Natura simbolica del linguaggio della Matematica
di Luciano Corso
Consigliere nazionale Mathesis
[email protected]
Una delle caratteristiche più significative della corrispondenza stretta tra matematica
e arte, si ha nel recente sviluppo dei frattali, dove in modo molto sofisticato, sfruttando gli
IFS (Iterated Function Systems = mappe) si è riusciti a costruire graficamente figure strane
dove fantasia e processo deterministico si sono fusi in modo molto elegante arrivando alla
realizzazione di oggetti assai interessanti dal punto di vista estetico.
Presento, di seguito, alcuni noti frattali (fig. 1, 2, 3) che descrivono bene questo
tentativo. La figura 1 [B.1] è nota come curva di Koch (matematico svedese, 1906). Essa
ha molte proprietà matematiche interessanti: in primo luogo ha, in tendenza, un perimetro
di lunghezza infinita; ha poi un’area di misura finita.
fig. 1
Il contorno ha composizione frastagliata risultante da una sequenza di trasformazioni
autosimili che mandano dal tutto a ogni sua minima parte. Tale frastagliamento comporta
la non derivabilità della funzione. La figura 1, in basso, viene descritta dal seguente
sistema formale di trasformazioni affini (trasformazioni che mandano rette parallele in rette
parallele) [B.3].

1
 x′ = x
3
w1 = 
,
1
 y′ = y
3

{X; w1, w2, w3, w4} :

