L’Universo Meraviglioso
e la Relatività Generale
Una passeggiata tra Stelle, Particelle
e Geometria
Le Tappe del nostro Viaggio
•
•
•
•
Prima Tappa: La gerarchia delle scale di lunghezza.
Seconda Tappa: il contenuto dell’Universo e gli strumenti
per esplorarlo
Terza Tappa: l’espansione dell’Universo ed il Big Bang
Quarta Tappa: Le quattro interazioni e due Modelli
Standard
–
–
•
•
Il modello standard delle Particelle Elementari
Il modello standard Cosmologico
Quinta Tappa: uno sguardo alla Relatività Generale, il
linguaggio per descrivere l’Universo e capire la
gravitazione
Sesta Tappa: soltanto i primi geometri entrano nella scuola
di Circino
–
–
La metrica: una regola per calcolare le distanze........
Stranezze metriche.....
Prima Tappa:
Le Scale
La gerarchia delle scale
I fenomeni fisici sono legati alle scale caratteristiche di distanze e
quindi di energia a cui avvengono. Più piccola é la distanza che si
considera più grande é l’energia necessaria per esplorarla.
Relatività ristretta
Meccanica Quantistica
Facciamo ora
Le costanti
fondamentali legano
massa e lunghezza
una passeggiate per le scale da 1028 a 10-33 cm
Da dove cominciare ?
É la dimensione del
nostro Universo,
chiaramente!
Domande e Risposte ingenue.....
• Se qualcuno vi dicesse che l’Universo é vecchio di Tu = 14
miliardi di anni, quanto pensereste che esso possa essere
grande?
• 1 anno = 365 £ 24 £ 60 £ 60 sec ¼ 107 sec
• Velocità della luce c = 300.000 km/sec = 3 £ 1010 cm /sec
• Penseremmo che il raggio dell’Universo debba essere qualcosa
come c £ Tu ¼ 1028 cm . Questa infatti è la distanza massima
che un fotone emesso al primo istante di vita dell’Universo può
aver percorso da allora ad oggi.
• Alternativamente se riuscissimo a misurare la distanza degli
oggetti più lontani e vedessimo che essi sono a 1028 cm da noi,
concluderemmo che l’Universo ha almeno 14 miliardi di anni di
età
Bravi! Risposta quasi esatta!
Dunque partiamo da 1028 cm, ma dove terminiamo?
É quella per esplorare
la quale ci vuole la
energia più grande!
é fissata dalla costante
di Newton!!!!
28
10 cm
104 Mpc Hubble = età
1026 cm
100 Mpc
Scala alla quale
l’Universo é
omogeneo
cm
1 Mpc
Estensione di un
ammasso galattico
¼ 103 galassie
1022 cm
104 pc
Estensione di
una Galassia
1024
dell’universo
Modellizzazione
dell’Universo
La Via Lattea
1020 cm
Distanza dalle
stelle visibili
1019 cm
¼ 10 anni Distanza dalle
luce
stelle più vicine
1015 cm
3 giorni
luce
Distanza del Sole da
Plutone, il pianeta più
lontano
1013 cm
108 km
Distanza Terra
Sole
109 cm
Raggio della
Terra
106 cm
Altezza delle
montagne più
elevate
104 cm
Altezza di un
grattacielo
102 cm
1-2 metri
Dimensione di un
essere umano
10-2 cm
10-5 cm
Dimensione di un
virus
10-8 cm
Dimensione
dell’atomo
10-13 cm
1 fermi
Dimensione del nucleo
atomico
10-15 cm
1 GeV
Massa della
particella W
mediatrice delle
interazioni deboli
Un evento di produzione
di W al CERN
....................
....................
....................
....................
....................
10-33 cm
....................
....................
....................
....................
....................
....................
....................
....................
....................
....................
lunghezza di
Planck
Il grande
deserto: uno
dei problemi
della fisica
fondamentale
Seconda Tappa:
Ilcontenuto dell’Universo
Il contenuto dell’Universo: LeGalassie
10 milioni
anni luce
=1022 cm
• M82 ad 11 milioni di anni luce da noi è una starbust galaxy dove stelle
supermassive si formano e muoiono ad una velocità 10 volte superiore a quella
media della Via Lattea. La fotografia mostra una sovvrapposizione dell’immagine
ottica (azzurra) e di quella a raggi X.
