Cap. IV Interferenza
1. L’interferenza
2. Il principio di Huygens
3. L’esperienza di Young
4. L’interferometro di Michelson
5. Interferenza su lamine sottili
esperimenti di interferenza
1801 L’esperimento di Young
diaframma
2 fenditure
aperte
schermo
frange
scure
sorgente
puntiforme
S
fenditure
luce + luce = buio!
1. L’interferenza
ovvero:
il trionfo dell’ottica
ondulatoria (Young, 1802)
Considerazioni introduttive
Consideriamo due onde piane monocromatiche:
E1 (z, t )  E01cos(k1z  1t  1 )
E2 (z, t )  E02cos( k2 z  2t  2 )
per il principio di sovrapposizione:
Eris (z, t )  E(z, t )  E1 (z, t )  E2 (z, t )
ovvero:
Eris (z, t )  E01cos(k1 z  1t  1 )  E02cos(k2 z  2t   2 )
l’interferenza - dimostrazione
si noti,riguardo al periodo temporale T 
2

E1 (t )  E01cos(1t  1 )
T1
E2 (t )  E02cos(2t  2 )
T2
Eris (t )  E1 (t )  E2 (t )
T = m.c.m.(T1, T2)
l’interferenza - dimostrazione
quindi l’intensità luminosa associata a Eris è:
I  S
T
1

T
T

0
1
S (t ) dt 
T
T
E2
0 Z dt
T = m.c.m.(T1, T2)
ovvero:
T
T
T
T

1 ( E1  E2 ) 2
1 1
1
2
2
2
I 
dt 
E2 dt 
E1E2 dt  
  E1 dt 



T 0
Z
Z T 0
T 0
T 0

2 E01E02
 I1  I 2 
Z T
T
 cos(k z   t   ) cos(k z   t   ) dt
1
1
1
2
2
0
Si può dimostrare che se 1  2 l'integrale si annulla:
I  I1  I 2
se 1  2
2
l’interferenza - dimostrazione
prendiamo invece 1 = 2 =  (segue: k1= k2 = k)
poniamo:   kz  t  1  fase dell'onda 1
e
  kz  t  2   kz  t  1   2  1  fase relativa
ovvero:     kz  t  2
avremo quindi:
E1 (z, t )  E01cos(k1 z  1t  1 )  cos 
E2 (z, t )  E02cos(k2 z  2t   2 )  cos   
inoltre:
d  dt  2 dtT
l’interferenza - dimostrazione
con le sostituzioni:
E1 (z, t )  E01cos(k1 z  1t  1 )  cos 
E2 (z, t )  E02cos(k2 z  2t   2 )  cos   
d  dt  2 dtT
l’integrale per l’intensità luminosa diventa:
2 E01E02
I  I1  I 2 
Z T
2 E01E02
 I1  I 2 
Z 2
T
 cos(k z   t   ) cos(k z   t   ) dt
1
1
1
0
2
 cos cos(  ) d
0
2
2
2

l’interferenza
2 E01E02
I  I1  I 2 
Z 2
2
 cos cos(  ) d
0
sviluppando il cos(A+B) e considerando che:
cosα sinα
T
 0,
cos 2α
T
 1
2
si ha:
E01E02
E01 E02
I  I1  I 2 
cos  I1  I 2 
cos
Z
Z Z
ovvero:
I  I1  I 2  2 I1I 2 cos
con   2  1
interferenza di
due onde
monocromatiche
l’interferenza
si noti:
I  I1  I 2  2 I1I 2 cos  I1  I 2
in particolare, se I1 = I2 = I0 si ha:
I  2I 0  2I 0 cos  2I 0 (1  cos)
I
interferenza di
due onde con
uguale ampiezza
I = Imax = 4I0 se  = ±2m
onde in fase
4I0
I = 2Io se  = ±(2m+1/2)
onde in quadratura
2I0
-5
-3
-