1
3
1
y+
 x′ = x +
6
6
2
w3 = 
3
1
3
 y′ = −
x
+
y
+
6
6
6


1
3
1
y+
 x′ = x −
6
6
3 ,
w2 = 
3
1
 y′ =
x+ y

6
6
2
 ′ 1
x = 3 x + 3
, w4 = 
1
 y′ = x
3

(1)
.
Dove X è lo spazio topologico, con opportune proprietà, su cui agiscono le trasformazioni
affini w1, w2, w3, w4 da applicare iterativamente a partire da una figura prototipo. Qui vale la
pena di osservare la stretta corrispondenza tra la figura che vediamo e il sistema (1); cioè
una descrizione formale di un fenomeno naturale o anche puramente ideale, contiene
dentro di sé la stessa forza informativa di una rappresentazione grafica. Si noti che la
figura 1 e (1) differiscono anche per lo spazio di memoria occupato: (1) infatti occupa
pochissima memoria rispetto alla figura 1. Per tale ragione dove e’ necessario comprimere
le immagini, si preferiscono i sistemi simbolici della matematica rispetto alla
rappresentazioni di figure. Il termine «simulare», in matematica applicata, vuol dire
descrivere mediante opportuni modelli formali il comportamento dei fenomeni naturali
studiati, a meno di un errore trascurabile.
Se dovessimo descrivere con un qualsiasi linguaggio naturale, una qualunque delle
figure 1, 2, 3, avremmo bisogno di pagine e pagine di parole. Risulta davvero straordinario
vedere come con il linguaggio matematico si riesce a cogliere l’essenza di una
rappresentazione o di una emozione con il minor numero possibile di simboli.
Anche le figure 2 e 3 sono dei frattali e possono essere costruite facilmente con un
programma al computer. La figura 2 rappresenta il noto insieme di Mandelbrot [B.2]. Esso
risponde a una relazione molto semplice:
zn+1 = zn2+c.
(2)
fig. 2
fig. 3
Sia la variabile zn, sia la costante c sono definite in campo complesso. Con questa semplice relazione, possiamo costruire sia la fig. 2, sia la fig. 3 [B.2]. La fig.2 viene costruita
selezionando nello spazio complesso compreso tra –2,25 < Re( c ) < 0,75 e –1,5 < Im( c ) <
1,5 quei punti in cui l’IFS zn+1 = zn2+ c risulta stabile, ossia quei punti la cui traiettoria non
fugge via all’infinito. Si fissano l’origine del ciclo ponendo Re(zn=0) = 0 e Im(zn=0) = 0 e un
controllo della distanza del punto zn dall’origine; se il punto zn, all’n-esimo passo, è molto
lontano dall’origine (nel ciclo io ho fissato una distanza maggiore di 4), allora si ferma il
ciclo e si riparte da un nuovo punto di c, altrimenti (se il ciclo si esaurisce lasciando il
punto zn sullo schermo) il punto c da cui si è partiti rimane acceso assumendo un colore
tanto più intenso quanto più rapida si è dimostrata la stabilità dell’orbita di zn. E così via.
Ovviamente si possono scegliere diversi tipi di colori e assegnarli in modo da distinguere i
punti di stabilità, da quelli di lenta fuga, fino a quelli di rapida divergenza. Il gioco dei colori
diventa importante per la qualità artistica dell’immagine. Nel nostro caso è stato assegnato
il nero per i punti stabili, il giallo per quelli a lenta divergenza e infine il blu per quelli a più
veloce divergenza.
Un altro linguaggio simbolico utilizzato per costruire le tre figure qui presentate, è
quello della programmazione. Anche se la matematica risulta indispensabile per risolvere
problemi di rappresentazione grafica di funzioni in autocomposizione (così si possono
chiamare gli IFS), è necessario che le istruzioni da far eseguire al computer, per
raggiungere lo scopo, siano scritte in un linguaggio, ancora diverso: quello della
programmazione per mezzo di software applicativi già predisposti. Il linguaggio della
programmazione è un altro linguaggio, diverso rispetto a quello dell’algebra e della
matematica, e serve a rendere più efficiente il processo che porta al risultato cercato. Qui
di seguito presento l’insieme delle istruzioni in QBasic che consentono di realizzare la
figura 2. Per la costruzione della figura 3 rinvio, invece, al programma che si trova in
[B.18].
Tabella 1: Insieme di Mandelbrot in Qbasic (3)
10 CLS
210 IF ok=1 THEN 230 ELSE 300
20 DIM r(201),I(201)
230 FOR n=0 TO 100
30 WINDOW 1,”Mandelbrot”,(10,40)240 r(n+1)=r(n)^2-I(n)^2+a
(260,290)
250 i(n+1)=2*r(n)*i(n)+b
160 FOR a = - 2.25 TO 0.75 STEP 0.05
260 LET z=r(n+1)^2+i(n+1)^2
165 conva=200+(250/3)*a
270 IF z>=4 THEN 271 ELSE 275
170 FOR b=-1.5 TO 1.5 STEP 0.05
271 ok=0 : n=100
175 conb=125+(250/3)*b
275 NEXT n
180 LET ok=0
277 IF ok=1 THEN 290 ELSE 300
190 LET Q=a^2+b^2
290 PSET (conva,convb)
200 IF Q < 4 THEN 202 ELSE 210
300 NEXT b
202 r(0)=0 ; i(0)=0
310 NEXT a
204 ok=1
410 END
Se confrontiamo la sequenza di istruzioni del programma (3) della tabella 1 con la
relazione (2), vediamo la maggior potenza sintetica di (2) rispetto a (3). Tuttavia occorre
osservare che mentre la (2) lascia una libertà di scelta interpretativa sulla opzioni del
processo iterativo che si desiderano attuare, la (3) vincola l’esecuzione del programma
alla realizzazione della figura 2.
Una delle caratteristiche importanti degli IFS è che essi producono figure troncate: ciò
che si vede e si produce è solo una approssimazione di quanto risulterebbe da un
processo iterativo che continuasse all’infinito. Peraltro, l’errore di troncamento risulta
abbastanza irrilevante ai fini pratici in quanto, oltre un certo livello di risoluzione, l’occhio