Le Galassie si scontrano, talvolta
• NGC 4038 and NGC 4039,
sono due galassie a 60
milioni di anni luce da noi
nella costellazione del
Corvo. Sono incastrate in
una titanica collisione che
ha creato una zona di
intensa creazione di stelle. Il
sistema è chiamato
Antennae Galaxies. Nella
zona di scontro vi sono
migliaia di supernovae .....
1022 cm = 10
milioni di anni luce
La Via Lattea è la nostra Galassia
Le galassie
sono
raggruppate
in ammassi,
gli ammassi in
ammassi di
ammassi, ma
alla scala di
La nostra galassia ha una dimensione radiale
di circa 1022 cm.
1028 cm
l’Universo
appare
isotropo ed
omogeneo
Ed ora le stelle.......
La nostra Galassia, la Via Lattea ne
contiene qualcosa come
1011 cioè 100 miliardi.
Il Contenuto dell’Universo: Le Stelle
A molte stelle piace la compagnia: fanno coppia e formano
sistemi binari
• Sirius A. Nel visibile
é la stella più luminosa
della notte. Dista circa
8 anni luce dalla Terra.
E’ parte di un sistema
binario. La compagna,
piccolissima è:
• Sirius B, la nana
bianca a noi più vicina
Stelle giovani: le Pleiadi per
esempio
• Ad un parsec = 3 anni
luce da noi, ci sono le
Pleiadi. E’ un cluster di
circa 500 stelle, piuttosto
giovani: 70 milioni di
anni rispetto ai 4.5
miliardi di anni del nostro
Sole. Molte di queste
giovani stelle blu, sono
potenti sorgenti di raggi
X.
Stelle morte: le stelle di neutroni o
pulsars sono remnants delle supernovae
• Nel 1054 gli astronomi
Cinesi osservarono ad
occhio nudo una stella
nuova luminosissima che
poi sparì. Era l’esplosione di
una supernova nella
Nebulosa del Granchio.
Oggi con i telescopi a raggi
X possiamo osservare il
remnant di quella
esplosione: una pulsar in
Crab Nebula.
In realtà la pulsar del 1054 ha una
compagna, un’altra pulsar, Geminga
Questa immagine ai raggi X ce le rileva entrambe:
1054
remnant
Che cos’è una pulsar?
• Una pulsar è una stella di neutroni. E’ costituita da circa una massa stellare,
cioè 1033 gm, di materia nucleare concentrata in una sfera di soli 3-4 km di
raggio. Ha un momento magnetico enorme, tipicamente non allineato con il
momento angolare e per questo diventa una sorgente di onde radio. Può anche
essere una sorgente di raggi X attraverso le interazioni del plasma circostante
con il suo campo magnetico.
Le stelle con una massa di 10 MS finiscono la loro vita con una
esplosione spettacolare, nota come supernova. L’esplosione avviene
quando la stella ha esaurito il combustibile nucleare nella sua
parte più interna. Quando l’energia prodotta nella fusione
nucleare non riesce più a controbilanciare l’attrazione
gravitazionale la stella dapprima collassa su stessa e poi esplode
quando tutta l’energia gravitazionale è rilasciata. L’esplosione
proietta nello spazio gli strati esterni della stella. Essi sono
composti di carbonio, ossigeno, neon e silicio, prodotti dalle
reazioni termonucleari quando la stella era in equilibrio. Si
produce anche una onda d’urto che accellera tutto questo
materiale e lo riscalda a circa 10 milioni di gradi. La temperatura
è così alta che non produce luce visibile, ma raggi X.
Dopo l’esplosione il nucleo privo di energia collassa
definitivamente su stesso e costituisce od una stella di neutroni od
un buco nero, se la masssa iniziale era ancora più alta 20 MS
Esplosione di una supernova
Prima implosione
Si è formato il
remnant, una pulsar
od un buco nero
Poi esplosione
Il diagramma di Herzsprung Russel
Osservare la popolazione stellare è
come osservare una popolazione
umana ad un certo istante di
tempo. Troviamo vari tipi di
persone, più vecchie, più giovani,
mature. Con un pò di riflessione
scopriamo che i vari tipi sono le
fasi di una vita tipica. Le stelle
della sequenza principale
rappresentano le fasi di vita di una
stella media come il nostro sole.