3
5

I = Imin = 0 se  = ±(2m+1)
onde in opposizione di fase
l’interferenza
I  2I 0 
=0
onde in fase
2 I 0 cos  2I 0 (1  cos)
 = /2
onde in quadratura
=
onde in opposizione di fase
E1
t
E2
t
4I0
2I0
Eris
I=0
t
interferenza costruttiva
interferenza distruttiva
l’interferenza
I  2I 0 
2 I 0 cos  2I 0 (1  cos)
importante!
  kz  t  2   kz  t  1   costante in t
si ha
interferenza
onde mutuamente coerenti
(coerenza temporale)
l’intensità si ridistribuisce
altrimenti, se:
 = variabile in t
no interferenza
onde incoerenti
I  I1  I 2
l’interferenza
I  2I0 
2 I 0 cos   2 I 0 (1  cos  )
  kz  t   2   kz  t  1 
quindi:
 variabile in t significa 1  2 ovvero:
1) Radiazione con due o più frequenze diverse: 1  2  3 ….
2) Radiazione con uno spettro continuo di frequenze I()
I()

Inoltre, si noti che abbiamo assunto:
  kz  t  2   kz  t  1   2  1
le onde però possono provenire da origini diverse:
  kz2  t  2   kz1  t  1   2  1  k z2  z1 
z1
S1
S2
z2
z
s
ovvero, presentare una differenza di cammino geometrico s:
  k z  s   t  2   kz1  t  1   2  1  ks
z1
S1
S2
z
z2
Si noti che, data la differenza di cammino geometrico s:
  k z  s   t  2   kz1  t  1   2  1  ks
si definisce cammino ottico il termine:
l  ks 
2

s
Considerazioni sul cammino ottico
per un’onda la fase in un certo punto dipende dal cammino ottico:
E(z, t )  E0cos(kz  t  )
E(z, t )  E0cos[k ( z  s)  t  ]
z
nel vuoto:
s
E(z, t )  E0cos(k ' z  t  )
l  ks 
2
s
λ0
E(z, t )  E0cos[k ' ( z  s)  t  ]
n
z
s
nel mezzo:
l '  k ' s 
2
2
s 
ns
λ'
λ0
effetti di interferenza
3. L’esperimento di Young
diaframma
2 fenditure
1 fenditura
aperte
aperta
schermo
frange
scure
sorgente
puntiforme
S
fenditure
luce + luce = buio!
L’esperimento di Young
in opposizione
di fase
l’interpretazione ondulatoria
BUIO
diaframma
Onda piana
S1
D
onde sferiche
P
mutuamente
coerenti
S2
schermo
L’esperimento di Young
l’interpretazione ondulatoria
diaframma
Onda piana
S1
P
D
LUCE
S2
schermo
in fase
L’esperimento di Young
l’interpretazione ondulatoria
diaframma
P
s
Onda piana
s’
S1

D
S2

schermo
s
le due onde arrivano in P con una differenza di percorso geometrico s:
s = s’ - s  Dsin
se  << 1
l’esperimento di Young
I
diaframma
E1
s
s’
S1

D
S2
buio
E
luce
onde sferiche
E2
luce
buio
luce
buio

luce
buio
s = s’ - s = Dsin
E 
luce
buio
s
E  E1 (t )  E2 (t ) 
buio
E0
s
E “cammino ottico”
cos( ks  t  )  0 cos(
ks'  t  )
s'
E0
cos(ks  t  )  cos(ks'  t  ) 
L
2
ovvero: l 
D sin θ

luce
  l = k(s - s’)
I  2 I 0  2 I 0cosl  2 I 0 (1  cosl )
l’esperimento di Young
I
diaframma onde sferiche
s
E
S1
1 
D
S2

s
E
2
s’
buio
E
luce
buio
luce
buio
luce
buio
luce
buio
luce
buio
luce
I
l’esperimento di Young
s
S1
s = Dsin
S2
s’

D
y
s
L
buio
luce
buio
luce
buio
luce
buio
luce
buio
luce
buio
luce

 2



I  2 I 0 (1  cosl )  2 I 0 1  cos
D sin θ   4 I 0cos 2  D sin θ 
 





I = 4I0 se s  2m
2
I

sin θ  m
4I 0
D

2
(2m  1) 
sin θ 
2
D
I = 0 se s  (2m  1)
m  0, 1, 2, 3, . . . .
0

2D

D
3
2D
2
D
5
2D
sin 
I
l’esperimento di Young
s
S1
y  L sin 
s’

D
S2
y
s
L
buio
luce
buio
luce
buio
luce
buio
luce
buio
luce
buio
luce
si noti la distanza fra due massimi (minimi) consecutivi sullo schermo:
(sin ) 
λ
D
λ
y  L
D
I
L
D
4I 0
0
L
2D
L
D
3L
2D
2 L
D
5 L
2D
y
I
l’esperimento di Young
s
S1
λ
y  L
D
s’

