Forze e campi magnetici (introduzione)
Circa 3000 anni fa in una regione chiamata Magnesia si scoprirono delle strane
pietre (ora detta magnetite: Fe3O4 ) che attraevano altre pietre simili ed anche il
ferro.
Queste pietre ( le comuni calamite) sono magneti
permanenti, essi contengono materiali detti
ferromagnetici che si magnetizzano in presenza di un
altro magnete e che mantengono le loro proprietà
magnetiche anche dopo che il magnete esterno è
stato rimosso.
Altri tipi comuni di magneti non sono magneti permanenti, ma sono
elettromagneti. (per esempio i grandi magneti degli
Sfasciacarrozze o i magneti che usano per i macchinari
delle risonanze magnetiche)
Si possono ottenere effetti magnetici transitori
mediante correnti elettriche (un avvolgimento di filo
conduttore diventa “magnetico” quando percorso da
corrente)
La Terra stessa è un magnete
Introduzione(2)
I magneti presentano due poli detti NORD (N) e SUD (S) che esercitano forze l’uno sull’altro
in maniera analoga a quanto avviene con le cariche elettriche
Poli uguali si respingono (N-N o S-S ) poli opposti si attraggono (N-S)
Il nome dei poli deriva dal comportamento di un magnete sotto l’azione del campo magnetico
terrestre:
Se una sbarretta magnetizzata (bussola) viene sospesa in modo da poter ruotare su un piano
orizzontale essa ruoterà in modo da posizionarsi con il suo polo nord allineato con il polo nord
geografico della Terra (polo sud magnetico)
A differenza delle cariche elettriche non esistono Poli
magnetici isolati, o almeno non esistono in natura
(ultime novità: da un articolo sul Nature di febbraio
2014 sembra che nell’Amherst College (USA) due
Scienziati abbiano creato in laboratorio un
monopolo magnetico utilizzando degli atomi di rubidio
immersi in un campo magnetico complesso a temperature
dell’ordine di 10-10 K )
 In natura i poli magnetici vanno sempre in coppia
Se si divide un magnete in due metà ognuna delle
due metà presenterà un polo nord ed un polo sud
Campo Magnetico
Abbiamo visto che una carica elettrica stazionaria genera un campo elettrico
nello spazio circostante
Una carica elettrica in movimento genera anche un campo magnetico.
I campi magnetici circondano anche qualsiasi oggetto magnetizzato
Il campo magnetico in un punto dello spazio è un vettore e la sua direzione e
verso sono quelli in cui si posiziona l’ago di una bussola
posta in quel punto.
Come per il campo elettrico si può dare una rappresentazione
grafica del campo magnetico mediante le sue linee di campo
Campo magnetico e Forza magnetica
Come per il campo elettrico, anche il campo magnetico può essere quantificato attraverso
la sua azione su una particella prova.

Definiamo forza magnetica FB sulla particella carica q in un punto P la forza con cui il
campo magnetico agisce sulla particella in quel punto.
Si trova che:
se la particella di carica q si muove parallelamente al campo
magnetico essa

continua a muoversi indisturbata lungo quella direzione ( FB è nulla)
 
Se v e B sono rispettivamente la velocità della particella ed il vettore campo
magnetico,
 ed essi formano un angolo  tra loro, la forza FB risulta perpendicolare sia

a v che a B ( FB è diretta perpendicolarmente al piano individuato dalla velocità e dal
campo magnetico)
FB  q, FB  v, FB  B , FB  sin 
Il verso della forza dipende se la carica è positiva o negativa
(versi opposti nelle due condizioni).
Quanto detto si può riassumere con la seguente formula:

 
FB  qv  B
Prodotto vettoriale
Forza Magnetica

 
FB  qv  B


La forza FB con cui un campo magnetico B agisce
 su una
particella con carica q che possiede una velocità v è un vettore
che ha modulo pari a:

FB  q vB sin
dove  è l’angolo tra il campo magnetico e la velocità

 FB è nulla quando =0 (quando q si muove parallelamente alle linee del campo magnetico)
ha modulo massimo quando =90° (quando q ha velocità  al campo magnetico)

 
 La direzione di FB è parallela a quella del vettore v  B che (per definizione di prodotto
vettoriale) è perpendicolare al piano identificato dai due vettori.

