G. Petrucci “Lezioni di Costruzione di Macchine”
30. ASSI E ALBERI
L’albero è un elemento rotante, usualmente di sezione circolare, usato per trasmettere potenza e/o moto di rotazione
e/o coppia; esso fornisce l’asse di rotazione o di oscillazione ad elementi rotanti quali pulegge, ruote dentate, volani
ecc… Tipicamente, è vincolato all’esterno mediante supporti costituiti da cuscinetti a rotolamento o strisciamento.
L’asse è invece un elemento usato per supportare elementi rotanti, senza trasmettere potenza o coppia, che può
essere rotante o meno (gli assali ferroviari, l’asse della carriola).
Il progetto
Il progetto di un albero deve essere preceduto da un’analisi preliminare della macchina in cui deve essere inserito al
fine di determinare la posizione degli elementi che dovranno essere calettati sull’albero stesso (pulegge, ruote
dentate, cuscinetti, manovelle) e stimare le forze che verranno trasmesse.
Il progetto dell’albero deve tener in considerazione i seguenti fattori:
1) le tensioni agenti e la resistenza (statica, a fatica, affidabilità);
2) le inflessioni e la rigidezza:
• inflessioni di flessione e torsione,
• rotazioni delle sezioni in corrispondenza degli elementi collegati,
• inflessione di scorrimento negli alberi a sbalzo;
3) le sollecitazioni dinamiche;
4) il peso (in alcuni casi).
È necessario tenere presente che l’analisi delle tensioni in una sezione dell’albero non richiede la conoscenza
dell’intera geometria dell’albero stesso (se è isostatico), ma solo la geometria della sezione stessa (per ovvi motivi) e
delle zone limitrofe (per considerare eventuali concentrazioni di tensione), oltre, come già detto, alla posizione dei
carichi e dei vincoli e l’entità dei carichi. Al contrario, le inflessioni dipendono, oltre che da modulo di Young del
materiale, dalla geometria complessiva dell’albero, per cui è opportuno determinare inizialmente le dimensioni
necessarie per la resistenza ed effettuare, successivamente una verifica riguardante le inflessioni, incrementando, se
necessario, le dimensioni. Da ricordare che, tipicamente, le rotazioni in corrispondenza di cuscinetti a sfere o a rulli
non orientabili non devono superare 0.04°, l’allontanamento tra ruote dentate deve essere inferiore a 0.13 mm,
l’inclinazione relativa degli assi delle ruote inferiore a 0.03°.
Nel progetto di un albero è opportuno tenere presenti i seguenti principi generali:
• la lunghezza dell’albero deve essere limitata quanto più possibile, ponendo i vincoli vicino ai carichi
applicati, al fine di diminuire le inflessioni e i valori dei momenti flettenti ed aumentare il valore delle
velocità critiche flessionali;
• in generale è opportuno cercare di evitare effetti di intaglio nelle sezioni nelle quali le tensioni nominali
sono più elevate ed utilizzare ampi raggi di raccordo;
• se le esigenze di rigidezza risultano essere le più critiche, può essere possibile utilizzare acciai più
economici (meno resistenti), poiché tutti gli acciai hanno praticamente stesso modulo di elasticità;
• è opportuno effettuare buone finiture superficiali, aumentando anche la resistenza superficiale del materiale
con opportuni trattamenti;
• se il peso è un fattore critico, considerare l’opportunità di realizzare alberi cavi per ottenere bassi rapporti fra
peso e rigidezza.
La geometria
La geometria più semplice dell’albero è quella di un cilindro con basi ortogonali all’asse. Spesso gli alberi vengono
realizzati con geometria detta a gradino, cioè mediante segmenti cilindrici di diametro costante opportunamente
raccordati (fig.1). Tale geometria permette di migliorare l’impiego del materiale ai fini della resistenza, riducendo il
peso e facilitando il posizionamento assiale stabile dei componenti da calettare sull’albero, in quanto le variazioni di
diametro possono fungere da spallamento. Alcuni segmenti sui quali non devono essere calettati elementi possono
essere costruiti con diametro variabile con continuità in funzione dell’andamento variabile delle sollecitazioni
(fig.1b). In definitiva, dal punto di vista della modellazione, gli alberi dritti possono essere assimilati a travi
rettilinee, con sezione variabile, vincolate con appoggi, soggette a carichi assiali, flessionali e torsionali.
In alcuni casi gli alberi possono essere sagomati in modo da “comprendere” alcuni elementi destinati alla
trasmissione delle forze e del moto, come in fig.1b, dove 2 ruote dentate sono ricavate di pezzo sull’albero. Classico
esempio in tal senso sono gli alberi a manovella, sagomati in modo da generare le manovelle.
(b)
(a)
Fig.30.1 – Esempi di alberi di trasmissione.
30.1
G. Petrucci “Lezioni di Costruzione di Macchine”