D
S2
y
s
L
ad esempio:
I
L 1 m
buio
luce
buio
luce
buio
luce
buio
luce
buio
luce
buio
luce
L
D
4I 0
λ  500 nm
D  1 mm

y  L
0

D
L
2D
L
D
3L
2D
0.500  10
 1
 0.5 mm
10
6
3
2 L
D
5 L
2D
y
l’esperimento di Young
avvicinamento dello schermo e struttura
compatta tramite l’uso di una lente
I
buio
luce
diaframma
s
buio
S1

D
S2

s’
luce
buio
luce
buio
luce
buio
luce
buio
luce
l’esperimento di Young
effetto di uno spostamento
della sorgente puntiforme
I
buio
luce
buio
diaframma
s
S3
S1

S0
S2
S4
s’
sorgenti estese non danno
interferenza alla Young
la radiazione da sorgenti estese
non ha coerenza spaziale
luce
buio
s’
luce
buio
luce
buio
luce
buio
buio
luce
luce
buio
buio
luce
buio
luce
buio
luce
buio
luce
luce
l’esperimento di Young
effetto di una sorgente puntiforme
non monocromatica


I  2 I 0 (1  cosl )  4 I 0cos 2  D sin θ 


I = 4I0 se

s  2m
2
I = 0 se
s  (2m  1)
I
4I 0

2
m  0, 1, 2, 3, . . . .
0
la posizione e larghezza delle frange
dipende dalla lunghezza d’onda
1  2
D D
21
D
2 2
D
sin 
l’esperimento di Young
effetto di una sorgente puntiforme
non monocromatica


I  2 I 0 (1  cosl )  4 I 0cos 2  D sin θ 


2I0
S1
sorgente
bianca
frangia
bianca

D
4I0
S
S2
s
I
solo se  <<  c’è
interferenza alla Young
la radiazione deve avere
sufficiente coerenza temporale
0
1  2
D D
21
D
2 2
D
sin 
4. L’interferometro di Michelson
specchio
fisso
I
I0
s

2
0
λ
3λ
2
2λ
5λ
2
s  2( s' s)
s
specchio
semiriflettente
specchio
mobile
S

s  2m
2
I = I0

s  (2m  1)
2
I=0
s’
I  2 I 0 (1  cosl )
l 
2
s

linterferometro di Michelson
quello che conta
è il cammino ottico
specchio
fisso
s
l
n
sB 
s2A[s'2((ss'ls))  nl ]
specchio
semiriflettente
S

 (2m  1)
sBA 
2
II=I00
s’
considerazioni sul cammino ottico
per un’onda monocromatica la fase dipende dal cammino ottico:
E(z, t )  E0cos(kz  t  )
E(z, t )  E0cos[k ( z  s)  t  ]
z
nel vuoto:
s
E(z, t )  E0cos(k ' z  t  )
l  ks 
2
s
λ0
E(z, t )  E0cos[k ' ( z  s)  t  ]
n
z
s
nel mezzo:
2
2
l '  k ' s 
s 
ns
λ'
λ0
linterferometro di Michelson
applicazioni all’ingegneria ambientale e civile
x
S
interferometro
specchio
(mobile)
diga
controllo di posizione con risoluzione x <  4
linterferometro di Michelson
applicazioni all’ingegneria ambientale e civile
Dal sito del’ESA:
...Quando nel '95 ERS-1 è stato raggiunto da ERS-2, ci siamo
trovati in orbita due satelliti identici e ne abbiamo approfittato per
mettere a punto una tecnica del tutto nuova per l'osservazione della
Terra: una tecnica basata sull'interferometria. I due satelliti hanno a
bordo uno strumento, il SAR, che permette di "mappare" la
superficie terrestre con grande accuratezza, fino ad arrivare a
scoprire spostamenti verticali del terreno dell’ordine di qualche
millimetro, per esempio nel caso di terremoti, aree vulcaniche e
aree di subsidenza. In pratica, il SAR è un'antenna che manda delle
microonde (radiazione di lunghezza d'onda di circa 6 cm) verso la
Terra e ne acquisisce l'eco.
Riepilogo: l’interferenza
I  I1  I 2  2 I1I 2 cos
I
S1
D