Il verso di FB è dato dalla regola della mano destra:
•

v
è lungo le dita della mano

• B è uscente dal palmo

• FB è diretta come il pollice (se q è positiva)



 
L’equazione FB  qv  B analoga a quella della forza elettrica FE  qE può essere considerata
la definizione operativa del campo magnetico in un punto dello spazio.
N s
N
1
T

1

1
L’unità di misura del campo magnetico nel S.I. è il tesla (T) :
Cm
Am
Differenze tra Forze elettriche e forze magnetiche (agenti su particelle cariche)



FE sempre // a E

 


 FB sempre  a B


FE  qE


 
 
FB  q v  B  FB // v  B





 FE agisce su una carica indipendentemente dalla sua velocità
 
 FB agisce solo su cariche in movimento ed è proporzionale alla velocità della particella stessa

 FE compie lavoro spostando una carica
 
 FB non compie mai lavoro spostando una carica poiché la forza è sempre perpendicolare alla
velocità e quindi allo spostamento e quindi il lavoro è nullo:



 

dL  FB  ds  FB  v dt  0

0
Vettore entrante
Vettore uscente
Esempio:Moto di una carica in un campo magnetico uniforme (1)
Consideriamo una carica positiva che si muove all’interno di un campo magnetico uniforme quando la
velocità iniziale della particella sia  al campo.
Assumiamo che la direzione del campo sia entrante nel muro.
La particella si muoverà su una traiettoria circolare su un piano
perpendicolare al campo.





 
 
F  q v  B  FB  v, FB  B
Questo perché: B
FB  q vB  costante
FB, man mano che modifica la traiettoria di v ( ma non il suo modulo), cambia anche la sua traiettoria in
modo da rimanere sempre perpendicolare a v stessa
FB, punta quindi sempre verso il centro della circonferenza (forza centripeta) ed il moto è un moto circolare
uniforme
Il moto è in senso antiorario se q è positiva (come in figura) o orario se q ha segno negativo
Determiniamo il raggio di curvatura:
v2
ma  m
 qvB
r
FB  qvB  ma
v2
mv
rm

qvB qB
2° legge di Newton
mv
r
qB
Determiniamo la velocità angolare ed il periodo del moto:

v
v

r mv qB

qB
m
Velocità angolare
della particella
T 
Raggio di curvatura:
r  mv (quantità di moto della
particella)
r inversamente proporzionale a q ed
all’intensità del campo magnetico B
2


2m Periodo di rotazione
qB della particella
NB: la velocità angolare ed il periodo T non dipendono né da v né dal raggio del’orbita
Esempio:Moto di una carica in un campo magnetico uniforme (2)
Cosa succede nel caso in cui una particella carica entra in un campo magnetico con una
velocità non perpendicolare al campo B ?
La sua traiettoria sarà elicoidale con asse paralleo a x (moto tridimensionale costituito da un moto circolare
uniforme + un moto rettilineo uniforme nella direzione perpendicolare al piano di rotazione)

B lungo x  FBx  0  a x  0
Piano yz :

 
F  qv  B
Lungo x ho un moto rettilineo
uniforme con velocità vx
Le componenti vy e vz variano nel tempo
in modo da disegnare una circonferenza
sul piano yz (proiezione del moto su tale
piano)
Se si considerano le componenti di v rispetto al campo B (v// e v) si possono ricavare
il raggio di curvatura, la velocità angolare ed il periodo associati al moto circolare in
analogia con quanto visto nel caso di v  a B, semplicemente sostituendo a v v
v //  v x

2
2
v

v

v
 
y
z
r
mv 
qB

v qB

r
m
2m
T 
qB
Moto di particelle cariche in un campo magnetico



Una carica chesi muove con velocità v in un
 campo elettrico E ed in un campo magnetico B subisce una
forza elettrica FE ed una forza magnetica FB che si combinano a dare una forza risultante (detta forza di
Lorentz):


 
F  qE  qv  B
Forza di Lorentz
Sull’azione di questa forza si basano numerosi strumenti realizzati per:
 Accelerare particelle cariche ( acceleratori di elettroni/protoni, collider)
Discriminare gli ioni in funzione del rapporto massa/carica (spettrometri di massa)
Realizzare fasci monocromatici di e- (aventi tutti la stessa energia cinetica e quindi la stessa velocità)
Esempio: Selettore di velocità (strumento che seleziona particelle cariche con una determinata v):
Consideriamo un campo elettrico uniforme rivolto verticalmente verso il basso ed un campo magnetico
perpendicolare ad esso entrante nel muro (  ) ed una sorgente di particelle cariche ( per esempio positive)
emesse con velocità diverse
Le particelle cariche emesse dalla sorgente S che entrano
nella regione di campo subiranno:
una forza magnetica rivolta verso l’alto
una forza elettrica rivolta verso il basso
S
Per selezionare le particelle con una certa velocità v0
desiderata, bisogna scegliere B ed E in modo tale che
qE  qv0 B
F (v0 )  qE  qv0 B  0
E  v0 B
v0 
E
B
Le particelle con velocità v0 si muoveranno quindi di moto rettilineo uniforme attraverso la regione di campo.
Le particelle con velocità v> v0 verranno deviate verso l’alto (vB>E) e quelle con velocità v<v0 saranno invece
deviate verso il basso.
Un semplice schermo con un foro in corrispondenza della traiettoria rettilinea dalla sorgente permetterà la
fuoriuscita delle sole particelle con velocità v0
Moto di particelle cariche in un campo magnetico(2)
Spettrometro di massa: Strumento per discriminare gli ioni in funzione del loro rapporto m/q
Un fascio di ioni ( di varia natura e velocità) passa prima attraverso un selettore di velocità. Gli ioni che
attraversano il selettore ( e che quindi hanno tutti la stessa velocità) entrano in una regione in cui è presente
un campo magnetico uniforme B0 ( nessun campo elettrico) con stessa direzione del campo utilizzato per il
selettore (vB0).

