3. Dinamica
Leggi di Newton
Si introduce il concetto di forza come misura della variazione dello stato di moto di un corpo,
osservato in un sistema di riferimento di per se stesso non soggetto a forze (sistema
inerziale). Le leggi della dinamica (leggi di Newton) definiscono in particolare:
-
il tipo di sistema di riferimento da usare per misurare le forze (principio d’inerzia):
sistema inerziale = sistema non soggetto a forze, in cui i corpi non soggetti a forze si
muovono a velocità costante. (esistono infiniti sistemi inerziali, tutti in moto uniforme
uno rispetto all’altro)
-
come misurare la forza sperimentata da un corpo, osservando il moto del corpo:
r
r
F dp / dt
r
r
avendo definito la quantità di moto p = m v , essendo m = massa inerziale.
r
r
Si noti che F = m a se la massa del corpo è costante durante il suo moto (situazione più
frequente in questo Corso). L’unità di misura della forza nel Sistema Internazionale è il
Newton (N), mentre quella della massa inerziale è il kilogrammo (kg).
-
legge di azione-reazione: da constatazioni empiriche su esperimenti con urti fra corpi si
ha che
r
r
F12 = F21
Se i corpi 1 e 2 interagiscono solo fra loro e non con altri corpi si ha quindi l’importante
principio di conservazione della quantità di moto:
r
r
dp2
dp1
=
dt
dt
r r
d( p1 + p2 )
=0
dt
r r
p1 + p2 = costante
Misura della massa inerziale
Concettualmente la massa inerziale esprime la “resistenza” di un corpo a modificare il suo
stato di moto quando è soggetto a una forza. Considerando esperimenti con urti fra corpi,
dall’osservazione empirica che ha suggerito la legge di azione-reazione si ha un metodo per
misurare la massa inerziale (che non è necessariamente la stessa massa che si pesa con la
bilancia, come vedremo discutendo la gravitazione successivamente!).
In particolare, supponiamo di condurre una serie di esperimenti del tipo “urto” con due masse
m1 e m2. Secondo la legge di azione-reazione, rispettata fedelmente in questi esperimenti,
r
r
dv1
dv 2
m1
= m2
dt
dt
si trova sempre
r
m r
v1 = 2 v2
m1
r r
r
avendo misurato per ogni urto la differenza di velocità v = v (dopo) v (prima) per i due
corpi. Supponiamo di non conoscere i valori delle masse inerziali in gioco: negli esperimenti
si trova semplicemente che il rapporto m2/m1 è costante in tutti gli urti. Quindi, se definiamo
per esempio una massa campione “inerziale” m1=1 kg, da questi esperimenti si misura di fatto
la massa m2 (in relazione a m1). Sostituendo in seguito m2 con m3, si può ripetere
l’esperimento fra m1 e m3 misurando quindi m3, e così via.
OSSERVAZIONE: spesso si usa il termine “particella” invece di “corpo”. Questo per
intendere un corpo “approssimativamente” puntiforme ma dotato di massa inerziale: si tratta
di un’utile semplificazione per molti problemi di dinamica elementare. Corpi estesi dotati di
massa verranno studiati successivamente nell’ambito della dinamica del corpo rigido.
Esempio: concetto di diagramma del corpo libero.
Per descrivere correttamente la dinamica di un corpo occorre definire con chiarezza l’insieme
di forze che agiscono su di esso. In un sistema con più corpi interagenti fra loro occorre
ripetere la procedura per ciascuno di essi.
Consideriamo ad esempio le due masse m, M spinte da una forza F su un piano liscio, e
calcoliamo: a) accelerazione, b) forza premente N fra le due masse.