Nel diagramma di H R si pone
in ascissa il tipo spettrale (= la
temperatura) ed in ordinata la
magnitudine (=la luminosità)
Infatti possiamo anche .......
fare un diagramma della popolazione stellare con la temperatura in ascissa e
la luminosità (o massa) in ordinata ottenendo la stessa figura. Le nane
bianche sono anormalmente piccole e caldissime, perché? Lo capiremo
dopo aver dato uno sguardo al principio di Pauli. Non possiamo capire
le Stelle senza capire le Particelle Elementari...... Abbiate pazienza!!!
Il telescopio extraterrestre Hubble
Per indagare il cielo
disponiamo oggi di
un gigantesco
telescopio posto in
orbita attorno al
Pianeta
Terza Tappa:
l’espansione dell’Universo
ed il Big Bang
Riconsideriamo:..............
L’Universo appare
granulare alle scale più
basse.
La Via Lattea
10.000 anni luce
10 milioni di anni
luce
100 milioni di anni
luce
Ma a 1028 cm = 1
miliardo di anni luce
appare omogeneo
Nel 1929 Hubble scopre la
recessione universale delle Galassie
Le Galassie si allontano
tutte radialmente da
noi (dal Sole) e si
allontanano tanto più
velocemente, quanto
più sono lontane.
Velocità di
recessione
Costante di
Hubble
Distanza
La legge di Hubble si verifica
attraverso la misura del redshift
Le righe spettrali delle galassie
lontane appaiono spostate verso il
rosso
Come capire la legge di Hubble?
• Risposta: L’Universo
si espande!
• Andando a ritroso nel
tempo torniamo ad un
istante in cui
l’Universo era
piccolissimo e tutta la
materia era
concentrata in una
regione infinitesima di
spazio. La densità di
Le galassie sono come palle disposte e
energia era infinita.
su di un telo. Esse sono ferme ma è il
telo che si dilata.
Immaginate la superficie di una sfera
I puntini sulla superficie rappresentano le
galassie.
se la sfera si espande
ogni puntino si troverà
più distante da ogni altro puntino
di quanto esso lo fosse l’istante precedente
FATTORE di SCALA:
Le distanze sono
funzioni del tempo
dAB = a(t) rAB
dAC = a(t) rAC
B
rAB
C
A
rAC
La velocità é.....la derivata della
distanza rispetto al tempo
quindi
La costante di Hubble è in
realtà una funzione del
tempo
è il suo valore al tempo attuale
Espansione
dell’Universo
L’Universo può avere tre diverse
geometrie nelle sue sezioni a
tempo costante, ma in ogni caso si
espande. L’espansione è
semplicemente una dilatazione
dello spazio tridimensionale
Universo sferico (k=1)
Universo Piatto (k=0)
Universo iperbolico (k= - 1)
L’Universo piatto
• Nella geometria euclidea lo
spazio è diviso in cubi ed
un osservatore ha la
sensazione dell’ordinaria,
familiare prosepettiva:
l’apparente dimensione
angolare degli oggetti è
inversamente
proporzionale alla loro
distanza
L’Universo sferico
• Lo spazio sferico mostrato qui é
tessellato da dodecaedri regolari.
La geometria dell spazio sferico è
simile a quella della superficie
della Terra. Siamo su una sfera
tridimensionale anziché
bidimensionale. La prospettiva in
uno spazio sferico é peculiare.
Oggetti sempre più lontani
dapprima diventano più piccoli in
dimensione angolare, ma
raggiunta una dimensione
minima crescono di nuovo in
dimensione apparente al crescere
della loro distanza. Questo é
dovuto alla focalizzazione dei
raggi luminosi
L’Universo iperbolico
• Lo spazio iperbolico mostrato
qui è tessellato di dodecaedri
regolari, cosa impossibile nello
spazio Euclideo. La taglia delle
celle é dell’ordine di grandezza
della curvatura. Per oggetti
vicini la prospettiva nello
spazio iperbolico é molto simile
a quella dello spazio Euclideo,
ma la dimensione angolare
apparente decresce molto più
rapidamente con la distanza.
