Interferenza
1.
L’interferenza
2.
Il principio di Huygens
3.
L’esperienza di Young
4.
L’interferometro di Michelson
5.
Interferenza su lamine sottili
6.
Schiera di fenditure
OTTICA
Natura della luce: Corpuscolare e ondulatoria
• Ottica geometrica
• Ottica fisica
Si ignora il carattere ondulatorio
della luce e si parla di raggi
luminosi che si propagano in linea
retta.
Si occupa della natura ondulatoria
della luce.
Fenomeni della RIFLESSIONE e
RIFRAZIONE: studio dei sistemi
ottici centrati.
Fenomeni quali INTERFERENZA,
DIFFRAZIONE e POLARIZZAZIONE.
Questi fenomeni non si possono
spiegare adeguatamente con l’ottica
geometrica, ma considerando la
natura ondulatoria della luce si
raggiunge
una
descrizione
soddisfacente.
1. L’interferenza
ovvero:
il trionfo dell’ottica ondulatoria
(Young, 1801-1803)
Tomas Young dimostrò sperimentalmente per primo la validità della teoria
ondulatoria della luce e ne misurò la lunghezza d'onda.
In generale si ha interferenza quando due o più onde dello stesso tipo e
stessa frequenza, con una differenza di fase costante tra di loro,
attraversano la stessa regione dello spazio nello stesso istante.
1. L’interferenza
Considerazioni introduttive.
Consideriamo due onde piane monocromatiche:
E1 (z, t )  E01cos(k1z  1t  1 )
E2 (z, t )  E02cos( k2 z  2t  2 )
per il principio di sovrapposizione:
Eris (z, t )  E(z, t )  E1 (z, t )  E2 (z, t )
ovvero:
E(z, t )  E01cos(k1z  1t  1 )  E02cos(k2 z  2t  2 )
l’interferenza
si noti,riguardo al periodo temporale:
E1 (t )  E01cos(1t  1 )
T1
E2 (t )  E02cos(2t  2 )
T2
E(t )  E1 (t )  E2 (t )
T = m.c.m.(T1, T2)
l’interferenza

impedenza caratteris tica del materiale

Z
quindi l’intensità luminosa associata a E è:
I  S
T
1

T
T

0
1
S (t ) dt 
T
T
E2
0 Z dt
T = m.c.m.(T1, T2)
ovvero:
T
T
T
T

1 ( E1  E2 ) 2
1 1
1
2
2
2
I 
dt 
E2 dt 
E1E2 dt  
  E1 dt 



T 0
Z
Z T 0
T 0
T 0

2 E01E02
 I1  I 2 
Z T
T
 cos(k z   t   ) cos(k z   t   ) dt
1
1
1
2
0
se 1  2 l'integrale si annulla:
I  I1  I 2
1  2
2
2
l’interferenza

2

2

2
1

1

1
0
0
0
0 per m  n
cosmx cos nx dx  
 1 per m  n
0 per m  n
sin mx sin nx dx  
 1 per m  n
cosmx sin nx dx  0  m, n
l’interferenza
prendiamo invece 1 = 2 =  (segue: k1= k2 = k)
ponendo:
  kz  t  1  fase
    kz  t  2
e
d  dt  2 dtT
ovvero:   2  1  fase relativa
si ha:
2 E01E02
I  I1  I 2 
Z T
2 E01E02
 I1  I 2 
Z 2
T
 cos(k z   t   ) cos(k z   t   ) dt
1
1
1
0
2
 cos cos(  ) d
0
2
2
2

l’interferenza
2 E01E02
I  I1  I 2 
Z 2
2
 cos cos(  ) d
0
sviluppando cos(+) = coscos - sin sin , e considerando che:
cosα sinα
T
 0,
cos 2α
T
 1
2
si ha:
E01E02
E01 E02
I  I1  I 2 
cos  I1  I 2 
cos
Z
Z Z
ovvero:
I  I1  I 2  2 I1I 2 cos
con   2  1
interferenza di
due onde
monocromatiche
l’interferenza
si noti:
I  I1  I 2  2 I1I 2 cos  I1  I 2
in particolare, se I1 = I2 = I0 si ha:
I  2I 0  2I 0 cos  2I 0 (1  cos)
I
interferenza di
due onde con
uguale ampiezza
I = Imax = 4I0 se  = ±2m
onde in fase
4I0
I = 2Io se  = ±(2m+1/2)
onde in quadratura
2I0
-5
-3
-