RM
Rm
y
M
m
F
x
a
N N
mg
Mg
Per prima cosa conviene identificare la direzione del moto (evidentemente verso destra) e
scegliere versi positivi (x,y) per indicare forze e accelerazioni secondo la direzione del moto
e secondo una direzione normale ad essa. Tutte le forze e accelerazioni, che sono grandezze
vettoriali, vengono così indicate come semplici quantità algebriche, con un segno +/- a
seconda che siano dirette secondo la direzione di riferimento o opposte ad essa.
Iniziamo con la massa m (la forza N prodotta da M spinge m in modo da ostacolarne il moto).
Direzione orizzontale: m a = F N
Direzione verticale:
0 = Rm m g
Analogamente per la massa M (si noti che per la legge azione-reazione una forza di uguale
intensità N prodotta da m spinge in direzione opposta, cioè nel verso del moto).
Direzione orizzontale: M a = N
Direzione verticale:
0 = RM M g
Le due equazioni lungo la direzione verticale (dove non c’è moto) stabiliscono
semplicemente il valore delle reazioni vincolari di appoggio esercitate dal piano su ciascuna
massa, ovviamente uguali al peso delle rispettive masse.
Le due equazioni nella direzione del moto invece forniscono le risposte alle domande poste
dal problema:
F
m +M
M
N = Ma =
F
m+ M
a=
Esempio: funi inestensibili e prive di massa. Consideriamo una fune tesa, cioè per definizione
soggetta a forze A e B alle due estremità.
A
m
B
x
Essendo la massa della fune m=0 e la sua accelerazione certamente finita e 0:
m a = 0 = B A
Quindi le tensioni ai capi di un tratto di fune inestensibile e priva di massa devono essere
uguali (A=B).
N.B.: lo stesso risultato vale per un’asta rigida priva di massa, con la differenza che l’asta può
essere compressa invece che tesa (in ogni caso le forze applicate dall’esterno alle due
estremità devono essere uguali!)
Forza di attrito statico fs
Dipende dallo stato delle superfici a contatto (che non strisciano) ed il suo valore massimo è
collegato alla forza premente N perpendicolare alla superficie di contatto.
Il valore massimo della forza di attrito statico è
f s,max = μs N
il coefficiente di attrito statico μs dipende dalle proprietà delle superfici a contatto.
Consideriamo per esempio una cassa di massa M ferma e appoggiata su una superficie
orizzontale con coefficiente μs . Supponiamo di spingere M con una forza F. Finchè
F < fs,max la massa M rimane in stato di quiete (v=0 e quindi a=0), cioè m a = 0 = F fs .
Quindi la forza di attrito è semplicemente uguale e opposta a F (appunto quello che occorre
per tenere M ferma). Se F > fs,max l’attrito statico non riesce più a contrastare totalmente la
spinta F, quindi la massa M si muove ora in condizioni di attrito dinamico.
In questo esempio è f s,max = μ s M g , ma la forza peso non è sempre la responsabile della forza
di attrito massima (esempio: un corpo che striscia contro una parete verticale).
Forza di attrito dinamico fd
Si sviluppa in condizioni di slittamento fra due superfici a contatto, e dipende dalle loro
caratteristiche (sintetizzate dal coefficiente μd ) e dalla forza premente N normale alle
superfici. Purchè le superfici slittino, si può sempre scrivere
f d = μd N
Esempio: determinare l’accelerazione delle masse (m=1 kg, M=2 kg) e la tensione della fune.
Coefficiente di attrito dinamico μd =0.2.
N
direzione del moto
T
mg
T
Mg
Per la massa m:
Direzione del moto:
m a = T fd
Direzione normale:
0 = N mg
con f d = μd N
Massa M (si noti l’opportunità di scegliere la direzione di moto comune per le due masse)
Direzione del moto:
Ma = Mg T
Quindi a, T sono la soluzione del sistema
m a = T μd m g
Ma = Mg T
a=
(M μd m)
g =5.9 m/s2
m+ M
T = M (g a) =7.84 N
Esempio: un carrello di massa m lanciato a velocità v0 nel piano orizzontale striscia contro un
muretto verticale circolare (raggio della traiettoria = R), che esercita attrito con un
coefficiente μd . Determinare quanto spazio deve percorrere il carrello perchè la sua velocità
dimezzi.
