Università degli Studi di Milano
Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
Dipartimento di Informatica e Comunicazione
Corso di Laurea in Tecnologie dell’Informazione e della Comunicazione
e Informatica
SIMULAZIONE DEL MOVIMENTO ONDOSO DI
UN FLUIDO CON IL METODO DI KASS E
MILLER TRAMITE UNA SUPERFICIE DI
BEZIER
• Stefano CERONI - 753605
• Sara TOIA - 753606
RICHIAMI SUI FLUIDI
FLUIDO: sostanza che si deforma con continuità sotto
l’applicazione di una forza di taglio.
RICHIAMI SUI FLUIDI
FLUIDO: sostanza che si deforma con continuità sotto
l’applicazione di una forza di taglio.
Gli strumenti disponibili per lo studio di un fluido sono:
1. Conservazione della massa
2. Leggi di Newton
3. Principi della termodinamica
RICHIAMI SUI FLUIDI
FLUIDO: sostanza che si deforma con continuità sotto
l’applicazione di una forza di taglio.
Gli strumenti disponibili per lo studio di un fluido sono:
1. Conservazione della massa
2. Leggi di Newton
3. Principi della termodinamica
N.B.: nel nostro lavoro andremo ad utilizzare le leggi di Newton
DINAMICA DEI FLUIDI
Le grandezze di base sono:
ESTENSIVE (proporzionali alla massa del sistema)
• Massa
• Momento lineare
• Momento angolare
• Energia
scalare
vettoriale
vettoriale
scalare
INTENSIVE (indipendenti dalla massa del sistema)
• Pressione
• Velocità
scalare
vettoriale
FISICA: MOTO ONDOSO
Le onde sono provocate dall’attrito del vento con la superficie
d’acqua
FISICA: MOTO ONDOSO
Le onde sono provocate dall’attrito del vento con la superficie
d’acqua
CARATTERISTICHE DI UN’ONDA
• lunghezza: distanza fra cresta e cresta oppure fra ventre e
ventre
• altezza: distanza verticale tra cresta e cavo
• velocità di propagazione: spazio percorso da una cresta
nell’unità di tempo
FISICA: MOTO ONDOSO
Il moto del liquido viene espresso tramite le equazioni di
Navier-Stokes:
FISICA: MOTO ONDOSO
Il moto del liquido viene espresso tramite le equazioni di
Navier-Stokes:
FISICA: MOTO ONDOSO
Il moto del liquido viene espresso tramite le equazioni di
Navier-Stokes:
dove:
u,v e w = componenti della velocità rispettivamente lungo le
coordinate spaziali x,y,z
p = pressione
ν = coefficiente di viscosità del fluido
ρ = densità del fluido
fx,fy e fz = componenti forze esterne lungo le coordinate x,y,z
Per il nostro fluido deve essere soddisfatta anche l’equazione
di continuità:
Per il nostro fluido deve essere soddisfatta anche l’equazione
di continuità:
Assicurando cioè che, preso un volume infinitesimale di
liquido, la quantità di flusso entrante nella superficie che
racchiude il volume, sarà uguale alla quantità di flusso
uscente
SIMULAZIONE DEL MOVIMENTO ONDOSO DI UN
FLUIDO CON IL METODO DI KASS E MILLER
TRAMITE UNA SUPERFICIE DI BEZIER
acqua in computer grafica = COMPLESSA DA SIMULARE
SIMULAZIONE DEL MOVIMENTO ONDOSO DI UN
FLUIDO CON IL METODO DI KASS E MILLER
TRAMITE UNA SUPERFICIE DI BEZIER
acqua in computer grafica = COMPLESSA DA SIMULARE
riflessione delle onde, movimento delle
acque, comportamenti di oggetti
immersi, ecc. …
SIMULAZIONE DEL MOVIMENTO ONDOSO DI UN
FLUIDO CON IL METODO DI KASS E MILLER
TRAMITE UNA SUPERFICIE DI BEZIER
acqua in computer grafica = COMPLESSA DA SIMULARE
riflessione delle onde, movimento delle
acque, comportamenti di oggetti
immersi, ecc. …
DISPENDIO COMPUTAZIONALE
SIMULAZIONE DEL MOVIMENTO ONDOSO DI UN
FLUIDO CON IL METODO DI KASS E MILLER
TRAMITE UNA SUPERFICIE DI BEZIER
questo metodo permette la simulazione del movimento
ondoso in maniera
• veloce
• stabile
• facilmente implementabile
• senza un eccessivo dispendio computazionale
Per esprimere il moto del liquido, il metodo fa riferimento alle
equazioni di Navier-Stokes.
