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esercizi completamente svolti in corrente alternata trifase
ESERCIZI
DI
ELETTROTECNICA
IN CORRENTE ALTERNATA TRIFASE
( completamente svolti )
A cura del
Prof. M ZIMOTTI
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esercizi completamente svolti in corrente alternata trifase
DEFINIZIONI
STS: sistema trifase simmetrico di 3 circuiti che generano 3 tensioni dello stesso
valore efficace, isofrequenziali , cioè stessa frequenza , sfasate di 120°
CONDUTTORE NEUTRO: conduttore di ritorno delle correnti
STS+N: sistema trifase simmetrico con 3 conduttori di linea + neutro
CARICO EQUILIBRATO: tre impedenze di ugual valore ohmico
CORRENTE DI LINEA ⇒ (IL):
1-2-3 oppure R-S-T oppure L1-L2-L3
CORRENTE DI FASE
⇒ (IF):
corrente che scorre nei tre conduttori di linea
corrente che attraversa le impedenze di carico
TENSIONE DI LINEA ⇒VL ( o concatenata): tensione applicata o disponibile tra i
conduttori di linea
TENSIONE DI FASE ⇒VF (o stellata ): tensione applicata o disponibile tra un
conduttore di linea e il conduttore di neutro
COLLEGAMENTO DI UN CARICO A STELLA : un carico si dice collegato a stella
quando presenta le fini collegate in un unico punto a costituire il centro stella e i
principi ai tre conduttori di linea rispettivamente. Le correnti di fase e di linea sono
uguali; se esso
è equilibrato allora la tensione di linea è maggiore di 3 della
tensione di fase.
COLLEGAMENTO DI UN CARICO A TRIANGOLO: un carico si dice collegato a
triangolo quando la fine di una è collegata al principio dell'altra. Le tensioni di fase
coincidono con le tensioni di linea; mentre se il carico è equilibrato allora le correnti di
linea sono maggiori di 3 delle correnti di fase.
POTENZA ATTIVA P ⇒ P = 3 *VL*IL*cos ϕ
la potenza di un carico trifase , indipendentemente dal collegamento a stella o a
triangolo dove ϕ è lo sfasamento della tensione e corrente di fase dell'impedenza di
carico
POTENZA REATTIVA Q⇒ Q = 3 *VL*IL*sin ϕ
la potenza di un carico trifase , indipendentemente dal collegamento a stella o a
triangolo dove ϕ è lo sfasamento della tensione e corrente di fase dell'impedenza di
carico
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esercizi completamente svolti in corrente alternata trifase
POTENZA APPARENTE A ⇒A = 3 *VL*IL
la potenza di un carico trifase, indipendentemente dal collegamento a stella o a
triangolo
RIFASAMENTO :
C=
P * ( tgϕ − tgϕ ')
[F]
3 * ω *VL2
la capacità dei condensatori collegati a triangolo che effettuano il rifasamento di un
carico trifase.
Triangolo Potenze
Triangolo Tensioni
Triangolo Impedenze
CIRCUITO ELETTRICO
COLLEGAMENTO A STELLA
COLLEGAMENTO A TRIANGOLO
DIAGRAMMA VETTORIALE
Tensioni di fase E ( VF ) e Tensioni di linea VL
E1 = 2 • E1∠90°[V ] = j 2 • E1[V ]
E 2 = 2 • E2∠ - 30°[V ] = 2 • E 2 [cos( −30°) + j sin(−30°)]
E 3 = 2 • E3∠ - 150°[V ] = 2 • E3 [cos( −150°) + j sin(−150°)]
V 12 = 2 • V12 ∠120° = 2 • V12 [cos(120°) + j sin(120°)][V ]
V 23 = 2 • V23 ∠0° = 2 • V23
V 31 = 2 • V31∠ − 120° = 2 • V31[cos( −120°) + j sin(−120°)][V ]
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esercizi completamente svolti in corrente alternata trifase
ES.1
Un carico trifase è costituito da tre resistenze collegate a triangolo , di
uguale valore , ciascuna 8 Ω. La tensione di alimentazione è costituita da un STS con
tensioni concatenate VL=220 V , f=50 Hz.
Calcolare:
1. le correnti che scorrono nelle tre resistenze
2. le correnti di linea
3. la potenza attiva assorbita dal carico
4. il diagramma vettoriale
SOLUZIONE
CIRCUITO ELETTRICO
DATI
VL=220 V
f = 50 Hz
Zt= 8 ohm
CALCOLARE
1. IF [27.5 A]
2. IL [47.6 A]
3. P [18.15 kW]
4. DV/I
PL
1. IF1 =IF2=IF3=IF
IF = VF/Zt
VF = VL
2. IL=
3 *IF
3. P= 3 *VL*IL*cos ϕ
ϕ=0
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esercizi completamente svolti in corrente alternata trifase
ES.2
Un sistema trifase simmetrico con tensioni concatenate di valore V=260 V , f
= 50 Hz, alimenta un carico equilibrato con R= 4 Ω e XL=3 Ω con le fasi collegate a
triangolo. Calcolare :
1. le correnti di linea
2. la potenza attiva
3. la potenza reattiva
SOLUZIONE
CIRCUITO ELETTRICO
DATI
VL = 260 V
f = 50 Hz
RT = 4 Ω
XLT = 3 Ω
CALCOLARE
1. IL
[90 A]
2. P
[32.425 W]
3. Q [24.320 var]
PL
1. IL= 3 I12
I12 = V12/Z12
V12 =VL
2
Z12 = RT2 + X LT
triangolo impedenze
2. P = 3 VL*IL*cos ϕ
ϕ = arctg (XLT/RT)
3. Q=
3 VL*IL*sinϕ
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ES.3
Un carico trifase è costituito da tre impedenze uguali di valore 4 Ω ciascuna ,
collegate a stella e alimentate da un STS con tensione concatenate di valore V=380V.