Infatti decresce in modo
esponenziale.
L’evoluzione del raggio di
curvatura con il tempo cosmico
a
t
Universo chiuso di
curvatura positiva
Universo aperto di curvatura
negativa o nulla
Chi lo dice?
• Lo dice un’equazione differenziale,
l’equazione di Freedman:
per la materia
per la radiazione
• Da dove nasce l’equazione di Freedman?
• Dalla Relatività Generale. E’ l’equazione di Einstein per il
fattore di scala a(t) !!
Quarta Tappa: Le quattro
interazioni e due Modelli
Standard
Le Quattro Interazioni
Fondamentali
• La gravità è universale.
Tutte le masse la
subiscono.
• L’interazione
elettromagnetica è
trasmessa dai fotoni
• L’interazione debole è
trasmessa dai W e Z. Fa
decadere il neutrone.
• L’interazione forte è
trasmessa dai gluoni.
Incolla insieme i nucleoni
da
Oggi abbiamo una buona teoria
delle interazioni fondamentali…..
La gravità di Einstein
spiega la legge di Newton,
il moto dei pianeti, la
struttura dell’Universo a
grande scala
Il Modello Standard
SU(3) C x SU(2)W x U(1) Y
Descrive le interazioni
elettrodeboli e spiega
Il Modello Standard la struttura dell’atomo
e del nucleo atomico.
contiene i mattoni
fondamentali che
costituiscono la
materia
I mattoni sono particelle
elementari caratterizzate da:
•
•
•
•
Massa
Spin
Colore
Sapore
• Numero di famiglia
• Quanto gravita
• Quanto ruota
• Come subisce le interazioni
forti
• Come subisce le interazioni
deboli
• Tutto si ripete tre volte
Le particelle appartengono a due
grandi classi: i bosoni ed i fermioni
Fermioni e bosoni si differenziano per
il tipo di spin
Lo spin é il momento angolare
intrinseco delle particelle elementari
Valore dello spin =numero intero
BOSONE
Valore dello spin = numero semi intero
FERMIONE
Quale struttura concettuale presiede a questa strana
distinzione?
Avete studiato i gruppi a scuola?
Voglio andare
al Cinema
Questi gruppi,
dalle elementari
all’Università,
che barba!
La Teoria dei Gruppi è l’essenza
del concetto di Simmetria.
Le simmetrie sono la linfa vitale
delle Teorie Fisiche.
GRUPPO delle ROTAZIONI
Rotazione
Un gruppo é un insieme i cui
elementi sono operazioni di
trasformazione che possono
essere eseguite in sequenza
Il prodotto di due elementi del
gruppo é......
La sequenza delle
due trasformazioni:
R1
A
R2
In genere il prodotto non
é commutativo
A
R3=R2R1

I mattoni elementari del Modello
Standard
I Fermioni sono i costituenti
della materia:
Leptoni
s=1/2
elettrone
mu
tau
neutrini
Quarks
s=1/2
up
down
I Bosoni sono i mediatori delle
forze che “incollano” la materia
Gravità
gravitone : s=2
m=0
Interazioni
gluoni: s=1
forti
m=0
Interazioni
fotone: s=1
elettrodeboli
m=0
strange
charm
bottom
top
W,Z: s=1, m>0
Il modello standard é stato
verificato al CERN a Ginevra
L’anello di LEP é
in un profondo
tunnel sotto Terra
Il rivelatore
Delphi
I fasci collidono
nelle zone di
interazione
UA1 rivelò la particella W, (1983)
mediatrice delle interazioni deboli
Questa é la
ricostruzione di un
evento di
produzione del W
I laboratori sono sopra la zona di
interazione
La distinzione più importante tra
bosoni e fermioni é..................
• La statistica.