umano non arriva. Il concetto di infinito matematico rappresenta un ideale astratto di
azione dinamica che non corrisponde alla nostra esperienza. Noi di fatto ci muoviamo nel
discreto e nel finito. Tuttavia occorre riconoscere che l’idea astratta di infinito risulta quasi
indispensabile per una sistemazione elegante di certi concetti teorici della matematica e
dell’arte. Abbiamo la prova che anche sull’idea di infinito esistono corrispondenze strette
tra matematica e arte. In [B.4] e [B.19] abbiamo ulteriori prove della possibilità dell’uso
della matematica, del suo linguaggio, per la realizzazione di ipotetiche cattedrali o figure di
natura.
Già nelle rappresentazioni geometriche classiche emerge evidente il potere
concettuale della matematica nello sviluppo di figure eleganti. Qui mi limito a ricordare la
spirale di Archimede e, ancor più, quella logaritmica, che sono molto ricorrenti in natura.
fig. 4: Spirale di Archimede
fig. 5: Spirale logaritmica
La spirale di Archimede è descritta in forma sintetica dalla seguente equazione in
coordinate polari: ρ=α⋅θ (4), dove ρ è la distanza del punto dal centro, θ è l’angolo
descritto dal raggio vettore e α è un opportuno coefficiente caratteristico della spirale.
Con il programma MATHEMATICA della Wolfram Research la curva si traccia con poche
istruzioni (Fig.5).
Occorre dire che la bellezza della figura geometrica è abbinata, come sempre, a una
stringatissima ed elegante espressione algebrica (5).
Fig. 6
Fig. 7
La figura 6 mostra lo sviluppo spiraliforme di una cactacea. La fig. 7 mostra come la
spirale aurea evolve sempre in sezioni quadrate di lato via via crescente secondo le regole
della sezione aurea.
Ancora più interessante pare essere l’equazione in coordinate polari che descrive la
spirale logaritmica (spira mirabilis di Jacques Bernoulli) [B.9]:
ρ = a e t⋅cot(α)
o
ρ=aθ
(5)
Dove α è l’angolo costante formato dal raggio e dalla tangente.
Tra l’altro, la spirale logaritmica è una manifestazione generale di una particolare spirale:
la spirale aurea. Quest’ultima rappresenta una estensione concettuale della equazione alle
differenze che consente di costruire i numeri di Fibonacci (= Filius Bonacci, ovvero
Leonardo Pisano): [B.5 , pag. 191 e B.89]
Fn = Fn-1 + Fn–2
(n: n∈N, n > 1, F0=0, F1=1)
(6)
Applicando questa equazione alle differenze finite, si costruisce la nota sequenza
〈 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …〉 .
Lo zero nella sequenza viene aggiunto solo per completezza formale anche se il termine
non ha alcun significato naturale.
Quando Fibonacci arrivò a questa sequenza credo che non pensasse neppure
lontanamente quali e quante applicazioni si sarebbero avute a partire da questo risultato. Il
problema che ha dato origine alla sequenza è il seguente: Tizio ha una coppia di conigli
che genera una nuova coppia ogni due mesi e non muore mai. In un anno, quante
saranno le coppie di conigli di Tizio? Vi sono delle belle rappresentazioni ad albero dello
sviluppo della natalità di queste coppie. Io qui rappresento lo sviluppo nella seguente
tabella 2, di lettura immediata:
a0
a1
a2
b2
a3
b3
Tabella 2
a4
a5
a6
f5
i6
f6
b5
b6
b4
l6
c3
c4
d4
c5
c6
g5
m6
g6
d5
e4
h5
d6
n6
h6
e5
e6
o6
a7
p7
i7
f7
q7
b7
r7
l7
s7
c7
t7
m7
g7
u7
d7
n7
h7
v7
e7
z7
o7
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
I numeri al pedice identificano i periodi (in mesi) trascorsi, le lettere rappresentano le
coppie di conigli. a0 è la coppia di partenza quando nessun periodo è ancora trascorso. Se
al 7° mese le coppie sono 21, applicando la (6) si ha: F8=F7+F6=21+13=34, F9=34+21=55,
F10=55+34=89, F11=89+55=144, F12=144+89=233.
La (6) è strettamente legata al rapporto aureo. Infatti risolvendo l’equazione alle differenze
si ottiene:
(λ2 – λ – 1) Fn = 0
λ1 = – (1+√5) / 2
e
λ2 = – (1–√5) / 2.
(6 bis)
Il numero φ = (1+√5) / 2 = 1,60803… è detto rapporto aureo e viene usato spesso in molti
ambiti artistici. Si narra che Fidia lo avesse usato spesso per le sue sculture. Il rapporto
λ2=1/φ = 0,60803… è altrettanto importante e viene detto numero aureo.
Tabella 3
Carta di credito e sezione aurea
Il rapporto tra i lati del rettangolo qui raffigurato
rispetta la sezione aurea. Se la base è 1,60803…, allora
la sua altezza è 1; oppure se la base è 1, allora la sua
altezza è 0,60803…
Molte carte di credito, indicativamente, sono rettangoli
in rapporto aureo. La finestra grafica del più potente
software applicativo di matematica oggi esistente,
MATHEMATICA della Wolfram Research rispetta i
rapporti della sezione aurea.
La struttura formale della matematica dimostra ampiamente una potenza esplicativa
e operativa ineguagliabili. Qui di seguito presento due composizioni grafiche, facili da ottenersi con il software applicativo Mathematica della Wolfram Research [B.14 e 15]:
Tabella 4
Ampolla rovesciata di Luciano Corso. La presente fi- Le rose di Grandi possono dare molti spunti a chi si
gura mi è venuta quasi per caso (Occhio: il caso aiu- interessa di grafica. Qui viene presentato un fiore a
ta il 50% delle volte, le altre danneggia!). L’equazio- sei petali di coordinate parametriche pari a:
ne in coordinate polari è:
f (t ) =
t
 π
cos t − 
 2
+ 60 :
{− π ≤ t ≤ π }
{o ≤ t ≤ 2 ⋅ π }

