindi a far diventare definizione in
atto quella di tangente come miglior approssimazione lineare di una
funzione (linearizzabile) in un punto.
Le calcolatrici forniscono, sotto questi aspetti potenzialità che la
tecnica del gesso e della lavagna non consentono. In tal caso gli
strumenti tecnologici sono veri e propri strumenti di pensiero,
strumenti che potenziano le nostre capacità di rappresentazione,
descrizione, previsione e che danno nuove e più potenti immagini
degli oggetti matematici. Basti pensare che il grafico di una funzione
diventa qui strumento di studio, oggetto di manipolazione, strumento
di comprensione e non oggetto finale dell’attività didattica.
Funzioni, tabelle, tabelle delle differenze
Grandezze che variano in funzione di altre grandezze
Geometria e Cabri
La compresenza di tre aspetti essenziali:
• movimento
• numeri
• grafici
Esempi in Cabri
Esplorazioni di successioni
Studiare, aiutandosi con la calcolatrice grafico simbolica,
l’evoluzione della successione ,
con a0 numero reale qualunque, purché positivo. Tende a un
limite? Quale? Tale limite è indipendente da a0 ?
Giustificate le risposte. Che cosa accade se a0 è negativo?
Esplorazioni con le calcolatrici: il comando sequence
Si sceglie il modo “sequence”, si definisce nell’editor funzioni la
successione, si imposta nell’ambiente home il calcolo
seq(successione, variabile, valore iniziale, valore finale)
La proposta di un percorso didattico
Primo biennio
Il concetto di funzione (come variazione di una grandezza rispetto a
un’altra e come scatola nera). Tabelle dei valori e tabelle delle differenze.
Grafico di una funzione (crescenza e concavità). Modelli e funzioni.
Funzioni ed equazioni di una funzione. Funzioni lineari. Pendenza di
una funzione lineare. Successioni: progressioni aritmetiche (anche per
ricorrenza usando il foglio elettronico per far capire la relazione di a(n)
in funzione di a(n-1)). Funzioni quadratiche. Successioni che hanno
costanti le differenze seconde. Funzioni polinomiali. Funzioni
esponenziali. Successioni che hanno costanti i rapporti. Trasformazioni
sui grafici di funzioni elementari. Funzioni inverse. Proprietà di
microlinearità e concetto di pendenza locale di una funzione. Somme,
inverse e composte di funzioni lineari
Secondo biennio
Le coniche come luoghi di punti generati da punti in movimento. Il moto di
un proiettile. Funzioni armoniche. Proprietà delle funzioni elementari:
dominio, continuità, di microlinearità. Funzioni composte. Grafici di
funzioni composte (teoremi sulla crescenza di funzioni composte).
Trasformazioni isometriche che trasformano grafici in grafici; dilatazioni.
Limiti di funzioni e di successioni (alla Leibnitz). Serie numeriche.
Pendenza locale (limite del rapporto incrementale calcolato
numericamente). Funzione gradiente o derivata (calcolata numericamente e
rappresentata graficamente anche mediante la tecnica delle differenze
finite). Calcolo di derivate di particolari funzioni (funzioni lineari,
quadratiche, cubiche, …, potenze a esponente razionale, seno, coseno,
derivata di una somma e derivata di un prodotto … basate sulla proprietà di
microlinearità). Approssimazione di una funzione nell’intorno di un suo
punto con un polonomio. Modelli lineari e non lineari: esempi tratti dalla
fisica.
Dal grafico di una funzione al grafico della sua primitiva. Calcolo numerico
di integrali definiti
Ultimo anno
Analisi matematica: il concetto di limite come strumento di
sistemazione teorica e rigorosa dei concetti e delle tecniche
utilizzate; i teoremi del calcolo infinitesimale.
Modelli discreti e continui
Siti di interesse per un percorso di questo tipo:
David Tall (uso di graphic calculus)
James Kaput e Ricardo Nemirowski
Geometria analitica e macchine matematiche
Le relazioni tra meccanismi articolati e curve algebriche sono
sempre state considerate come un tema centrale nella ricerca
matematica e possono costituire un esempio paradigmatico per
studiare l’evoluzione del concetto di curva in geometria.
Gli strumenti per tracciare curve sono sempre stati considerati nei
trattati di geometria, fino dagli elementi di Euclide, i cui postulati
definiscono proprio gli strumenti che si è scelto di utilizzare per
effettuare costruzioni geometriche: la riga e il compasso.
Nell’età classica le curve erano studiate singolarmente, generate da
punti in movimento. La situazione non mutò fino al 17° secolo,
quando l’insieme delle curve si ingrandì anche grazie alle nuove
tecniche di descrizione rese possibili dal metodo cartesiano.
Cartesio, nella Géométrie, indica due metodi per rappresentare curve:
1. Con un movimento continuo
2.
Mediante equazioni
Il primo metodo è strettamente collegato alla generazione di una curva
con strumenti meccanici, il secondo, invece, è legato alla
rappresentazione punto per punto.