Calcolare le correnti di linea e la potenza attiva.
SOLUZIONE
CIRCUITO ELETTRICO
DATI
STS
1.IL
RS = 4Ω
2. P
VL=380 V
f = 50 Hz
CALCOLARE
[55 A]
[36.2kW]
PL
1. IL = I10
I10 = V10 /Z10
V10 =VL / 3
Z10 = RS
2. P = 3 *VL*IL*cosϕ
ϕ =0°
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esercizi completamente svolti in corrente alternata trifase
ES.4
Una linea trifase , alimenta un forno elettrico trifase della potenza di 10 KW
, f.d.p.=1, ed un motore asincrono trifase della potenza P = 15 KW , f.d.p. 0,75.
Determinare la corrente di linea e il f.d.p. risultante. La tensione di alimentazione è
costituita da un STS con tensioni concatenate VL=380 V , f=50 Hz.
SOLUZIONE
CIRCUITO ELETTRICO
DATI
VL= 380 V
f = 50 Hz
PF =10 KW
f.d.p.F = 1
PM = 15 KW
f.d.p.M = 0,75
CALCOLARE
1. IL
[43.16 A]
2. f.d.p tot [0.88]
PL
1.
IL= PT / 3 *VL*cosϕT
PT = PF+PM
ϕT = arctg QT / PT
QT = QF+ QM
QF = 0
QM = PM * tg ϕM
[ PT=
3 *ILVL*cosϕT]
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esercizi completamente svolti in corrente alternata trifase
ES.5
Una linea trifase con neutro e con tensioni concatenate VL = 380 V, f = 50
Hz, alimenta tre carichi costituiti da tre gruppi di lampade ad incandescenza di
potenza rispettivamente P1 = 2500 W, P2 = 3000 W, P3 = 1500 W.
Determinare la corrente nel filo neutro.
SOLUZIONE
CIRCUITO ELETTRICO
DATI
CALCOLARE
VL= 380 V
1. I0
f = 50 Hz
P1 =2500 W
P2 = 3000 W
P3 = 1500 W
PL
1.
[6 A]
Io = I1 + I2 + I3
I1 = I10
I10 = V10 / Z 10
V10 = 2 V10 ∠ +90°
V10 = Vf
Vf = VL / 3
Z 10 = R1
R1= Vf2 / P1
I2 = I20
I20 = V20 / Z 20
V20 = 2 V20 ∠ -30°
V20 = Vf
Z 20 = R2
R2= Vf2 / P2
I 3 = I30
I30 = V30 / Z 30
V30 = 2 V30 ∠ -150°
V30 = Vf
Z 30 = R3
R3= Vf2 / P3
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esercizi completamente svolti in corrente alternata trifase
ES.6
Un carico trifase è costituito da tre impedenze uguali , collegate a triangolo ,
di valore R = 15 Ω , XL = 12 Ω. La tensione di alimentazione è costituita da un STS con
tensioni concatenate VL=380 V , f=50 Hz. Calcolare le correnti di linea.
SOLUZIONE
CIRCUITO ELETTRICO
DATI
VL = 380 V
f = 50 Hz
RT = 15 Ω.
XLT = 12 Ω.
CALCOLARE
1. IL [34.28 A]
PL
1. IL= 3 *I12
I12 = V12 / Z12
Z12 = RT2 + X LT2
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esercizi completamente svolti in corrente alternata trifase
ES.7
Si vogliono alimentare tre resistenze da 100 Ω ciascuna con una linea trifase a
VL=380 V . Determinare la corrente di linea e la potenza attiva assorbita collegando le
tre resistenze prima a stella e dopo a triangolo.
SOLUZIONE
DATI
CALCOLARE
STS
1.IL(S) [2.2 A]
VL=380 V 2.P(S) [1446 W]
3.IL(T) [6.58 A]
4.P (T) [4330.8 W]
PL
STELLA
1. IL = I1
I1 = I10
I10 = V10 / Z10
V10 = VL / 3
Z10 = R
2. P =
3 *VL*IL
TRIANGOLO
3. IL = I1
I1 = 3 *I12
I12 = V12/Z12
V12 = VL
Z12 = R
4. P =
3 *VL*IL
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ES.8
Una linea trifase simmetrica con tensione VL=380 V , f = 50 Hz., alimenta un
carico trifase RL equilibrato con R=30 Ω e L=0.05 Henry , con le fasi collegate a
stella. Calcolare le correnti di linea e il fdp. Inoltre nel caso di interruzione di una
fase calcolare la nuova corrente di linea.
SOLUZIONE
CIRCUITO ELETTRICO
DATI
VL = 380 V
f = 50 Hz
RS =30 Ω
CALCOLARE
1.IL
2.fdp
3. IL'
[6.5 A]
[0.88]
[5.6 A]
PL
1. IL = I1
I1 = I10
I10 = V10 / Z10
V10 = VL / 3
Z10 = RS2 + X LS2
XLS = ω*LS
ω= 2*3.14*f
2. ϕ = arctg (XLS / RS)
3. I'L = V12 / Z12
V12 = VL
Z12 = 2 RS2 + 2 X LS2
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ES.9
Una linea trifase simmetrica con VL=380 V, f=50 Hz , alimenta una stella di
resistenze uguali a 15,5 Ω e un triangolo di condensatori di capacità C=75 µF.
Determinare la potenza attiva e reattiva assorbita dal circuito, il fdp e l'intensità di
corrente assorbita dal circuito.