1 


12

6
⋅
t

 


r (t ) = exp log cos
 2  




(
)
(
)
(
)
cos
=
⋅
x
t
r
t
t


y (t ) = r (t ) ⋅ sin (t )

Musica e Matematica
La musica, qualsiasi suono, qualunque onda sonora o insieme di onde sonore è
rappresentabile matematicamente mediante le famose trasformate di Fourier (o sviluppi in
serie di Fourier).
Come approssimare una melodia con una formula matematica? Supponiamo che esista
una funzione continua f(x) che possa descrivere un suono o un’armonia. Se f(x) rispetta
certe condizioni analitiche, possiamo dimostrare che essa è rappresentabile anche come
sviluppo in serie del seguente tipo [B.6]:
f ( x ) = ∑ k ≥ 0 Ak ⋅ sin (k ⋅ x + ϕ k ) ; ∀k ∈ N
(7)
Da questa relazione facilmente si arriva a
a0
+
[ak ⋅ cos(k ⋅ x) + bk ⋅ sin (k ⋅ x )] = f ( x) .
k ≥1
2
Se si verifica (7), si dice anche che la serie converge a f(x).
Per risolvere il problema, dobbiamo trovare le coppie di parametri
(a0, b0), (a1, b1), (a2, b2), … , (an, bn)
(8)
∀k fino all’n-esimo termine dello sviluppo. Queste coppie permettono l’approssimazione
migliore all’armonia sperimentata.
n
a
f ( x) = 0 +
[a ⋅ cos(k ⋅ x) + bk ⋅ sin (k ⋅ x )] + ε (n)
(9)
k =1 k
2
∑
∑
Con il metodo dei minimi quadrati si stimano le coppie di parametri (ak, bk) del modello:
∑ [
(
)]
2
n
a0