Cartesio non si occupò di chiedersi se i due metodi fossero equivalenti:
tale problema richiedeva, per essere risolto, la costruzione di
strumenti algebrici più avanzati di quelli allora disponibili e,
soprattutto, il cambiamento di statuto degli strumenti meccanici che
dovevano diventare veri e proprio strumenti teorici, come già lo
erano la riga e il compasso.
Il problema fu risolto da Kempe nel 1876.
Ecco alcune osservazioni di Kempe sulla linea retta:
“ Come possiamo descrivere una linea retta? Euclide la definisce
come quella linea che giace nella stessa maniera fra due qualunque
suoi punti. Ciò non ci aiuta molto. I nostri manuali dicono che il
primo e il secondo postulato postulano la riga. Ma sicuramente c’è
una questione da risolvere: se noi dobbiamo usare righe per
tracciare rette, la riga deve avere essa stessa un profilo rettilineo: e
siamo di nuovo da capo!”
Nonostante il riferimento a strumenti concreti, il problema è
chiaramente teorico. Una soluzione approssimata e utilizzata nella
tecnica, già nota, era quella di Watt. Per anni i matematici
pensarono che la soluzione di Watt fosse la migliore possibile e che
non esistessero soluzioni rigorose. Nel 1864 Peaucellier inventò un
meccanismo articolato che era una soluzione rigorosa al problema.
Pochi anni dopo Kempe risolse il problema relativo al tracciamento
di una curva di grado n nel piano.
L’idea della dimostrazione di Kempe:
Sia F(x,y) = 0 una curva piana di grado n. Costruiamo, in un piano
cartesiano xOy un parallelogrammo articolato OAPB. Sia OA=BP=a;
OB=AP= b; XOA = r e XOB = q
Risulta immediatamente
X = a cos r + b cos q
Y = a sin r + b sin q
Si sostituiscono ora in F(x,y) =
0 le relazioni appena scritte e si
sviluppano i calcoli in modo da
ottenere un’espressione che
presenta una sommatoria di
coseni che hanno come
argomenti funzioni lineari degli
angoli r e q.
A questo punto è necessario costruire, per ogni termine della
somma, un meccanismo che consenta di ottenere, a partire dal
parallelogramma dato, che forma gli angoli r e q con OX, un
meccanismo che formi l’angolo combinazione lineare di r e q
corrispondente all’argomento del termine considerato.
Si può dimostrare che la risoluzione del problema è riconducibile
alla risoluzione dei seguenti problemi:
1. Costruire un meccanismo che moltiplica o divide un angolo in
parti uguali
2.
Costruire un meccanismo che trasli un angolo e addizioni dei
vettori
3.
Costruire l’inversore di Peaucellier.
Ciò completa la dimostrazione che ogni curva algebrica di grado n
è descrivibile (teoricamente e localmente) con un meccanismo
articolato.
Che cos’è un’ellisse?
E1: l'ellisse è il luogo delle intersezioni delle generatrici di un
cono circolare con un piano che forma con l'asse del cono un
angolo maggiore della semiapertura del cono
E2: l'ellisse è il luogo dei punti del piano per cui è costante la
somma delle distanze da due punti dati, detti fuochi
E3: l'ellisse è una curva che, in un sistema di riferimento
cartesiano xOy, scelto in maniera opportuna, ha un'equazione
del tipo
y2
x2
 2 1
2
a
b
E4: l'ellisse è una qualunque curva piana ottenuta applicando
a una circonferenza un'affinità
sono, in senso lato, macchine che incorporano una legge che
le vincola a tacciare curve caratterizzate da una proprietà
definita da quella legge
Ogni curva algebrica può essere disegnata localmente per
mezzo di opportuni meccanismi articolati.
La progettazione di un ambiente di apprendimento che faccia
uso di macchine matematiche è confortato dalle seguenti
considerazioni:
l'importanza delle tecnologie nello sviluppo della
civiltà e della conoscenza e, di conseguenza, della
cultura umana. I meccanismi articolati condividono
con le macchine di Turing la caratteristica di essere
strumenti teorici e quella che sono legati a problemi di
impossibilità (ipotesi epistemologica)
l'opportunità di un approccio di carattere percettivo
ai concetti astratti e, quindi, l'opportunità dell'uso di
modelli fisici per aiutare nella comprensione degli
oggetti matematici (ipotesi cognitiva)
il teorema di Kempe (punto di vista tecnico della
disciplina)
Dal punto di vista didattico si evidenzia l’importanza delle seguenti
caratteristiche di un percorso come quello appena suggerito
 la progettazione di ambienti di apprendimento che
favoriscono la produzione di congetture e la successiva attività
di validazione delle stesse sia nei lavori in piccoli gruppi, sia
nelle discussioni collettive mediate dall'insegnante
 la presenza, anche a livello di studenti di scuola superiore, di
aspetti legati alla percezione, accanto ad attività di astrazione,
generalizzazione, concettualizzazione e, quindi, di avvio al
pensiero teorico
• l'uso di strumenti che hanno una funzione di mediazione
semiotica tra linguaggio e pensiero e che quindi
contribuiscono ad avviare al pensiero teorico.
Macchine,
Cabri,
Disegni ...
modificano il
http//www.museo.unimo.it/theatrum