SOLUZIONE
CIRCUITO ELETTRICO
DATI
VL =380 V
RS = 15.5 Ω
C∆ = 75 µF
f = 50 Hz
CALCOLARE
1. P [9367.74 W]
2. Q [1020.5 VAR]
3. cos ϕ
[0.676]
4. IL
[21 A]
PL
1. P = 3*VF2 / RS
VF = VL / 3
2. Q = 3*VL2 / XC
XC = 1 / ω* C∆
ω = 2*3.14*f
3. cos ϕ = P / S
S = P 2 + Q2
4. IL = S/
3 *VL
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esercizi completamente svolti in corrente alternata trifase
ES.10
Tre carichi trifasi equilibrati sono collegati in parallelo ad una linea STS con
VL = 380 V, f = 50 Hz. Essi presentano le seguenti caratteristiche :
1 carico : P1 = 6 kW con fdp = 0.8
2 carico : Q2 = 4 kVAR capacitiva con fdp = 0.45
3 carico : S3 = 12 kVA con un angolo ϕ3 = 45°
Calcolare le potenze totali attiva , reattiva e apparente assorbite e le correnti di
linea.
SOLUZIONE
CIRCUITO ELETTRICO
CALCOLARE
DATI
VL = 380 V
P1 = 6kW
cos ϕ1 = 0,8
Q2 = 4 kVAR
cos ϕ2 = 0.65
S3 =12 kVA
ϕ3 = 45°
1.P
2.Q
3.ST
4.IL
[17.906.3 W]
[8985 VAR]
[20034 VA]
[30.4 A]
PL
1. PT = P1+P2+P3
P2 = Q2 / tg ϕ 2
ϕ2 = arccos (ϕ2)
P3 = S3*cos ϕ3
2. QT = Q1+Q2+Q3
Q1 = P1*tg (ϕ1)
Q3 = S3*sin (ϕ3)
3. ST =
PT2 + QT2
4. IL = ST /
3 *VL
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esercizi completamente svolti in corrente alternata trifase
ES.11
Due carichi RL ed RC equilibrati entrambi collegati a triangolo di valore R1 = 4
Ω ed Xc1 = 3 Ω , R2 = 5 Ω e Xl2 =3 Ω sono alimentati da un STS con tensioni
concatenate VL = 380 V, f =50 Hz. Determinare le correnti di linea e le potenze
attive e reattive totali.
SOLUZIONE
CIRCUITO ELETTTRICO
DATI
CALCOLARE
STS
1.IL
[286.6A]
R1 = 4 Ω
2.P
[133 MW]
XC1=3 Ω
3.Q
[13,8 Mvar]
R2 = 5 Ω
XL2 = 3 Ω
VL= 380 V
f = 50 Hz
ω = 314 rad/s
PL
1. IL = ST / 3 *VL
ST = PT2 + QT2
PT = P1+P2
P1 = 3 *VL*I’L cos ϕ1
I’L = 3 *I’12
I’12 = V12 / Z’12
V12 = VL
Z’12 = R12 + X C2 !
ϕ1 = arctg (XC1 / R1)
P2 = 3 *VL*IL"* cos ϕ2
I”L = 3 *I” 12
I” 12 = V12 / Z”12
Z”12 = R22 + X L22
ϕ2 = arctg (XL2 / R2)
QT = Q1+Q2
Q1 = P1*tg ϕ1
Q2=P2*tgϕ2
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esercizi completamente svolti in corrente alternata trifase
ES.12
Due carichi equilibrati collegati a stella sono alimentati da un sistema trifase
simmetrico con tensione Vl = 380 V. Essi assorbono le potenze P1 = 20 kW con fdp =
0.8 in ritardo e P2=16 kW con fdp=0,6 in anticipo. Determinare la corrente in linea e
la potenza attiva totale assorbita.
SOLUZIONE
CIRCUITO ELETTRICO
DATI
STS
VL = 380 V
P1 = 20 kW
cos ϕ1 = 0.8
P2 =16 kW
cos ϕ2 = 0.6
CALCOLARE
1.IL
2.P
[55.4 A]
[36 kW]
PL
1. IL = ST / 3 *VL
ST = PT2 + QT2
2. PT = P1+P2
QT = Q1+Q2
Q1 = P1*tg ϕ1
Q2 = P2*tg ϕ2
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esercizi completamente svolti in corrente alternata trifase
ES.13
Una linea trifase con resistenza RL = 0,24 Ω e reattanza XL= 0.36 Ω alimenta
un carico equilibrato collegato a stella che assorbe una potenza PC =12 kW con un
fattore di potenza cos ϕ = 0.8.
La tensione di fase è VF = 150 V. Determinare le tensioni concatenate all’inizio della
linea.
SOLUZIONE
CIRCUITO ELETTRICO
DATI
RL = 0.24 Ω
XL= 0.36 Ω
PC =12 kW
cos ϕ = 0.8
VF = 150 V
CALCOLARE
1.VL
[284 V]
PL
1. VL = ST / 3 *IF
ST = PT2 + QT2
PT = PL+PC
PL = 3*RL*IL2
IL = I10
I10 = PC /( 3 *VL'*cos ϕ)
VL '= 3 *VF
QT = QL+QC
QL = 3*XL* IL2
QC = PC*tg ϕC
ϕC = arc cosϕ
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esercizi completamente svolti in corrente alternata trifase
ES.14
Due carichi equilibrati collegati rispettivamente a stella e a triangolo
presentano i seguenti valori: Rs =3 Ω , XLs=8 Ω , RT=18Ω, XLT=6 Ω. Sono alimentati da
un sistema trifase simmetrico di tensione VL=260 V. Determinare le correnti di linea e
le potenze attive e reattive assorbite dai due carichi.