3
5

I = Imin = 0 se  = ±(2m+1)
onde in opposizione di fase
l’interferenza
I  2I 0 
2 I 0 cos  2I 0 (1  cos)
importante!
  1 - 2 = cost. in t
si ha interferenza
onde mutualmente coerenti
(coerenza temporale)
l’energia si ridistribuisce
altrimenti, se:
  1 - 2 = variabile
no interferenza
onde incoerenti
I  I1  I 2
Introduciamo ora:
2. Il principio di Huygens
“Ogni punto del fronte d’onda diviene sorgente di un’onda sferica”
Introduciamo ora:
2. Il principio di Huygens
“Ogni punto del fronte d’onda diviene sorgente di un’onda sferica”
fronte d’onda
diaframma
onda sferica
onda piana
l’interferenza
3. L’esperimento di Young
schermo
frange
scure
sorgente
puntiforme
S
fenditure
luce + luce = buio!
3. L’esperimento di Young: descrizione qualitativa
3. L’esperimento di Young: descrizione qualitativa
L’esperimento di Young
l’interpretazione ondulatoria
diaframma
onde sferiche
P
s
s’
S1
S

D
S2
coerenti

s
schermo
le due onde arrivano in P con una differenza di percorso (cammino) s:
s = s’ - s = Dsin
l’esperimento di Young
I
diaframma
s
E1
s’
S1

D
S2
buio
E
luce
onde sferiche
E2
luce
buio
luce
buio

luce
buio
s = s’ - s = Dsin
E 
luce
buio
s
E  E1 (t )  E2 (t ) 
buio
E0
s
cos( ks  t  ) 
E0
s'
E0
cos(ks  t  )  cos(ks'  t  ) 
L
2
ovvero: l 
D sin θ

cos( ks'  t  )
luce
  l = k(s - s’)
“cammino ottico”
I  2 I 0  2 I 0cosl  2 I 0 (1  cosl )
I
l’esperimento di Young
s
S1
s = Dsin
S2
s’

D
y
s
L
y  L sin 
buio
luce
buio
luce
buio
luce
buio
luce
buio
luce
buio
luce

 2



I  2 I 0 (1  cosl )  2 I 0 1  cos
D sin θ   4 I 0cos 2  D sin θ 
 





I = 4I0 se s  2m
2
I

sin θ  m
4I 0
D

2
(2m  1) 
sin θ 
2
D
I = 0 se s  (2m  1)
m  0, 1, 2, 3, . . . .
0

2D

D
3
2D
2
D
5
2D
sin 
I
l’esperimento di Young
s
S1

DD
S2
y
s’

s
y  L sin 
L
buio
luce
buio
luce
buio
luce
buio
luce
buio
luce
buio
luce
si noti la distanza fra i massimi sullo schermo:
(sin ) 
λ
D
I
L
D
4I 0
λ
y  L
D
0
L
2D
L
D
3L
2D
2 L
D
5 L
2D
y
l’esperimento di Young
effetto di uno spostamento
della sorgente puntiforme
struttura compatta
tramite l’uso di una lente
I
buio
luce
buio
diaframma
s
S’’’
S’
luce
buio
S1

S
S’’
S’’’’
S2
sorgenti estese non danno
interferenza alla Young
la radiazione da sorgenti estese
non ha coerenza spaziale
s’
luce
buio
luce
buio
luce
buio
buio
luce
luce
buio
buio
luce
buio
luce
buio
luce
buio
luce
luce
l’esperimento di Young
effetto di una sorgente puntiforme
non monocromatica


I  2 I 0 (1  cosl )  4 I 0cos 2  D sin θ 


2I0
S1
sorgente
bianca
frangia
bianca

D
4I0
S
S2
s
se /D  1 non c’è
interferenza alla Young
la radiazione non ha sufficiente
coerenza temporale
I
0
1  2
D D
21
D
2 2
D
sin 
Esercizio
Si immagini di voler realizzare un esperimento di Young con due fenditure separate di
0,1 mm ed una distanza diaframma-schermo di 50 cm. Se si osserva una separazione tra
due massimi (o minimi) consecutivi di 2,5 mm, qual è la lunghezza d’onda della luce che
illumina le fenditure?
I
s
S1

D
S2
s’
y
s
L
λ
y  L
D


yD 0,25cm  0,01cm
5


 5,0 10 cm  5000 A
L
50cm
y
Esercizio
Due altoparlanti collegati ad un unico audio amplificatore sono separati di 5 m.
Camminando lungo una linea retta parallela alla congiungente gli altoparlanti e distante
da essa 100 m, a quale distanza si percepiscono due massimi (o minimi) consecutivi? Si
supponga  = 30 cm.
D=5mD
L=100 m
λ 100m  0,3m
y  L 
 6,0m
D
5,0m
y
I intensità suono
4. L’interferometro di Michelson
specchio
fisso
I
I0
s