S2
s
diaframma

P
s2
 
2
(n1s1  n2 s2 )  2  1
λ0
I1  I 2  I s
1) l’esperienza di Young
s1
con
 
2
2
2
s 
( s1  s2 ) 
Dsin 
λ0
λ0
λ0

2

s  2m
2
I = 0 se s  (2m  1)
IMAX se
Riepilogo: l’interferenza
I  I1  I 2  2 I1I 2 cos
con
 
2
(n1s1  n2 s2 )  2  1
λ0
più in generale:
interferenza tra due sorgenti puntiformi
I1  I 2  I s
 
S1
D
S2
P
s1

s

s2
2
2
2
s 
( s1  s2 ) 
Dsin 
λ0
λ0
λ0

2

s  2m
2
I = 0 se s  (2m  1)
IMAX se
Riepilogo: l’interferenza
I  I1  I 2  2 I1I 2 cos
2) l’interferometro di Michelson
con
 
2
(n1s1  n2 s2 )  2  1
λ0
I1  I 2 
I0
4
2
2
 
s 
2( s1  s2 )
λ0
λ0
s1
S
s2

2

s  2m
2
I = 0 se s  (2m  1)
IMAX se
Esercizio numerico
5.1 Si immagini di voler realizzare un esperimento di Young con luce di lunghezza
d’onda 0 = 0.632 m e lo schermo a L = 2 m dalle fenditure. Calcolare quanto devono
essere distanti le fenditure perché due massimi successivi sullo schermo distino 1 mm.
l’esperienza di Young
D

S2
P
s1
S1
s
I
s2

L
Esercizio numerico
5.2 Un interferometro di Young a due fenditure distanti D = 1 mm è illuminato da
un’onda piana monocromatica con 0 = 0.6 m che si propaga nella direzione x normale
allo schermo. In tali condizioni si ha in O un massimo di intensità. Calcolare il valore
minimo di cui si deve inclinare il fronte d’onda rispetto a x perché in O si abbia un
minimo di intensità.
S1
s1
D
O
s2
S2

s
s1
D
s2
O
Esercizio numerico
5.3 Due fasci paralleli, provenienti dalla stessa sorgente monocromatica S (0 = 5890 Å)
vengono fatti passare attraverso due tubi vuoti di uguale lunghezza l = 20 cm e quindi
interferiscono producendo sullo schermo un sistema di frange di interferenza. Se uno dei
due tubi viene riempito d’aria la frangia centrale si sposta nella posizione che prima
occupava la 98 -esima frangia. Determinare l’indice di rifrazione dell’aria.
L
S
Prova di esame del corso di Fisica 4 A.A. 2002/3
5.4 In un esperimento di interferenza alla Young effettuato con un’onda piana con
lunghezza d’onda nel vuoto 0 = 632 nm, si pone una lastra di vetro a facce piane e
parallele di spessore t e indice di rifrazione n = 1.45 davanti a una delle due fenditure.
Calcolare il più piccolo valore di t affinché si abbia in O un minimo di intensità.
t
O
Modello di interferenza su lamina sottile
(incidenza quasi-normale)
+
vedi cap. 3
luce monocromatica

D
n1

C
A
n
’
B
n1


 
d
 


s  ABC n  AD n1  2 AB n  AC sin  n1  2 AB n  2 AB sin  ' sin   n1 
 2 AB n  2 AB sin ' n sin '  2 AB n(1  sin 2' )  2 AB n cos 2'  2nd cos'
2
2
quindi:  
s 
(2nd cos' )
λ0
λ0
ma:
E0' i  
sin θ i  θ r 
 
E0i  
sin θ i  θ r 
(7)
E’i sfasato di

rispetto a Ei
se n2 > n1
relazione di Fresnel
per i campi
// 
E0i // 
E0' i

tgθi  θ r 
tgθi  θ r 
(8)
E’i sfasato di 
rispetto a Ei
se n2 < n1
per (i + r)</2
linterferenza su lamina sottile
quindi, diversamente dal solito:

2ndcos'  2m
2
interferenza
distruttiva
frangia
scura

2ndcos'  (2m  1)
2
interferenza
costruttiva
frangia
chiara
a d costante non dipendono
dalla posizione sulla lamina
luce monocromatica

D

n
C
A
’
frange di uguale inclinazione
B
d
interferenza su lamine sottili: d costante
non dipende dalla posizione ma da :
funziona anche con sorgenti estese

