EQUAZIONI
di primo grado
numeriche intere
con una incognita
Si chiama EQUAZIONE un’ uguaglianza fra due espressioni
algebriche verificata soltanto per particolari valori attribuiti
alle lettere ( dette incognite ).
Esempio : data l’ uguaglianza
3x + 14 = 5
si verifica che è l’unico valore attribuito alla x
che soddisfa l’uguaglianza è
-3
, solo questo
valore rende vera
l’equazione trasformandola in un’identità.
Il valore
x= -3
costituisce la soluzione o
radice dell’ equazione
L’ EQUAZIONE CONTIENE LA SOLA INCOGNITA X CON
L’ESPONENTE 1 SOTTINTESO, PER QUESTO SI DICE DI
PRIMO GRADO . QUESTO TIPO di EQUAZIONI HANNO
- IN GENERALE - UNA SOLA SOLUZIONE
Osservazioni :
*
*
Cominceremo ad occuparci di equazioni contenenti
una sola incognita.
La lettera più spesso usata per indicare l’incognita
è la X ma si possono usare anche altre lettere ( di solito
le ultime dell’alfabeto la Y, la Z …..)
*
Le espressioni algebriche che si trovano a sinistra e a
destra del segno = , si chiamano –rispettivamente –
PRIMO e SECONDO MEMBRO dell’ EQUAZIONE
* Se
si sostituisce un numero al posto dell’incognita in
un’equazione, questa si trasforma in un’uguaglianza
fra due espressioni numeriche , che possono risultare
Vere o False.
Un’ equazione può essere :
a)DETERMINATA se ammette un numero finito di soluzioni
l’equazione 2x – 6 = 0 è DETERMINATA
perché ammette solo la soluzione x = 3
b) INDETERMINATA se ammette infinite soluzioni
l’ equazione (x+1)2-2x=x2 +1 , risolta
porta ad ottenere il primo MEMBRO, uguale
al seondo MEMBRO. Qualunque numero
diventa soluzione, è INDETERMINATA
c) IMPOSSIBILE se non ammette nessuna soluzione.
l’equazione x = x + 6 è IMPOSSIBILE
perché non esiste alcun numero che sostituito
sia uguale al numero stesso aumentato di sei.
Un ‘ equazione è FRAZIONARIA se l’incognita
si trova al denominatore di qualche frazione.
In caso contrario è INTERA
EQUAZIONE
Un’ equazione è LETTERALE se oltre all’incognita
Vi compare un’altra lettera.
In caso contrario è NUMERICA
ESEMPI
2x – 3 = 5 + 7x
x+3
x
è
FRAZIONARIA
11 – 7x = 3x +1
4
(x-1)2 – 3x +1 = 2 –x
2ax – 3x = 1- x
è LETTERALE , con x
incognita, a è la lettera
(o parametro).
sono INTERE
e numeriche
RISOLVERE un’equazione significa trovare, se
esistono, la/le soluzione/i.
Per farlo si fa uso di due
PRINCIPI , detti di EQUIVALENZA
1° principio
di
equivalenza
Aggiungendo o sottraendo ai due
membri di un’equazione uno stesso
numero o stessa espressione letterale
si ottiene un ‘ equazione equivalente
a quella data.
Esempi
Infatti data l’equazione 3x = 15
la cui soluzione è x = 5 , se aggiungiamo +2 ad entrambi i membri si
ottiene :
3x + 2 = 15 + 2 che è EQUIVALENTE
alla precedente perché ha la stessa
soluzione
DA QUESTO PRINCIPIO S I POSSONO TRARRE DUE
IMPORTANTI DEDUZIONI MOLTO UTILI NELLE
RISOLUZIONE DI UN’ EQUAZIONE
La prima conseguenza : Se al primo e al secondo membro ci sono due termini uguali si possono tralasciare
2x – 7 = 5x –1 – 7  2x = 5x – 1
La seconda conseguenza : In un’equazione si
Può trasportare un termine da un membro
all’altro, purchè lo si cambi di segno
2x = 5x – 1 
2x - 5x = -1  -3x = -1
2° Principio
di
Equivalenza
Moltiplicando o dividendo per uno
stesso numero o espressione ( ma
sempre diversi da zero ), entrambi
i membri di un’equazione, si ottiene
un’equazione EQUIVALENTE a
quella data in partenza.
Esempio :
3x = 81  3x = 81  x = 27
3
3
( è la SOLUZIONE )
1 x = - 6  4 • 1 x = -6 • 4  x = -24
4
4
( “ “
“ )
Altri esempi :
X- 2 + X –5 = 1
3
2

2• ( X- 2 ) + 3 • ( X- 5 ) =1
6
 5X - 19 = 1
6
2X – 4 + 3X – 15 = 1
6
6 • 5X – 19 = 6
6
5X = 19 + 6
X=5


5X – 19 = 6
5X = 25
( è la SOLUZIONE )
 5X = 25
5
5
RISOLUZIONE di un’ equazione di primo grado
P RO C E D I M E N T O :
1°) si libera, quando è necessario, l’equazione dai denominatori
2°) si eseguono gli eventuali prodotti indicati
3°) si trasportano tutti i monomi con l’incognita al I°membro, e tutti i
termini noti al II° membro, poi si riducono i termini simili
4°) si dividono entrambi i membri dell’equazione per il coefficiente
numerico davanti all’incognita
Attenzione : quando si trasporta un termine da un membro
all’altro si deve cambiare il relativo segno !!
Esempio
7 - x = 2x+1 – 1-x
3 6
6
2

14 – x = 2x+1 - 3·( 1- x )
6
6
Denominatori uguali ,li sopprimiamo e facciamo i calcoli
14 – x = 2x + 1 – 3 +3x
Trasportiamo i monomi con la x al I°membro e i termini noti
al secondo membro :
-x – 2x –3x =-14 +1 –3 , riduciamo i termini simili :
- 6x = - 16 , dividiamo per il coeff. numerico davanti alla x
-6x = -16 
x=8
che è la SOLUZIONE
-6
-6
3
VERIFICA di un ‘ equazione
Per fare la verifica si calcolano separatamente i valori
che entrambi i membri assumono quando in essi si
sostituisce all’incognita x la soluzione ; se tali valori sono
uguali la soluzione è esatta
ESEMPIO
2X – 4 = X + 11 verifico che X = 10 è la SOL.
2
2· 10 – 4 = 10 + 11  20-4=5+11  16 = 16
2
x= 10 è proprio la SOLUZIONE