Seismic Strength of Unreinforced Masonry Walls: Effects
of the b Shape Factor of the Shear Failure Criterion with
Diagonal Cracking
Michele Betti*, Luciano Galano**, Michele Petracchi***, Andrea Vignoli****
summary – The paper deals with the shear failure mode with diagonal cracking of masonry panels in existing buildings. More specifically, this study is focused on the b shape factor of the failure criterion included in the
current Italian technical Recommendations (NTC 2008) and completes the results obtained in a companion paper
of the same authors /7/. Three plane unreinforced masonry walls with regular openings are considered with different slenderness of the masonry beams. The walls are modelled by finite elements and by equivalent frames and
then subject to pushover analyses. In the framed models the b shape factor has been selected both according to
the NTC 2008 and as proposed in the companion paper /7/. The seismic capacity diagrams of the walls show that
the equivalent framed models significantly overestimate the ultimate shear of the walls with respect to the results
provided by the finite element models. This result is amplified when the b values are assumed as recommended in
the NTC 2008.
Keywords: unreinforced masonry, failure criteria, shear failure, b shape factor, plane masonry walls.
1.Introduction
Shear strength of masonry piers and spandrels significantly affects the seismic behaviour of existing
masonry buildings. Usually, masonry panels subjected
to seismic loads in their plane collapse for shear with
diagonal cracking and a specific failure criterion has
been formulated to predict the ultimate shear strength.
Originally, this criterion was proposed by Turnsek and
Cacovic /1/, and later was introduced in the Italian
seismic Recommendations /2/. The criterion has been
maintained through subsequent developments of these
Rules /3/ and finally it has been included in the current
Italian seismic Code for buildings /4, 5/.
The Italian technical Recommendations of 1996 /3/
assumed the following equation to predict the ultimate
shear strength of a masonry panel:
Vt = lt xk
1+
v0
1.5xk
(1)
in which l is the panel width, t is the masonry thickness, s0 is the average vertical compressive stress and
tk is the characteristic shear strength of the material,
depending on the masonry typology. In other words,
tk is the shear strength of the masonry without normal
compressive stress. Eqn. (1) was included in the Appendix of the document /2/ and it was the only failure
criterion used to verify masonry buildings under seismic
* Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale (DICeA), Università
degli Studi di Firenze – e-mail: [email protected]
** Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale (DICeA), Università
degli Studi di Firenze – e-mail: [email protected]
*** Ingegnere Civile – e-mail: [email protected]
**** Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale (DICeA), Università degli Studi di Firenze – e-mail: [email protected]
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loading. To this purpose Eqn. (1) was used within a
nonlinear method of structural analysis. Turnsek and
Cacovic obtained Eqn. (1) considering a masonry panel
loaded in its plane by a vertical compressive action and
an horizontal shear force, with double bending boundary
conditions. They supposed that the first crack appears
at the centre of the panel when the principal tensile
stress reached the tensile strength of the masonry ft.
Given the brittleness of the masonry this condition can
be approximately considered concurrent with the failure
of the panel; if ft = 1.5tk is also assumed, then Eqn. (1)
holds.
Eqn. (1) is reliable only for panels with values of
slenderness l = h/l similar to those of the De Saint Venant’s solid (h and l are the height and the width of
the panel). Particularly, the quantity 1.5tk approximately
represents the maximum shear stress at the centre of
a panel with rectangular section only in case the De
Saint Venant’s hypotheses are met.
The current Italian technical Recommendations /4,
5/ in the chapter on design of seismic masonry buildings consider three failure modes for masonry piers
and masonry beams loaded in their plane: (a) bending
failure mode, (b) failure mode for shear with diagonal
cracking and (c) sliding shear failure mode. For each
failure mode the Code provides the ultimate bending
moment or the ultimate shear strength. For existing masonry buildings the ultimate shear strength of a panel
associated to the (b) failure mode is given by /5/:
Vt = lt
ft
b
1+
v0
1.5x0
= lt
ft
b
1+
v0
1.5x0
(2)
In Eqn. (2) the symbols are: b is the so called shape
factor, that depends on the distribution of the shear
stresses in the horizontal section at the centre of the
panel and t0 is a mechanical parameter correlated with
Anno XXIX – N. 4 – ottobre-dicembre 2012
Fig. 1. (a) Diagrams of b(l) according to the old Italian rules (1), the current rules (2) and as proposed in /7/ through nonlinear FEM analyses (3);
(b) diagrams of b(l) proposed in /7/ through nonlinear FEM analyses (1) and simplified bilinear approximation (2).
(a) Confronto fra gli andamenti del coefficiente di forma b previsti dalle previgenti norme (1) e dalle norme attuali (2) con quello ricavato con le
analisi numeriche in campo non lineare (3) svolte in /7/, (b) curva b(l) ottenuta in /7/ con le analisi non lineari (1) e relazione bilineare semplificata
proposta (2).
the pure shear strength of the masonry (i.e. the shear
strength without normal compressive stress). Other
symbols in Eqn. (2) were already defined. As it is obvious examining Eqn. (2), the document /5/ connects
ft and t0 by ft = 1.5t0. Hence, the parameter t0 loses
the original meaning of masonry pure shear strength
except when b = 1.5. In conclusion, if it is assumed
t0 = tk, Eqns. (1) and (2) are identical only if b = 1.5.
However, the current Rules /5/ at the point C8.7.1.5
defines b as a function of the slenderness l of the panels, following the original formulation of Benedetti and
Tomaževic /6/:
1.0 ff if
m = h/l # 1.0
b = * m ff if 1.0 1 m = h/l 1 1.5 1.5 ff if 1.5 # m = h/l
(3)
In the companion paper /7/ the authors show that
the b shape factor evaluated according to Eqn. (3) produces a significant overestimation of the ultimate shear
strength of short masonry panels. In fact the b values
obtained with numerical simulations by the finite element technique are higher than those given by Eqn. (3).
Fig. 1a /7/, in which the b shape factor is plotted vs. the
slenderness l, shows these differences. Fig. 1b shows
two alternative formulations proposed in /7/ to evaluate the b factor. The diagram (1) is valid in the range
0.3 ≤ l ≤ 1.5 and is defined by six cubic splines:
S i (m) = A i m3 + B i m2 + C i m + D i i = 1, 2, ..., 6 (4)
in which the coefficients vary in each sub-range. The
diagram (2) approximates the curve (1) and is defined
by:
b ]mg = 1.0 + 0.5m, b # 1.5 (5)
The influence of the b shape factor of the aforesaid
criterion is discussed in this paper considering three
plane masonry walls which represent the typical façades
of existing buildings. The walls, assumed to be made of
brick masonry with aerial lime mortar and with regular
openings, are unreinforced because there are not steel
chains or reinforced concrete boundary beams. The
pushover method has been used to obtain the seismic
capacity diagrams of the walls. To this aim equivalent
framed models using the SAM II code /8, 9, 10, 11/ and
finite element models using the ANSYS code /12/ have
been employed. A particular attention has been dedicated to the masonry beams. Generally, when a masonry
wall is modelled by an equivalent framed structure, the
hypothesis of rigid floors is assumed and this holds
in the SAM II code. Consequently, the axial forces in
the beams of the frame are indeterminate quantities.
To overcome this difficulty the ultimate shear strength
of a masonry beam can be evaluated applying Eqn. (2)
with s0 equal to zero, according to safety requirements.
In the pushover analyses made with the SAM II code
the b shape factor of the masonry beams has been first
evaluated according to the formulation (3) as requested
in /5/ and then b has been selected according to Eqn.
(4) as proposed in /7/. Differences in the seismic capacity diagrams and damage patterns of the three walls are
presented and discussed.