2
0
λ
3λ
2
2λ
5λ
2
s  2( s' s)
s
specchio
semiriflettente
specchio
mobile
S

s  2m
2
I = I0

s  (2m  1)
2
I=0
s’
I  2 I 0 (1  cosl )
l 
2
s

linterferometro di Michelson
quello che conta
è il cammino ottico
specchio
fisso
s
s  2( s' s)  0
n
specchio
semiriflettente
S
s’
linterferometro di Michelson
applicazioni all’ingegneria ambientale e civile
S
interferometro
specchio
(mobile)
diga
controllo di posizione con risoluzione <  4
considerazioni sul cammino ottico
per un’onda monocromatica la fase dipende dal cammino ottico:
E(z, t1 )  E0cos(kz  t1  )
E(z, t2 )  E0cos[k ( z  s)  t2  ]
z
nel vuoto:
s
l  ks 
2
s
λ0
in un mezzo con indice di rifrazione n si ha:
E(z, t1 )  E0cos(k ' z  t1  )
E(z, t2 )  E0cos[k ' ( z  s)  t2  ]
n
nel mezzo:
s
z
2
2
l '  k ' s 
s 
ns
λ
λ0
considerazioni sul cammino ottico
ciò vale ovviamente anche allo stesso istante t
E(z, t )  E0cos(kz  t  )
E(z, t )  E0cos[k ( z  s)  t  ]
z
nel vuoto:
s
E(z, t )  E0cos(k ' z  t  )
l  ks 
2
s
λ0
E(z, t )  E0cos[k ' ( z  s)  t  ]
n
z
s
nel mezzo:
2
2
l '  k ' s 
s 
ns
λ
λ0
5. Interferenza su lamina sottile
n1<n2: + 
luce monocromatica

D
n1 = 1

C
A
n
n1 = 1

’
d
B

s  ABC n  AD  2 AB n  AC sin   2 AB n  2 AB sin ' sin  
 2 AB n  2 AB sin ' n sin '  2 AB n(1  sin 2' )  2 AB n cos 2'  2nd cos'
2
2
quindi:  
s 
(2nd cos' )
λ0
λ0
ma:
linterferenza su lamina sottile
quindi:

2ndcos'  2m
2
interferenza
distruttiva
frangia
scura

2ndcos'  (2m  1)
2
interferenza
costruttiva
frangia
chiara
a d fissato non dipendono
dalla posizione sulla lamina
luce monocromatica

D

n
C
A
’
frange di uguale inclinazione
B
d
interferenza su lamine sottili

2ndcos'  (2m  1)
2

2ndcos'  2m
2
non dipende dalla posizione ma da :
funziona anche con sorgenti estese
chiara
n1
scura
n2
chiara
n1
d
frangia
chiara
frangia
scura
interferenza su lamine sottili
incidenza quasi-normale
dm
s  2ndcos'  2nd
0
2n
d  (2m  1)
frangia
scura
0
4n
frangia
chiara
lamine a spessore variabile: frange di ugual spessore
una frangia ogni /2
n1
5 0
4 n
n2
3 0
4 n
1 0
4 n
n1
misure di spessore
in pellicole trasparenti
misure di riscontro superfici piane
0
interferenza su lamine sottili
misure di riscontro superfici piane
interferenza su lamine sottili
incidenza quasi-normale
dm
0
2n
d  (2m  1)
frangia
scura
0
4n
frangia
chiara
rivestimenti anti-riflesso
R < 0.1%
condizione di
frangia scura
per n < n2
n1 = 1
1 0
4 n
n2 < n < n1
n2 > n
interferenza su lamine sottili
incidenza quasi-normale
sorgenti non monocromatiche (luce bianca)
d  (2m  1)
0
4n
frangia
chiara
aria
olio, benzina
n1
acqua
n2
n1
pellicole a spessore variabile
0
interferenza su lamine sottili
aria
acqua saponata
aria
aria
olio, benzina
acqua
Riepilogo: l’interferenza
I  I1  I 2  2 I1I 2 cos
esperimento di Young
due sorgenti puntiformi
due onde piane
interferometro di Michelson
 