• I BOSONI ubbidiscono la
statistica di BOSE EINSTEIN
• I FERMIONI ubbidiscono la
statistica di FERMI-DIRAC
• Come conseguenza di
quest’ultima per i fermioni vige
IL PRINCIPIO di
ESCLUSIONE di PAULI
• E’ sopratutto a causa di
quest’ultimo che la materia é
dura e come la conosciamo
Non ho ancora spiegato lo spin,
ma la statistica..................
• é un concetto più facile da
illustrare.
•Consideriamo un insieme di N
particelle (qualunque cosa ciò
significhi).
•In meccanica classica
descriviamo lo stato del sistema
dicendo, di ciascuna particella, in
quale stato di moto ella si trova.
•la particella Pino si trova costì
ed ha la velocità tale, la particella
Giovanni si trova colà ed ha la
velocità tal altra e così via.
•nel mondo quantico tale dovizia di
particolari è priva di senso, poichè le
particelle sono indistinguibili.
•Lo stato del sistema si descrive
enumerando prima gli stati disponibili
e dicendo poi quante particelle si
trovano in ciascuno di essi
•Di qui nasce il concetto di NUMERO
di OCCUPAZIONE
Precisamente
LA STATISTICA vuol dire:
• La funzione d’onda deve essere, per i fermioni completamente
antisimmetrica, per i bosoni completamente simmetrica
• Spiegazione: In Meccanica quantistica la funzione d’onda
....,n), é un numero complesso il cui modulo dà la
probabilità che le n-particelle siano negli stati ....,n
rispettivamente.
• La statistica richiede che sotto un qualunque scambio:
 i
j
 i
j
La funzione d’onda si comporti come segue
 1,, i , j ,, n  
B.E. +
F.D. -
Uno scambio

 1 , j , i ,, n 
La scelta di questo segno distingue le due statistiche. Per quella di Bose
Einstein (simmetrica), la funzione può essere diversa da zero anche con
due o più argomenti uguali. Per quella di Fermi Dirac invece essa si annulla
ogni volta che ha due argomenti uguali. Quindi la probabilità che due
fermioni siano nello stesso stato é zero!
All’ albergo Fermioni chi arriva tardi deve alloggiare
ai piani superiori, più costosi, energeticamente.....!
Mi dispiace, signor elettrone, ma
abbiamo solo camere singole. La
prima libera é al quarto piano
All’ albergo Bosoni c’é sempre posto. E la camerata
(lo stato fondamentale) é aperta a tutti i poveretti
Non c’è problema, signore.
Abbiamo sempre posto. Se
vuole spendere poco,
abbiamo la camerata
Il sistema periodico degli elementi é una conseguenza del
Principio di Esclusione. Due elettroni non possono stare
nello stesso STATO dinamico, perché sono fermioni. Perciò
si dispongono via via nelle caselle disponibili e...........
Un esempio spettacolare di conseguenza del
Principio di Pauli é dato dalle stelle Nane Bianche
Una stella comincia la sua vita come una grande massa fredda di gas, parte di una nebula come
la grande Nebula in Orione (foto di sinistra). Sotto effetto della gravità si contrae e si scalda fino a che
si innescano le reazioni termonucleari e l’idrogeno viene fuso in elio. In questo stato
(sequenza principale) una stella media, come il nostro sole, brilla e dura circa 10 miliardi di anni.
(foto al centro). Quando tutto il combustibile é bruciato stelle come il sole finiscono la loro esistenza
come nane bianche: stelle densissime, caldissime che emettono pochissima luce, molto bianca.
Stelle più grandi finiscono invece esplodendo come supernovae.
Una é mostrata nella Grande Nube di Magellano (foto a sinistra)
Le nane bianche sono anormalmente piccole e caldissime,
perché?
La risposta é il Principio di Esclusione
•
•
•
•
•
•
Bruciato tutto il suo combustibile la stella è un ammasso di elio spento e nulla più può
contrastare la gravità che forza la stella a contrarsi.
Contraendosi la stella diventa così densa che ad un certo punto gli elettroni di tutti gli
atomi di elio sono così vicini l’uno all’altro da formare un unico gas.
La stella aveva la massa del sole e quindi gli elettroni sono in numero enorme. La
stella non ha più energia da regalare agli elettroni ed essi vorrebbero stare tutti allo
stato energetico più basso possibile.