y
ak ⋅ cos(k ⋅ x j ) + bk ⋅ sin k ⋅ x j 
(10)
−
−
j
j =1 
k
=
1
2


Della funzione S(ak, bk) vanno ricercati i parametri ak e bk che la rendono minima. Si
calcolano quindi le derivate parziali di S(.,.) e si pongono uguali a zero:
∂S (a k , bk )
∂S (ak , bk )
=0
e
= 0 , ∀k
(11)
∂ak
∂bk
Si ottengono così le sequenze di parametri (8). Trovati i parametri della serie di Fourier
troncata, si usa la (9) per descrivere il suono, a meno di un errore ε(n) piccolo a piacere,
irrilevante per l’orecchio umano.
Può sembrare strano, a chi non conosce queste tecniche di sviluppo in serie, che
data una sinfonia di Bach sia possibile, mediante un processo di accostamento noto in
statistica-matematica come principio dei minimi quadrati, descriverla formalmente in modo
completo o al massimo con una approssimazione tanto raffinata da non consentire anche
agli orecchi più esperti di accorgersi di un eventuale scostamento. E ciò che appare
straordinario è che la percezione di un qualunque tipo di suono, corrisponde perfettamente
alla descrizione formale che se ne può fare con la matematica.
Qui di seguito rappresento come un’onda quadra (caso di monotonia) possa essere
descritta da uno sviluppo in serie di Fourier troncato alla quarta armonica.
S (ak , bk ) =
∑
w
Fig. 6
Il linguaggio poetico e la matematica
La poesia, forse per prima rispetto a qualunque altra manifestazione artistica, ha
dentro di sé i migliori contenuti della matematica. La potenza del linguaggio poetico nel
saper cogliere le emozioni che portiamo dentro di noi con poche parole e con eleganza
espressiva presenta una forte somiglianza con la potenza del linguaggio matematico nel
cogliere ciò che si manifesta in natura e desta la nostra curiosità. Entrambi i linguaggi
sono stringati, ermetici, essenziali; entrambi hanno capacità di cogliere le forti emozioni
della vita [B.10].
Si consideri, a esempio [Tabella 5], come la rabbia umana di fronte all’impotenza di capire
l’amore, la vita, i suoi accidenti e, forse, l’impotenza umana nella ricerca della serenità si
presenta in una delle sue massime espressioni in questi stupendi ed essenziali versi del
grande Catullo [B.11]:
Tabella 5
Traduzione di Giulio Galetto
Odi et amo. Quare id faciam fortasse requiris
Nescio, sed fieri sentio et excrucior.
Odio e amo.
Non domandarmi, perché:
non lo so.
Li sento dentro, l’odio e l’amore.
Ed è una croce.
Tutti ci siamo cimentati almeno una volta nella vita con le notevoli difficoltà concettuali del
senso ontologico dell’essere in rapporto all’immanenza del nulla, del vuoto. Ma
l’essenzialità e la semplicità espressiva, su questi argomenti, che emergono dai poeti non
possono essere uguagliate.
Al poeta non occorrono molte parole per descrivere emozioni, paure, gioie, piaceri, così
come al matematico non sono necessari trattati per rappresentare le componenti
essenziali dei fenomeni naturali.
Cosi’ se noi affermiamo simbolicamente che
∆X t = a ⋅ X t − b ⋅ X t2 , {t t ∈ N , X t ≥ 0 }
(12)
Con riferimento alla crescita ∆Xt di una popolazione di individui Xt con un tasso di natalità a
e uno smorzatore b, esprimiamo sinteticamente una simulazione di un comportamento
naturale che ha una struttura notoriamente caotica nello spazio degli stati (B.2 e B.5).
Fig. 7. L’ombra delle biforcazioni nel caos deterministico in (12)
Vi sono sintesi ermetiche ancora più potenti ed essenziali per rappresentare lo stato di un
uomo di fronte al mistero della vita e alla condizione umana. A volte sono frasi su cui si
riflette poco circa la loro potenza concettuale, ma che manifestano una forza espressiva
raramente eguagliabile.
A volte la forma ermetica raggiunge la qualità della poesia senza volerlo, senza una
predefinizione volontaria attraverso una sentenza che riesce a cogliere in modo esemplare
il baratro tra l’essenza della natura e le nostre presunzioni filosofiche. In Hamlet di W.
Shakespeare [B.7] si legge quanto riportato in tabella 6:
Tabella 6
[…] There are more things in heaven and earth,
Horatio,
Than are dreamt of in your philosophy.[…]
Ci sono molte più cose in cielo e in terra,
Orazio,
Di quante ne possa immaginare la vostra filosofia.
L’enunciato afferma con una carica straordinaria il potere dei fenomeni naturali sulla