2ndcos'  (2m  1)
2
frangia
chiara

2ndcos'  2m
2
frangia
scura
luce monocromatica
chiara
n1
scura
n
chiara
n1
d
interferenza su lamine sottili
fissando : incidenza quasi-normale
dm
s  2ndcos'  2nd
0
2n
d  (2m  1)
frangia
scura
0
4n
frangia
chiara
lamine a spessore variabile: frange di ugual spessore
una frangia ogni /2
n1
5 0
4 n
n
3 0
4 n
1 0
4 n
n1
misure di spessore
in pellicole trasparenti
misure di riscontro superfici piane
0
interferenza su lamine sottili
misure di riscontro superfici piane
interferenza su lamine sottili
incidenza quasi-normale
Applicazioni: rivestimenti anti-riflesso
interferenza
distruttiva
n1 = 1
Attenzione!
condizione di
frangia scura
perché n2 > n
1 0
4 n
per obiettivi fotografici,
occhiali, celle solari (nSi = 3.5)
n2 < n < n1
n2 > n
si ottiene R < 0.1%
interferenza su lamine sottili
incidenza quasi-normale
sorgenti non monocromatiche (luce bianca)
d  (2m  1)
0
4n
frangia
chiara
i colori dell’iride
in sequenza
aria
olio, benzina
n1
acqua
n
n1
pellicole a spessore variabile
0
interferenza su lamine sottili
aria
acqua saponata
aria
aria
olio, benzina
acqua
Riepilogo: l’interferenza
I  I1  I 2  2 I1I 2 cos
con
3) lamine sottili
2
(n1s1  n2 s2 )  2  1
λ0
 
+
luce monocromatica

D
n1

C
A
n2
n1
s  2n2dcos'
’
d
B
I = 0 se s  2n d cos '  2m
2

2
IMAX se s  2n d cos '  (2m  1)
2
 n1, n2

2
Riepilogo: l’interferenza
I  I1  I 2  2 I1I 2 cos
con
 
2
(n1s1  n2 s2 )  2  1
λ0
3b) lamine sottili - incidenza normale
n1
n2
luce monocromatica
5 0
4n
n1
s  2n2dcos '  2n2d
3 0
4n
1 0
4n
B
1 λ
n2 2
I = 0 se
d m
IMAX se
d  (2m  1)
 n1, n2
1 λ
n2 4
Riepilogo: l’interferenza
I  I1  I 2  2 I1I 2 cos
esperimento di Young
due sorgenti puntiformi
due onde piane
interferometro di Michelson
 
con
2
s  2  1
λ0
I = 0 se
s  Dsin   (2m  1)
IMAX se
s  Dsin   2m
I = 0 se s  2n d cos '  2m
riflessione su
lamine sottili
2
λ0
2
λ0
2
IMAX se s  2n d cos '  (2m  1)
2
 n1, n2
incidenza normale
I = 0 se d  m
λ0
2
λ0
2
1 λ0
n2 2
IMAX se d  (2m  1)
1 λ0
n2 4
coerenza temporale
Attenzione! Si ricordi che:
alcuni degli effetti descritti si verificano solo per luce monocromatica, ovvero a
condizione che:
ω  1  1
tc
tm
I()

spettro di potenza

con:
tc  tempo di coerenza
tm  tempo di osservazione (misura)
Cioè con radiazione con sufficiente coerenza temporale
Esercizio numerico
5.5 Due lastrine di vetro rettangolari con facce piane e parallele, poste una sull’altra,
formano un piccolo angolo  fra di loro. Illuminate con luce monocromatica di
lunghezza d’onda 0 = 6328 Å ad incidenza normale mostrano in riflessione N = 10
frange di interferenza per centimetro di lunghezza. Determinare l’angolo .
Esercizio numerico
5.6 Una pellicola di acqua saponata in aria dello spessore d = 2900 Å viene illuminata
con luce bianca incidente normalmente. Assumendo per l’indice di rifrazione della
pellicola n = 1.33, determinare il colore che predominerà nella luce riflessa.
5.7 In un esperimento di interferenza su lamine sottili sul modello degli anelli di
Newton il raggio di curvatura della lente è R =5.0 m e il suo diametro è D = 20
mm. Sul sistema incide normalmente luce con  = 589 nm. Calcolare quanti
anelli (frange) luminosi si producono (a) in aria, e (b) se tutto il sistema è
immerso in acqua.
r
d