Ma l’albergo dei fermioni ha solo camere singole. Così gli elettroni riempono tutti gli
stati energetici a partire dal più basso a salire fino ad accomodarsi tutti senza lasciare
buchi.
La gravità vorrebbe comprimere ancora, ma più di così non si può, data la regola
delle camere singole.
La stella si comporta come un gas allo zero assoluto, ma la sua temperatura é milioni
di gradi, perché? Perchè essendo tanti gli elettroni, per sistemarli tutti ce n’è un
numero apprezzabile in stati energetici molto elevati.
Per chi sa un briciolino di matematica.
Alla base ci sono i concetti di:
• Gruppo delle rotazioni
• Rappresentazioni del medesimo
• Le particelle elementari si classificano in base a
molte proprietà di simmetria. Ogni simmetria é un
gruppo.
• Il gruppo delle rotazioni ha due speci diverse di
rappresentazioni, intere e semintere.
• A questa distinzione geometrica corrisponde una
distinzione di ruolo dinamico
Due Modelli Standard
Modello Standard delle
interazioni elettrodeboli e
forti
E’ basato sulla Teoria di Gauge del
gruppo SU(3) £ SU(2) £ U(1) e
descrive accuratamente la fisica alle
energie disponibili agli acceleratori.
Il modello standard però non spiega i
suoi molti parametri e presenta un
problema (la gerarchia delle scale) di
consistenza logica alle alte energie.
Deve essere dedotto da una teoria
superiore unificata.
Modello Standard Cosmologico
E’ basato sulla Relatività Generale e
sull’ipotesi di omogeneità ed isotropia
dell’Universo. Spiega molto bene la
struttura attuale dell’Universo e la sua
dinamica a partire da un BIG BANG
Lo standard Big Bang model, però non
spiega soddisfacentemente la piattezza e
l’omogeneità ed altre caratteristiche
salienti dell’Universo prese come ipotesi.
Bisogna introdurre lo scenario
inflazionistico che può derivare solo da
una teoria superiore unificata
Quinta Tappa:
Uno sguardo alla Relatività
Generale
Che cos’è e che cosa predice
Einstein nel 1915 scopre la teoria
della gravitazione che sostituisce
ed estende la Teoria di Newton e
la rende compatibile con il
principio di equivalenza e
covarianza generale….
Che cos’è è più difficile da spiegare, ma
alcune delle sue predizioni sono
semplici da riassumere..
• Le
orbite dei pianeti non sono ellissi chiuse ma curve
di questo tipo:
y
x
Questo angolo è
l’avanzamento del
periastro
3mm
Per il pianeta Mercurio vale
  43" d ' arco per secolo
PREDIZIONI più significative
1.
La luce è deflessa dai campi gravitazionali, dalla massa solare, per
esempio. (= Lenti gravitazionali)
2.
C’è uno spostamento verso il rosso delle frequenze luminose in
presenza di campi gravitazionali
3.
Esistono le onde gravitazionali
4.
Esistono i buchi neri, regioni di spazio dove la forza gravitazionale
è così intensa che nemmeno la luce può sfuggire (dunque non
possiamo vedere dentro…!)
5.
L’universo non può essere statico. Si espande. Dunque ha avuto
origine da un’esplosione iniziale=il Big Bang (Ne abbiamo già
parlato)
6.
Le stelle hanno un limite superiore di massa oltre il quale,al
momento in cui hanno finito il carburante collassano
necessariamente in buchi neri
L’interferometro VIRGO
Costruito vicino a
Pisa da una
collaborazione Italo
Francese sta
entrando in funzione
in questi mesi:
dovrebbe rivelare le
onde gravitazionali:
90 dopo la scoperta
di Einstein
E’ un esperimento di Michelson Morley: l’onda gravitazionale
entrante deforma lo spazio--tempo e contrae i bracci del rivelatore
I bracci sono lunghi 6 Km.
L’interferometro Americano
Ligo ad Hanford
Lo schema
dell’esperimento di
interferometria
Da dove vengono le onde
gravitazionali
Ad esempio dalla collisione e poi dalla
fusione di due stelle di neutroni o di buchi
neri che formano un sistema binario.
