L’INCERTEZZA E LE CIFRE SIGNIFICATIVE
Tutte le misure sono affette da un certo grado di incertezza la
cui entità può dipendere sia dall’operatore che dallo strumento
utilizzato.
Si definisce incertezza assoluta il margine di incertezza
associato ad una misura. Se ad esempio un oggetto viene
pesato con una bilancia sensibile al decimo di grammo
ottenendo una massa di 8,2 g, il suo peso reale sarà 8,2 ± 0,1 g
e quindi compreso tra 8,1 e 8,3.
Nel caso lo stesso oggetto sia pesato con una bilancia
sensibile al decimo di mg, con un risultato di 8,2506 g, il peso
reale sarà 8,2506 ± 0,0001 g.
Nei due esempi l’incertezza assoluta sarà rispettivamente di
0,1 g e di 0,0001 g.
Si definisce l’incertezza relativa come il rapporto:
incertezza relativa = incertezza assoluta / valore della misura
e quindi nel primo esempio si avrà:
incertezza relativa = 0,1/8,2 = 0,012
Qual è l’incertezza relativa nel secondo esempio?
incertezza relativa = 0,0001/8,2506 = 0,000012
L’incertezza relativa percentuale è semplicemente:
Incertezza relativa percentuale = 100 x incertezza relativa
Cifre significative
Quante sono le cifre significative negli esempi precedenti?
8,2 e 8,2506
Le cifre significative sono quelle note con certezza più la prima
il cui valore è incerto, non tenendo conto della posizione della
virgola.
La prima misura presenta due cifre significative e la seconda
cinque cifre significative ed in entrambi i casi solo l’ultima cifra
è incerta a meno di una unità (± 0,1 e 0,0001).
Ogni misura reale/strumentale è soggetta ad un certo grado di
incertezza la cui entità può dipendere sia dallo strumento
adoperato che dall’operatore.
Se la massa di un oggetto, pesato con una bilancia sensibile al
decimo di grammo, è di 4,5 g, significa che il peso reale è
compreso tra 4,4 e 4,6; con due cifre significative. La massa è:
m = 4,5 ± 0,1 g.
Se lo stesso oggetto viene pesato con una bilancia analitica
sensibile al decimo di mg ed il risultato è: m = 4,5276, significa
che il peso reale è compreso tra 4,5275 e 4,5277 g con 5 cifre
significative.
Delle cifre che esprimono la massa solo l’ultima è incerta a meno
di una unità, perciò: m = 4,5276 ± 0,0001 g
I valori ± 0,1 e ± 0,0001 esprimono quindi l’incertezza con la quale
la misura è stata effettuata.
È necessario, quindi, distinguere tra cifre che hanno un
significato reale/fisico, cioè cifre significative, e quelle che
non sono note o non sono significative per l’incertezza nella
misura.
Si possono avere le seguenti regole:
a) Le cifre significative di una misura sono tutte quelle i cui valori
sono noti con certezza più la prima il cui valore è incerto. La
posizione della virgola non ha importanza.
Quante cifre significative hanno 6,54 e 65,4?
b) Gli zeri tra cifre non nulle sono significativi: 4007 Kg ha
quattro cifre significative; 2,06 cm ne ha…………?.
c) Gli zeri a sinistra di una cifra significativa non sono significativi
in quanto servono solo ad individuare l’ordine di grandezza
del valore in esame; 0,08 Pa ha una cifra significativa e
0,001 A ha………?.
d) Gli zeri a destra di cifre significative e dopo la virgola sono
significativi: 5,0 N ha….cifre significative; 0,0500 W ne
ha……?
e) Se il numero non decimale termina con uno o più zeri, essi
non sono necessariamente significativi: 230 m ha due o tre cifre
significative; 20300 g ne ha…? a seconda di come gli zeri
vengono utilizzati per indicare l’ordine di grandezza o la
incertezza della misura.
Riassumendo: Sono significativi gli zeri dopo la virgola e a
destra di cifre significative (gli zeri sono significativi quando si
trovano (b) in mezzo a un numero o (d) alla fine di un numero a
destra di una virgola decimale) mentre non lo sono gli zeri a
sinistra che servono ad individuare l’ordine di grandezza della
misura considerata (c).
Quindi 7,0 come 0,70 hanno:due cifre significative mentre 0,07
ne ha:…?
Esempio:
Quali sono gli zeri significativi? 705 – 0,0304 – 0,705 – 0,5330
Usando i numeri esponenziali (notazione scientifica) si evita
l’ambiguità del duplice impiego degli zeri; 40.700 g ha pertanto:
4,07 x104 g
3 cifre significative (40,7 kg)
4,070 x104 g
4 cifre significative (40,70 kg)
4,0700 x104 g
5 cifre significative (40,700 kg
Ad esempio, che differenza c’è tra 6,0 e 6,00?