 
Gli ioni entrando in questa regione risentono della forza magnetica F  qv  B0 perpendicolare a v e a B 0
che fa compiere alla particella una traiettoria circolare di raggio r sul piano definito da F e v.
Se q>0 la traiettoria è verso l’alto
Se q<0 la traiettoria è verso il basso
Viene posto un rivelatore di particelle (sensibile alla posizione)
lungo un piano parallelo a B0 e perpendicolare a v,
Gli ioni, dopo aver compiuto una semicirconferenza, colpiscono un
punto P del rivelatore => si determina il valore r dalla posizione
segnalata dal rivelatore
Sappiamo che se m,v e q sono la massa la velocità e la carica di uno
ione, il raggio di curvatura nel campo B0 sarà:
r
Si avrà quindi che il rapporto m/q sarà:
mv
qB0
BB
m B0

r  0 in r
q
v
E
Il rapporto m q  B0 Bin r E si può quindi determinare misurano il raggio di curvatura note le intensità dei
campi B0,Bin, E
Esempio: Misura delle masse degli isotopi di uno stesso ione ( q è uguale per tutti)
Esempio : camera a bolle

B
Traiettorie a forma di spirale di un elettrone (a sinistra) e un positrone (a destra) in una camera a bolle.
Il mezzo sensibile di questo rivelatore di particelle è costituito da un liquido ad una temperatura
prossima al suo punto di ebollizione.
 Il passaggio di una particella ionizzante attraverso il liquido è evidenziato dalla scia di bolle prodotte nel
liquido lungo la traiettoria.
Perpendicolarmente al piano del foglio e uscente da questo è disposto un campo magnetico che determina
il percorso circolare delle particelle e consente di stabilirne la carica;
 la forma delle traiettorie è in effetti a spirale in quanto durante il loro percorso le particelle perdono
energia cinetica negli urti col mezzo => la velocità diminuisce => il raggio di curvatura delle traiettorie (
essendo r v) tende a ridursi.
Il positrone e l’elettrone sono stati creati in coppia dal decadimento di un fotone proveniente dal basso,
invisibile perché, essendo privo di carica, non produce bolle nel liquido.
Forza magnetica che agisce su una corrente

Una carica che si muove liberamente in un campo magnetico è soggetta alla forza magnetica F
che ne devia la traiettoria fin quando la carica stessa non lascia la regione di campo magnetico.
 
 qv  B
Cosa succede se la carica è confinata in una regione ( come nel caso di un elettrone confinato a muoversi
lungo un filo conduttore che trasporta corrente)?
Poiché ogni carica all’interno del filo risente della forza magnetica, un filo percorso da corrente
sarà soggetto a questa forza.
Adattiamo la forza di Lorentz ad un filo percorso da corrente
Consideriamo un filo conduttore di lunghezza
l e sezione A in cui scorra una corrente I immerso in un

campo magnetico esterno uniforme B.

Se trascuriamo il moto disordinato degli elettroni e consideriamo solo la velocità di deriva v d ,
la forza magnetica che agisce su ogni carica q è:



FB  qvd  B
La forza totale agente sul filo è data dalla FB moltiplicata per il numero di portatori di
carica contenuti all’interno del filo conduttore


 





F  NFB  nA qvd  B  nAqvd ˆ  B  nAqvd   B

 
 
Ricordando che I= nAqv si ottiene: F  nAqv   B  I   B

 
F  I  B
Forza magnetica che agisce su una corrente(2)