Questi fenomeni sono estremamente
complessi, ma le Equazioni di Einstein
possono essere risolte numericamente al
computer e si ottengono delle simulazioni
come queste.
Implicazioni Cosmologiche della
Relatività Generale
• Universo in Espansione e
Big Bang iniziale
• La radiazione fossile a
tre gradi Kelvin
• Il collasso gravitazionale
e la formazione dei buchi
neri
• L’età dell’Universo
Storia Termica
dell’Universo
Al trascorrere del tempo, dopo il
Big Bang, l’Universo si espande e si
raffredda. La radiazione di fondo
cosmica rimane isotropa e sempre
più spostata verso il rosso ( =
fredda). Essa può definirsi l’eco
dell’esplosione iniziale.
Sesta Tappa: soltanto i primi
geometri entrano nella scuola
di Circino.......
• Questi argomenti sono sicuro che sono per voi
affascinanti ………ma per farli diventare
qualcosa di più che un semplice racconto di
fantascienza bisogna digerire i concetti e le
strutture matematiche che si celano dietro le
parole usate.
Proviamo insieme a capire che cosa significhi asserire che lo
spazio tempo è curvo…
Questa nozione è la chiave d’accesso al cuore della Relatività
Generale ed ai suoi affascinanti segreti.
Proveremo con un piccolo esempio in 2 dimensioni, dove
possiamo disegnare….
Un esempio di spazio curvo in 2 dimensioni è fornito dall’iperboloide. I
punti di questa superficie sono tutti quelli che soddisfano la seguente
equazione quadratica
2
2
2
X 0  X 1  X 2  1
X0
Possiamo parametrizzare tutti i punti di questo
spazio con due coordinate:    a  
0    2
Scrivendo:
X 0  Sinh a
X 1  Cosh a Cos
X1
X2
X 2  Cosh a Sin 
La metrica: una regola per
calcolare la lunghezza delle curve!!
Una curva sulla superficie è
descritta dando le coordinate
come funzioni di un solo
parametro t
A
a  a (t )
   (t )
B
Quanto è lunga
questa curva?
X 0 (t )  Sinh a (t )
X 1 (t )  Cosh a (t ) Cos (t )
X 2 (t )  Cosh a (t ) Sin  (t )
Questo integrale è una regola ! Ogni regola di questo tipo è un Campo
Gravitazionale!!!!
Che cosa fanno le particelle in un
campo gravitazionale?
Risposta: Vanno diritte come nello spazio libero!!!!
Ma è il concetto di linea
retta che è modificato dalla
presenza di gravità!!!!
La metafora del telo di Eddington
riassume tutta la Relatività Generale.
Nello spazio curvo le linee dritte sono
diverse dallo spazio piatto!!
La linea rossa seguita dalla palla che
cade nella gola è una linea dritta
(geodetica). D’altra parte lo spazio si
incurva sotto il peso della materia
che vi risiede e vi si muove!
Che cosa sono le curve diritte?
Sono le geodetiche cioè le curve che se deformate un pochino non
cambiano quasi di lunghezza. Sono le curve sulle quali si trasportano
parallelamente i vettori!
Su una sfera le
geodetiche sono i
cerchi massimi
Nel trasporto parallelo l’angolo tra un
vettore e la tangente alla curva si
mantiene costante. Sulle geodetiche il
vettore tangente si trasporta
parallelamente a se stesso.
Vediamo quali sono le linee dritte
(=geodetiche) sull’iperboloide
• dl2 >0 geodetica di tipo spazio:non può
essere percorsa da nessuna particella
(viaggerebbe più veloce della luce)
Tre tipi diversi di
curve e quindi di
geodetiche
• dl2<0 geodetica di tipo tempo. E’ una
possibile linea di mondo per una particella
con massa!
Relatività
• dl2 = 0 geodetica di tipo luce. E’ una
= segnatura
di Lorentz - , +
tempo
possibile linea di mondo per i fotoni e le
altre particelle di massa nulla
l
spazio


da 2
dt
 Cosh a 
2
  dt
d 2
dt
Tipo spazio
La forma delle geodetiche è una
conseguenza della metrica, la nostra
regola per misurare le lunghezze
tg  p
Sinh a
p  Cosh a
2
2
Queste curve giacciono
sull’iperboloide e sono di
tipo spazio. Esse si
estendono dall’infinità
negativa nella falda
inferiore all’infinità
positiva in quella
superiore. Si attorcigliano
un po’ attorno alla gola
ma non fanno mai un giro
completo. Sono
caratterizzate dalla
costante p=pendenza.
