Laboratorio di Didattica dell’Informatica
a.a. 2001-2002
COSTRUZIONE DI UN
FRATTALE
UTILIZZO DEL FOGLIO
ELETTRONICO NELLA DIDATTICA
DELLA MATEMATICA
I PREREQUISITI INFORMATICI
Argomento
Argomento
Competenze
Lavorare con i
file
Utilizzare Salva e Salva con nome
Individuare ed aprire una cartella
esistente
Creare una cartella
Utilizzare la guida in linea
Lavorare con le
celle
Utilizzare Annulla e Ripristina
Eliminare il contenuto di una cella
Inserire testo, dati e numeri
Modificare il contenuto delle celle
Inserire e cancellare le celle selezionate
Taglia, copia, incolla, incolla speciale,
sposta le celle
Utilizzare Trova e Sostituisci
Cancellare il formato delle celle
Lavorare con il riempimento
Formattare i
fogli di lavoro
Applicare i formati numerici
Modificare la dimensione di righe e
colonne
Modificare l’allineamento dei
contenuti delle celle
Applicare bordo e fondo alle celle
Competenze
Imposta pagina e
stampa
Anteprima e stampa di fogli e
selezione
Impostare margini, centratura
Lavorare con fogli e
cartelle di lavoro
Inserire e cancellare righe e
colonne
Nascondere e scoprire righe e
colonne
Muoversi tra fogli di lavoro di
una cartella
Rinominare un foglio di lavoro
Inserire e cancellare fogli di
lavoro
Spostare e copiare fogli di
lavoro
Lavorare con
formule e funzioni
Utilizzare le formule di addizione,
sottrazione, prodotto e quoziente
Utilizzare la somma automatica
Utilizzare le funzioni di base
(MEDIA, SOMMA, VARIABILE
CASUALE)
Utilizzare grafici
Anteprima di stampa e stampa
di grafici
Generare grafici a dispersione e a
linee a partire da una serie di dati
GLI OBIETTIVI INFORMATICI
Argomento
Lavorare con
formule e
funzioni
Utilizzare
grafici
Competenze
Utilizzare le funzioni:
SE ANNIDATI
PARTE INTERA
POTENZA
Formattazione grafici:
modificare i grafici variando le
caratteristiche dei punti, degli
assi, delle scale
Sovrapporre i grafici
Sovrapporre oggetti a grafici
NASCITA DELLA GEOMETRIA FRATTALE
Sembra più adatta di quella che noi conosciamo (euclidea) a “leggere”
alcune forme di irregolarità scritte in natura: una costa frastagliata, un
albero, un fiocco di neve.
Frattale (o fractal in inglese) deriva dall’aggettivo latino fractus che
significa irregolare o frammentario e dal verbo frangere cioè rompere.
Questo nome fu coniato dallo scopritore dei frattali, Mandelbrot nel 1979
che sosteneva:
” …Le nuvole non sono sfere, le montagne non sono coni, le coste non sono
circoli e gli argini non sono regolari… la varietà di configurazioni è una sfida a
studiare quelle forme che la geometria euclidea tralascia come informi, a
investigare la morfologia dell’amorfo…”
CHE COS’E’ UN FRATTALE
il frattale è una curva in genere continua , che si
presenta con un aspetto frastagliato tale che, se
potessimo ingrandirne una parte, troveremmo
un aspetto simile a quello osservato
nell’ingrandimento minore.
A CHE COSA SERVE?
il frattale come strumento matematico è utile
per la descrizione di tutti quei sistemi che
presentano complessità di comportamento e/o
andamento caotico.
le applicazioni del concetto di frattale sono
molteplici: dalla fisica alla chimica , dalla
sociologia alla psicologia, dalla finanza a….
L’ALGORITMO
Ci si può avvicinare alla costruzione di un frattale in maniera
molto semplice attraverso l’iterazione di una procedura
costituita a sua volta da procedimenti elementari.
Da un semplice gioco di probabilità si può costruire il famoso
Triangolo di Sierpinsky.
DA UN GIOCO CON I DADI ALLA COSTRUZIONE
DEL TRIANGOLO DI SIERPINSKY
• Disegniamo i tre vertici di un triangolo
k
qualsiasi e chiamiamoli 0, 1, 2
 punto
• Prendiamo
un punto qualunque
del piano su cui si trova il triangolo
•- Lanciamo un dado a tre facce
i
j
se esce 0: il punto si sposta verso il vertice 0,
se esce 1 : il punto si sposta verso il vertice 1,
se esce 2: il punto si sposta verso il vertice 2.
k


• Di quanto si sposta? Di metà della
distanza dal vertice corrispondente.