Analisi dei carichi - determinazione delle caratteristiche di sollecitazione
Nelle trasmissioni di potenza il dato di partenza è costituito dal momento torcente T [Nm] ottenibile dalla potenza P
[Watt=N m/s] e dalla velocità angolare ω [rad/sec] o n [giri/min]
T=
P
ω
= 9.55
P
n
(30.1)
Spesso i carichi trasmessi dagli elementi calettati sono costituiti da forze sghembe rispetto all’asse dell’albero.
Tali forze provocano, oltre al momento torcente, sollecitazioni di taglio, sforzo normale e momenti flettenti. In fig.2
è rappresentato un sistema di assi adatto all’analisi dei carichi agenti su un albero di trasmissione di cui A e B sono
gli estremi sinistro e destro:
• l’origine o è posizionata nell’estremo sinistro A dell’albero,
• l’asse x
è disposto parallelamente all’asse dell’albero, con verso positivo a destra,
• l’asse y
è disposto nel piano orizzontale, con verso positivo uscente dal piano verticale,
• l’asse z
è disposto nel piano verticale, con verso positivo in basso.
In presenza di momenti flettenti agenti nei piani verticale xz
(My) ed orizzontale xy (Mz), il modulo del momento risultante M e
l’angolo β formato dal vettore momento e l’asse y sono dati dalle
seguenti relazioni:
M = M y2 + M z2
tan β = M z M y
x
RB
o≡A
RA
(30.2,3)
y
Fr2
z
In fig.2a sono mostrate le componenti delle forze F e delle
reazioni vincolari R nel caso di un albero collegato a 2 ruote
dentate a denti elicoidali 1 e 2 e vincolato agli estremi A e B con
due cuscinetti. Nell’esempio, in particolare,
• l’albero ruota in verso antiorario rispetto all’asse x (guardando
verso il piano yz),
• le ruote hanno entrambe elica sinistra e sono, rispettivamente,
1 ricevente e 2 cedente,
• il cuscinetto in A esplica una reazione orizzontale OA ed una
verticale VA,
• il cuscinetto in B esplica una reazione orizzontale OB, una
verticale VB e una reazione assiale AB.
B
F2
F1
OB
Mv2
x
Mv1
Fr1
Ft2
Ft1
VB
OA
y
VA
z
T
AB
x
T
Fa2
Fa1
z
y
Nella fig.2b sono mostrate le forze relative alle sollecitazioni
di flessione nei piani orizzontale e verticale e in fig.2c sono Fig.30.2 – Sollecitazioni sugli alberi: a) il sistema d’assi;
b) sollecitazioni di flessione nei piani orizzontale e
mostrate le forze relative alle sollecitazioni assiali e di torsione.
verticale; c) sollecitazioni assiali e torsionali.
Fatica per Torsione costante e flessione rotante
Un albero rotante sottoposto a carichi di flessione aventi retta d’azione fissa e momento torcente costante (fig.3-4) è
sollecitato a flessione rotante a causa della rotazione stessa. Definendo Iz e Io i momenti di inerzia assiale e polare
della sezione, la tensione alternata di flessione e la tensione tangenziale costante in ciascuna sezione, possono essere
ottenute come:
σ x ,a =
M a d 32 M a
=
Iz 2 π d 3
τ xy ,m =
Tm d 16Tm
=
Io 2 π d 3
(30.4,5)
Per ottenere le tensioni in MPa è opportuno introdurre i momenti espressi in Nmm e le lunghezze in mm.
Ovviamente questa coppia di valori non può essere utilizzata nel diagramma di Haigh, poiché le tensioni sono di
natura diversa (normali e tangenziali) e agiscono secondo direzioni diverse. È importante notare che, al variare
dell’ampiezza della tensione σx durante il tempo, le tensioni principali nel punto variano sia come modulo che come
orientazione (fig.4).
Esistono svariate teorie per l’analisi di fatica che combinano le sollecitazioni (4,5) per la determinazione del
diametro dell’albero o del coefficiente di sicurezza. La più semplice è probabilmente quella di Gough e Pollard.
In alternativa è possibile valutare componenti di tensione media e alternata agenti sull'elemento dello stesso tipo
in due modi:
• determinando i valori della tensione tangenziale media ed alternata effettivamente agente per ogni giacitura e
considerando quella cui corrisponde il σf più elevato (Nf più basso);
• valutando le tensioni medie e alternate equivalenti mediante la teoria della massima tensione tangenziale o
quella dell'energia di distorsione.
30.2
G. Petrucci “Lezioni di Costruzione di Macchine”
n
σθ
σx
σx
σx
x
τxy
σx,τxy
τθ
τxy
τxy
y
θ
0,τyx
τyx
τyx
n
Fig.30.3 – Stato tensionale del punto più sollecitato dell’albero (visto dall’alto). x direzione assiale, y circonferenziale, θ direzione generica.
Criterio di Gough e Pollard - criterio di Soderberg
Il criterio di resistenza a fatica multiassiale di Gough e Pollard, valido per sollecitazioni costituite da tensioni
normali e tangenziali agenti in fase, nel caso in cui si ritenga che il momento torcente e quello flettente possano
variare proporzionalmente rispetto ai dati di progetto, fornisce la seguente relazione tra le tensioni agenti, le tensioni
che rappresentano la resistenza del materiale e il coefficiente di sicurezza n:
2
2
 σ m σ a   τ m τ a   1 2