m
fd v0
N
R
piano orizzontale
In questo caso la forza di attrito dinamico non è assolutamente collegata alla forza peso, ma
semplicemente alla forza premente N contro la parete verticale (muretto). Anzi, è proprio la
presenza di N a permettere alla massa m di compiere la traiettoria circolare (serve una
componente di accelerazione normale o centripeta!). Specificando le forze nella direzione del
moto e in quella normale (diretta verso il centro della traiettoria):
m aT = m
dv
= fd
dt
v2
m aN = m = N
R
essendo f d = μd N abbiamo:
m
dv
v2
= μ d m
dt
R
dv
v2
dv dx
=v
= μd
dx
R
dx dt
dv
v
= μ d
dx
R
v (x )
v0
x
dv
dx
= μ d v
R
0
ln[ v(x)/ v0 ] = μd
e infine: x =
x
R
R
ln 2 per v = v 0 / 2
μd
Moto relativo (sistemi di riferimento in moto traslatorio)
Consideriamo un sistema di riferimento inerziale Oxy, e uno invece non necessariamente
inerziale, O’x’y’. Supponiamo per semplicità che quest’ultimo si muova comunque
mantenendo gli assi paralleli a quelli di Oxy (moto traslatorio, non necessariamente
uniforme!). Per esempio, Oxy potrebbe essere un sistema solidale con la terraferma, O’x’y’
un sistema solidale con una tavola galleggiante trasportata dalla corrente di un fiume, e P una
barca che si muove rispetto all’acqua (l’acqua è ferma rispetto alla tavola!).
P
y
y
r
r
O
x
R
O
x
r
r
Il vettore posizione r (t) misurato dall’osservatore O è collegato a quello r (t) misurato
dall’osservatore O’ dalla relazione
r
r
r
r (t) = R (t) + r (t)
Prendendo la derivata rispetto al tempo di entrambi i membri si ha la relazione fra le velocità
misurate dagli osservatori O, O’ e quella di traslazione del sistema O’x’y’ rispetto a Oxy:
r
r
r
v (t) = V (t) + v (t )
Questa relazione è utile per risolvere problemi come il seguente:
Esempio: un fiume scorre con velocità di 5 km/h. Una barca deve attraversarlo
perpendicolarmente: sapendo che la velocità massima in acqua ferma è di 10 km/h, in che
direzione deve puntare la barca? Qual’è la velocità effettiva di attraversamento del fiume?
vb/t
vb/c
vc/t
Per essere espliciti indichiamo:
r
vc / t = velocità della corrente rispetto a terra
r
vb / t = velocità della barca rispetto a terra
r
vb / c = velocità della barca rispetto alla corrente (cioè rispetto all’acqua)
r
r
r
r
Quindi abbiamo: vb / t = vc / t + vb / c . Il problema assegna vc / t (modulo vc / t = 5 km/h e direzione
nel verso di scorrimento) e vb / c =10 km/h. La direzione non è data esplicitamente, ma
sappiamo che la somma vettoriale deve “chiudere” il triangolo, perciò il disegno è quello
sopra, da cui: vb / t = vb2 / c vc2 / t = 8.7 km/h.
Sistemi non inerziali e forze apparenti
Consideriamo nuovamente i due sistemi di riferimento Oxy e O’x’y’ disegnati prima.