2.Geometrical and mechanical characteristics of the
walls
Three plane masonry walls have been considered in
this study, each including five stories. The walls have
a width of 17.0 m, are 15.0 m high and have a thick-
Anno XXIX – N. 4 – ottobre-dicembre 2012
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diate stories is l = 1.0). The average slenderness of all
the spandrels is 1.150, the average slenderness of all
the masonry piers is 1.314.
– FS wall has slender spandrels (the slenderness
of the spandrels in the three intermediate stories is
l = 2.0). The average slenderness of all the spandrels
is 2.0, the average slenderness of all the masonry piers
is 1.657.
The masonry walls are made of bricks and aerial
lime mortar with poor mechanical characteristics and
they are not reinforced. Over each opening is present a
stiff lintel well connected to the surrounding masonry.
The average mechanical parameters of the masonry are
the same as those assumed in /13/, i.e.: longitudinal
modulus of elasticity E = 2000 N/mm2, shear modulus of elasticity G = 800 N/mm2, compressive strength
fm = 1.522 N/mm2, tensile strength ft = 0.15 N/mm2,
shear strength t0 = 0.1 N/mm2 and, compressive strength
in the horizontal direction fh = 1.522 N/mm2.
For the same masonry typology the document /5/ (Table C8A.2.1) proposes the following limits: E = 12001800 N/mm2, G = 400-600 N/mm2, fm = 2.4-4.0 N/mm2,
ft = 0.09-0.138 N/mm2, t0 = 0.06-0.092 N/mm2. From a
comparison, it is evident that the masonry mechanical
parameters assumed in this study are close to the upper
bounds of Table C8A.2.1, with the exception of fm. The
ratio E/fm assumed here is equal to 1314 and it is close
to the average values suggested in the technical literature for this masonry typology. The walls are subject to
their own weight (specific weight w = 18.0 kN/m3) and
to the static vertical loads of the floors, supposed equal
to 10 kN/m. This assumption is in agreement with the
experimental results obtained by Calderoni et al. /14/.
3.Masonry walls modelling and collapse modes for the
equivalent framed models
Fig. 2. Geometry of the three plane masonry walls: (a) FT wall with
short spandrels; (b) FM wall with spandrels of intermediate slenderness;
(c) FS wall with slender spandrels (measures are in cm).
Geometria delle tre pareti piane, (a) parete FT con fasce tozze, (b)
parete FM con fasce di snellezza media, (c) parete FS con fasce snelle
(misure in cm).
ness of 450 mm (Fig. 2). The spandrels differ in their
geometrical dimensions:
– FT wall has short spandrels (the slenderness of
the spandrels in the three intermediate stories is l = lt/
ht = 0.75 being lt the clear span and ht the height of
the masonry beams). The average slenderness of all
the spandrels is 0.883, the average slenderness of all
the masonry piers is 1.086.
– FM wall has spandrels longer than the FT wall
(the slenderness of the spandrels in the three interme18
The masonry walls were modelled with both the
finite element technique (FE) and the equivalent frame
approach. The FE models were built by means of the
commercial code ANSYS /12/ using 8-node threedimensional isoparametric finite elements (Solid 65)
with size 0.2 × 0.2 × 0.2 m (Fig. 3 shows the discretization of the FT wall). The mechanical nonlinear
masonry behaviour was reproduced by the DruckerPrager plasticity criterion (DP, /15/) combined with
the Willam-Warnke failure criterion (WW, /16/): as a
result, the material behaves as an isotropic medium
with plastic deformation, cracking and crushing capabilities. The constitutive parameters are reported in
Tab. 1. It is noteworthy to highlight that the uniaxial
compressive strength defined by the plasticity model
is fcDP = 1.522 N/mm2, while the tensile strength of
the Willam-Warnke model is ftWW = 0.15 N/mm2. These
values are equal to the assumed masonry strength
properties (fcDP = fm and ftWW = ft) and correspond to an
elastic-brittle material in traction and elastoplastic in
compression. Concrete lintels were modelled by using
the same mechanical models, with modified parameters
to account for a concrete of resistance class C25/30.
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Fig. 3. FE model of FT wall (measures are in cm).
Modello agli elementi finiti della parete FT (misure in cm).
Fig. 4. Equivalent framed model of FT wall (measures are in cm).
Modello a telaio equivalente della parete FT (misure in cm).
Tab. 1. Mechanical properties of the masonry adopted in the FE models.
Proprietà meccaniche della muratura per le modellazioni agli elementi
finiti.
Tab. 2. Mechanical properties of the masonry adopted in the equivalent
framed models.
Proprietà meccaniche della muratura per le modellazioni con telai equivalenti.
E (N/mm2)
G (N/mm2)
n
w (kN/m3)
c (N/mm2)
F
h
fcDP (N/mm2)
ftDP (N/mm2)
Elastic parameters
Longitudinal modulus of elasticity
Shear modulus of elasticity
Poisson ratio
Specific weight
Parameters of the plasticity criterion (DP)
Cohesion
Friction angle
Dilatancy angle
Uniaxial compressive strength
Uniaxial tensile strenght
Parameter of the failure criterion (WW)
Uniaxial compressive strength
fcWW (N/mm2)
Uniaxial tensile strength
ftWW (N/mm2)
Shear coefficient (closed cracks)
bc
bt
Shear coefficient (open cracks)
E (N/mm2)
G (N/mm2)
w (kN/m3)
2000
800
0.25
18.0
m
fm (N/mm2)
0.24
55o
fh (N/mm2)
55o
1.522
0.216
ft (N/mm2)
4.00
0.15
0.75
fv0 (N/mm2)
dp
dv
FC
Elastic parameters
Longitudinal modulus of elasticity
Shear modulus of elasticity
Specific weight
Failure parameters
Friction coefficient
Compressive strength in the vertical
direction
Compressive strength in the horizontal
direction
Tensile strength for diagonal cracking
failure
Shear strength
Bending drift limit
Shear drift limit
Confidence factor
2000
800
18.0
0.4
1.522
1.522
0.15
0.10
0.006
0.004
1.0
0.25
The equivalent framed models were built with the
SAM II code. According to this approach each masonry
wall is schematized with a system of deformable beams
(reproducing masonry piers and spandrels) connected
by rigid links (Fig. 4, wall FT). Vertical loads are applied to the joints of the model at the floor levels,
horizontal seismic forces are applied to the centres of
mass of each floor and, finally, the joints at the same
level have the same horizontal displacement (rigid floor
diaphragms). The mechanical properties required by
SAM II are reported in Tab. 2.
According to the Italian technical Recommendations
three failure modes were considered for the masonry
piers: bending, sliding and diagonal cracking. For
example, in the case of shear collapse with diagonal
cracking, Eqn. (2) was considered where fv0 corresponds
to t0 and the values of the b shape factor were assumed
according to the curve (2) of Fig 1a. The mechanical
behaviour adopted for the masonry piers is elastic perfectly plastic until they reaches the limit values of the
chord rotation. The shear drift limit dv and the bending
drift limit dp are reported in Tab. 2.
For the spandrels only bending and shear diagonal
cracking failure modes were considered. In the case of
bending failure the collapse strength is defined by:
Mu =
Hph
Hp
e1 –
o, H p = 0.4fh h t t 2
0.85fh h t t
(6)
The above equation is suggested in /4/ when there
is a horizontal reinforcement in the spandrel (a steel
chain, a concrete beam, etc.) and the axial force is
unknown (as in the present case); Hp represents the
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19
Fig. 5. Capacity curves of the three masonry walls obtained with triangular (ST) and uniform (SU) load distributions. FEM = finite element model;
SAM II-A = equivalent framed model with b evaluated according to NTC 2008; SAM II-B = equivalent framed model with b evaluated according to
Eqn. (4).