SOLUZIONE
CIRCUITO ELETTRICO
DATI
VL=260V
RS = 3 Ω
XLS = 8 Ω
RT =18 Ω
XT = 6 Ω
CALCOLARE
1.IL
[39.5 A]
2.PT
[13610 W]
3.QT
[11420 VAR]
PL
1. IL = ST / 3 *VL
ST = PT2 + QT2
PT = P1+P2
P1= 3*RS*I’102
I’10 = V10 / Z’10
V10 = VL / 3
Z’10= RS2 + X S2
P2 = 3*RT*I122
I12 = V12/Z12
V12 = VL
Z12 = RT2 + X T2
QT = Q1+Q2
Q1 = 3*XS*I’102
Q2 = 3*XT*I122
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esercizi completamente svolti in corrente alternata trifase
ES.15
Un carico equilibrato con le impedenze a triangolo di valore R=8 Ω e XL=12 Ω ,
assorbe una potenza attiva P=6 kW. Determinare le correnti e le tensioni di linea.
SOLUZIONE
CIRCUITO ELETTRICO
DATI
RT = 8 Ω
XLT =12 Ω
P = 6 kW
CALCOLARE
1.IL
2.VL
[27.3 A]
[213 V]
PL
1.
2.
IL =
3 *IF
IF =
P
3* RT
VL= P / ( 3 *IL*cos ϕ)
cos ϕ = cos (artg (XLT / RT))
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esercizi completamente svolti in corrente alternata trifase
ES.16
Un STS alimenta un carico equilibrato collegato a stella che assorbe la
potenza attiva P =18 kW e una potenza reattiva Q =12 kvar, con una tensione di linea
VL=380 V. Calcolare i valori della resistenza e reattanza di ciascuna fase del carico.
SOLUZIONE
CIRCUITO ELETTRICO
DATI
VL =380 V
P =18 kW
Q =12 kvar
CALCOLARE
1.RS
2.XS
[5.5 Ω]
[3.7 Ω]
PL
1.
RS = P/3*IF2
IF = IL
IL= P / 3 *VL* cos ϕ
cos ϕ= cos (artg (Q / P))
2.
XS = Q / 3*IF2
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esercizi completamente svolti in corrente alternata trifase
ES.17
Un STS con tensione VL = 380 V, f = 50 Hz, alimenta una linea trifase con filo
neutro alla quale sono allacciati i seguenti carichi : un forno elettrico tra i conduttori
2-0, un gruppo di lampade tra i conduttori 3-0, un motore asincrono trifase alimentato
dalle tre tensioni di linea . Si conoscono la potenza attiva totale assorbita PT =20 kW
con fdp=0.94 , la potenza attiva assorbita dal forno PF = 4kW e quella assorbita dalle
lampade ad incandescenza PL= 6 kW. Calcolare:
1. la potenza attiva assorbita dal motore ed il suo fdp
2. le correnti di linea I1 , I2 ,I3
3. la corrente Io nel filo neutro
4. la resistenza equivalente del forno e del gruppo lampade
SOLUZIONE
CIRCUITO ELETTRICO
DATI
VL =380 V
f = 50 Hz
PT = 20KW
cos ϕT = 0.94
PF = 4 KW
PL = 6 KW
PL
1.
CALCOLARE
1. PM
2. cos ϕM
3. I1
4. I2
5. I3
6. Io
7. RF
8. RL
[10 kW]
[0.8]
[19A]
[35 A]
[44 A]
[24.2 A]
[12 Ω]
[8 Ω]
PM = PT - PF - PL
2.
cos ϕM = cos[ artg (QM / PM)]
QM = QT - QF - QL
QT = PT*tgϕT
ϕT = arc cos ϕT
QF = 0
QL = 0
3.
I1 = PM / ( 3 *VL* cos ϕM)
I2 =  I 2  / 2
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esercizi completamente svolti in corrente alternata trifase
I 2 = I 20' + I M2
I 20' = V 20 / Z 20'
V 20 = 2 *V20 ∠ -30°
V20 = VL / 3
Z 20 = R20
5.
R20 = V202 / PF
I M2 =
2 *IM2 ∠ αIM2
IM2 = I1
αIM2 = - (30°+ ϕM )
I3 =  I 3 /
2
I3 = I’30+IM3
I’30 = V30 / Z30
V30 =
2 *V30 ∠ -150°
V30 = VL /
3
Z30 = R30
I M3 =
2 *IM3 ∠ αIM3
IM3 = I1
αIM3 = (210° - ϕM )
6.
R30 = VF2 / PL
4.
Io = I1+I2+I3
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esercizi completamente svolti in corrente alternata trifase
ES.18
Una linea trifase con RL = 0.25 Ω e XL = 0.3 Ω alimenta un carico che assorbe
una Pc = 12 kW con cos ϕc = 0.75 in ritardo, con una VLC = 260 V. Determinare :
1. le potenze attive e reattive assorbite all'ingresso della linea
2. il fdp complessivo
3. la tensione all'ingresso della linea
SOLUZIONE
CIRCUITO ELETTRICO
DATI
RL = 0,25 Ω
XL = 0,3 Ω
PC = 12 KW
cos ϕc = 0.75
VLC = 260 V
CALCOLARE
1.PT
2.QT
3. cos ϕT
4.VLT
[12.945 W]
[11718 VAR]
[0.74]
[283 V]
PL
1.
PT = PL+PC
PL = 3*RL*IL2
IL = PC / 3 *VLC* cos ϕc
2.
QT= QL+QC
QL = 3*XL*IL2
QC = PC*tg ϕc
ϕc = arc cos ϕc
3.
cos ϕT = cos (arctg (QT / PT))
4.
VLT = ST / 3 *IL
ST = PT2 + Qt2
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esercizi completamente svolti in corrente alternata trifase
ES.19
Un sistema trifase simmetrico con VL = 380 V , 50 Hz , alimenta un carico che
assorbe la potenza attiva P = 30 kW e una potenza reattiva Q = 24 kvar.