 

 σ + σ  +  τ + τ  =  n 
f 
f 
 s
 s
(30.6)
Nel caso in analisi (τa=σm=0) la (6) può essere riscritta come
2
2
 σ a   τ m   1 2
  +  = 
σ   τ   n 
 f  s
(30.7)
Utilizzando la teoria della massima tensione tangenziale, si può scrivere τs=σs/2 per le sollecitazioni statiche, e,
in modo approssimato, τf=σf/2 per quelle di fatica. In base a ciò, introducendo le (4,5) nella (7), ed esplicitando la
relazione rispetto a d e ad n si ottiene rispettivamente

32
d = n
 π

13
M
 a
σf
2
2
  Tm  
 +   
  σ s  
n=
π d3
(30.8,9)
2
 M  T 
32  a  +  m 
σf 

 σs 
2
Nelle (8,9) il limite di fatica σf dipende dalla finitura superficiale in base al coefficiente ka (o Cs) e dalle
dimensioni dell’albero in base al coefficiente kb (o Cg) cioè σf=kakbσ′f. In questo caso è opportuno effettuare il
calcolo considerando inizialmente unitario tale coefficiente, modificare σf in base al diametro ottenuto e calcolare
nuovamente il diametro. Per maggiore precisione è possibile eseguire una procedura iterativa, ripetendo più volte
l’operazione descritta.
È interessante confrontare la (8) con l’espressione relativa al dimensionamento per carichi statici ottenibile con il
criterio di Tresca - vedi eq.(70) nel successivo paragrafo relativo alle sollecitazioni statiche - scritta come segue
13
2
2





32
M
T
d = n
  +  
 π  σs  σs  


(30.10)
1
1.5
0.8
1
0.6
0.5
0.2
σ 1, σ 2, α
σx, τxy
0.4
0
-0.2
0
-0.5
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
-1
σx
τxy
1
σ1
σ2
-1.5
α [RAD]
t
2
3
4
5
6
7
8
9
0
10
1
2
t
3
4
5
6
7
8
9
10
Fig.30.4 – Esempio di andamento delle tensioni durante una rotazione dell’albero (caso in cui σxa=τxym=1): a sinistra le componenti cartesiane
σx e τxy; a destra le tensioni principali e l’angolo α formato tra la tensione σ1 e l’asse x (espresso in radianti).
30.3
G. Petrucci “Lezioni di Costruzione di Macchine”
Come si vedrà nel seguito, le relazioni (8,9) possono essere dedotte anche
utilizzando il criterio di Soderberg (16.18a,b), considerando le tensioni tangenziali
media ed alternata sul diagramma di Haigh.
Generalmente il momento flettente assume valori differenti in ciascuna sezione
dell’albero, e, a parte il caso di coppie concentrate, è variabile con continuità, mentre il
momento torcente spesso agisce su porzioni limitate dell’albero comprese tra gli
elementi destinati alla trasmissione della coppia (ruote dentate, ecc..). In conseguenza
di questo fatto, la (8) fornisce diametri variabili da sezione a sezione. I valori del
diametro ottenuti utilizzando la (8) e la curva che li rappresenta vengono definiti di
uniforme resistenza. Solitamente il diametro viene fatto variare solo in alcune sezioni,
cioè l’albero viene realizzato in segmenti di diametro costante opportunamente
raccordati. Poiché le variazioni di diametro provocano sempre concentrazioni di
tensione (fig.5), le (8,9) devono essere opportunamente modificate.
D
R
d
Fig.30.5 - Variazione di sezione.
La concentrazione di tensione
Tenuto conto del fatto che per la realizzazione degli alberi si utilizzano generalmente materiali duttili, nel caso in cui
in alcune sezioni esistano concentrazioni di tensione dovute a variazioni di diametro, gole o cave per
l’alloggiamento di componenti, il fattore di concentrazione può essere introdotto in modo da amplificare solo la
componente alternata. In realtà in letteratura si trovano molte relazioni nelle quali il fattore di concentrazione viene
applicato anche alla componente statica dovuta al momento torcente. Nel primo caso, le (8) e (9) si modificano
come segue:

32
d = n
 π

13


M a   Tm  
K
+
 f
  
σ f   σ s  


2
2
n=
π d3
2

M  T 
32  K f a  +  m 

σ f   σ s 

(30.11,12)
2
Utilizzando queste relazioni, ovviamente, nel limite di fatica del materiale σl non deve essere considerato il
coefficiente dell’effetto di intaglio (kf=1).
In fig.5, in particolare, sono mostrati i parametri geometrici che descrivono la variazione di sezione tra un
segmento a diametro costante ed un altro. I parametri adimensionali che descrivono la concentrazione di tensione
sono δ=D/d e ρ=R/d. Per i casi di flessione e torsione i fattori di concentrazione possono essere ottenuti da vari
diagrammi e relazioni empiriche, quali ad esempio le seguenti:
K tF = 0.632 + 0.377 δ −4.4 + ρ −0.5
−0.140 − 0.363 δ 2 + 0.503 δ 4
1 − 2.39 δ 2 + 3.368 δ 4
(30.13)
K t T = 0.780 + 0.200 δ −10 + ρ −0.46
0.002 − 0.125 δ 2 + 0.123 δ 4
1 − 2.750 δ 2 + 2.550 δ 4
(30.14)
Naturalmente, poiché il coefficiente dipende dal diametro stesso, la (11) deve essere risolta in modo iterativo,
introducendo inizialmente un valore di Kf stimato, o intermedio, o unitario e utilizzando nelle successive iterazione
il coefficiente calcolato con il diametro ottenuto dall’iterazione precedente. Il procedimento si arresta quando i
diametri nelle successive iterazioni hanno variazioni nulle o trascurabili.
Il criterio di Goodman
Le relazioni (8,9) possono essere modificate in senso meno conservativo introducendo la tensione σr al posto di σs,
come accade per il criterio di Goodman (16.17a,b):