Curve di capacità delle tre pareti con distribuzioni delle azioni sismiche triangolare (ST) e uniforme (SU), FEM = modelli agli elementi finiti, SAM
II-A = modelli a telaio equivalente con b in accordo alla norma /5/, SAM II-B = modelli a telaio equivalente con b dell’Eq. (4).
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Anno XXIX – N. 4 – ottobre-dicembre 2012
maximum masonry compressive force in the horizontal
direction. It may therefore appear not proper to adopt
Eqn. (6) in absence of horizontal reinforcement. Yet, in
this study the equation has been employed anyway, taking into account the following considerations. In case
of short or medium slender spandrels (as in FT and
FM walls) the most frequent collapse mode is the shear
failure; in addition, even if a horizontal reinforcement
is not present a lintel has been anyway assumed over
the wall openings. Finally, the strength fh (set equal
to fm) was assumed considerably lower than the values suggested in /5/ for this masonry typology. In the
case of diagonal cracking failure, the shear strength is
defined by:
Vt = h t t
1.5fv0
ft
= ht t
b
b
(7)
Eqn. (7) is not explicitly reported in the technical
Recommendations, but it is reasonably applicable in existing buildings and it is derived from Eqn. (2) assuming the unknown axial load to be zero (to the advantage
of safety). As in the case of Eqn. (2), the shear strength
fv0 in absence of compression can be assimilated to
t0. The values of the b shape factor in Eqn. (7) were
evaluated according to both Eqn. (3) suggested in /5/
and Eqn. (4). The mechanical behaviour of the masonry
spandrels, as assumed for the piers, is elastic perfectly
plastic until the drift limits. Finally, it is noteworthy
to observe that all the strengths are averages values
and all the safety factors were assumed unitary. With
these assumptions differences in the capacity curves
of the walls are to be sought only in differences of the
diagonal shear strength of the masonry spandrels (i.e.
the value of the b shape factor).
4.Results of the pushover analyses
The seismic response of the masonry walls, in both
cases (finite element and equivalent framed models),
was evaluated by performing static nonlinear analyses
in accordance with the point. 7.8.1.5.4 of the NTC 2008
/4/. The horizontal forces were monotonically increased
until collapse and the displacement of a control point
at the top level of the walls was recorded to built the
capacity curves. Subsequent distributions of the horizontal forces were considered:
– triangular distribution (ST), i.e. horizontal seismic
forces evaluated proportionally to the product of the
masses for their height, measured from the base of the
structure;
– modal distribution (SM), i.e. horizontal seismic
forces evaluated proportionally to the product of the
masses for the components of the first modal shape;
– uniform distribution (SU), i.e. horizontal seismic
forces evaluated according to the mass distribution
along the wall.
In FE models these forces were applied directly to
all the joints. In the equivalent framed models, the hori-
Tab. 3. Pushover analyses results: comparison between FE and equivalent framed models.
Risultati delle analisi di spinta adimensionalizzati rispetto ai valori ottenuti con i modelli FEM.
WALL FT
Ke/KeFEM
Vbu/VbuFEM
FEM SAM SAM FEM SAM SAM
II-A II-B
II-A II-B
Distr. ST 1.00 1.10 1.10 1.00 1.68 1.38
Distr. SM 1.00 1.09 1.09 1.00 1.63 1.35
Distr. SU 1.00 1.05 1.05 1.00 1.29 1.10
WALL FM
Vbu/VbuFEM
Ke/KeFEM
FEM SAM SAM FEM SAM SAM
II-A II-B
II-A II-B
Distr. ST 1.00 1.05 1.05 1.00 1.73 1.36
Distr. SM 1.00 1.03 1.03 1.00 1.51 1.19
Distr. SU 1.00 1.00 1.00 1.00 1.28 1.05
WALL FS
Vbu/VbuFEM
Ke/KeFEM
FEM SAM SAM FEM SAM SAM
II-A II-B
II-A II-B
Distr. ST 1.00 0.90 0.90 1.00 1.00 0.98
Distr. SM 1.00 0.87 0.87 1.00 0.94 0.93
Distr. SU 1.00 0.87 0.87 1.00 1.00 0.89
dcu/dcuFEM
FEM SAM SAM
II-A II-B
1.00 2.45 2.41
1.00 2.35 2.36
1.00 2.46 2.90
dcu/dcuFEM
FEM SAM SAM
II-A II-B
1.00 3.68 3.92
1.00 2.25 2.47
1.00 2.13 2.34
dcu/dcuFEM
FEM SAM SAM
II-A II-B
1.00 1.41 1.53
1.00 0.99 1.06
1.00 1.44 1.61
zontal forces were applied to the joints at each floor
level, together with the vertical loads. It is noteworthy
to observe that the inertia loads of the half first level
of masonry piers was not considered in the equivalent
framed models as the code assumes that these loads are
directly transferred to the foundations.
Fig. 5 shows the capacity curves of the three walls
for the two distributions of seismic actions ST and SU,
for the three types of analyses: FEM (finite element
models), SAM II-A (equivalent framed models with b
evaluated according to /5/) and SAM II-B [equivalent
framed models with b evaluated according to Eqn. (4)].
The results obtained with the horizontal loads evaluated according to the modal distribution (SM) are very
similar to those obtained with the triangular distribution (ST). In each diagram in the abscissa is reported
the displacement of the control point dc. In the cases
of the FE models this displacement is the mean value
of the horizontal displacements of 8 joints of the top
level of the walls, while in the cases of the equivalent
framed models dc is simply the horizontal displacement
of the top level (according to rigid floor diaphragms
hypothesis). In the ordinate is reported the base shear
Vb. The most significant elements of the response of
the masonry walls are: the initial stiffness Ke, the maximum base shear Vbu and the maximum displacement
of the control point dcu. These results are summarized
in Tab. 3.
In terms of initial stiffness there is a substantial
agreement between the response of the FE and the
equivalent framed models, with differences ranging
from –13% up to +10%. More interesting is the comparison for the maximum base shear Vbu, since the
shape factor b directly affects the shear strength of
the spandrels in the case of diagonal cracking failure.
If the b values are underestimated, the shear strength
Anno XXIX – N. 4 – ottobre-dicembre 2012
21
Fig. 6. Damage maps of FT wall under triangular (ST) and uniform (SU) load distributions. (a) FE model; (b) equivalent framed model with b evaluated according to NTC 2008; (c) equivalent framed model with b evaluated according to Eqn. (4).
Quadri di danneggiamento all’ultimo passo della parete FT con distribuzioni delle azioni sismiche triangolare (ST) e uniforme (SU), (a) modello FEM,
(b) modello a telaio equivalente con b in accordo alla norma /5/, (c) modello a telaio equivalente con b dell’Eq. (4).
Fig. 7. Damage maps of FM wall under triangular (ST) and uniform (SU) load distributions. (a) FE model; (b) equivalent framed model with b evaluated according to NTC 2008; (c) equivalent framed model with b evaluated according to Eqn. (4).
Quadri di danneggiamento all’ultimo passo della parete FM con distribuzioni delle azioni sismiche triangolare (ST) e uniforme (SU), (a) modello FEM,
(b) modello a telaio equivalente con b in accordo alla norma /5/, (c) modello a telaio equivalente con b dell’Eq. (4).
22
Anno XXIX – N. 4 – ottobre-dicembre 2012
Fig. 8. Damage maps of FS wall under triangular (ST) and uniform (SU) load distributions. (a) FE model; (b) equivalent framed model with b evaluated
according to NTC 2008; (c) equivalent framed model with b evaluated according to Eqn. (4).
Quadri di danneggiamento all’ultimo passo della parete FS con distribuzioni delle azioni sismiche triangolare (ST) e uniforme (SU), (a) modello FEM,
(b) modello a telaio equivalente con b in accordo alla norma /5/, (c) modello a telaio equivalente con b dell’Eq. (4).
is overestimated causing an increase in the ultimate
base shear Vbu. The capacity curves obtained with the
FE analyses (that does not depend on the factor b) are
so used as reference to check the effectiveness of the
results obtained with the equivalent framed models.