Si vuol procedere prima ad un rifasamento parziale per ridurre l'angolo di fase ϕ a
soli 20° , poi ad uno totale , mediante una batteria di condensatori collegati a
triangolo.
Calcolare la capacità dei condensatori in entrambi i casi.
SOLUZIONE
CIRCUITO ELETTRICO
DATI
VL=380 V
P = 30 kW
Q = 24 Kvar
ϕ'= 20°
ϕ"= 0°
CALCOLARE
1.C'
2.C"
[96 µF]
[176 µF]
PL
1.
C'=
P * ( tgϕ − tgϕ ' )
3 * ω *VL2
ϕ = tg (Q / P)
2.
C"=
P * tgϕ
3 * ω *VL2
23
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24
esercizi completamente svolti in corrente alternata trifase
ES.20
Un carico equilibrato assorbe una corrente di linea di 20 A con un cos α =
0,707 e con VL = 260 V, f = 50 Hz. Sapendo che il carico ha le fasi collegate a stella ,
calcolare la capacità di una batteria di condensatori collegati a triangolo tali da
ridurre la corrente in linea a 16 A.
SOLUZIONE
CIRCUITO ELETTRICO
DATI
CALCOLARE
VL =260 V
1.C
IL = 20 A
cos α = 0.707
IL' = 16 A
[47.3 µF]
PL
1.
C=
Xc =
1
ω * XC
3 *VL2
QC
QC = Q1-QT
Q1 = 3 *VL*IL* sen α
QT = S T2 − PT2
ST = 3 *VL*IL'
PT = P1
P1 = 3 *VL*IL* cos α
24
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25
esercizi completamente svolti in corrente alternata trifase
ES.21
Un STS con VL = 380 V, 50 Hz, alimenta due carichi equilibrati trifasi di cui il
primo è collegato a stella con Rs= 8 Ω e XLs= 12 Ω e il secondo a triangolo con RT =24
Ω e XLT =15Ω. Calcolare:
1.le tre correnti di linea
2.le potenze attive , reattive e apparente
3.la capacità della batteria di condensatori trifase con collegamento a triangolo
necessaria per portare l'angolo di fase al valore ϕ'=30 gradi
SOLUZIONE
CIRCUITO ELETTRICO
DATI
CALCOLARE
VL = 380 V
RS = 8 Ω
XLS =12 Ω
RT =24 Ω
XLT=15Ω
PL
1.
4.
2.
1.IL
2.PT
3.QT
4.S
5.C
[39A]
[19349W]
[16820 var]
[25638 VA]
[41.5 µF]
IL = ST / 3 *VL
ST = PT2 + QT2
PT = P1+P2
P1 = 3*R1T*I122
I12 = V12 / Z12
V12 = VL
Z12 = RT2 + X LT2
P2 = 3*RS*I1S2
I1S = I10
I10 = V10 / Z10
Z10 = RS2 + X LS2
4.
5.
QT = Q1+Q2
Q1 = 3*XLT*I122
Q2 = 3*XLS*I1S2
C = PT*(tg ϕ - tg ϕ‘) / (3*ω*VL2)
tg ϕ = QT / PT
25
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26
esercizi completamente svolti in corrente alternata trifase
ES.22
Due apparecchi utilizzatori trifasi , costruiti ciascuno per una tensione
concatenata normale di 160 V ed aventi rispettivamente le seguenti caratteristiche :
1. potenza 5 kW , cos ϕ = 0,8
2. potenza 4 kW, cos ϕ = 0,7
debbono provvisoriamente essere allacciati ad una rete a 220 V.
In mancanza di un trasformatore adatto allo scopo, si vuole utilizzare l’allacciamento
stesso in modo che gli apparecchi funzionino nelle loro condizioni normali. A tale scopo
, dato che i due apparecchi sono destinati a funzionare contemporaneamente ed in
ogni caso alla loro potenza nominale, si vuole risolvere il problema inserendo , sulla
conduttura comune di allacciamento dei due apparecchi alla rete, tre resistenze ( una
per ogni filo ) di valore adeguato.
Si calcolino:
1) il valore delle resistenze necessarie allo scopo;
2) il fattore di potenza complessivo dell’impianto , a valle ed a monte delle resistenze;
3) la potenza dissipata nelle resistenze stesse.
SOLUZIONE
CIRCUITO ELETTRICO
DATI
CALCOLARE
PL
1.
3.
2.
VL=220 V
f = 50 Hz
IL [47.6 A]
V’=160 V
P1n= 5 kW
cos ϕ1= 0,8
P2 = 4 kW
cos ϕ2= 0,8
1. R
[ 0.974 Ω]
2. cos ϕt [ 0,881]
3. PR
[5,4 kW]
R = PR / 3* I22
PR = Pt - P
Pt = S t2 − Qt2
St = 3 *VL * IL
IL = P / 3 *VL*cos ϕ
P = P1 + P2
ϕ = arctg Q / P
Q = Q1 + Q2
Q1 = P1 * tg ϕ1
Q2 = P2 * tg ϕ2
Qt = Q
cos ϕt = Pt / St
26
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27
esercizi completamente svolti in corrente alternata trifase
ES.23
Una linea trifase lunga 150 m , costituita da 3 conduttori di rame , aventi
ciascuna una sezione s = 10 mm2 ,è alimentata ad una estremità ad una tensione
concatenata di 220 V che si supporrà in ogni condizione di possibile esercizio,
costante , ed alimenta a sua volta, all’altra estremità tre utenze monofasi uguali,
inserite a triangolo e costituite ciascuna da una resistenza di valore 24 Ω . Si
supponga ora che uno dei conduttori di linea , per fusione della valvola in esso inserita,
si interrompa .Si calcolino le tensioni esistenti ai capi delle tre resistenze costituenti
le utenze , a linea integra e nelle condizioni anormali prima menzionate.