 
F  I  B
Forza magnetica totale dovuta alla presenza di un campo magnetico uniforme
agente su un filo conduttore rettilineo di lunghezza l in cui scorre una corrente I
Se però il filo non è rettilineo, questa formula non è valida.
Bisogna considerare degli elementi di lunghezza del filo d rettilinei
La forza magnetica dovuta alla presenza di un campo magnetico uniforme B agente su un
elemento infinitesimo di filo conduttore d è:
 b
B

d

B
a

 
dF  Id  B


 
F   dF  I  d   B
b
a
Forza magnetica dovuta alla
presenza di un campo magnetico
uniforme B agente su un filo di
forma generica con estremi a e b
in cui circola una corrente I
Legge di Biot-Savart
Abbiamo studiato l’azione di un campo magnetico sulle cariche in movimento
Vediamo ora come una corrente possa essere una sorgente di campo magnetico
All’inizio del XIX secolo il fisico danese Orsted notò che l’ago di una bussola posta vicino ad un filo conduttore
si muoveva non appena nel filo passava della corrente.
La scoperta casuale portò i fisici Biot e Savart a studiare il fenomeno ed ad estrarre una relazione
fondamentale tra carica in movimento e campo magnetico nota come “Legge di Biot-Savart”.
Tale legge afferma che:

Il campo magnetico dB in un punto P dello spazio, prodotto dall’elemento di corrente infinitesima di
lunghezzad ha le seguenti proprietà:


 
dB  d  dB  r̂

dove d  (vettore avente direzione della corrente)
ed r̂ è il versore congiungente l’elemento di corrente infinitesimo
al punto P
 dB1/r2 dove r è la distanza tra l’elemento infinitesimo ed il punto P
dB  I e dB 

d
d
dB sin dove  è l’angolo tra
Legge di Biot-Savart

r̂ e d 


Id   r̂
dB  k m
r2
0 = permeabilità magnetica del vuoto
0 = 4∙10-7 Tm/A
con
km 
0
 107 T  m / A
4
NB: la permeabilità magnetica misura la tendenza di una regione o di un materiale a dar luogo
ad un campo magnetico in risposta ad un altro campo generante
Legge di Biot-Savart


id   r̂
Legge di Biot-Savart dB  k m
r2
La legge di Biot Savart si riferisce ad un campo magnetico in un punto generato da un elemento infinitesimo
di corrente =>
Per ottenere il campo totale si devono sommare tutti i contributi dovuti ad ogni tratto di corrente


infinitesima:


Id   r̂ 0

2

r
4
corr.
Id   r̂
 r2
corrente
corr.

1
Confronto con l’equazione del campo elettrico E 
4 0
B
Similitudini
 dB  k m
dq
Q r 2 rˆ
Sia la legge di Biort-Savart che quella di Coulomb dipendono dalle costanti fisiche associate al campo:
•0 per il campo elettrico
•0 per il campo magnetico
Entrambe dipendono dall’elemento di carica che dà luogo al campo:
•Una carica infinitesima dq in quiete per il campo elettrico
•Un elemento infinitesimo di corrente Id  per il campo magnetico
Entrambi sono inversamente proporzionali a 4r2
Differenze
Ledirezioni dei due campi sono differenti:
•Il campo elettrico punta verso la carica o fuori da essa (direzione radiale)
•Il campo magnetico è perpendicolare sia alla direzione della corrente che alla direzione congiungente
l’elemento di corrente con il punto in cui si determina il campo(direzione radiale)
Sorgenti diverse:
•Il campo elettrico può essere prodotto da una singola carica o da una distribuzione di cariche
• Il campo magnetico può essere prodotto solo da una distribuzione di corrente
Campo magnetico sull’asse di una spira circolare
Utilizziamo la legge di Biot-Savart per determinare intensità direzione e verso di un campo
magnetico in un punto posto ad una distanza y lungo l’asse per il centro di una spira percorsa da corrente.
Consideriamo una spira di raggio R in cui scorre una corrente stazionaria I e calcoliamo il campo magnetico
nel punto P distante x dal centro della spira.

d
Considerazioni:

• d   r̂
• tutti gli elementi della spira si trovano alla stessa distanza r da P
r  R2  x2


•L’elemento di campo dB generato dall’elemento di corrente d  ha modulo:

Id   rˆ
Id
Id
dB  k m

k

k
m
m
R  r cos   cos 
2
2
r2
r2
 R x
•ed è perpendicolare alpiano definito da d e r̂
•Solo
 la componente dB x porta contributo alla somma finale poiché le componenti
dB y si elidono a coppia (per simmetria)

B  Bx î  B y ĵ  Bx î
Bx   dBx   dB cos    k m

0 IR 2
2R x
2

2 32
î
Campo magnetico generato da una
spira di corrente I di raggio R in un
punto sull’asse della spira ad una
distanza x dal centro della spira stessa
R

r
R
R  x2
2

dB y
I cos 
d
2
2
R x
 d  2R
0
IR
0 IR 2
0 I cos 
2R 
Bx 
d 
32
2
2
2
2 
2
2 32
4 R  x 
4 R  x
2R  x 

B

Per x=0

dB y


 0 I
B
î
2R

dB

dB

Osservazioni

B
0 IR 2

2R x
2

2 32
î
Questa equazione descrive il campo magnetico generato da una
spira percorsa da una corrente I lungo l’asse perpendicolare della spira.
Questa espressione assomiglia molto al campo elettrico generato da un dipolo elettrico, infatti:


Definiamo
il vettore momento magnetico:   IA con A rappresentate il vettore superficie

=> A  Anˆ dove A = R2 è la superficie delimitata dalla spira

Il verso di A (e quindi del momento di dipolo) si ottiene con la regola della mano destra:
le dita lungo la direzione della corrente I il pollice indica il verso di A

Nel nostro caso nˆ  iˆ e se consideriamo il caso in cui x>>R =>
Possiamo riscrivere quindi il campo magnetico come:
 
 
 20 I R 2
B
n̂
2 32
4 x

0 2

4 x 3
R
2

 x2  x2
 0 2
B
4 x 3
Molto simile all’espressione trovata per un campo elettrico in un punto molto lontano sull’asse
di un dipolo elettrico:



E
1
2p
4 0 z 3
dove

p  qd è il momento
di dipolo elettrico
La spira percorsa da corrente è a tutti gli effetti un dipolo magnetico
Osservazioni(2)
Il campo magnetico terrestre assomiglia al campo magnetico di un dipolo con asse del campo inclinato di 11°
rispetto all’asse di rotazione terrestre
La terra NON è un magnete permanente
Le sostanze ferromagnetiche perdono le loro caratteristiche magnetiche
quando vengono scaldate intorno agli 800 °C
Il nucleo della terra è a temperature molto superiori (da 3000 °C a 5400 °C)
Si ritiene che il campo magnetico della terra sia dovuto alla rotazione del
nucleo liquido terrestre che forza le cariche a muoversi lungo percorsi
circolari dando luogo ad un campo magnetico dipolare
Il campo magnetico terrestre (magnetosfera) funziona come uno scudo,
schermando la Terra dall'impatto diretto delle particelle cariche
provenienti dal Sole che compongono il vento solare.
La maggior parte di queste particelle "scivolano" lungo il bordo esterno della magnetosfera e passano oltre la
Terra.
Una parte del vento solare può però penetrare dentro la magnetosfera ed interagire con la ionosfera
terrestre, dando luogo, in tal modo, al fenomeno delle aurore boleari ed aurore australi.
Più di 109 particelle ad alta energia vengono emesse dal Sole ogni secondo. Se i “venti solari” non fossero
deflessi dal campo magnetico terrestre questi sarebbero in grado di “strappare via” l’atmosfera terrestre.
La presenza del campo dipolare terrestre è sfruttata da molti organismi viventi:
Oltre ai batteri, anche animali come i piccioni, le api e le tartarughe marine utilizzano una sorta di “bussola
Interna” per orientarsi
Campo magnetico generato da una filo rettilineo percorso da corrente
Consideriamo un filo rettilineo percorso da una corrente I, andiamo a calcolare il campo magnetico in punto

P a distanza d dal filo


Id   r̂
Consideriamo
 tutte le variabili della legge di Biot-Savart: B   dB  k m  r 2
corrente
corr.
Il campo B nel
 punto P
P 
L’elemento Id  di corrente
B?

r
La distanza r dell’elemento di corrente Id  dal punto P
d
r̂
Consideriamo anche la distanza  lungo il filo


Il versore unitario r̂


d
I
L’angolo  tra il versore r̂ e l’elemento d 
Il prodotto vettoriale

d   r̂
dipende da :

d   r̂  d sin

La direzione dell’elemento di campo dB è sempre perpendicolare al piano definito dai due vettori
Il verso è definito dalla regola della mano destra: pollice puntato lungo il verso della corrente, la mano si

chiude nel verso delle linee di campo => nel punto P il campo esce dal muro
Vero per ogni elemento d 

B

 dB  k m
corrente

Id   r̂
 r2
corr.
Idsin
B  km 
r2
corr.
Dove
Per risolvere l’integrale è
necessario esprimere due
delle variabili in funzione
della terza
 , r e  variano
Dalla figura si vede che:
d

d  rsin  sin 
r

r   2  d 2

d

sin



2  d 2

r   2  d 2

dsin

r2
d

 d  d
2
2
2
2

d 

d
2
d

2 32
d
Integrando per sostituzione:


Id
d
Idsin

k
d


k
Id
B  km 
m
m
  2  d 2 3 2

r2
 2  d 2 3 2
corr.
z
1
 d
2
2
dz 

2
2
 d2

32
d
B  k m Id

d 2 2  d 2


Campo magnetico generato da una filo rettilineo percorso da corrente
B  k m Id


d 2 2  d 2

k I
 m
d

2



kmI       kmI

2


d 
 
d
km 
0
4
0 I
B
2d
Filo visto in sezione
d
I
0 I
B
2d
B  I

1

 B  d
Il campo magnetico generato da un filo rettilineo percorso da corrente ha linee di forza che
si avvolgono intorno al filo su un piano perpendicolare al filo stesso.
Il verso è quello definito dalla regola della mano destra
L’intensità del campo è direttamente proporzionale alla corrente I ed inversamente
proporzionale alla distanza dal filo ed è data da:
0 I
B
2d
Campo magnetico e corrente: legge di Ampere
Abbiamo visto nel caso di campi elettrici, soprattutto in presenza di simmetrie, la determinazione del campo
elettrico in un punto dello spazio risulta spesso più semplice se si applica il teorema di Gauss piuttosto che la
legge di Coulomb.
Il teorema di Gauss mette in relazione il flusso di un campo elettrico attraverso una superficie chiusa con la
 qin
carica in essa contenuta.
E 
 E  dA  
sup.chiusa
0
Una relazione analoga esiste anche nel caso di campo magnetico.
Consideriamo un filo di lunghezza indefinita percorso da una corrente I.
Abbiamo visto che esso produce un campo magnetico con le linee di forza che giacciono su piani
perpendicolari al filo e costituite da circonferenze concentriche ( mettendo una serie di bussole
intorno al filo, gli aghi si dispongono in posizione tangente alla circonferenza centrata nel filo e passante per
il centro dell’ago)
Per questioni di simmetria il campo magnetico ha la stessa intensità su tutti i punti che giacciono su una
stessa circonferenza concentrica al filo
I
Tramite il teorema di Biot-Savart abbiamo visto che l’intensità di B è data dall’equazione:
B 0
2r
Cerchiamo ora di ricavare per il campo magnetico una relazione simile a quella del teorema di Gauss .

Sia ds un elemento infinitesimo del
circolare lungo una linea del campo ( a distanza r dal filo) e
 percorso

consideriamo il prodotto scalare B  ds .
 
Poiché i due vettori sono paralleli si ha
B  ds  Bds
Per simmetria B è costante lungo tutta la circonferenza
Se consideriamo la somma dei prodotti scalari lungo tutto il percorso circolare si ha quindi:
 
0 I

B
2

r
B

d
s

B
ds

2r  0 I


2r
circonferenza
circ.
 
 B  ds  0 I
circonferenza
Campo magnetico e corrente: legge di Ampere (2)
 
 B  ds
Abbiamo quindi trovato che, per un filo rettilineo, l’integrale di linea
è pari al prodotto della permeabilità magnetica con l’intensità della corrente
circolante nel filo.
Questo risultato è in realtà un risultato generale , valido per tutti i conduttori in
cui circoli corrente continua.
Tale risultato porta alla formulazione della legge di Ampere (analogo magnetico
del teorema di Gauss):
Teorema di Ampere:
La circuitazione del campo magnetico (cioè l'integrale lungo una linea
chiusa del campo magnetico) è uguale alla somma delle correnti
elettriche ad essa concatenate (cioè che attraversano una superficie
racchiusa nella linea chiusa.
 
 B  ds  0 I
NB: la circuitazione ed il flusso sono le grandezze che meglio definiscono un campo
vettoriale
Campo magnetico generato da un solenoide
Solenoide: avvolgimento elicoidale di un filo.
Le proprietà di un solenoide sono:
Lunghezza : L
Diametro: D
N. Di spire: N
La densità delle spire n=N/L
l’unità di misura di n è il m-1
Le singole spire possono essere considerate ciascuna una sorgente di
campo magnetico ed il campo magnetico totale sarà il risultato della
somma vettoriale dei campi prodotti dalle singole spire.
Se il solenoide è costituito da un numero sufficientemente fitto di
spire (grandi valori di n) è possibile generare un campo magnetico
relativamente uniforme all’interno del solenoide stesso.
Al crescere del numero di spire ci si avvicina sempre più al caso di
solenoide ideale, nel quale le spire sono così fitte da poterle
considerare una distribuzione continua e la lunghezza è molto
maggiore del diametro del solenoide stesso
In questo caso il campo magnetico all’esterno del solenoide è
nullo mentre il campo interno è uniforme
Campo magnetico generato da un solenoide (2)
Calcoliamo, mediante il teorema di Ampere, il campo magnetico all’interno di un
solenoide in cui circola una corrente I.
Consideriamo un cammino chiuso lungo un piano che tagli in due il solenoide
Scegliamo il cammino 1-2-3-4 in figura, cioè un rettangolo di lati w ed  .
 