A first examination of the results shows that the
equivalent framed models of the walls FT and FM develop base shear Vbu greater than those obtained with
the FE models. These differences tend to decrease with
the uniform distribution of the seismic loads, and a
good agreement is obtained for all load distributions
for the wall FS. In detail, the equivalent framed models of the walls FT and FM with b evaluated according to /5/ and load distributions ST and SM, provide
Vbu values exceeding 1.5 times those obtained with the
FE models [with a maximum difference of more than
70%, that decreases to about 28% in the case of the
uniform load distribution (SU)]. These differences appreciably decrease for the equivalent framed models
with b evaluated according to Eqn. (4). The maximum
difference becomes about 38% (wall FT with the triangular distribution ST), the minimum is about 5% (wall
FM with the uniform distribution SU). These results
show that the response of the equivalent framed models
of the walls FT and FM is in good agreement with that
obtained with the FE models, when the shape factor b
is evaluated according to Eqn. (4). The response of the
wall FS is slightly different from those obtained with
the other two: in almost all the analyses the equivalent framed models of the wall FS offer values of Vbu
lower than those obtained with the FE models. The
same happens for the comparison of results of the two
equivalent framed models: with b evaluated according
to Eqn. (4) the ultimate base shear Vbu are greater than
those obtained with b according to /5/.
The comparison between displacements is difficult
given the different method of analysis for the equivalent framed and the FE models. For FT and FM walls,
the equivalent framed models offer displacements that
differ of about +292% from those obtained by the FE
models (reduced to about 53% in the case of FS wall).
These differences do not depend on the formulation
adopted for the shape factor b.
Overall, the analyses of the walls FT and FM with
the equivalent frame approach show a good agreement
with the FE analyses if the shape factor b is evaluated
according to Eqn. (4). For FS wall the responses are
about the same, probably because the equivalent framed
models are more appropriate for this type of geometry
(due to the slenderness of the spandrels).
5.Analyses of damage in the masonry walls
Figs. 6, 7 and 8 show, for FT, FM and FS walls
respectively, the damage maps obtained at the end of
Anno XXIX – N. 4 – ottobre-dicembre 2012
23
Tab. 4. Equivalent framed models: numbers and typologies of masonry
panels failures.
Numero di rotture ottenute con i modelli a telaio equivalente.
Wall
FT
FT
FT
FM
FM
FM
FS
FS
FS
Load
Distr.
ST
SM
SU
ST
SM
SU
ST
SM
SU
Tech
M
33
36
20
30
33
27
23
23
30
b
Rules /5/
VD
VS
12
17
11
18
11
4
13
17
14
16
11
2
23
0
23
0
24
0
M
33
29
28
22
21
30
30
28
30
b
Eqn. (4)
VD
17
17
15
21
21
19
24
24
24
VS
9
8
1
3
4
1
0
0
0
each analysis (load distributions ST and SU; the results
obtained with the load distribution SM are similar to
those obtained with the distribution ST). For FE models the damage is showed as cracking distribution on
the façade, according to the assumption of smeared
crack model. For equivalent framed models, the damage of piers or spandrels (symbolized at the end or in
the middle section of each element) is represented as
follows: (•) denotes bending failure, ( × ) denotes shear
failure with diagonal cracking and (♦) denotes sliding
shear failure (only for masonry piers).
Considering FS wall there is a good similarity between the damage maps obtained with the two codes.
On the contrary, for FT and FM walls several differences arise. This can be justified as follows: in the
FE models the cracks propagate and spread around the
diagonals of the walls (with a more evident spread in
the case of FT wall, less for FM wall). This result is
correct: the shorter are the spandrels (the smaller are
the openings), the more the behaviour of the wall is
similar to that of a masonry panel under horizontal
loads. Consequently, the principal tensile stresses have
the direction of the diagonal of the panels, and cracking
develop where the tensile strength is exceeded. This
does not occur for FS wall, where the damage affects
first the thin spandrels and, subsequently, propagates
to piers.
For equivalent framed models the behaviour is different since the assumption of rigid floor diaphragms allows for a global structural response of all resisting elements, ensuring a wider distribution of seismic forces
between them. FE models don’t have rigid diaphragms,
which explains the differences in the damage maps of
FT and FM walls. This is indirectly confirmed by the
fact that the capacity curves of the FS wall present
the best agreement. Furthermore, for all walls the FE
model shows (regardless of the assumed distribution
of horizontal forces) a sensible damage in some parts
of the joints between piers and spandrels. This doesn’t
occur in the equivalent framed models where this area
is assumed as infinitely rigid and resistant.
Tab. 4 reports, for equivalent framed models, and
each load distribution, the number of failures observed
in each wall: M indicates the number of bending col24
lapses, VD denotes the number of diagonal cracking
failures and, finally, VS indicates the number of shear
sliding collapses. None of the piers collapses for shear
with diagonal cracking: they collapse only for bending
or shear sliding. It is also evident that evaluating the
b shape factor according to Eqn. (4) originates an increase in the number of collapses for diagonal cracking
and a reduction of collapses for shear sliding. A clear
change in the number of collapses for bending is not
observable when varying the criterion for calculating
the b shape factor.
6.Concluding remarks
The paper investigates the seismic capacity of three
plane unreinforced masonry walls with different slenderness of the masonry beams. More specifically, the
attention was focused on the b shape factor of the
shear failure criterion with diagonal cracking. The formulation for b provided by the current Italian technical Rules was compared with the one proposed in the
companion paper /7/ by the same authors. The walls
were modelled by finite elements and by equivalent
framed models. In the latter case the b shape factor
was assumed according to the NTC 2008 and, alternatively, selected as proposed in the companion paper
/7/.
Results from finite element models are independent
from the b coefficient and were used for comparison
purposes. However, the different modelling hypotheses
should be taken into account, i.e.: i) adjustment of the
masonry mechanical parameters, ii) deformable floor
diaphragms in the finite element models, iii) pushover
analyses with finite element models performed under
load control, iv) assumption of elastic perfectly plastic
behaviour for spandrels under shear loading, etc.
Results from this study in terms of elastic stiffness
Ke of the walls are in good agreement in all the pushover analyses. However, remarkable differences were
obtained for ultimate base shear Vbu of the walls. In detail, the framed models of FT and FM walls produced
higher values of Vbu with respect to the finite element
models. This result was more evident when the b factor of the NTC 2008 was assumed and for the FT wall.
For the FS wall the maximum shear capacity Vbu was
similar for all numerical models.
In the light of this, it seems proper to adjust the formulation for b included in the NTC 2008; an example
of alternative definition is given by Eqn. (5).
Acknowledgements
The authors would like to thank the Tuscany Region
for the financial support given to this work, through
the scientific collaboration agreement named “Activities for acquisition and processing data from diagonal
compression tests on masonry panels, to make a Regional abacus of masonries, gathering and processing data from tests on steel and concrete structural
members”.
Anno XXIX – N. 4 – ottobre-dicembre 2012
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and Structural Engineering, Vol. 19, 1975, pp.
1-30.