Supponiamo di voler descrivere anche le accelerazioni, per cui basta derivare un’altra volta:
r
r
r
a (t) = A(t) + a (t)
r
r
Secondo le leggi di Newton, essendo Oxy inerziale esso misura una forza totale F = m a
agente sulla massa m che si trova in P. Quindi l’osservatore O’x’y’ (che in generale si muove
r
con accelerazione A rispetto a Oxy senza sapere di essere non-inerziale) cerca di attribuire il
r
moto di P a una forza che renda conto dell’accelerazione a che misura per P nel suo
riferimento:
r
r
r
m a = F m A
r
È chiaro che O’x’y’ riesce a interpretare il moto di P soltanto se alla forza “vera” F aggiunge
r
una forza “apparente” di intensità e direzione pari a m A , che magari non sa spiegare, ma
r
che per l’osservatore inerziale Oxy è chiaramente dovuta all’accelerazione A di O’x’y’.
NOTA: dato che in generale si fa spesso confusione nel risolvere problemi di dinamica
ponendosi in sistemi accelerati (non-inerziali) che richiedono l’uso corretto delle forze
apparenti (dovute solo ad accelerazioni del sistema di riferimento scelto), si consiglia di
scrivere sempre l’equazione fondamentale della dinamica usando un sistema inerziale, fermo
rispetto a terra.
Esempio: calcolare il peso apparente di una massa m indicato da una bilancia posta in un
ascensore che sale con accelerazione A=5 m/s2.
Rispetto al sistema inerziale (asse x) su m agiscono due forze: la forza peso mg e la reazione
vincolare della bilancia, N. Per la legge di azione-reazione, N è pure la forza applicata dalla
massa m sulla bilancia, ed è la forza premente che la bilancia “interpreta” come il “peso”
dell’oggetto che le sta sopra. Scriviamo la legge di Newton per m secondo l’osservatore
inerziale fermo a terra (solidale con l’asse x), che vede l’ascensore accelerare verso l’alto:
mA= Nmg
N
A
x
m
pesa
N
mg
Quindi la forza premente e di conseguenza il peso apparente registrato dalla bilancia è
N = m (g + A) =148 N. In pratica le bilance sono fatte per indicare la massa, anche se in realtà
misurano una forza: in condizioni “normali” una bilancia è ferma in un sistema inerziale
(A=0), e la massa che indica è la forza premente diviso g. Se A0, la massa indicata dalla
bilancia sarà m (1 + A / g) . Se l’ascensore fosse in caduta libera (quello che si verifica per
esempio in una navicella in orbita attorno alla Terra), A=-g e il peso apparente (o la massa
misurata dalla bilancia) risulta nullo.
Esempio: forza apparente “centrifuga” in un sistema di riferimento che descrive una
traiettoria circolare.
Consideriamo un sasso di massa m legato a una fune lunga R, che viene fatto roteare in un
piano orizzontale attorno al punto O. Consideriamo due sistemi di riferimento: quello
inerziale (fermo) Oxy, e un secondo O’x’y’ centrato sul sasso, che mantiene gli assi x’y’
paralleli a xy. Descriviamo la dinamica del sasso rispetto ai due sistemi.
Oxy : vede m attaccata alla fune descrivere una traiettoria circolare di raggio R (moto
circolare uniforme). Quindi attribuisce l’accelerazione centripeta alla tensione della fune,
unica forza orizzontale all’opera:
v2
m =T
R
O’x’y’: vede m attaccata a una fune tesa, quindi sa che c’è una tensione T all’opera su m, ma
siccome m rimane ferma nell’origine O’ deve ipotizzare un’altra forza all’opera, in modo che
la velocità e l’accelerazione di m rispetto al sistema O’x’y’ siano nulle:
m a = 0 = T F Dal disegno risulta chiaro che la forza F che O’x’y’ è costretto a inventarsi per poter usare
la legge di Newton (in realtà concepita per osservatori inerziali) è sempre opposta alla
tensione (di uguale intensità), e diretta verso l’esterno della traiettoria circolare: si parla di
forza centrifuga (ovviamente F = m v 2 / R ).
r
La forza centrifuga è chiaramente il termine m A nell’equazione generale introdotta prima,
ed è dovuta all’accelerazione centripeta del sistema di riferimento O’x’y’.