Per esprimere il moto del liquido, il metodo fa riferimento alle
equazioni di Navier-Stokes.
Poiché queste sono complesse, Kass e Miller si avvalgono di
tre assunzioni:
Per esprimere il moto del liquido, il metodo fa riferimento alle
equazioni di Navier-Stokes.
Poiché queste sono complesse, Kass e Miller si avvalgono di
tre assunzioni:
1. il fluido è una superficie con valori di altezza
Per esprimere il moto del liquido, il metodo fa riferimento alle
equazioni di Navier-Stokes.
Poiché queste sono complesse, Kass e Miller si avvalgono di
tre assunzioni:
1. il fluido è una superficie con valori di altezza
2. la componente verticale della velocità va ignorata
Per esprimere il moto del liquido, il metodo fa riferimento alle
equazioni di Navier-Stokes.
Poiché queste sono complesse, Kass e Miller si avvalgono di
tre assunzioni:
1. il fluido è una superficie con valori di altezza
2. la componente verticale della velocità va ignorata
3. la componente orizzontale della velocità è costante
Per esprimere il moto del liquido, il metodo fa riferimento alle
equazioni di Navier-Stokes.
Poiché queste sono complesse, Kass e Miller si avvalgono di
tre assunzioni:
1. il fluido è una superficie con valori di altezza
2. la componente verticale della velocità va ignorata
3. la componente orizzontale della velocità è costante
NO A ONDE CHE SI INFRANGONO
NO A CORRENTI VERTICALI
Sapendo che:
b(x) = altezza del suolo
h(x) = altezza dell’acqua
La profondità dell’acqua d (x) sarà data da:
d (x) = h(x) – b(x)
Considerando le assunzioni viste precedentemente, le equazioni del
moto ondoso diventano:
Considerando le assunzioni viste precedentemente, le equazioni del
moto ondoso diventano:
dove
u(x) = velocità orizzontale dell'onda
g = accelerazione di gravità
Considerando le assunzioni viste precedentemente, le equazioni del
moto ondoso diventano:
Legge di Newton
(F = ma)
dove
u(x) = velocità orizzontale dell'onda
g = accelerazione di gravità
Considerando le assunzioni viste precedentemente, le equazioni del
moto ondoso diventano:
Legge di Newton
(F = ma)
Legge di
Conservazione del
volume
dove
u(x) = velocità orizzontale dell'onda
g = accelerazione di gravità
Differenziando la prima rispetto a x, e la seconda rispetto a t si
ottiene:
Differenziando la prima rispetto a x, e la seconda rispetto a t si
ottiene:
Sostituendo avremo:
Differenziando la prima rispetto a x, e la seconda rispetto a t si
ottiene:
Sostituendo avremo:
che è l'equazione che esprime la legge del moto di un'onda di
velocità v = (gd)½
Per risolvere l’equazione
è necessario costruire una rappresentazione discreta dell’equazione
continua.
Ovvero, bisogna procedere con una discretizzazione, ottenendo:
Per risolvere l’equazione
è necessario costruire una rappresentazione discreta dell’equazione
continua.
Ovvero, bisogna procedere con una discretizzazione, ottenendo:
Il risultato acquisito va integrato.
Ci sono diversi modi per procedere.
Kass e Miller suggeriscono di utilizzare un metodo implicito di
primo ordine.
Si ottiene:
Si ottiene:
che, con i dovuti ri-arrangiamenti, diventa:
Linearizzando l’ultima equazione si ottiene:
Linearizzando l’ultima equazione si ottiene:
dove A è una matrice quadrata, così composta:
A questo punto è possibile procedere con l’implementazione
dell’algoritmo.