E tg  1
Cosh a  E
tg 2 E  1
2
Tipo tempo
La forma delle geodetiche è una
conseguenza della metrica, la nostra
regola per misurare le lunghezze
2 
E
Queste curve
giacciono
sull’iperboloide e sono
di tipo tempo. Esse
hanno un’estensione
limitata in “altezza “ e
si attorcigliano
completamente attorno
alla gola facendo più
di un giro completo.
Sono caratterizzate
dalla costante
E=energia
Tipo luce
La forma delle geodetiche è una
conseguenza della metrica, la nostra
regola per misurare le lunghezze
tg 2      1
Cosh a 
2
tg      1
Queste curve
giacciono
sull’iperboloide e
sono di tipo luce.
Esse hanno
un’estensione infinita
in “altezza “ e non si
attorcigliano attorno
alla gola
Sono
caratterizzate dalla
costante
 =energia
Paragoniamo due metriche in tre
dimensioni
E’ sufficiente scrivere il quadrato dell’integrando della regola per
calcolare le lunghezze
A) Metrica piatta
B) Metrica
di Bianchi 2
Come sono le geodetiche, cioé le linee dritte nelle due metriche?
Per la metrica A) la risposta é facile. Le linee dritte sono
proprio diritte, sono cioé delle rette.
Per la metrica B) esse sono invece delle....spirali circolari...!
Geodetiche nella metrica A
Sono le famigliari rette nello spazio tridimensionale
Geodetiche della metrica B
Visione
tridimensionale
Proiezione nel
piano xy
Sono spirali con proiezione circolare sul piano xy
La Curvatura che cos’é
Consideriamo il semipiano superiore con la
seguente regola per le distanze (metrica di
Poincaré)
l
x 2  y 2
y2
Le Geodetiche sono cerchi di raggio arbitario con il centro sull’asse
reale
In un triangolo geodetico qui
la somma degli angoli interni è
sempre minore di 180°. Questo
deficit angolare è la curvatura
negativa.
y
x
Caduta in un buco nero
Questa regola per le distanze si
chiama metrica di Schwarzschild ed
è la soluzione delle equazioni di
Einstein che descrive una stella
sferica
x  tc
t=tempo
r = coordinata radiale
rm
GM
c2
Che cosa capita ai fotoni?
Per le geodetiche di tipo luce si ha:
t0  te 
r0
1
c

re
dr
1  2 GM

c2r
r0  re
2 GM  r0  m 

ln

c
c3
 re  m 
Visto dall’osservatore all’esterno il
fotone impiega un tempo infinito a
raggiungere l’orizzonte r=m. Nel suo
tempo proprio, pero’ esso lo
raggiunge in un tempo finito e poi
cade dentro. All’interno
dell’orizzonte i coni luce sono sempre
orientati verso la singolarità r=0
Effetti gravitazionali nella metrica di
Schwarzschild
Deflessione di
un raggio laser
Avvicinandosi
all’orizzonte l’immagine
della compagna (stella
blu) è sdoppiata
dall’effetto di lente
gravitazionale
Caduta nella singolarità
Il raggio di Schwarzschild di una stella di
massa stellare (1033 gm) é
rs ¼ 3 km. L’ultima orbita circolare
possibile (ma instabile) è a 3 rS
Chi si avvicina a meno di tale distanza cadrà
fatalmente dentro l’orizzonte e poi nella
singolarità.
Sarà stritolato dalle forze di marea
Prolungamento di Kruskal oltre
capire che cosa succede veramente se si fa
l’orizzonte Siunpuò
cambio di coordinate opportuno e si usano
nuovi parametri per descrivere i punti dello spazio
tempo
Singolarità r=0
Orizzonte r=m
Geodetiche di tipo
tempo per r>m
Geodetiche di tipo
tempo per r<0
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