Il primo numero ha due cifre significative, il secondo tre e ciò
implica che la seconda misura è stata effettuata con minor
incertezza.
Come deve essere scritto il numero 1,600 ks riguardo al numero
di cifre significative che possiede? Perché è ambiguo?
Perché può essere scritto in ognuna delle tre forme seguenti:
1,6 x103 s 2 cifre significative (1,6 ks)
1,60 x103 s 3 cifre significative (1,60 ks)
1,600 x103 s 4 cifre significative (1,600 ks)
È preferibile scrivere uno di questi tre numeri al posto di 1600, per
indicare quante cifre si conoscono effettivamente.
Quante cifre significative ci sono in:
2,8020 - 0,07380 - 6,50 x10-8 ?
CONCLUDENDO
Le cifre significative sono il minimo numero di cifre richieste
per esprimere un valore in notazione scientifica senza alcun
aumento di incertezza (perdita di accuratezza). Da D.C. Harris
Come si fa a determinare realmente l’incertezza e quindi il
numero delle cifre significative?
L’incertezza dipende
dall’operatore.
essenzialmente
dallo
strumento
e
L’ago sembra trovarsi a un valore di assorbanza di 0,346.
Diciamo che ci sono tre cifre significative poiché i numeri 3 e 4
sono del tutto sicuri mentre il numero 6 è approssimato. Il
valore potrebbe essere letto sia come 0,345 che come 0,347 da
due persone diverse, o anche di più: 0,344 oppure 0,348 (effetto
operatore per  0,002).
La trasmittanza percentuale è vicina a 45. Poiché in questo
punto la scala della trasmittanza è più ristretta, c’è probabilmente
più incertezza nell’ultima cifra della trasmittanza.
Una valutazione corretta dell’imprecisione potrebbe essere
44,7  0,2; nel numero 44,7 ci sono tre cifre significative.
Generalmente, nel leggere la scala di uno strumento o
apparecchiatura, bisognerebbe interpolare tra le divisioni
(tacche); tuttavia, normalmente è possibile arrotondare il valore
letto al decimo più vicino della distanza tra due divisioni.
Se si utilizza un righello millimetrato, si arrotonderanno le
distanze al più vicino decimo di millimetro.
Quindi su una buretta da 50 ml, che è graduata a 0,1 ml, si
leggerà il livello come arrotondato allo 0,01 mL più vicino.
Quanto si legge nella buretta? 23,54 mL  quanto? Cioè
quanto è l’incertezza?
0,01 ma qualche operatore con problemi di vista potrebbe
mettere  0,02 o anche  0,03
L’uso delle cifre significative e loro applicazione reale.
Cosa significa l’espressione “soluzione 0,0500 N”?
Significa che la concentrazione della soluzione è nota
esattamente fino alla quarta cifra decimale e che l’ultimo zero è
l’unica cifra incerta del numero; tutti gli zeri successivi alla prima
cifra significativa sono significativi, per cui in totale le cifre
significative sono tre, meglio scrivere:
5,00 x10-2 N.
Cosa vuol dire scrivere “21,46 mL” oppure “21,5 mL”?
Nel primo numero si hanno quattro cifre significative, di cui le
prime tre sono note con certezza (2 - 1 - 4), mentre l’ultima è
incerta (6  0,01).
Nel secondo numero solo la prima e la seconda sono certe (2 1), mentre l’ultima è incerta (5  0,1), per cui ha tre cifre
significative.
Le due misure sono state evidentemente eseguite con due
strumenti (burette, pipette etc) diversi.
Con l’espressione “matraccio tarato da 1000 mL” ci si riferisce
ad un volume noto con certezza fino alla terza cifra, essendo
sempre incerto l’ultimo (terzo) zero cioè la quarta cifra: 1000
mL.
Se lo stesso volume viene indicato con “1 L” oppure con “1 x 103
mL”, l’incertezza è molto maggiore, una sola cifra è disponibile
per la misura del volume.
All’ultima cifra significativa in una quantità misurata, quando
non è scritto diversamente, è sempre associata un’incertezza il
cui valore minimo sarebbe  1.
Esiste una convenzione circa il modo di scrivere l’ultima cifra
significativa per dare una indicazione approssimativa della sua
incertezza mediante l’uso di indici.
Per convenzione un numero che descrive una grandezza
sperimentale scritto come 82,16 è affetto da una incertezza di
0,01 unità.
Se il risultato è riportato come 82,16, la incertezza è maggiore di
0,01, cioè 0,02 o 0,03 o 0,04 ………...