32
d = n
 π


M 
 K f a 
σf 

2
13

 Tm  
+ 
 σ r  

2
n=
.
30.4
π d3
2

M  T 
32  K f a  +  m 

σ f   σ r 

(30.15,16)
2
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Determinazione del piano critico e delle tensioni tangenziali agenti
La relazione (8) può essere ottenuta anche ricercando il piano nel quale agisce la coppia di tensioni tangenziali
media e alternata più pericolosa determinata sul diagramma di Haigh in base al criterio di Soderberg. Il piano su cui
agisce tale coppia di tensioni è detto piano critico.
Determinazione di τ(θ)
La tensione tangenziale agente nel piano di generica giacitura n nel caso di stato di tensione piano può essere
ottenuta dalla relazione (1.47) qui riscritta:
τn = −
σ x −σ y
2
sin 2θ + τ xy cos 2θ
(30.17)
nella quale θ è l’angolo che il piano di normale n forma con l’asse x. Ponendo a 0 la σy, sostituendo al posto di σx e
τxy la (4) e la (5) e moltiplicando la σx per cosωt, la (17) può essere riscritta come:
τθ =
16Tm
16 M a
cos 2θ −
sin 2θ cos ωt .
3
π d
π d3
(30.18)
Questa equazione mostra che la tensione tangenziale possiede componente media e alternata differenti su ogni
piano formante un angolo θ con il piano orizzontale:
τθ m =
16Tm
cos 2θ
π d3
τθ a =
16 M a
sin 2θ
π d3
(30.19,20)
Ovviamente per θ=0 (dir. x) la tensione tangenziale alternata è nulla, mentre per θ=45° è nulla la componente
media. Il rapporto tra la (19) e la (20) è il coefficiente angolare r della retta di carico sul diagramma di Haigh.
Determinazione della giacitura più sollecitata
Le (19,20) mostrano che ogni giacitura ha uno stato
di sollecitazione τa-τm differente. Quello più
pericoloso può essere trovato utilizzando il
diagramma di Haigh. L’equazione della retta di
Soderberg sul diagramma di Haigh è la (16.18) qui
riscritta:
σa =σ f −
σf
σ
σs m
τalternata
τf
P′
Linea di Soderberg
Linea di sicurezza
Linea di carico
θ=45°
τα'm
P
(30.21)
τθ'a
τs
θ=0°
la cui la pendenza è pari al rapporto –σf/σs.
τmedia
La linea di Soderberg può essere modificata in Fig.30.6 - Diagramma di Haigh e andamento delle tensioni tangenziali
modo approssimato per tensioni di fatica tangenziali
al variare dell’angolo θ.
(fig.6) utilizzando la teoria della massima tensione
tangenziale (τf=σf/2, τs=σs/2). L’inclinazione della retta di Soderberg nel piano τm-τa è uguale a quella nel piano
σm-σa, essendo τf/τs=σf/σs.
La funzione τa=f(τm) per 0≤θ≤45° è rappresentata da un quarto di ellisse (fig.6). La linea di sicurezza è una linea
tangente all’ellisse e parallela alla linea di Soderberg. La giacitura più sollecitata di orientazione θ=θ′ è quella per la
quale la derivata dτθa/dτθm=dy/dx è uguale al coefficiente angolare della linea di Soderberg. Tenendo presente che
dy dy
=
dx dθ
dx
,
dθ
(30.22)
derivando le (19,20) rispetto ad θ si ottiene:
32Tm
dx dτ θ m
=
=−
sin 2θ
dθ
dθ
πd3
dy dτ θ a 32 M a
=
=
cos 2θ
dθ
dθ
πd3
(30.23,24)
da cui
Ma
dy
=−
dx
Tm tan 2θ
(30.25)
30.5
G. Petrucci “Lezioni di Costruzione di Macchine”
Ponendo tale derivata pari all’inclinazione della retta di Soderberg si ottiene il valore di θ′:
tan 2θ ′ =
Ma τs Ma σs
=
.
Tm τ f
Tm σ f
(30.26)
Determinazione del diametro o del coefficiente di sicurezza
Se si suppone che al variare del carico esterno le tensioni medie e alternate varino in modo proporzionale, il
coefficiente di sicurezza nel piano τm-τa è espresso dalla seguente relazione:
1 = τa + τm = σ a + σ m
n τ f τs σ f σ s
(30.27)
ricordando che σs=2τs, σf=2τf, sostituendo le tensioni tangenziali media (19) e alternata e (20), nelle quali sia θ=θ′,
la (27) diventa
1
32  Tm cos 2θ ′ M a sin 2θ ′ 
=
+

n π d 3 
σs
σf

(30.28)
Esplicitando rispetto a d si ottiene
13
 32  M sin 2θ ′ T cos 2θ ′ 
 .
d = n  a
+ m


π
σ
σ

f
s


(30.29)
Utilizzando la (26) per eliminare θ′, con vari passaggi riportati in appendice A1, si osserva che la (29) assume la
stessa forma della (9).
30.6
G. Petrucci “Lezioni di Costruzione di Macchine”
Teoria della massima energia di distorsione
L’utilizzazione della teoria della massima energia di distorsione prevede che si valutino separatamente le tensioni
alternata e media equivalenti tramite le relazioni di Von Mises che, in questo caso di stato di tensione piano riferito a
coordinate cartesiane, fornisce:
2
σ e ,a =
σ + 3τ
σ e ,m =
σ
2
xa
2
xya
=
32 M a 
32
2

+ 3(0) =
K M
Kf
3 
π d 
π d3 f a

(30.30)
2
2
xm
+ 3τ
2
xym
=
16T
32 3
T
( 0 ) + 3  m3  =
π d3 2 m
π d 
2
(30.31)
I valori ottenuti possono essere introdotti nei vari criteri di danneggiamento per tensioni medie ed alternate per
ottenere il coefficiente di sicurezza o il diametro.
Soderberg
Se si usa l’approccio di Soderberg, sostituendo le due equazioni precedenti nell’equazione del coefficiente di
sicurezza del criterio si ha:
1
σ σ
32
M
32 3 Tm
= a + m =
Kf a +
3
σ f σs
π d
σf
π d3 2 σs
n
(30.32)
Risolvendo rispetto a d ed n si ottiene:
13
 32 
M
3 Tm  
d = n  K f a +