debolezza delle capacità speculative degli uomini, l’immanenza della conoscenza
potenziale rispetto a quella umana.
In matematica, la capacità di cogliere la profondità filosofica è spiccata.
Per esempio, consideriamo la funzione di densità di probabilità scoperta e modellizzata da
C. F. Gauss (13):
f (x ) =
1
σ ⋅ 2 ⋅π
⋅e
−
( x − µ )2
2 ⋅σ 2
(x x ∈ R, µ ∈ R, σ ∈ R )
+
(13)
dove x è la variabile aleatoria, µ è la sua media aritmetica e σ la sua deviazione standard.
Gauss, senza averne probabilmente completa coscienza, con questa funzione di densità
di probabilità presenta quattro aspetti fondamentali della conoscenza.
il primo aspetto di rilievo di questa legge è proprio quello riferibile direttamente alla
interpretazione che ne dette Gauss. Essa rappresenta come si distribuiscono le misure
sperimentali di realtà fisiche (ordinariamente viene detta curva degli errori). Tale affermazione sostiene, implicitamente, il seguente principio: conoscere ha un senso in quanto c’è
una realtà da conoscere; il metodo per conoscere è quello di misurare (in senso lato) e di
confrontare le misure per verificare se può esistere un loro orientamento indicativo (oggi
diremmo statistico) verso un qualcosa che c’è.
Il secondo aspetto che coglie questa legge, e che forse Gauss stesso non seppe valutare nella sua pienezza, è che essa presenta la dinamicità stessa della natura al variare
del tempo. I sistemi di natura non sono statici e al mutare del tempo cambiano regolarità e
stati. Così un oggetto fisico che ora presenta una lunghezza, o un peso o una costante di
un certo valore (la misura di quell’oggetto è definita), domani potrà subire una deformazione a livello atomico che lo porterà ad avere una diversa misura. Non si tratta solo, cioè,
di misure diverse perché i misuratori sono diversi, ma di misure diverse perché la natura è
dinamica e modifica di fatto la struttura degli oggetti e degli enti che sono sperimentabili
(aspetto epistemologico) [B.8].
Il terzo elemento innovativo della “gaussiana” (come spesso viene detta oggi la curva)
è che essa rappresenta un comportamento vero di natura (aspetto ontologico). Il comportamento di numerose variabili di natura, quando si misura, è proprio quello di evidenziare
una distribuzione di queste misure di tipo campanulare simmetrico. Ciò è di una importanza scientifica estrema: significa, infatti, che gli oggetti fisici sono diversi in natura non solo
perché sbagliamo a misurare, non solo perché c’è una dinamicità della natura che modici-
ca le misure degli enti fisici, ma soprattutto perché la natura forma gli oggetti fisici, affini
per genere e specie, con misure diverse. È quindi nella natura stessa la irregolarità dei
fenomeni. Un esempio può cogliere questo concetto: l’homo Sapiens sapiens ha una statura
per individuo adulto che può oscillare da 130 a 230 cm. Ciascun individuo, con diversa
statura, è normale anche se le differenze di statura possono essere molto diverse. Allora
si può dire che non esiste una misura oggettiva per l’uomo e che queste diversità riscontrate non sono il risultato di errori di misurazione, né di dinamicità nel tempo delle altezze
degli uomini, ma solo di puri comportamenti naturali regolari.
Il quarto elemento fondamentale che caratterizza la curva di Gauss è che essa descrive una qualità epistemologica di grande rilievo. È, infatti, il fondamento della teoria dei
grandi campioni, di importanza determinante per la matematica applicata e la statistica. In
sostanza, un esperimento costituito da tante prove (n → ∞) genera campioni i cui momenti
campionari si distribuiscono con una legge di probabilità che converge alla normale (altro
nome dato alla gaussiana), indipendentemente dalla legge di probabilità della variabile aleatoria di origine. L’importanza pratica di questo teorema, è che nei grandi campioni le verifiche d’ipotesi riguardanti i momenti di una popolazione, sulla base dei momenti campionari si effettuano lavorando con la normale. Si valuti la reale portata epistemologica e ontologica di (8). Si riconosca che una sintesi così profonda ed essenziale è ineguagliabile:
essa è una vera e propria opera d’arte.
Simulare un terremoto o un maremoto con un
equazione è una prova della sintesi concettuale