 B  ds
Si può calcolare l’integrale
lungo questo percorso, considerandolo
Somma degli integrali lungo i 4 lati del rettangolo:
 
 B  ds 
 
 B  ds 
lato1
 
 B  ds 
lato2
 
 B  ds 
lato3
 
 B  ds
lato4
Il contributo
al lato 2 ed al lato 4 sono nulli in quanto lungo questi
 dovuto

percorsi B  ds

Il contributo dovuto al lato 3 è nullo poiché fuori dal solenoide (ideale) B  0
 
 B  ds 
 

B

d
s

B
d
s

  B
lato1
lato1
Per il teorema di Ampere l’integrale è pari al prodotto della permeabilità magnetica del vuoto con la corrente
totale concatenata al cammino chiuso:  
 B  ds   I
0 concatenta
Se N è il numero totale di spire presenti in una tratto
la corrente concatenata sarà: I
 NI

di solenoide ( e quindi n=N/ è la densità di spire),
concatenata
Teorema
di
Ampere:
 
 B  ds  B  0 NI
N
B  0 I  0 nI

B  0 nI
campo magnetico
all’interno di un
solenoide
Forza magnetica tra due fili percorsi da corrente
Un filo percorso da corrente produce un campo magnetico
Un campo magnetico agisce con una forza su un filo percorso da corrente
Due fili percorsi da corrente dovrebbero attrarsi o respingersi per interazione magnetica
Con una serie di esperimenti Ampere dimostrò che due fili rettilinei paralleli percorsi da corrente nello
stesso verso si attraggono, mentre si respingono se le correnti circolano in verso opposto.
Consideriamo due fili paralleli di lunghezza
ed I2 rispettivamente.
Determiniamo la forza agente tra i due fili:
 posti ad una distanza a tra loro in cui passano le correnti I1

 
F

I
Sia 1
1   B2 la forza dovuta al campo magnetico generato dal filo 2 agente sul filo 1
Il campo magnetico generato dal filo 2 in un punto sul filo 1 è pari a:
Poiché:
 
  B2
F1  I1B2  I1
0 I 2 0 I 2 I1

2a
2a
B2 
0 I 2
2a
Il verso di F1 si determina con la legge della mano destra => F1 rivolta verso il basso, verso il filo 2

 
Sia F2  I 2   B1 la forza dovuta al campo magnetico generato dal filo 1 agente sul filo 2
Con un ragionamento analogo al caso di F1 troviamo:
F2  I 2B1  I 2
0 I1 0 I1I 2

2a
2a

B2


Il verso di F2 sarà opposto a quello di F1 e quindi rivolto verso il filo 1


F2   F1

F1
NB: Le due forze sono uguali ed opposte come ci si doveva aspettare per il 3° legge di Newton
Forza magnetica tra due fili percorsi da corrente (2)
 I I
F1  0 2 1
2a
F2 
 0 I1 I 2 
2a
La forza magnetica esercitata reciprocamente dai due fili per unità di lunghezza è:
F  0 I1 I 2


2a
Il verso delle forze dipende dal verso di percorrenza della corrente nei fili:
Due conduttori paralleli in cui scorrono correnti nello stesso verso si attraggono
Due conduttori paralleli in cui scorrono correnti in verso opposto si respingono
La forza magnetica tra due fili conduttori paralleli percorsi da corrente è utilizzata per
definire l’ampere:
Se due fili paralleli distanti 1m sono percorsi dalla stessa corrente ed interagiscono con una
forza per unità di lunghezza pari a: F=2∙10-7 N/m la corrente è, per definizione 1A.
Magnetismo nella materia
Perché i materiali si magnetizzano?
  
Lrp
Consideriamo il modello di Bohr per l’atomo; in questo modello gli elettroni orbitano
intorno al nucleo con un periodo T=10-16 s.
Se consideriamo la carica dell’elettrone (e=1.6∙10-19 C) il moto di questa particella intorno
al nucleo corrisponderà ad una corrente I = Q/T = 1.6mA


  IA
Il moto di ciascun elettrone può essere quindi assunto come una corrente circolante in una
spira

Una spira di corrente genera un campo magnetico con momento di dipolo magnetico:  