σf
2 σ s  
 π 
n=
π d3
(30.33,34)

M
3 Tm 
32  K f a +

σf
2 σs 

La pendenza della linea di carico sul diagramma di Haigh risulta:
r=
σ e ,a
2
M
=
Kf a
σ e ,m
Tm
3
(30.35)
ASME
Se si usa la relazione ellittica ASME, le relazioni di progetto e verifica diventano:

32
d = n
 π

13
2
2

M a  3  Tm  
 K f
 +  
σ f  4  σ s  


n=
π d 3 32
2

M  3T 
32  K f a  +  m 

σ f  4  σ s 

(30.36,37)
2
Gerber
Se si usa l’approccio di Gerber per la resistenza a fatica, le corrispondenti equazioni risultano:
13
2 


 1 Tm σ f   
 16 K f M a 
d = n
1 + 1 + 3
 K σ M   

π
σ
f

 f s a  



2 

 1 Tm σ f  
1 16
Ma 
= Kf
 
1 + 1 + 3 
n π
K f σ s M a  
σf 



(30.38,39)
30.7
G. Petrucci “Lezioni di Costruzione di Macchine”
Caso generale
Un caso più generale rispetto al precedente è quello in cui l’albero è soggetto ad una combinazione di momenti
flettenti e torcenti stazionari e alternati con uguale frequenza e fase:
σ x ,m =
32
M
π d3 m
τ xy ,m =
16
T
π d3 m
(30.40,41)
σ x ,a =
32
K M
π d3 f a
τ xy ,a =
16
K T
π d 3 ft a
(30.42,43)
Casi più generali prevedono la presenza di carichi assiali fluttuanti e/o sollecitazioni agenti con diverse
frequenze e fasi.
Criterio di Gough e Pollard
Utilizzando il criterio di Gough e Pollard (6) o la teoria della massima tensione tangenziale combinata con
l’approccio di Soderberg, si ottengono le seguenti espressioni di progetto e verifica:

32
d = n
 π

n=
2

Ma Mm  
Ta Tm 
+
+ 
 K f
 +  K ft
σf
σ s   σ f σ s 

2
13




(30.44)
π d3
2

M
M  
T
T 
32  K f a + m  +  K ft a + m 

σf
σ s   σ f σ s 

(30.45)
2
La prima di queste equazioni è nota come codice di Westinghouse.
Teoria della massima energia di distorsione
Utilizzando il criterio di Von Mises alle tensioni alternate e medie si ottengono le seguenti espressioni per le tensioni
equivalenti alternate e medie:
σ e ,a =
16
4 K f M a2 + 3K ftTa2
3
πd
σ e ,m =
16
4 M m2 + 3Tm2
3
πd
(30.46,47)
che possono essere sostituite nella relazione di Soderberg ottenendo:


 32 
d = n

 π 


n=
13

M 
 K f a 
σf 

2

 M m  3  Tm   
3
Ta 
+  K ft
 + 
 +   
4 
σ f 
 σ s  4  σ s   

2
2
2
π d3

32 



M 
 K f a 
σf 

2

 M m  3  Tm  
3
Ta 
+  K ft
 + 
 +  
4 
σ f 
 σ s  4  σ s  

2
30.8
2
2
(30.48)
(30.49)
G. Petrucci “Lezioni di Costruzione di Macchine”
Alberi cavi
Negli alberi cavi la sezione resistente ha la forma di una corona circolare. Essi vengono utilizzati principalmente per
il contenimento del peso, grazie alla migliore utilizzazione del materiale dovuta al fatto che le massime tensioni
dovute alla flessione e alla torsione si trovano in prossimità del diametro esterno.
Definendo di il diametro interno della sezione e β=di/d il rapporto tra il diametro interno e quello esterno (β=0
per cilindro pieno), i momenti di inerzia assiale e polare della sezione a corona circolare risultano rispettivamente:
Iz =
π ( d 4 − di4 )
32
=
π d 4 (1 − β 4 )
Io =
32
π ( d 4 − di4 )
16
=
π d 4 (1 − β 4 )
(30.50,51)
16
Utilizzando le (50,51) per il calcolo delle tensioni normali e tangenziali (4,5), le (8,9) si trasformano in

32
d = n
 π (1 − β 4 )