Anno XXIX – N. 4 – ottobre-dicembre 2012
25
Influenza del coefficiente di forma b del criterio di rottura a
taglio per fessurazione diagonale sulla resistenza sismica
di pareti piane di muratura ordinaria
M. Betti, L. Galano, M. Petracchi, A. Vignoli
SOMMARIO – A completamento dei risultati ottenuti in un precedente studio degli stessi autori /7/, sono mostrati
gli effetti della variazione del coefficiente di forma b del criterio di rottura a taglio per fessurazione diagonale dei
pannelli murari delle NTC 2008 /4, 5/. Lo studio ha per oggetto tre pareti piane di muratura ordinaria a geometria
regolare con diverse snellezze delle fasce di piano. Le pareti sono modellate agli elementi finiti e con schemi a
telaio equivalente e sottoposte ad analisi di spinta. Nei modelli a telaio, per le fasce di piano, sono assunti sia i
valori di b conformi alle NTC 2008, sia i valori di b proposti in /7/. Le curve di capacità mostrano che i modelli a
telaio equivalente sovrastimano sensibilmente la resistenza a taglio delle pareti con le fasce di piano più alte e che
tale effetto è amplificato dall’adozione dei valori del coefficiente di forma b delle norme.
Parole chiave: muratura ordinaria, criteri di rottura, rottura a taglio, coefficiente di forma b, pareti piane.
1. Introduzione
La resistenza a taglio dei maschi murari e delle fasce
di piano ha un ruolo fondamentale per il comportamento
sismico degli edifici esistenti in muratura. Uno dei modi
di rottura a taglio più frequentemente osservati in caso
di evento sismico è quello per fessurazione diagonale,
da cui ha anche tratto origine il corrispondente criterio
di collasso. Tale criterio, originariamente formulato da
Turnsek e Cacovic /1/, fu introdotto nella normativa sismica italiana con la Circolare Ministeriale del 30 Luglio
1981 /2/ e mantenuto anche nei successivi aggiornamenti /3/, fino all’attuale quadro normativo contenuto
nelle NTC 2008 /4, 5/.
In particolare, il quadro normativo del 1996 /3/, che
inglobava la Circolare Ministeriale del 30 Luglio 1981,
proponeva, per il criterio di rottura a taglio per fessurazione diagonale, la seguente espressione del taglio
resistente di un pannello murario:
Vt = ltxk
1+
v0
1.5xk
(1)
in cui l e t sono, rispettivamente, la larghezza e lo
spessore del pannello murario, s0 è la tensione media
di compressione agente sul pannello e tk è la cosiddetta resistenza caratteristica a taglio, dipendente dalla
tipologia muraria. La (1), riportata nell’Appendice della
/2/, era l’unico criterio di rottura esplicitamente previsto
per la verifica sismica degli edifici in muratura ed era
utilizzata all’interno di uno schema di verifica basato
su un’analisi non lineare. Con questo criterio si supponeva che la prima lesione avesse origine al centro del
pannello, in corrispondenza del raggiungimento della
resistenza a trazione della muratura, e che essa si propagasse seguendo la diagonale del pannello stesso.
Data la fragilità della muratura è ragionevole supporre
che questa condizione fosse concomitante con il collasso del pannello.
L’Eq. (1), in modo rigoroso, è applicabile solo a
pannelli caratterizzati da snellezze l = h/l (rapporto fra
26
l’altezza h e la larghezza della sezione trasversale l)
confrontabili a quelle del solido di De Saint-Venant. Infatti, solo in tali ipotesi, la quantità 1.5tk al denominatore della frazione sotto il segno di radice equivale al
valore massimo della tensione tangenziale al centro di
un pannello di sezione rettangolare.
Le nuove norme tecniche /4, 5/, relativamente alla
verifica sismica delle costruzioni in muratura, prendono
in considerazione tre modalità di collasso dei pannelli
murari (maschi se ad asse verticale, fasce se ad asse
orizzontale): (a) rottura per pressoflessione, (b) rottura
a taglio per fessurazione diagonale e (c) rottura a taglio
per scorrimento. Per ciascuna di esse le norme definiscono un valore limite della capacità portante espresso
in termini di sollecitazione resistente. In particolare, soffermando l’attenzione sul taglio resistente di un pannello
per il meccanismo di rottura con fessurazione diagonale,
questo è definito dalla relazione seguente (introdotta
relativamente alle costruzioni esistenti /5/):
Vt = lt
ft
b
1+
v0
1.5x0
= lt
ft
b
1+
v0
1.5x0
(2)
Nella (2) i simboli, oltre a quelli già definiti, assumono il seguente significato: b è il coefficiente di
forma relativo alla distribuzione delle tensioni tangenziali nella sezione trasversale al centro del pannello,
ft è la resistenza media a trazione per fessurazione
diagonale della muratura e t0 è un parametro correlato alla resistenza media a taglio in assenza di sforzo
normale, nel criterio di rottura per fessurazione diagonale. Come è possibile dedurre esaminando l’Eq. (2),
la Circolare /5/ lega la tensione tangenziale resistente
t0 alla resistenza a trazione ft mediante l’espressione
ft = 1.5 t0. In tal modo, la resistenza t0 viene a perdere
il significato originale di resistenza a taglio in assenza
di azione assiale, a meno che non si assuma per il
coefficiente di forma b il valore 1.5. Il parametro t0 diviene quindi semplicemente una grandezza associata
alla ft per definire il taglio resistente Vt. Considerando
t0 come parametro assimilabile a tk, le relazioni (1) e
Anno XXIX – N. 4 – ottobre-dicembre 2012
(2) coincidono soltanto nel caso in cui sia b = 1.5. Ma
le norme tecniche suggeriscono, al punto C8.7.1.5 della
Circolare Ministeriale /5/, di utilizzare valori di b variabili
in funzione della snellezza l dei pannelli secondo la
seguente relazione, proposta originariamente da Benedetti e Tomaževic /6/:
Z 1.0 ff per
m = h/l # 1.0
]
=
m
m = h/l 1 1.5 ff
1
b [
per 1.0
] 1.5 ff per 1.5 # m = h/l
\
(3)
Nel lavoro /7/ degli stessi autori è stato mostrato
che il coefficiente di forma b del criterio di rottura a
taglio per fessurazione diagonale, valutato secondo
la formulazione (3), conduce ad una sensibile sovrastima della resistenza a taglio dei pannelli murari tozzi
o mediamente tozzi; per tali pannelli, infatti, i valori di
b determinati con simulazioni numeriche agli elementi
finiti risultano più elevati di quelli forniti dalla (3). La
Fig. 1a /7/ evidenzia questa differenza al variare della
snellezza del pannello, anche in relazione al valore
costante b = 1.5, originariamente assunto /1, 2/. Nella
Fig. 1b sono quindi riportate le due relazioni proposte
in /7/ interpolanti i risultati numerici di b in funzione
della snellezza l del pannello. La curva (1) della figura,
valida nell’intervallo 0.3 ≤ l ≤ 1.5, è definita da sei
spline cubiche:
S i (m) = A i m3 + B i m2 + C i m + D i i = 1, 2, ..., 6 (4)
essendo i coefficienti delle spline variabili in ciascun
sub-intervallo. La curva (2), ottenuta come approssimazione della precedente e di più semplice impiego, è
definita dall’equazione:
b ]mg = 1.0 + 0.5m, b # 1.5 (5)
In questo lavoro, sulla base delle osservazioni precedenti, si vuole mostrare l’influenza del fattore b del
criterio suddetto. A tale scopo si confrontano le curve di
capacità di tre pareti piane rappresentative di facciate
tipiche di edifici esistenti in muratura. Le tre pareti, di
muratura di mattoni pieni e malta di calce, hanno geometria regolare e sono supposte non rinforzate da
catene metalliche, cordoli o altri presidi. Le curve di
capacità sono state ottenute mediante analisi di spinta
con modelli a telaio equivalente costruiti con il codice
SAM II /8, 9, 10, 11/, e modelli agli elementi finiti, costruiti con il codice ANSYS /12/. L’attenzione è posta
sulle sole fasce di piano. Come noto, nei modelli a
telaio equivalente delle pareti murarie, sovente viene
fatta l’ipotesi semplificativa di traversi rigidi (nel caso
spaziale essa corrisponde ad ipotizzare i solai rigidi
nel proprio piano, come nel codice SAM II). In tal caso
l’azione assiale negli stessi traversi, che rappresentano
le fasce murarie, risulta non determinabile dall’analisi
strutturale del telaio. Facendo riferimento all’attuale contesto normativo /4, 5/, in questo caso, l’unico modo
di rottura a taglio ragionevolmente applicabile per le
fasce è quello per fessurazione diagonale in assenza
di sforzo normale, anche se ciò non è esplicitamente
dichiarato nella norma stessa. L’assunzione di sforzo
normale nullo, peraltro vicina alla realtà, è anche in
accordo, in questo contesto, con esigenze cautelative.