Agli scopi del calcolo si trascurino gli effetti della induttanza della linea e si assuma,
per il rame una resistività pari a 0,018 Ω *mm2 / m.
SOLUZIONE
CIRCUITO ELETTRICO
DATI
CALCOLARE
L = 150 m
1.VL’
[212.3 V]
s = 10 mm2
2. VL”
[213 V]
VL = 220 V
Z T = 24 Ω.
ρCU = 0,018 Ω *mm2 / m.
PL
1.
VL '= 3 * VF’
VF’ = Zs* IF
Zs = Zt / 3
IF = I10
I10 = V10 / Z10
V10 = VL / 3
Z10 = RL + Rs
RL = ρCU * L / s
27
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28
2.
esercizi completamente svolti in corrente alternata trifase
VL”= Zeq * I1’
Zeq = Zt *2 * Zt / [Zt + 2 * Zt ]
I1’ = V13 / Z’
Z’ = Zeq + 2*RL
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29
esercizi completamente svolti in corrente alternata trifase
ES.TRASF1
Un trasformatore trifase da 100 kVA ha un rapporto a vuoto 6000 / 220 V ,ed
una frequenza nominale 50 Hz .Dalle prove di collaudo si è dedotto che il
trasformatore ha una tensione di cto cto percentuale vc% = 4.5% ,una perdita di cto
cto uguale a 2% una perdita a vuoto percentuale Po% = 0,7 % .Il trasformatore
alimentato con tensione e frequenza nominali, alimenta un carico trifase equilibrato
ohmico-induttivo ad impedenza costante , che assorbe una potenza di 60 KW con un
fattore di potenza uguale a 0,8. Calcolare :
1. la tensione di alimentazione del carico trifase
2. la corrente assorbita dal carico trifase
3. il rendimento convenzionale del trasformatore col carico allacciato
Prima Parte
CIRCUITO EL
PL
1.
SOLUZIONE
DATI
CALCOLARE
Dati di targa
1. Re” [0,0096Ω]
2. Xe” [0,0194Ω]
Re” = Pc / 3*I2n2
Pc = Pc% * Sn / 100
I2n = Sn / 3 V2n
Xe” = Re” *tg ϕc
ϕc = arc cos ( Pc% / vc% )
⇔
29
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30
esercizi completamente svolti in corrente alternata trifase
Seconda Parte
CIRCUITO EL
1.
2.
{V = V
{I =P
2
2
20
2
DATI
CALCOLARE
V1n = 6000 V
V20 = 220 V
Sn = 100 kVA
vc% = 4,5 %
Pc % = 2 %
Po% = 0,7 %
cos ϕ2 = 0,8
P2 = 60 KW
1. V2 [ 213.2V]
2. I2 [203 A]
3. ηc [0.9695]
- 3 I2* ( Re” cos ϕ 2+Xe”sen ϕ 2)
/ ( 3 V2*cos ϕ 2)
V2= V20 - ( Re” cos ϕ 2 +Xe”sen ϕ 2 )* P
V22 cos ϕ 2 - V20V2 cos ϕ 2 + P
3.
2
2
/ ( V2*cos ϕ 2)
*( Re”cos ϕ 2 +Xe”sen ϕ 2) = 0
ηc= P 2 / (P 2+Po +Pcu )
Po = Po% *Sn / 100
Pcu = 3 * Re” * I22
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31
esercizi completamente svolti in corrente alternata trifase
ES.TRASF2
Un trasformatore trifase da 500 kVA ha un rapporto a vuoto 10.000 / 3000 V,
ed una frequenza nominale 50 Hz ed alimenta attraverso una linea di rame lunga 4 km
tre utenze monofasi, collegate a triangolo, che assorbono una corrente di 50 A
ciascuna con un f.d.p. uguale a 0,7. Il trasformatore ha una tensione di cto cto
percentuale vc% = 5% ,una perdita di cto cto uguale 7,5 kW.
La linea ha una resistenza RL = 0,23 Ω/Km ed una reattanza XL = 0,32 Ω/Km. Supposto
di alimentare il trasformatore con tensione e frequenza nominali, calcolare :
1. la tensione di alimentazione delle tre utenze
2. la perdita di potenza percentuale della linea col carico stabilito
3. la caduta di tensione percentuale del trasformatore col carico stabilito.
SOLUZIONE
CIRCUITO EL
PL
1.
⇔
DATI
Sn = 500 kVA 1. V
V1n = 10.000 V 2. PL%
V20 = 3000 V
3. v%
L = 4 km
I = 50 A
cos ϕ.= 0,7.
vc% = 5%
Pc% = 7,5 kW.
RL’ = 0,23 Ω/Km
XL’ = 0,32 Ω/Km
ρcu = 0,018 Ω mm2/m
CALCOLARE
[2647 V]
[7.45%]
[4%]
V= V20 - 3 I2*[( Re”+RL) cos ϕ +(Xe”+XL)sen ϕ)]
I2 = 3 *I
Re” = Pc / 3*I2n2
Pc = Pc% * Sn / 100
I2n = Sn / 3 V2n
Xe” = Re” *tg ϕc
ϕc = arc cos ( Pc% / vc% )
RL = RL’* L
XL = XL’ * L
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32
2.
esercizi completamente svolti in corrente alternata trifase
P L % = 100 * 3 * RL * I22 / P
P = 3 * V * I * cosϕ
⇔
3.