13
2
2

M a   Tm  
K
+
 f σ   σ  
f 
 s 


2

M a   Tm 
 K f
 + 
σ f   σ s 

1
32
=
3
n π d (1 − β 4 )
2
(30.52,53)
che permettono la determinazione del diametro esterno e del coefficiente di sicurezza nel caso di alberi cavi.
Se il diametro esterno d è assegnato, la (52) può essere esplicitata rispetto a β:

32
β = 1 − n

π d3

14


M a   Tm  
+
K
 f
  
σ f   σ s  


2
2
(30.54)
oppure, direttamente rispetto al diametro interno

32
d i = d 1 − n

π d3


Ma 
 K f

σ
f


2
14

 Tm  
+ 
 σ s  

2
(30.55)
A parità di resistenza (cioè di coefficiente di sicurezza) e materiale utilizzato, il peso dell’albero cavo risulta
minore di quello dell’albero pieno, anche se il diametro esterno risulta maggiore (fig.7a). Definendo dc, dp, Pc, e Pp
rispettivamente diametri e pesi degli alberi cavo e pieno, valgono le seguenti relazioni:
dc = d p
1
Pc = Pp
(1 − β )
4
13
1− β 2
(30.56,57)
(1 − β )
4 23
A parità di peso il diametro esterno dell’albero cavo risulta maggiore, ma l’albero risulta più resistente per via
della migliore utilizzazione del materiale (fig.7b). In questo caso le relazioni tra i diametri dc, e dp e i coefficienti di
sicurezza nc ed np per albero cavo e pieno sono date dalle seguenti espressioni:
dc = d p
1
nc = n p
1− β 2
1.6
(30.58,59)
1− β 2
4.5
a)
dc/dp
1.4
Pc/Pp
3.5
1
3
0.8
2.5
0.6
2
0.4
b)
dc/dp
4
1.2
0.2
0
1+ β 2
nc/np
1.5
β
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
β
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Fig.30.7 - a) rapporti dc/dp e e Pc/Pp a parità di resistenza; b) rapporti dc/dp ed nc/np a parità di peso.
30.9
0.7
0.8
0.9
G. Petrucci “Lezioni di Costruzione di Macchine”
Analisi per carichi statici
Le equazioni di progetto e verifica per carichi statici sono di utilità per alberi che trasmettono il momento torcente
senza rimanere in rotazione.
Flessione, sforzo normale e torsione
Le tensioni agenti in un punto della superficie di un albero a sezione circolare pieno, di diametro d, soggetto a
flessione, sforzo normale e torsione sono:
σx =
32 M
4F
+
3
π d π d2
τ xy =
16T
π d3
(30.60,61)
La componente assiale della tensione normale può essere additiva o sottrattiva.
Nel caso di materiali duttili queste tensioni possono essere combinate per ottenere le tensioni equivalenti di
Tresca e Von Mises:
σ e = σ 1 − σ 2 = σ x2 + 4τ xy2
σ e = σ 12 − σ 1σ 2 + σ 22 = σ x2 + 3τ xy2
(30.62,63)
essendo le due tensioni principali non nulle ottenibili mediante la (1.44). Sostituendo le (60,61) a destra nelle
(62,63) si ottiene:
σe =
4
π d3
(8M + F d )
2
+ 64T 2
σe =
4
π d3
(8M + F d )
2
+ 48T 2
(30.64,65)
Queste equazioni possono essere usate per determinare il diametro d o il coefficiente di sicurezza n imponendo
l’uguaglianza con la tensione ammissibile σam=σs/n ed esplicitando rispetto alla grandezza desiderata:
d=
3
4 n
π σs
(8M + F d )
2
+ 64T 2
d=
π d 3σ s
n=
4
(8M + F d )
4 n
(8M + F d )
π σs
2
+ 48T 2
π d 3σ s
n=
+ 64T 2
2
3
4
( 8M + F d )
2
(30.66,67)
(30.68,69)
+ 48T 2
Le relazioni (66,67) possono essere risolte con una procedura iterativa descritta in appendiceA2.
Flessione e torsione
Quando il carico assiale può essere trascurato, le (66,67) possono essere risolte facilmente per ricavare il diametro;
sostituendo i valori delle tensioni ammissibili nell’espressione della teoria della massima tensione tangenziale o in
quella del lavoro di distorsione si ottiene:
 32 n
d =
 π σs
13
13