Nelle analisi di spinta con i modelli a telaio presentate
nel seguito (SAM II), il fattore b, per le sole fasce di
piano, è valutato sia adottando la formulazione (3) delle
NTC 2008 /4, 5/, sia utilizzando la formulazione dell’Eq.
(4) proposta in /7/. Sono quindi evidenziate, e criticamente discusse, le analogie e le differenze dei modi di
rottura e delle curve di capacità delle pareti.
2. Geometria e caratteristiche meccaniche delle pareti
Le tre pareti oggetto dello studio, ciascuna di cinque
piani, hanno larghezza di 17.0 m, altezza di 15.0 m e
spessore costante di 450 mm (Fig. 2). Esse differiscono
per la geometria delle fasce di piano, ovvero:
– la parete FT ha fasce tozze (snellezza geometrica
delle fasce dei tre piani intermedi l = lt/ht = 0.75 con lt la
luce netta e ht l’altezza totale della trave in muratura).
La snellezza media di tutte le fasce è pari a 0.883,
quella media dei maschi è pari a 1.086;
– la parete FM ha fasce di snellezza media (l = 1.0
per le fasce dei tre piani intermedi). La snellezza media
di tutte le fasce è pari a 1.150, quella media dei maschi
è pari a 1.314;
– la parete FS ha fasce snelle (l = 2.0 per le fasce
dei tre piani intermedi). La snellezza media di tutte le
fasce è pari a 2.0, quella media dei maschi è pari a
1.657.
Le tre pareti, supposte appartenere ad edifici esistenti, sono realizzate in muratura di mattoni pieni
e malta di calce, quindi di qualità medio-bassa, non
sono presenti elementi di rinforzo a livello dei solai e
le aperture sono dotate di architravi in c.a. ben ammorsate alla muratura circostante. Le caratteristiche
meccaniche della muratura, da intendersi come valori
medi, sono le stesse utilizzate in /13/, in particolare:
modulo elastico longitudinale E = 2000 N/mm2, modulo
elastico tangenziale G = 800 N/mm2, resistenza media
a compressione fm = 1.522 N/mm2, resistenza media
a trazione ft = 0.15 N/mm2, resistenza media a taglio
t0 = 0.1 N/mm2, resistenza media a compressione in
direzione orizzontale fh = 1.522 N/mm2.
Si ricorda che, per questa tipologia muraria, la norma
/5/ (Tabella C8A.2.1) fornisce i seguenti limiti delle caratteristiche meccaniche: E = 1200-1800 N/mm2, G = 400600 N/mm2, fm = 2.4-4.0 N/mm2, ft = 0.09-0.138 N/mm2,
t0 = 0.06-0.092 N/mm2. I valori qui assunti sono quindi
in sostanziale accordo con i limiti superiori degli intervalli forniti dalla norma, ad eccezione della resistenza a
compressione, assunta inferiore. Tale scelta corrisponde
ad un rapporto E/fm = 1314, più vicino al valore 1000
generalmente suggerito in letteratura; inoltre è apparso
ragionevole considerare un rapporto fm/ft pari a circa
10. Tale scelta trova una ulteriore conferma nei risultati
sperimentali ottenuti da Calderoni et al. nel lavoro /14/.
Le pareti sono soggette al peso proprio (w = 18.0 kN/
m3) oltre ai carichi distribuiti trasmessi dai solai assunti
di valore 10 kN/m.
3. Modellazione delle pareti e modi di collasso per i
modelli a telaio
Le pareti sono state modellate sia con la tecnica
degli elementi finiti sia con schematizzazioni a telaio
equivalente. Per i modelli agli elementi finiti è stato impiegato il codice ANSYS /12/ adottando elementi finiti
Anno XXIX – N. 4 – ottobre-dicembre 2012
27
isoparametrici a 8 nodi (Solid 65) di dimensioni medie
0.2 × 0.2 × 0.2 m (nella Fig. 3 è rappresentata la discretizzazione della parete FT). Per la definizione del
comportamento meccanico non lineare della muratura
si sono considerati insieme il modello elastico perfettamente plastico con la superficie limite di Drucker-Prager
(DP, /15/) ed il modello di Willam-Warnke (WW, /16/) per
tenere conto della fessurazione e della rottura in compressione. I parametri costitutivi sono riassunti nella Tab.
1. Si noti che la resistenza a compressione monoassiale
del modello di plasticità è fcDP = 1.522 N/mm2 e che la
resistenza a trazione di fessurazione del modello WW
è ftWW = 0.15 N/mm2; tali valori sono uguali alle caratteristiche meccaniche assunte per la muratura (fcDP = fm e
ftWW = ft) e corrispondono ad un materiale elasto-fragile
in trazione ed elastoplastico in compressione. Per la
modellazione delle architravi in c.a. sono stati adottati gli
stessi modelli di comportamento meccanico con valori
più elevati, allo scopo di rappresentare un calcestruzzo
di classe C25/30.
Per le modellazioni con telai equivalenti è stato fatto
ricorso al già citato codice SAM II. Ogni parete è schematizzata con un sistema di aste deformabili (maschi
e fasce di piano) connesse da link rigidi (Fig. 4, parete
FT). I carichi verticali sono applicati nei nodi del telaio
alle quote dei solai di piano, le azioni sismiche orizzontali agiscono nei centri di massa di ciascun piano,
infine, i nodi alla stessa quota hanno lo stesso spostamento orizzontale (diaframmi di piano rigidi). Le proprietà meccaniche della muratura introdotte nel codice
SAM II sono riassunte nella Tab. 2.
Per i maschi murari si sono considerate le tre modalità di collasso (pressoflessione, taglio per scorrimento e
taglio per fessurazione diagonale) secondo la formulazione della norma attuale. Ad esempio, per la rottura a
taglio per fessurazione diagonale vale la relazione (2)
in cui fv0 è assimilabile a t0 ed i valori del coefficiente
b sono quelli della curva (2) di Fig. 1a. Il modello di
comportamento adottato è quello elastico perfettamente
plastico fino a raggiungere i valori limiti della rotazione
alla corda, ovvero il drift limite a taglio dv e il drift limite
a pressoflessione dp della Tab. 2.