della forza del linguaggio simbolico come
descrittore dei fenomeni naturali.
L’equazione che dà origine al grafico posto a
sinistra è:
Sen (x 2 + y 2 )
(14)
z=
x2 + y 2
Domino : (x, y x, y ∈ R,−3π ≤ x, y ≤ 3π )
Non solo affinità, ma complicità
La poesia può farsi prestare parole e significati dalla matematica. Da sempre la
matematica ha prestato parole al linguaggio naturale e viceversa. Un importante prestito
molto usato nel linguaggio corrente è il termine «incommensurabile». Si dice spesso che il
bene verso i figli è incommensurabile o che l’amore verso una donna è incommensurabile.
Il termine usato in questo tipo di contesti, pare improprio in riferimento al suo significato
originario; tuttavia esprime questo bisogno d’uso, in opportuni contesti, di simboli forti in
grado di rappresentare un proprio stato d’animo quando è fortemente scosso.
La poesia con giochi di matematica si è fatta anche in passato. Nel secolo scorso nasce
un modello di poesia combinatoria pubblicato da Queneau, dal titolo Centomila miliardi di
poemi. Una particolare attività poetica di Roubaud raccolta in un’opera dal titolo Trentuno al
cubo (1973), esalta la proprietà additiva del numero 31; qui sono 31 i poemi di 31 versi
costituiti da 31 sillabe. Osserviamo che il numero 31 si può decomporre nella somma di
5+7+5+7+7. Questa scomposizione additiva viene usata a 3 livelli: in altezza per la
suddivisione dei poemi in gruppi; in lunghezza per formazione dei versi in strofe e in
larghezza per la struttura delle sillabe in ritmi metrici [B.20].
In Luigi Cerritelli [B.12] è la matematica che spinge, con sottile trama, la vita
speculativa di chi ne conosce gli enigmi. La composizione Incontro accentua il ruolo di
numeri e segni nel frustare il sogno che spinge verso l’ignoto (Tabella 7).
Bella ed efficace è anche la composizione Infinito di Gianfranco Gambarelli [B.13]
dove, dalle conoscenze della fisica e della matematica, l’autore trova lo spunto per
esprimere una sua idea di infinito.
Tabella 7
Incontro
Ho incontrato
numeri e segni,
moduli astratti
come pugnali,
giochi di luce
per frustare il sogno,
gradini multipli
verso l’ignoto.
→
Ho incontrato
l’eterna farfalla,
leggera assenza
nella presenza,
ombra e penombra
all’interno del tempio,
duello
simmetrico
di giovani dei.
Ho incontrato
numeri e segni.
Infinito
Oltre la nebulosa,
dentro la particella,
nel tempo,
nel fantastico
potenziale di ogni penna.
G. Gambarelli
L. Cerritelli
Si può arrivare a costruire delle composizioni teatrali giocando sui significati di molti
termini abbondantemente usati in matematica [B.16]. Si considerino i due brani di Ivano
Arcangeloni, qui di seguito riportati:
Dialogo tra due vettori
Siamo linearmente indipendenti, lo siamo sempre stati, se così non fosse il nostro sottospazio
avrebbe dimensione uno, ed invece ha dimensione due, e ciò mi sembra sufficiente a dimostrare che
noi siamo una base. Certo potrei appiattirmi su di te, diventare una tua combinazione lineare,
ridurre la dimensione del nostro sottospazio, ma quale guadagno ne avremmo? Diventeremmo uno
spazio banale, senza complessità, appiattito sul suo campo di scalari. Già, c’è anche quello,
abbiamo scelto un campo finito con pochi elementi, ciclico, che ripete sempre gli stessi risultati,
chiuso rispetto alle operazioni che vi abbiamo definito, e anche questo può deteriorarci. Magari
non avremmo saputo che farcene di un campo completo, come se gli irrazionali e i trascendenti non
creassero già abbastanza problemi, ma siamo fatti così, ci piace interrogarci anche sugli
immaginari puri, desiderare un’unità immaginaria, sperare che un domani riusciremo finalmente a
superare il reale. (Ivano Arcangeloni)
«Riducimi in forma canonica»
Ecco, ora puoi scoprire il mio nome, conosci la matrice dei miei coefficienti, tutti i miei valori ti
sono noti. E allora procedi, classificami, riducimi in forma canonica, scoprirai che non sono come
temevi, o forse, chissà, speravi, una conica degenere; finalmente potrai condurmi tangenti da un
qualunque punto della mia superficie. No, non sento dolore, solo, attento a non sfiorare i miei
coseni direttori, se credi dopo puoi diagonalizzarmi, calcolare tutti i miei autovalori, i miei autospazi.