era qui
si sposta qui
i
j
k
Esempio: esce il valore 0

• Adesso si ripete il procedimento, si itera

i
j
UTILIZZIAMO UN FOGLIO DI CALCOLO
Devo simulare il lancio del dado a tre facce quindi:
Prima colonna: Scelgo un numero casuale tra 0 e 1 (FUNZIONE CASUALE)
Seconda colonna: mi serve che sia tra 0 e 2 (FUNZIONE CASUALE*3)
Terza colonna: mi serve che sia un intero (FUNZIONE INT)
Ottengo un numero casuale che è 0 oppure 1 oppure 2.
casuale tra 0 e 1
casuale tra 0 e 3
arrotondo per difetto
0,523258667
1,569776001
0,134696652
0,404089955
0,067141872
0,201425617
0,611655739
1,834967216
0,282334974
0,847004922
1
0
0
1
0
UTILIZZIAMO UN FOGLIO DI CALCOLO
Devo associare al numero casuale uno dei vertici del triangolo:
num.casuale=0  vertice A(0,0)
num.casuale=1  vertice B(5,0)
num.casuale=2  vertice C(5/2,10)
Quarta colonna: calcolo la x del vertice (FUNZIONE SE)
Quinta colonna: calcolo la y del vertice (FUNZIONE SE)
casuale tra 0 e 1 casuale tra 0 e 3 arrotondo per difetto
0,523258667
1,569776001
0,134696652
0,404089955
0,067141872
0,201425617
0,611655739
1,834967216
0,282334974
0,847004922
1
0
0
1
0
xvertice yvertice
5
0
0
0
0
0
5
0
0
0
UTILIZZIAMO UN FOGLIO DI CALCOLO
Scelgo il punto di partenza :
il punto fisso:
xpunto=2,5; ypunto=4
un punto casuale : xpunto=(CASUALE*5); ypunto=(CASUALE*10)
lo scrivo nella ottava e nona colonna
casuale tra 0 e 1
casuale tra 0 e 3
arrotondo per difetto
0,523258667
1,569776001
0,134696652
0,404089955
0,067141872
0,201425617
0,611655739
1,834967216
0,282334974
0,847004922
xvertice
1
0
0
1
0
5
0
0
5
0
yvertice xpunto partenzay punto partenza
2,5
4
0
0
0
0
0
UTILIZZIAMO UN FOGLIO DI CALCOLO
Calcolo il punto medio delle coordinate x e delle coordinate y
Lo scrivo nelle
decima colonna : x(medio)=(xvertice+ xpunto)/2
undicesima colonna
:
y(medio)=(yvertice+ypunto)/2
casuale tra 0 e 1
casuale tra 0 e 3
arrotondo per difetto
0,796365905
2,389097715
0,320881612
0,962644837
0,589642133
1,768926398
0,086713349
0,260140046
0,823123087
2,46936926
2
0
1
0
2
xvertice yvertice xpto partenza y punto partenza
2,5
10
2,5
4
0
0
5
0
0
0
2,5
10
xmedio
ymedio
2,5
7
1,25
3,5
3,125
1,75
1,5625
0,875
2,03125
5,4375
UTILIZZIAMO UN FOGLIO DI CALCOLO
Itero il procedimento sostituendo al passo successivo per 10000 righe (COPIA)
casuale tra 0 e 1 casuale tra 0 e 3 arrotondo per difetto
0,796365905
2,389097715
0,320881612
0,962644837
0,589642133
1,768926398
0,086713349
0,260140046
0,823123087
2,46936926
0,103159646
0,309478939
0,342213276
1,026639827
0,08790601
0,26371803
0,536250491
1,608751474
0,727400964
2,182202893
0,016198028
0,048594085
0,292161691
0,876485072
0,531292368
1,593877103
0,033670409
0,101011226
0,888411516
2,665234548
0,858994412
2,576983235
0,231203306
0,693609918
0,891051815
2,673155445
2
0
1
0
2
0
1
0
1
2
0
0
1
0
2
2
0
2
xvertice yvertice xpto partenza
2,5
10
0
0
5
0
0
0
2,5
10
0
0
5
0
0
0
5
0
2,5
10
0
0
0
0
5
0
0
0
2,5
10
2,5
10
0
0
2,5
10
y punto partenza
xmedio
2,5
2,5
1,25
3,125
1,5625
2,03125
1,015625
3,007813
1,503906
3,251953
2,875977
1,437988
0,718994
2,859497
1,429749
1,964874
2,232437
1,116219
1,808109
ymedio
4
7
3,5
1,75
0,875
5,4375
2,71875
1,359375
0,679688
0,339844
5,169922
2,584961
1,29248
0,64624
0,32312
5,16156
7,58078
3,79039
6,895195
FACCIAMO IL GRAFICO
a dispersione (GRAFICO 1) delle 10000 coppie di x(medio) e y(medio)
(medio)
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
ALCUNE CONSIDERAZIONI
Su un altro grafico disegna le traiettorie dei primi 10
punti (GRAFICO 2) e sovrapponilo al primo grafico (GRAFICO 1).
Dove cade la traccia del punto, nei triangoli bianchi o in quelli neri?