Per le fasce di piano si sono considerate le sole
modalità di collasso per pressoflessione e per taglio
con fessurazione diagonale. Per la prima modalità di
collasso il momento ultimo è definito da:
Hp h
Hp
e 1—
o, H p = 0.4fh h t t Mu =
2
0.85fh h t t
(6)
In effetti l’equazione precedente è riportata nella
norma /4/ con riferimento a fasce in muratura in cui è
presente un elemento orizzontale di rinforzo (catena,
cordolo), se lo sforzo normale è incognito (come nel
caso in studio); in questa equazione Hp rappresenta la
forza di compressione massima che sviluppa la muratura in direzione orizzontale. L’adozione della (6) può
apparire impropria per fasce “non rinforzate”. Nel presente contesto essa è stata utilizzata sulla base delle
seguenti considerazioni. Nel caso di fasce tozze o di
media snellezza (pareti FT e FM), la modalità di collasso più frequente è quella a taglio o mista, inoltre la
presenza dell’architrave costituisce comunque un presidio, infine, la resistenza fh, posta uguale a fm, è stata
assunta notevolmente più bassa di quella suggerita in
/5/ per questa muratura. Per la rottura a taglio si è
assunto:
28
Vt = h t t
1.5fv0
ft
= ht t
b
b
(7)
relazione non esplicitamente contenuta nella norma,
ma ragionevolmente applicabile per edifici esistenti e
derivata dall’Eq. (2) assumendo nullo lo sforzo normale
incognito, a vantaggio di sicurezza. Anche in questa
relazione la resistenza a taglio in assenza di compressione fv0 è assimilabile a t0. La (7) è stata applicata
sia con il fattore b secondo la (3) della norma /5/, sia
con i valori calcolati con l’Eq. (4). Anche per le fasce il
modello di comportamento meccanico di riferimento è
quello elastico perfettamente plastico fino al raggiungimento dei limiti di drift. Si osserva, infine, che tutte
le resistenze sono valori medi e che i coefficienti di
sicurezza sono unitari. Con le ipotesi assunte gli effetti
dell’utilizzo dei valori di b tratti dall’Eq. (4) sulle curve
di capacità delle tre pareti in esame sono dunque da
ricercarsi esclusivamente nei valori del taglio diagonale
resistente delle fasce di piano.
4. Risultati delle analisi di spinta
La risposta sismica delle pareti, sia nel caso dei modelli agli elementi finiti, sia nel caso delle schematizzazioni a telaio equivalente, è stata valutata mediante
analisi statiche non lineari in accordo a quanto specificato al par. 7.8.1.5.4 delle NTC 2008 /4/. Per costruire le
curve di capacità delle pareti sono state condotte analisi
di spinta (pushover) incrementando in modo monotono
le forze orizzontali e registrando lo spostamento di un
punto di controllo dell’ultimo livello della parete. Sono
state considerate le seguenti distribuzioni delle forze
orizzontali:
– distribuzione triangolare (ST), ovvero forze sismiche ripartite in proporzione al prodotto delle masse
per le corrispondenti altezze misurate dalla base della
struttura;
– distribuzione modale (SM), ovvero forze sismiche
ripartite in proporzione al prodotto delle masse per le
componenti della prima forma modale;
– distribuzione uniforme (SU), ovvero forze sismiche
ripartite secondo la distribuzione delle masse.
Nei modelli agli elementi finiti le forze orizzontali
sono state applicate a tutti i nodi della discretizzazione.
Nei modelli a telaio, invece, poiché le aste dei telai
equivalenti sono prive di peso, le loro masse, assieme
a quelle dei carichi portati, sono applicate ai nodi posti alle quote dei piani. Per tale motivo, l’inerzia della
parte di muratura al piede del fabbricato, compresa tra
lo spiccato delle fondazioni e metà altezza del primo
interpiano, non viene conteggiata, perché l’algoritmo
suppone che queste masse trasmettano la forza sismica
direttamente sulle fondazioni, non modellabili.
Nella Fig. 5 sono rappresentate le curve di capacità
delle tre pareti per le due distribuzioni delle azioni sismiche ST e SU, per i tre tipi di analisi: FEM (modelli
agli elementi finiti), SAM II-A (modelli a telaio con b
come da normativa /5/) e SAM II-B [modelli a telaio
con b dell’Eq. (4)]. I risultati ottenuti con la distribuzione modale delle azioni sismiche SM sono molto simili a quelli descritti per la distribuzione ST. In ascissa
è rappresentato lo spostamento del punto di controllo
dc, corrispondente allo spostamento dell’ultimo livello
Anno XXIX – N. 4 – ottobre-dicembre 2012
per i modelli a telaio ed alla media degli spostamenti
di 8 nodi di sommità nei modelli agli elementi finiti; in
ordinata è rappresentato il taglio alla base Vb. Poiché
le analisi FEM sono state condotte in controllo di forza,
non è rappresentabile la parte discendente della curva
di capacità e gli spostamenti massimi sono molto contenuti. I confronti in termini di spostamento sono quindi significativi soltanto tra le due versioni delle modellazioni
a telaio. Le grandezze più significative della risposta
globale sono la rigidezza iniziale Ke, il taglio massimo
alla base Vbu e lo spostamento massimo del punto di
controllo dcu. Tali grandezze sono riassunte nella Tab.
3, rapportate ai valori ottenuti con le analisi FEM.
In termini di rigidezza iniziale è evidente che c’è un
sostanziale accordo fra la risposta dei modelli FEM e
quella dei modelli a telaio equivalente; infatti, le differenze percentuali oscillano tra −13% e +10%. La parte
più interessate del confronto è l’analisi dei valori del
massimo taglio alla base Vbu, poiché il coefficiente b
influisce direttamente sull’entità dei tagli resistenti delle
fasce nel meccanismo di rottura per fessurazione diagonale. Se i valori di b sono stimati per difetto si ha una
sovrastima del taglio ultimo dei pannelli, che comporta,
a livello globale, un incremento del taglio Vbu. In questo senso, le curve di capacità ricavate in ambito FEM
sono uno strumento di controllo per individuare, tra i
due modelli a telaio equivalente, quello caratterizzato
dai valori più realistici del coefficiente b.
Un primo esame rivela che i modelli a telaio delle
pareti FT ed FM sviluppano tagli Vbu maggiori di quelli
ottenuti in ambito FEM e che queste differenze tendono
a ridursi per le analisi con la distribuzione uniforme.
Per la parete FS, invece, le risposte ricavate dai due
tipi di modelli (FEM e a telaio) rivelano valori del taglio massimo in buon accordo. In dettaglio, i modelli a
telaio delle pareti FT e FM, caratterizzati dai b della
norma /5/ forniscono, per le prime due distribuzioni
delle azioni sismiche, valori di Vbu superiori a 1.5 volte
quelle dei modelli FEM (con uno scarto massimo maggiore del 70%). Con la distribuzione uniforme, invece,
la differenza percentuale dai modelli FEM è, per entrambe le pareti, di poco superiore al 28%. Se si esaminano le curve di capacità dei modelli a telaio con i
b delle fasce murarie in accordo con l’Eq. (4), queste
differenze diminuiscono apprezzabilmente; lo scarto più
elevato è di poco superiore al 38% (parete FT con
la distribuzione triangolare) e quello minimo è pari a
circa il 5% (parete FM con la distribuzione uniforme).
Tali risultati mostrano che il fattore b dell’Eq. (4) avvicina la risposta dei telai equivalenti delle pareti FT
ed FM a quella dei modelli FEM. Per la parete FS si
hanno esiti in lieve contraddizione con quelli appena
commentati; anche se di pochi punti percentuali (lo
scarto massimo è, in valore assoluto, di poco superiore all’11%), quasi tutte le analisi dei modelli a telaio
di questa parete hanno fornito valori di Vbu inferiori a
quelli dei corrispondenti modelli FEM. Risulta in controtendenza anche il confronto fra i due modelli a telaio:
infatti, tutti i modelli a telaio con i b delle fasce ricavati
dall’Eq. (4) sottostimano il taglio massimo alla base
rispetto ai modelli FEM, più dei modelli a telaio con i
b conformi alla /5/.
Il confronto tra gli spostamenti ultimi risente delle
diverse modalità di svolgimento delle analisi di spinta.
Per le pareti FT ed FM i valori ottenuti con i modelli a
telaio sono superiori fino a +292% rispetto ai FEM, per
la parete FS lo scarto massimo è di poco superiore al
53%. Il fattore b non comporta differenze importanti su
questo parametro della risposta.
Complessivamente, le analisi delle pareti FT e FM
mostrano una buona affidabilità dei modelli a telaio, con
maggiore rispondenza ai modelli FEM se il fattore b è
quello dell’Eq. (4); per la parete FS le risposte sono
quasi coincidenti, probabilmente perché i modelli a telaio equivalente meglio si adattano a questa tipologia
geometrica, data la snellezza delle fasce.