IA
Poiché l’elettrone si muove in verso opposto alla corrente (carica negativa) il momento magnetico ed il
momento angolare hanno versi opposti
Nella maggior parte delle sostanze i momenti magnetici dei singoli elettroni si
compensano tra loro dando come risultato netto un effetto di magnetizzazione
molto piccolo o nullo
Oltre al momento angolare l’elettrone ha anche uno spin che contribuisce al
momento magnetico.
Negli orbitali gli elettroni si distribuiscono a coppie a spin opposti (principio di Pauli)
compensando a vicenda gli spin.
Negli atomi con Z dispari esiste però almeno un elettrone spaiato e quindi un momento
magnetico di spin
Magnetismo nella materia (2)
Nei materiali ferromagnetici (ferro, cobalto, nichel gadolinio….) sono presenti delle regioni
microscopiche (domini), dell’ordine di 10-12 ÷ 10-8 m3, nei quali i momenti magnetici sono tutti
allineati.
In un materiale non magnetizzato i domini sono orienti in modo casuale
dando perciò un momento magnetico medio nullo.
Quando il materiale ferromagnetico viene posto in un campo magnetico
i domini tendono ad allinearsi con il campo magnetico e la sostanza si
magnetizza
Si osserva che i domini allineati diventano man mano più
grandi a spese di quelli non allineati che si riducono notevolmente in
numero.
Quando il campo viene rimosso il materiale conserva la magnetizzazione nella direzione del
campo magnetico
Accenni ull’induzione magnetica
Abbiamo visto che i campi elettrici vengono generati da cariche a riposo
Ed i campi magnetici vengono generati da cariche elettriche in movimento (correnti)
Esistono comunque campi elettrici prodotti da campi magnetici variabili
All’inizio del 1800 Michael Faraday (Inghilterra) ed Joseph Henry (USA) dimostrarono
indipendentemente che si possono generare delle correnti (indotte) all’interno di un circuito
mediante dei campi magnetici variabili
Formulazione della legge di Faraday dell’induzione
Un conduttore elettrico
rettilineo si muove attraverso un campo

magnetico uniforme B diretto perpendicolarmente al muro con

una velocità v
Si genera una forza magnetica che fa scorrere gli elettroni lungo il
conduttore
Si genera quindi una corrente data dallo spostamento degli
elettroni dentro il conduttore
Accanni di induzione magnetica (2)
Consideriamo un sistema come quello in figura:
Una spira collegata al galvanometro ed un magnete
Quando il magnete si avvicina alla spira il galvanometro misura una
corrente (in un determinato verso)
Quando il magnete rimane fermo non circola alcuna corrente all’interno
della spira ( il galvanometro segna 0)
Quando si allontana il magnete dalla spira il galvanometro segna una
corrente in verso opposto a quella che si aveva durante l’avvicinamento
Si consideri il circuito rappresentato in figura:
Un circuito primario costituito da una batteria ed una bobina collegati
mediante un interruttore, la bobina è avvolta intorno ad un anello
ferromagnetico per produrre un campo magnetico più intenso.
Un secondo circuito è costituito da una bobina anch’essa avvolto intorno
all’anello e collegata direttamente ad un galvanometro (nessun
collegamento a generatori di tensione o corrente)
Quando il circuito primario viene chiuso il galvanometro (inizialmente a
0) segna per qualche istante una corrente in un certo verso e poi torna a
zero.
Quando il circuito primario viene aperto di nuovo il galvanometro segna
momentaneamente una corrente in verso opposto e poi torna a zero
Legge di Faraday
Da queste osservazioni sperimentali Faraday dedusse che:
Una corrente non può essere prodotta da un campo magnetico stazionario
Un campo magnetico variabile nel tempo produce corrente.
Per poter formulare la legge di Faraday abbiamo bisogno di introdurre una nuova grandezza:
Il flusso Magnetico
Consideriamo un elemento di superficie dA su una superficie
 arbitraria.
Se il campo magnetico su questo elemento di superficie è B , il flusso
magnetico di B attraverso l’elemento dA è dato da:
 
d B  B  dA
Il flusso totale attraverso la superficie A è quindi:
 
 B   d B   B  dA
A
A
L’unità di misura del flusso magnetico è il weber W ed ha le dimensioni : [W]=[T]∙[m]2
La legge di Faraday afferma che:
La f.e.m. indotta in un circuito è uguale alla rapidità con cui varia il flusso
magnetico attraverso il circuito:
 
d B
dt
Dove B è il flusso del campo magnetico attraverso la superficie che limita il circuito
Legge di Faraday (2)
Se il circuito è costituito da una bobina composta da N spire il flusso passa attraverso N
superfici delineate dalle N spire.
La forza elettromotrice indotta sarà pari alla somma delle N forze elettromotrici generate dalla
variazione di flusso in ogni spira:
  N
d B
dt
Consideriamo ora un campo magnetico uniforme ed una spira piana di superficie A
Il flusso magnetico concatenato con la spira in questo caso è:
 
 B   B  dA  B  dA cos  B cos   dA  BA cos 
La forza elettromotrice indotta è quindi:
d B
d
 
  BA cos  
dt
dt
Si avrà una forza elettromotrice indotta non nulla se si verifica una delle
seguenti condizioni:
1) Varia il modulo B nel tempo
2) Varia la superficie A nel tempo
3) Varia l’angolo fra B e la normale alla superficie
Legge di Lenz
La polarità della forza elettromotrice indotta tende a produrre una corrente il cui
campo magnetico si oppone alla variazione di flusso concatenato con il circuito
Spiegazione del segno – della legge di Faraday