⇔
v% = 100* (V20 - V2 ) / V20
V20 - V2= 3 *I2 ( Re” cos ϕ
ϕ 2 = arctg [Qt / Pt ]
Qt = Q + QL
Q = P * tgϕ
QL = 3 * XL * I22
Pt = P + PL
PL = 3 * RL * I22
2
+Xe”sen ϕ 2 )
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33
esercizi completamente svolti in corrente alternata trifase
ES.TRASF3
Un trasformatore trifase da 200 kVA ha un rapporto a vuoto 3.000 / 380 V,
ed una frequenza nominale 50 Hz , deve alimentare un carico trifase equilibrato a
stella ohmico-induttivo ad impedenza costante che , alimentato con la tensione
normale di 390 V , assorbe una potenza di 100 KW con una corrente di 185 A . In base
a prove eseguite sul trasformatore si è potuto stabilire che il trasformatore ha una
tensione di corto circuito percentuale uguale a 4,8 % e un fattore di potenza di cto
cto uguale a 0,4 , che il trasformatore , alimentato a tensione e frequenza nominale,
assorbe una corrente a vuoto uguale a 6 % della corrente nominale ed una potenza a
vuoto uguale a 0,5 % della potenza nominale . Alimentando il trasformatore il
trasformatore dal lato A.T. con la tensione nominale e con frequenza nominale,
calcolare:
1. la corrente assorbita dal carico trifase allacciato al secondario del
trasformatore
2. la corrente , in modulo e fase , assorbita dal primario del trasformatore
3. il rendimento convenzionale del trasformatore col carico stabilito
4. il rendimento in energia del trasformatore , nell’ipotesi che funzioni sotto
carico
( col carico stabilito ) per otto ore al giorno e funzioni a vuoto per le
rimanenti ore del giorno.
SOLUZIONE
CIRCUITO EL
DATI
CALCOLARE
Sn = 200 kVA 1. I2 [177,5 A]
V1n = 3.000 V
2. I1 [24,1 ∠48° A]
V20 = 380 V
3. ηc
[0.9755]
P = 100 kW
4. ηW
[0.9552]
V = 390 V
I = 185 A
t=8h
cos ϕc= 0,4
Io% = 6% *I1n
Po% = 0.5 % * An
33
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34
esercizi completamente svolti in corrente alternata trifase
PL
1.
I2 =
V20
3 * (R + Re") 2 + ( X + Xe") 2
V20 = V2n
R = P / 3*I2
Re” = Pc / 3*I2n2
X = R * tg ϕ
X e” = Re” * tg ϕc
2.
⇔
3.
⇔
4.
⇔
I1 = I1’+I0
I1’ = I1’ ( sen ψ2+ j cosψ2 )
I1’ = I2 / K0
ψ2 = arctg [(X+Xe”) / (R+ Re”)]
K0 = V2n / V1n
I0 = I0 (sen ϕo + j cos ϕo )
Io = 6 % I1n
I1n = I2n / K0
I2n = Sn / 3 V2n
ϕ0 = arc [cos P0 / 3 *V1n*Io]
P0 = P0% * Sn / 100
ηc = 3 * R * I22 / [Po + 3 * R * I22 + 3 * Re” * I22]
ηW= 3 * R * I22 * t / [24*Po + 3 * R * I22 *t+ 3 * Re” * I22 * t]
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35
esercizi completamente svolti in corrente alternata trifase
ES.TRASF4
Un trasformatore trifase da 600 kVA ha un rapporto a vuoto 10.000 / 500 V,
ed una frequenza nominale 50 Hz , deve alimentare un carico trifase equilibrato a
stella ohmico-induttivo ad impedenza costante che , alimentato con la tensione
normale di 480 V , assorbe una potenza di 400 KW con una corrente di 642 A . In
base a prove eseguite sul trasformatore si è potuto stabilire che il trasformatore
,alimentato da una terna simmetrica di tensioni attraverso una linea di rame, ha una
caduta di tensione percentuale
uguale a 6%, una tensione di corto circuito
percentuale uguale a 5 % e un fattore di potenza di cto cto uguale a 0,4 , una corrente
a vuoto uguale a 2A ed una potenza a vuoto 2,4 kW . Si sa che la resistenza della linea
è doppia della reattanza di linea, calcolare:
1. tensione di alimentazione del trasformatore nelle condizioni di carico
stabilite.
2. tensione di alimentazione della linea nelle condizioni di carico stabilite.
3. il rendimento convenzionale del trasformatore col carico stabilito.
4. il rendimento della linea con le condizioni stabilite.
5. il rendimento convenzionale totale dell’impianto (linea + trasformatore ) nelle
condizioni di funzionamento stabilite.
SOLUZIONE
CIRCUITO EL
DATI
CALCOLARE
Sn = 600 kVA 1. V
[2647 V]
V1n = 10.000 V 2. PL%
[7.45%]
V20 = 500 V
3. v%
[4%]
P2 = 400 kW
V2 = 480 V
I2 = 642 A
cos ϕ.= 0,7.
vc% = 5%
Pc% = 7,5 kW.
RL’ = 0,23 Ω/Km
XL’ = 0,32 Ω/Km
ρcu = 0,018 Ω mm2/m
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esercizi completamente svolti in corrente alternata trifase
PL
1.
⇔
2.
V= V20 - 3 I2*[( Re”+RL) cos ϕ +(Xe”+XL)sen ϕ)]
I2 = 3 *I
Re” = Pc / 3*I2n2
Pc = Pc% * Sn / 100
I2n = Sn / 3 V2n
Xe” = Re” *tg ϕc
ϕc = arc cos ( Pc% / vc% )
RL = RL’* L
XL = XL’ * L
P L % = 100 * 3 * RL * I22 / P
P = 3 * V * I * cosϕ
⇔
3.
⇔
v% = 100* (V20 - V2 ) / V20
V20 - V2= 3 *I2 ( Re” cos ϕ
ϕ 2 = arctg [Qt / Pt ]
Qt = Q + QL
Q = P * tgϕ
QL = 3 * XL * I22
Pt = P + PL
PL = 3 * RL * I22
2
+Xe”sen ϕ 2 )
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esercizi completamente svolti in corrente alternata trifase
ESERCIZI DA SVOLGERE
1.