Vieni, cambiamo sistema di riferimento, tutto sarà più semplice: più semplice determinare
distanze, più semplice scoprire punti notevoli, più semplice riconoscere centro e assi e soprattutto
asintoti. VOGLIO CONVERGERE! Sii tu il mio asintoto, voglio tendere a te, avvicinarmi
indefinitamente. Qualunque numero epsilon tu voglia concepire, la mia distanza da te sarà ancora
più piccola, fino a tendere a zero quanto più noi ci avviciniamo all’infinito. Senza tuttavia essere
mai veramente zero, per la nostra impossibilità di raggiungerlo l’infinito. A meno che non si
proceda ad una compattificazione, ma all’amaro prezzo di perdere in generalità: io non sarei più
io e tu potresti confondermi con una qualunque altra conica, e questo non potrei mai accettarlo.
(Ivano Arcangeloni)
In questi «appunti», così li ha chiamati l’autore, c’è tanta conoscenza matematica, ma
anche tanta normale umanità.
È nel tentativo di percorrere un filone nuovo del linguaggio poetico e teatrale che
vanno interpretate queste composizioni e quelle mie. Per quanto mi riguarda, con Parabole
e punti ho voluto dimostrare che il linguaggio della matematica non è arido e permette di
cogliere le emozioni più profonde della vita [B.10 e 17]. Qui presento due composizioni di
diverso tenore e umore, nate da due stati d’animo lontani e per ragioni diverse: Un punto
[Tabella 8] e Ero su una quadrica [Tabella 9]. Il punto è l’immagine di un uomo che si muove
durante la sua vita in ogni dove, secondo un moto casuale, per poi finire nel nulla. La
morte di un uomo genera emozioni, la morte di un punto no. In Ero su una quadrica è
l’incontro con una donna in un punto di sella che scatena desiderio, paura, diffidenza,
azione, comprensione, amore. Queste emozioni sono espresse sempre in linguaggio
matematico, come è facile capire.
Tabella 8
Un punto
Un punto si muove in ogni dove,
senza meta apparente,
non ritornando sui suoi passi.
Non si deprime mai
per non aver fatto
qualcosa di utile,
per non aver seguito
regole definite.
Un punto da quando
lo fai esistere c’è
e quando lo cancelli sparisce
e non occorre piangere.
Moto browniano: moto casuale di un punto (pixel) in
un limitato spazio a due dimensioni di uno schermo
di computer
L. Corso
In tabella 9 viene espressa l’equazione in forma esplicita di una quadrica. Si noti come
l’equazione riduca al minimo l’uso di simboli e regole di composizione per esprimere i
significati di una immagine geometrica.
Tabella 9
Ero su una quadrica
Equazione di una quadrica
in forma generale ed esplicita
Z=a⋅x2+b⋅y2+c⋅x⋅y+d⋅x+e⋅y+f
Ero su una quadrica,
in un punto di sella,
quando ti ho incontrata.
I canaloni intorno
facevano paura,
ma i nostri movimenti
parevano sicuri.
Ho tentato d’agire,
di interpolare bene
tra la mia e la tua vita
la funzione d’amore,
trascurando importanti
particolari di noi
e delle nostre storie,
per evitare danni,
pericolosi sogni,
scivoloni inutili,
e i profili del mondo
sono cambiati intorno.
Ti ho seguita come
un automa verso
dimensioni nuove.
L. Corso
Tabella 10
Posso trovare tratti
Posso trovare tratti
non brutti della vita,
figure geometriche
consone alla vanità
di cui siamo portatori.
Voglio creare il mio mondo
con nude quadrature
precise in rotondità,
note a chi sa godere
la vita, poligoni
che chiudono uno spazio
infinito di parti,
di dolci sensazioni,
o semplici spezzate
che si adattano all’uso.
Posso, fortuitamente,
raggiungere la retta,
un segno innaturale,
su cui poi scivolare
via, senza fine alcuna,
perdere cognizione
di tempo, spazio e vita,
finire in un divenire
allineato di punti,
continuo, monotono,
andare retto, in linea,
senza tregua, lontano
da curvature infide,
che inducono a sbandare
la mente e lo spirito.
Insicuro, precario,
anch’io posso trovare
quel giusto movimento
che dà un senso alla vita.
L. Corso
Bibliografia
[B.1] http://it.wikipedia.org/wiki/Curva_di_Koch e anche http://www.matematicamente.it/
storia/curva_di_koch.htlm
[B.2] H.-O.Peitgen P.H.Richter (1987), La bellezza dei frattali, Bollati Boringhieri, Torino
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[B.18] Luciano Corso (dicembre 2001), Attrattori strani, MatematicaMente n. 48, Mathesis,
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