5. Analisi del danneggiamento delle pareti
Le Figg. 6, 7 e 8 mostrano, rispettivamente per le pareti FT, FM e FS, i quadri di danneggiamento all’ultimo
passo delle analisi, relativamente alle distribuzioni ST
e SU dell’azione sismica (i risultati della distribuzione
SM sono simili a quelli della distribuzione ST). Per i
modelli FEM è mostrata la distribuzione delle fessure
sul prospetto delle pareti, che risultano diffuse nelle
zone di maggiore danneggiamento, in accordo con le
ipotesi del modello smeared crack. Per i modelli a telaio le rotture dei maschi e delle fasce sono concentrate
nelle sezioni di estremità dei pannelli, o al centro degli
stessi, e sono rappresentate con i simboli: (•) per la
rottura a pressoflessione, ( × ) per la rottura a taglio con
fessurazione diagonale e (♦) per la rottura a taglio per
scorrimento (solo per i maschi murari).
Si osserva che esiste una certa similitudine fra i quadri di danneggiamento forniti dai due codici di calcolo
per la parete FS, mentre il numero e la diffusione delle
lesioni delle pareti FT ed FM (dotate di fasce con snellezze non troppo diverse) evidenziano differenze, anche
sensibili, fra i due tipi di modellazione. Questo contrasto
di risultati può essere realisticamente interpretato. Nei
modelli FEM le lesioni si propagano diffondendosi attorno alle diagonali delle pareti, con estensione più evidente per la parete FM e meno evidente per la parete
FT. Il risultato è corretto: quanto più le fasce sono tozze,
tanto più piccoli sono i vani delle aperture, avvicinando
il comportamento della parete a quello di una mensola
priva di fori sottoposta a carico laterale. Le tensioni
principali di trazione hanno maggiore intensità in direzione ortogonale alla diagonale inclinata verso il lato
compresso: superato il comportamento lineare, nascono
lesioni per trazione nell’intorno di tale direzione. Ciò
non si verifica per la parete FS, ove i danneggiamenti
interessano prima le esili fasce murarie e, in seguito,
si propagano anche ai maschi.
Nei modelli a telaio equivalente accade qualcosa di
diverso. L’ipotesi di diaframmi di piano rigidi favorisce la
risposta d’insieme degli elementi resistenti, garantendo
una più estesa ripartizione delle sollecitazioni sismiche
fra essi. Ne deriva che le lesioni si diffondono lungo i
piani, anche per geometrie di parete che, come la FT
e la FM, sono tendenzialmente orientate a lesionarsi in
diagonale. Poiché le modellazioni FEM sono prive di diaframmi rigidi, è probabile che questo sia il motivo delle
differenze fra i quadri di danno, e non è da escludere
che ad essa siano riconducibili una certa parte degli
scarti per il taglio massimo alla base. A conferma di ciò
è il fatto che le curve di capacità della parete FS sono
quelle che presentano il maggior accordo. I modelli FEM
di tutte le pareti mostrano, anche se in misura diversa
ed indipendente dalla distribuzione delle forze sismiche,
sensibili danneggiamenti di alcune porzioni di muratura
in cui convergono maschi e fasce. Si tratta di un risultato
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in contrasto con una delle ipotesi base della modellazione a telaio equivalente, secondo cui queste parti di
muratura sono nodi rigidi infinitamente resistenti.
Per i modelli a telaio, nella Tab. 4 sono riportati, al
variare della distribuzione dell’azione sismica, i numeri
di rotture delle tre pareti, per ciascuno dei meccanismi
(M = rottura per pressoflessione, V D = rottura a taglio
per fessurazione diagonale, V S = rottura a taglio per
scorrimento). Dall’esame dei quadri di danno di tutte
le pareti si osserva che nessuno dei maschi murari ha
manifestato rotture a taglio per fessurazione diagonale:
tali elementi sono entrati in crisi solo per pressoflessione o per taglio per scorrimento. È anche evidente
che assumendo i valori di b dell’Eq. (4) si verifica un
incremento delle rotture per fessurazione diagonale ed
una sensibile riduzione delle rotture a taglio per scorrimento. Per le rotture a pressoflessione, comunque le
più numerose, il passaggio dall’uno all’altro criterio di
valutazione del fattore b, non conduce ad univoche tendenze: i modelli con i b delle fasce calcolati con l’Eq.
(4) mostrano incrementi di lesioni in 4 casi su 9, due
per la distribuzione uniforme delle pareti FT ed FM, e
due per le distribuzioni triangolare e modale della parete FS. Nei rimanenti casi, o il numero di rotture per
pressoflessione rimane invariato, o diminuisce rispetto
ai modelli con i b valutati secondo la norma /5/.
6. Osservazioni conclusive
In questo lavoro, analizzando la risposta sismica di
tre pareti piane in muratura ordinaria con fasce di piano
di diversa snellezza (da tozze a snelle), si sono mostrati
gli effetti della variazione del coefficiente di forma b del
criterio di rottura a taglio per fessurazione diagonale.
In particolare, la formulazione di tale coefficiente proposta dalle norme vigenti è stata confronta con quella
proposta dagli stessi autori in un precedente lavoro /7/.
Le pareti analizzate sono state modellate sia ricorrendo
alla tecnica degli elementi finiti, sia adottando schemi
a telaio equivalente. In quest’ultimo caso il coefficiente
b, per le sole fasce di piano, è stato assunto come
suggerito dalla norma attuale e, in alternativa, come
proposto nel lavoro /7/.
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I risultati dei modelli agli elementi finiti, indipendenti
dal coefficiente b, sono stati assunti come utile riferimento. I confronti devono, tuttavia, essere interpretati tenendo conto delle diverse ipotesi di modellazione quali:
i) adattamento dei parametri costitutivi della muratura
nel passaggio dai modelli FEM a quelli a telaio equivalente, ii) mancata modellazione dei diaframmi di piano
rigidi per i modelli FEM, iii) esecuzione delle analisi
FEM in controllo di forza, iv) definizione, per i modelli
a telaio equivalente, del comportamento a taglio delle
fasce con un legame costitutivo elastico perfettamente
plastico, anziché elasto-fragile (ciò avrebbe ridotto
l’estensione dei rami plastici delle curve di capacità,
ma, presumibilmente, non avrebbe influenzato i valori
massimi del taglio alla base).
I risultati mostrano che tutti i modelli sono in buon
accordo nel riprodurre la rigidezza Ke del ramo elastico delle curve di capacità. Tuttavia, i valori massimi
del taglio alla base Vbu sono sensibilmente diversi. In
dettaglio, i modelli a telaio delle pareti con fasce tozze
e di snellezza media producono una sovrastima di Vbu
rispetto ai modelli FEM, sovrastima accentuata dall’adozione dei valori di b della norma e più evidente per
la parete a fasce tozze. Per la parete a fasce snelle i
tagli massimi alla base sono in buon accordo per tutti
i modelli.
Alla luce di quanto ottenuto appare opportuna una
modifica della formulazione di b contenuta nella Circolare Ministeriale del 2 Febbraio 2009, e una possibile
proposta è quella fornita dall’Eq. (5).
Ringraziamenti
Gli autori ringraziano la Regione Toscana per il contributo finanziario fornito allo svolgimento ed alla stesura
del presente lavoro tramite l’accordo di collaborazione
scientifica per “Attività di acquisizione e elaborazione
dati derivanti da prove di compressione diagonale su
muratura, collaborazione alla realizzazione dell’abaco
regionale delle murature, acquisizione ed elaborazione
dati derivanti da prove su acciaio da costruzioni ed
elementi in calcestruzzo”.
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