Un sistema trifase a tre fili , tensione di linea VL = 100 V, alimenta un carico
equilibrato a triangolo avente impedenza Z = 20 Ω e fase 45°. Calcolare le correnti di
linea.
[I1 = I2 = I3 = 8.66 A]
2.
Tre impedenze uguali pari a 5 Ω e alfa = -30°, collegate a stella, sono
alimentate da un sistema trifase a tre fili con tensione VL=150 V. Calcolare le correnti
di linea .
[I1 = I2 = I3 = 17.32 A]
3.
Tre impedenze uguali da 15 Ω e fase 30° , collegate a triangolo , sono
alimentate da un STS con tensione VL = 200 V. Calcolare le correnti di linea.
[I1 = I2 = I3 = 23.09 A]
4.
Uno stesso sistema trifase a tre fili , con tensione VL = 250 V , alimenta tre
impedenze uguali da 10 Ω e fase 30° collegate a stella e tre impedenze da 15 Ω e fase
0° pure collegate a stella. Calcolate la potenza attiva sviluppata.
[P = 9530 W]
5.
Uno stesso STS a tre fili ,tensione di linea 208 V, alimenta
contemporaneamente tre impedenze uguali di valore ZT =12 Ω e fase 30° ciascuna ,
collegate a triangolo e tre impedenze eguali del valore ZS = 5 Ω e fase 45° , collegate
a stella .Calcolare le correnti di linea e la potenza attiva complessivamente erogata.
[I1=I2=I3=53,6 A
P=15500 W ]
6.
Un sistema a tre fili , tensione VL=240 V , alimenta un carico a triangolo nel
quale Zab = 25 Ω e fase 90° , Zbc =15 Ωe fase 30° , Zca = 20 Ω e fase 0°. Calcolare le
correnti di linea e la potenza attiva complessiva.
[Ia=20.8 A Ib=14 A Ic=20 A
Pt=6210W]
7.
Un STS con neutro, tensione di linea VL=208 V, alimenta un carico a stella
composto da Za =10 Ω e fase = 0° , Zb =15 Ω e fase =30° , Zc=10 Ω e fase = -30°.
Calcolare le correnti di linea e nel filo neutro, nonchè la potenza attiva complessiva.
[Ia=12 A Ib=8A Ic=12 A In=5,69 A Pt=3519 W]
8.
Un STS con tensione VL=208 V alimenta tre impedenze identiche di valore 30
Ω e fase 30° , collegate a triangolo , attraverso una linea con RL= 0.8 ohm e XL=0.6
ohm . Calcolare il valore della tensione al carico.
[V=189 V]
9.
Tre impedenze uguali di valore Z = 10 Ω e fase 53°, collegate a triangolo sono
alimentate da un STS con tensione di linea V=240 V. Calcolare le correnti di linea.
[I1=I2=I3=41,6 A]
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38
esercizi completamente svolti in corrente alternata trifase
10.
Tre impedenze uguali di 15,9 Ω e fase 70° , collegate a triangolo sono
alimentate da un STS con VL = 100 V. Calcolare le correnti di linea e la potenza attiva
complessiva.
[I1=I2=I3=10,9 A P=646 W]]
11.
Tre impedenze del valore Z = 42 Ω e fase = -35°, collegate a triangolo sono
alimentate da un STS con VL= 350 V. Calcolare le correnti di linea e la potenza attiva
totale.
[I1=I2=I3=14.4 A P=7130 W]
12.
Un carico trifase a stella , equilibrato, costituito da impedenze di valore 6 Ω e
fase 45° , è alimentato da un STS a 4 fili con tensione VL = 208 V. Calcolare le
correnti di linea e quella del filo neutro.
[I1=I2=I3=20 A Io=0 A]
13.
Un carico equilibrato a stella costituito da impedenze di valore 65 Ω e fase
-20° è alimentato da un STS con VL=480 V. Calcolate le correnti di linea e la potenza
attiva complessiva.
[I1=I2=I3=4.24 A P=3320 W]
14.
Un STS , con VL = 480 V, alimenta contemporaneamente tre impedenze uguali
di valore 9 Ω e fase -30° , collegate a triangolo e tre impedenze del valore 5 ohm e
fase 45°, collegate a stella. Calcolare le correnti di linea e la potenza attiva
complessiva.
[I1=I2=I3=........
P=...]
15.
Un STS a VL=100 V alimenta un carico equilibrato formato da impedenze da
10Ω e fase -36,9° , collegate a triangolo , ed un carico equilibrato collegato a stella
formato da impedenze da 5 ohm e fase 53,1°. Calcolare la potenza attiva assorbita da
ciascun carico e il valore delle correnti di linea complessive.
[P1=2400 W P2=1200 W
I1=I2=I3=20,8 A]
16.
Tre impedenze uguali da 15 Ω e fase 60° , collegate a stella , sono alimentate
da un STS con VL = 240 V. Le linee comprese fra l'alimentazione ed il carico
presentano un impedenza con RL=2 Ω ed XL=1 Ω. Calcolare la tensione di linea ai capi
del carico.
[VL=213 V]
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esercizi completamente svolti in corrente alternata trifase
ERRRATA CORRIGE
Es. 10
TESTO
CORREZIONE
cos ϕ 2 = 0,65
cos ϕ 2 = 0,45
Es. 11
TESTO
1. I L
CORREZIONE
[286,6 A]
1. I L
[203,5 A]
Es. 15
TESTO
2. VL
CORREZIONE
[213V ]
2. VL
[227,3V ]
Si ringrazia il Dott. Marcello IRRERA per la gentile collaborazione
39
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