Dopo quante iterazioni perdi la traccia del punto?
Dove pensi sia caduto il punto?
Il punto cade mai due volte nello stesso triangolo bianco?
Che rapporto c’è tra due triangoli successivi?
Aumentando il numero di iterazioni, il triangolo verrà mai ricoperto del tutto?
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
ALTRE CONSIDERAZIONI
Riduci la scala degli assi della metà ogni volta
La figura è cambiata?
Quante volte puoi ridurre la scala e ancora riconoscere la figura?
Pensi che se aumentassi il numero di punti ritroveresti ancora la figura sempre più piccola?
Itera adesso per 20.000 volte. Grafica le prima 10000 coppie di valori e su un altro
grafico le successive 10000 coppie di valori.
Il triangolo è ricostruito in entrambi i casi?
La ricopertura del triangolo dipende dal punto iniziale?
UN PROBLEMA ANALOGO
Si può realizzare un lavoro analogo costruendo un altro frattale , l’esagono di
Sierpinsky. Il problema è quello di un punto del piano che ha la possibilità di
muoversi verso uno qualunque dei vertici di un esagono regolare a seconda del
risultato ottenuto con il lancio di un dado a sei facce. Se il risultato del lancio è
0 il punto si muove verso A0, se il risultato è 1 il punto si muove verso A1 e
così via per tutti i vertici. Il punto si muove di 2/3 della distanza dal vertice
corrispondente.
L’esagono ha vertici:
A0=(4;0); A1=(2; 2radq3); A2=(-2; 2radq3); A3=(-4; 0); A4 =(-2; -2radq3)
; A5 =(2; -2radq3)
Simulare il procedimento utilizzando un foglio di Excel e ripetendo il calcolo per
10000 volte.
L’ESAGONO DI SIERPINSKY
4
3
2
1
0
-5
-3
-1
-1
-2
-3
-4
1
3
5
CALCOLO DELLA DIMENSIONE FRATTALE
Un’altra proprietà peculiare delle figure frattali è di avere una dimensione
compresa tra 1 e 2 , tra quella di una curva e quella di una superficie. In
sostanza rappresenta “quanto l’insieme riempie lo spazio” o quanto
“l’insieme è granuloso”.
Adottando la definizione di dimensione di E.Castelnuovo: “ l’esponente del
fattore di divisione per avere un certo numero di copie della figura” è
possibile calcolare la dimensione di alcune curve frattali utilizzando il foglio
elettronico.
DEDUZIONE DELLA LEGGE
1. Prendiamo un SEGMENTO (dim=1)
Dividiamolo in due
Ci vogliono due copie di un segmento per farne uno gran de il doppio.
2. Prendiamo un QUADRATO (dim=2)
Dividiamo a metà il lato
Ci vogliono 4 copie dello stesso quadrato per farne uno grande il doppio.
3. Prendiamo un CUBO (dim=3)
Dividiamo a metà il lato
Ci vogliono 8 copie dello stesso cubo per farne uno grande il doppio
Possiamo ricavare una legge:
il numero di copie di un oggetto necessarie per farne uno grande il doppio dipende
dalla dimensione nel seguente modo
segmento:
quadrato:
cubo:
2=2 1
4=2 2
8=2 3
(fd=2
(fd=2
(fd=2
ncopie=2)
ncopie=4)
ncopie=8)
IL NUMERO DI COPIE È IL “FATTORE DI DIVISIONE” ELEVATO ALLA DIMENSIONE DELL’OGGETTO
LA CURVA A FIOCCO DI NEVE
La costruzione base è:
Prendo un segmento
lo divido in 3 parti uguali (fd=3)
Costruisco un triangolo sopra il
vuoto del segmento centrale
il numero dei segmenti è 4
4=3
d
(ncopie=4)
Quanto vale d, la dimensione?
d sarà un numero tra 1 e 2. Un numero decimale.
CALCOLO DELLA DIMENSIONE CON
EXCEL
Disegniamo la curva y=3 ponendo nella prima
colonna i valori di x: da 0 fino a 2 con un incremento
di 0,05
Imponiamo alla seconda colonna di essere 3x : utilizza
la funzione POTENZA
Disegna il grafico a dispersione corrispondente su un
nuovo foglio
Trova il valore di x corrispondente all’ordinata pari a 4
CALCOLO DELLA DIMENSIONE CON
EXCEL
Potenza 4=3**x
6
5
y
4
3
2
1
0
x
UTILITA’ DI EXCEL
consente di:
a. Manipolare numeri ed effettuare su di essi ogni genere
di operazioni matematiche e logiche anche complesse;
b. Visualizzare immediatamente dati complessi mediante
grafici matematici e statistici;
c. Superare la staticità degli aspetti quantitativi di un
singolo fenomeno mettendo in relazione variabili diverse e
di simulare il loro comportamento al variare di alcuni
parametri;
d. Trasformare i numeri in gioco facendo delle simulazioni
e della previsioni.