con
2
s  2  1
λ0
I = 0 se
s  Dsin   (2m  1)
IMAX se
s  Dsin   2m
I = 0 se s  2n d cos '  2m
riflessione su
lamine sottili
2
λ0
2
λ0
2
IMAX se s  2n d cos '  (2m  1)
2
 n1, n2
incidenza normale
I = 0 se d  m
λ0
2
λ0
2
1 λ0
n2 2
IMAX se d  (2m  1)
1 λ0
n2 4
Esercizio numerico
4.1 Si immagini di voler realizzare un esperimento di Young con luce di lunghezza
d’onda 0 = 0.632 m e lo schermo a L = 2 m dalle fenditure. Calcolare quanto devono
essere distanti le fenditure perché due massimi successivi sullo schermo distino 1 mm.
Esercizio numerico
4.2 Un interferometro di Young a due fenditure distanti D = 1 mm è illuminato da
un’onda piana monocromatica con 0 = 0.6 m che si propaga nella direzione x normale
allo schermo. In tali condizioni si ha in O un massimo di intensità. Calcolare il valore
minimo di cui si deve inclinare il fronte d’onda rispetto a x perché in O si abbia un
minimo di intensità.
Esercizio numerico
4.4 Due fasci paralleli, provenienti dalla stessa sorgente monocromatica S (0 = 5890 Å)
vengono fatti passare attraverso due tubi vuoti di uguale lunghezza l = 20 cm e quindi
interferiscono producendo sullo schermo un sistema di frange di interferenza. Se uno dei
due tubi viene riempito d’aria la frangia centrale si sposta nella posizione che prima
occupava la 98 -esima frangia. Determinare l’indice di rifrazione dell’aria.
Esercizio numerico
4.5 Due lastrine di vetro rettangolari con facce piane e parallele, poste una sull’altra,
formano un piccolo angolo  fra di loro. Illuminate con luce monocromatica di
lunghezza d’onda 0 = 6328 Å ad incidenza normale mostrano in riflessione N = 10
frange di interferenza per centimetro di lunghezza. Determinare l’angolo .
Esercizio numerico
4.6 Una pellicola di acqua saponata in aria dello spessore d = 2900 Å viene illuminata
con luce bianca incidente normalmente. Assumendo per l’indice di rifrazione della
pellicola n = 1.33, determinare il colore che predominerà nella luce riflessa.
6. Schiera di fenditure (di sorgenti)
P
S1
S2
S3
S4
S5
S6
d
d
d
d
d

D
d sin 
Differenza di fase tra le onde provenienti da due fenditure consecutive:
l  kd sin  
2d

sin 
Campo elettrico totale in P
E  E0 {sin( kx  t )  sin( kx  t  l )  sin( kx  t  2l ) 
 sin( kx  t  3l )  sin( kx  t  4l )  sin( kx  t  5l )}
Utilizziamo il metodo dei fasori
l
l
E0
l
 R sin
2
2
  6l
l
 
E  2 R sin  
2
R
/2
l
l/2
l
R
l
E0

Dalle relazioni precedenti, eliminando R, si ottiene:
sin 6l / 2
E  E0
sin l / 2
sin Nl / 2
E  E0
sin l / 2
e quindi l’intensità è
sin Nl / 2
I  I0
2
sin l / 2
2
Poniamo
l
2


Massimi principali: per
I  I0
sin N
sin 
   m con m  0, 1, 2, ...
si annullano sia il numeratore che il denominato re,
sin N N cos N
ma lim

 N  I  N 2I0
 0 sin 
cos 
Posizione dei massimi principali:
l
d sin 
 
  m
2

sin   m

d
con m  0,1,2, ...
con m  1,2,3, ...
Minimi : al di fuori dei valori precedenti, il denominatore non si annulla mai,
invece il numeratore si annulla anche per
sen Nα  0 per N   m'  con m'  0, 1, 2, ...
in questi punti I  0
Esempio.
Per N = 4
 1 
2 

4

 l 

l 

2
2
 l  
2
3
3
3 
 l 
4
2
 4    l  2

non accettabil e
Tra due massimi principali ci sono N – 1 minimi
l  
3
l 
2
Massimi secondari: Poiché l’intensità è una funzione di  sempre positiva, tra
due minimi deve esistere un massimo (secondario), quindi tra due massimi
principali ci sono N-2 massimi secondari.
Le posizioni dei massimi secondari si ottengono ponendo
sin N  1
da cui

In questi punti
Esempio.
Per N = 4
I  I0

2
N   2m  1
''
con m ''  1,2,3, ...

1


2m  1 
 sin
2N

''



2

I max



2m  1 
N  sin
2N

3
3
 1 
 l 
8
4
5
5
2 
 l 
8
4

non accettabil e
2
''



2
Grafico dell’intensità nell’interferenza
di 8 fenditure equispaziate
l    180
Massimi principali
l  0, 2 , 4 , ....
I  N 2 I0
Minimi
Tra 2 massimi principali
ci sono N-1 minimi in cui
I 0
Poiché l’intensità è una funzione di  sempre
positiva, tra due minimi deve esistere un massimo
(secondario), quindi tra due massimi principali ci
sono N-2 massimi secondari.
l 

4
l 
 45

2
 90
Grafico dell’intensità nell’interferenza di 2, 8, 16 fenditure equispaziate
N=2
Per N → ∞
N=8
N = 16
N=5
MAX PRINC
MAX PRINC
Imax ∝ N2
I ∝ 1/N2
MAX
SEC
min
MAX
SEC
min
MAX
SEC
min
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