In questo modo si ha un’indicazione approssimativa sulla
imprecisione dell’ultima cifra significativa.
Adottando questa convenzione si riducono tutte le regole
concernenti l’impiego delle cifre significative alla seguente:
Nello scrivere un numero che rappresenta una grandezza
sperimentale si usi quel numero di cifre significative che
esprime nel modo più approssimato possibile l’ incertezza
reale della misura, l’ultima cifra viene scritta come indice al
piede se l’errore su tale cifra è maggiore di 1.
CIFRE SIGNIFICATIVE E GRAFICI
Le suddivisioni di un foglio di carta millimetrata dovrebbero essere
compatibili col numero di cifre significative delle coordinate.
I grafici della figura seguente presentano suddivisioni differenti per
rappresentare i punti (0,46; 0,72) e (1,12; 1,58), quale dei due è il
più corretto?
Il grafico A non possiede suddivisioni sufficienti per poter
stabilire la posizione di un’unità di 0,01.
Nel grafico B ci sono linee corrispondenti ad ogni unità di 0,1, e
si può calcolare facilmente la posizione di un’unità di 0,01.
Normalmente, un grafico dovrebbe essere preciso almeno
quanto i dati da riportare. Pertanto è buona norma usare la carta
millimetrata con il maggior numero di suddivisioni reperibile; la
migliore è generalmente quella con 10 linee per centimetro.
Occorre poi scegliere le coordinate in modo che i dati vengano
ad occupare la maggior superficie possibile di foglio.
ARROTONDAMENTO
Come eseguire calcoli con dati la cui incertezza è indicata
soltanto dalla convenzione sulla cifra significativa? In queste
circostanze, bisogna fare assunzioni sull’incertezza di ogni
numero, basate sul buon senso. L’incertezza del risultato è allora
stimata usando la imprecisione espressa come deviazione
standard e le relative regole di propagazione. Alla fine il risultato
viene arrotondato in modo da contenere solo cifre significative. È
importante non ricorrere all’arrotondamento fino a quando il
calcolo non sia completato. Almeno una cifra in più dovrebbe
essere trattenuta per tutto il calcolo in modo da eliminare l’errore
di arrotondamento. Questa cifra extra è chiamata cifra di
“guardia”. I moderni calcolatori generalmente ritengono parecchie
cifre non significative e l’utilizzatore deve essere attento
all’arrotondamento finale in modo da includere solo cifre
significative.
Spesso è necessario ridurre le cifre in eccesso di un numero a
quelle strettamente significative, effettuando un arrotondamento.
→ Il criterio che sta alla base dell’arrotondamento alla cifra più
vicina è quello di evitare di aumentare o diminuire
sistematicamente i risultati attraverso successivi errori di
arrotondamento.
→ In media, metà degli arrotondamenti dovrebbe avvenire per
eccesso e l’altra metà per difetto.
→ L’arrotondamento può essere anche effettuato prima di una
operazione per ogni singolo termine o sul risultato finale
(meglio) considerando le seguenti regole:
Se la cifra da eliminare è inferiore a 5:
→ il numero che la precede non varia: 9,73  0,2 = …..
Se la cifra da eliminare è superiore a 5.
→ il numero che la precede è aumentato di uno: 2,970,1 =…..
Se la cifra da eliminare è 5
→ arrotondare sempre al numero pari più vicino:
3,45  0,1 si arrotonda a: …………
4,75  0,1 si arrotonda a: …………
Una buona indicazione da seguire quando si arrotonda un 5 è
sempre quella di arrotondarlo al numero pari più vicino. In
questo modo, si elimina la tendenza ad arrotondare in una
direzione stabilita. In altre parole, c’è una eguale probabilità che il
numero pari più vicino possa essere più basso o più alto di quello
dato.
Nell’arrotondamento del numero che finisce con 5, arrotondare
sempre al numero pari più vicino.
Bisogna sempre arrotondare i risultati di un’analisi chimica in
un modo appropriato.
Esempio: I seguenti risultati replicati: 61,60 - 61,46 - 61,55 - 61,61.
La media di questi dati è: 61,555 e la deviazione standard è
0,0686
Quando arrotondiamo la media, dobbiamo usare 61,55 o 61,56?
Si può scegliere di riportare il risultato come 61,56 ± 0,07
Quando ci sono molte cifre da eliminare quindi come si fa?
Nell’arrotondare occorre considerare tutte le cifre che si trovano
oltre la posizione decimale desiderata.
A. → Una regola suggerisce di arrotondare una cifra dopo l’altra
partendo dalla più lontana fino a quella dove cade l’incertezza.