M +T 

2
 16 n

d =
4 M 2 + 3T 2 
 π σs

2
(30.70,71)
Se il diametro è noto può essere ricavato il coefficiente di sicurezza:
n=
πd3
σs
32
M +T
2
n=
2
30.10
πd3
16
σs
4 M 2 + 3T 2
(30.72,73)
G. Petrucci “Lezioni di Costruzione di Macchine”
Appendice 1
Si pone:
T

M
K =  m cos 2θ ′ + a sin 2θ ′ 
σs

σf


(A1)
Elevando al quadrato si ottiene:
2
M
T 
K =  m  cos 2 2θ ′ +  a
σf
σs 

2
2

T M
2
 sin 2θ ′ + 2 m a sin 2θ ′ cos 2θ ′
σs σ f

(A2)
Utilizzando l’identità trigonometrica fondamentale relativa a sen22θ e cos22θ
2
T   M
K =  m  + a

σs   σ f
2
2
2
  Tm 
M
2
 −   sin 2θ ′ −  a
 σs 
σf
2

T M
2
 cos 2θ ′ + 2 m a sin 2θ ′ cos 2θ ′ ,
σs σ f

(A3)
e separando i termini senza funzioni trigonometriche, si ottiene
 T  2  M
2
K =  m  +  a
 σ s   σ f




2
  T  2

 −  m  sin 2 2θ ′ +  M a
σf
  σ s 

 
2


T M
2
 cos 2θ ′ − 2 m a sin 2θ ′ cos 2θ ′
σs σ f



(A4)
Per dimostrare l’assunto è sufficiente dimostrare che il termine a destra della (A4) è nullo. La (A4) può essere
riscritta come:
 T  2  M  2   T 
M
K =  m  +  a   −  m  sin 2θ ′ −  a
σ  
σ
σ
 σ
 f
 s   f    s 
2
Ricordando che
Ma
σf
=
Tm
σs
tan 2θ ′ =


 cos 2θ ′


2
(A5)
Ma σs
in base alla (26) si può porre:
Tm σ f
tan 2θ ′
(A6)
Sostituendo questa relazione nel secondo termine in parentesi quadre a destra nella (A4) si ottiene:
 T
 m
 σ s
 Ma

 sin 2θ ′ − 

σf
2
  T 

T
 cos 2θ ′ =  m  sin2θ ′ −  m
  σ s 
σs

2


 sin2θ ′ =0


(A7)
da cui la (A4) si semplifica in
2
2
2
 Tm
  Tm   M a  
Ma

sin 2θ ′  =   + 
 cos 2θ ′ +
  σs
 σ f  
σ
σ
s
f



 

 
(A8)
e infine
2
T   M
cos 2θ ′ +
sin 2θ ′ =  m  +  a

σs
σf
σs   σ f
Tm
Ma
30.11



2
(A9)
G. Petrucci “Lezioni di Costruzione di Macchine”
Appendice 2 – Procedure iterative
Nei casi in cui la grandezza da valutare appare sia a sinistra che a destra dell’equazione risolutiva, il risultato può
essere ottenuto in modo iterativo, assegnando di volta in volta alla grandezza a destra dell’equazione il risultato
ottenuto al passo precedente. Naturalmente alla prima iterazione il valore deve essere ipotizzato e, in molti casi, può
essere posto semplicemente a 0, se appare nella formula come addendo, o a 1, se appare come fattore. L’iterazione
termina quando il valore corrente e quello ottenuto al passo precedente risultano pressoché coincidenti, oppure se è
verificata una certa condizione.
Nel caso delle (66,67), ad esempio per la (66), si può porre d1=0 e applicare iterativamente l’espressione
di =
3
4 n
π σs
(8M + F d i −1 )
2
+ 64T 2
i >1
(A2.1)
L’iterazione può essere arrestata se si verifica una qualsiasi delle due condizioni di≈di–1 oppure σe,i≈σe,i–1.
La σe,i può essere valutata con la (64)
σ e,i =
4
π d i3
(8M + F d i )
2
+ 64T 2
(A2.2)
e le condizioni possono essere imposte con relazioni del tipo:
d i − d i −1 < δ d
σ am − σ e,i ≤ δσ
(A2.3,4)
essendo δσ e δd valori piccoli rispetto alle grandezze da confrontare (es.: δσ=0.01σam, δd=0.01mm).
In questo caso il numero di iterazioni dipende dall’importanza del prodotto Fd, rispetto ad M e T. Effettuando
l’iterazione con un software di calcolo si nota che dopo alcune iterazioni i valori di di e σe,i diventano costanti.
30.12