Applicando la regola precedente:
0,2347654  0,001
0,234765
0,23476
0,2348
0,235  0,001
B. → Un’altra regola suggerisce di arrotondare tenendo conto di
tutte le cifre da eliminare oltre la posizione decimale
desiderata e considerando se tutte le cifre sono più vicine al
numero superiore o inferiore: 233,86537  0,1
233,9
perché 6537
è più vicino (>5) a 9 (cifra superiore) che a 8
(cifra inferiore).
In conclusione si deve scegliere una delle due regole e usare
sempre quella. Qui verrà di solito usata la regola A.
IL CALCOLO E LE CIFRE SIGNIFICATIVE
Spesso nei calcoli si hanno valori con un numero diverso di cifre
significative; l’incertezza di una determinata misura incide sul
risultato finale in maniera diversa a seconda delle operazioni
algebriche utilizzate.
Nei calcoli è il termine con il minor numero di cifre
significative che determina il risultato non potendo questo
avere una incertezza minore del valore più incerto.
Nell’addizione e nella sottrazione il numero delle cifre
significative del risultato è determinato da quella dell’addendo
più incerto:
Esempio:
75,24 +
54,7 =
129,94 quindi 129,9 o 130 ?
Perché viene mantenuta la stessa incertezza, cioè la prima cifra
dopo la virgola, anche se poi diventano quattro cifre
significative. Il numero delle cifre significative nel risultato
finale può essere superiore o inferiore a quella dei dati
originali.
Il grado dell’incertezza infatti dipende dallo strumento usato (le
cifre sono misure reali) e il fatto che nell’addizione si passi
dall’unità alle decine non deve alterare, anche in senso
negativo, l’incertezza che rimane sulla prima cifra dopo la
virgola, perché così abbiamo misurato con lo strumento.
Non possiamo essere più incerti di quella che è la realtà strumentale
Calcolare l’addizione: 7,004 + 54,26 + 213,5 = ……?
si esprime con un solo decimale come l’addendo 213,5; infatti le
cifre significative di un numero sono tutte note più la prima incerta.
Infatti, essendo nel terzo addendo incerta la prima cifra
decimale, la stessa incertezza si rifletterà nel valore da attribuire
alla somma che non può avere un grado di accuratezza
superiore al termine meno accurato.
Per eseguire la somma si possono, quindi, arrotondare gli
addendi alla prima cifra dopo la virgola: 7,0 + 54,3 + 213,5 =
È meglio arrotondare prima o dopo il calcolo?
È meglio arrotondare il risultato alla fine, perché effettuando
l’arrotondamento sulla risposta finale (non sui risultati
intermedi) si evita di accumulare gli errori di arrotondamento
per cui conviene fare sempre i calcoli con almeno una cifra in più
(meglio tutte quelle disponibili) ed arrotondare alla fine.
Nell’addizionare o sottrarre numeri scritti in notazione
scientifica, tutti i numeri dovrebbero essere prima espressi con lo
stesso esponente.
Ad esempio, per eseguire la seguente somma: 1,462 x105 +
5,226 x103 + 0,941 x106 = ….. Si può scrivere 1,462 x105 +
0,05226 x105 + 9,41 x105 = 10,924226 x105
La somma 10,924226 x105 si arrotonda a 10,92 x105 perché il
numero 9,41 x105 ci limita a due posizioni decimali quando tutti i
numeri sono espressi come multipli di 105.
Nel caso dell’addizione e della sottrazione, esprimere tutti i
numeri con lo stesso esponente e allinearli secondo il punto
decimale. Arrotondare il risultato secondo il numero di cifre
decimali del numero che ne presenta meno.
Nella divisione e nella moltiplicazione il risultato viene in genere
riportato con un numero di cifre significative pari a quelle del
valore che ne possiede meno di tutti.
Quante cifre significative nel risultato del seguente calcolo?
(1,37 X 2,671) : 0,55 = ……
Il risultato è con due cifre significative, quante sono contenute nel
numero meno preciso (0,55).
La stessa operazione effettuata dalla calcolatrice fornisce un
risultato pari a 6,653218182: poiché la calcolatrice non può
migliorare l’accuratezza dei dati originali che dipende dal metodo
e dallo strumento utilizzati, è corretto usare solo due delle molte
cifre fornite.
Per cui nel caso di moltiplicazione e divisione il numero di cifre
significative del risultato è determinato dal termine più incerto:
(7,5 x 3,544) : 0,4418 = …….?
L’arrotondamento può essere effettuato prima dell’operazione
per ogni singolo termine o sul risultato finale.
Nel caso della moltiplicazione e divisione si tende a mantenere
il numero delle cifre del termine più incerto, piuttosto che la
posizione dell’incertezza.