UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI FIRENZE
Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale
Sezione geotecnica (www.dicea.unifi.it/geotecnica)
“COMPRESSIBILITÀ E CONSOLIDAZIONE EDOMETRICA”
Esercizi svolti
Corso di Fondamenti di Geotecnica
Scienze dell’Ingegneria Edile, A.A. 2009\2010
Johann Facciorusso
[email protected]
http://www.dicea.unifi.it/~johannf/
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Compressibilità
DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE
Sezione geotecnica
COMPRESSIBILITÀ
Esercizio 1
Uno strato di argilla organica normalmente consolidato con peso di volume γ = 16 kN/m3, indice dei vuoti iniziale e0 = 1.8 e indice di compressione Cc = 0.6, è
compreso, tra profondità 4 m e 14 m dal piano di campagna, tra due strati di sabbia, che, ad una certa distanza, sono a contatto tra di loro. Il livello di falda è
1 m al di sotto del piano di campagna e il peso di volume della sabbia è γ = 19 kN/m3 al di sopra della falda, e γ = 20 kN/m3 al di sotto (si assuma γw = 10 kN/m3).
Nell’ipotesi che venga effettuato un pompaggio permanente di acqua che abbassa il livello piezometrico di 2 m, calcolare le variazioni di pressione totale, neutra ed efficace all’interno dello strato di argilla in funzione della profondità, e il cedimento di consolidazione conseguente.
Se al termine della consolidazione viene applicato in superficie un carico uniforme di 100 kPa , determinare il corrispondente cedimento di consolidazione finale dello strato di argilla.
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Origine e struttura dei terreni – Fondamenti di Geotecnica
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Sezione geotecnica
Dati:
Argilla (NC):
Spessore dello strato (Ha) = 10 m
q
Hs
Sabbia (γd(sab),γsat(sab))
Ha
Argilla (e0, Cc, γsat(arg))
Indice di compressione (Cc) = 0.6
Indice dei vuoti iniziale (e0) = 1.8
p.c.
Peso di volume (saturo) (γsat(arg)) = 16 kN/m3
Sabbia:
Spessore dello strato superficiale (Hs) = 4 m
zwi
∆zw
Sabbia (γsat(sab))
Peso di volume al di sopra della falda (asciutto) (γd(sab)) = 19 kN/m3
Peso di volume al di sotto della falda (saturo) (γsat(sab)) = 20 kN/m3
Falda:
Profondità iniziale della falda rispetto al p.c. (zwi) = 1 m
Abbassamento della falda (∆zw) = 2 m
Peso specifico dell’acqua (γw) = 10 kN/m3
Carico:
Carico uniforme applicato in superficie (q) = 100 kPa
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Sezione geotecnica
Svolgimento:
1) Nell’ipotesi che venga effettuato un pompaggio permanente di acqua che abbassa il livello piezometrico di 2 m, calcolare le variazioni di pressione totale, neutra ed efficace all’interno dello strato di argilla in funzione della profondità, e il cedimento di consolidazione conseguente.
Un abbassamento (permanente) del livello di falda determina un cedimento di consolidazione primaria accompagnato ad un incremento delle tensioni efficaci analogo a quello che si avrebbe in conseguenza dell’applicazione di un carico.
p.c.
zwi
Infatti con riferimento ad un generico Sabbia (γd(sab),γsat(sab))
∆zw
punto P all’interno dello strato di Hs
argilla, a profondità z, se si determina z
lo stato tensionale, efficace e totale, e Argilla (e0, Cc, γsat(arg))
P
le pressioni interstiziali, prima e dopo Ha
l’innalzamento:
Sabbia (γsat(sab))
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Prima:
σv,i(z) = γd(sab) ∙ zwi + γsat(sab)∙(Hs ‐ zwi) + γsat(arg)∙(z‐Hs) = [19 ∙ 1 +20∙(4‐1)+16∙(z‐4)] kPa
= (16z+15) kPa
ui(z) = γw∙(z–zwi) = 10kN/m3 x (z‐1) m = (10z‐10) kPa
σ’v,i(z) = σv,i(z) – ui(z) = (15+16z‐10z+10) kPa = (6z+25) kPa
Dopo (posto zwf = zwi+∆zw = 3 m) :
σv,f(z) = γd(sab) ∙ zwf + γsat(sab)∙(Hs ‐ zwf) + γsat(arg)∙(z‐Hs) = [19 ∙ 3 +20∙(4‐3)+16∙(z‐4)] kPa
= (16z+13) kPa
Nel calcolo delle pressioni interstiziali, considerata la bassa permeabilità
dell’argilla, occorre distinguere la condizione di breve termine
(immediatamente successiva all’istante di abbattimento della falda, t = 0, supposto istantaneo) da quella di lungo termine (in cui si suppone terminata la consolidazione primaria e il processo di filtrazione ad essa associata). Origine e struttura dei terreni –
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In particolare nell’istante t = 0, all’estremità inferiore dello strato di argilla (C), data la bassa permeabilità, il regime delle pressioni rimane in equilibrio con il livello di falda precedente l’abbassamento (zwi), attivando un moto di filtrazione verticale ascendente in condizioni edometriche. ub.t.(C) = ui(C) = γw∙(Hs+Ha–zwi) = 10kN/m3 x (14‐1) m = 130 kPa
mentre, la pressione interstiziale che si dovrebbe avere in ragione del nuovo livello di falda, zwf, e che si raggiunge a lungo termine al termine del processo di filtrazione e consoliudazione una volta ristabilito l’equilibrio idrostatico vale:
ul,t.(C) = uf(C) = γw∙(Hs+Ha‐zwf) = 10kN/m3 x (14‐3) m = 110 kPa
Invece all’estremità superiore dello strato di argilla (B), al contatto diretto con lo strato permeabile, l’effetto dell’abbassamento della falda viene percepito p.c.
pressochè istantaneamente, per cui:
A
zwi
zwf
ub,t(B) =ul.t.(B) = uf(B) = γw∙(Hs–zwf)
B
= 10kN/m3 x (4‐3) m = 10 kPa
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C
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La sovrappressione indotta quindi dall’abbassamento della falda vale nell’istante t = 0 :
110‐110 = 0 kPa per z = Hs
ue(z,0) = ub,t(z) ‐ ul.t.(z) = 130 – 110 = 20 kPa per z = Ha + Hs
e assumendo che vari linearmente con la profondità nello strato di argilla, l’isocrona iniziale è quindi triangolare.
A
Nel caso in cui occorra zwi
determinare l’evoluzione nel zwf
tempo dei cedimenti (grado di B
consolidazione) si può far ue(z,0)
riferimento alle soluzioni approssimate proposte per isocrona triangolare. In questo C
caso è sufficiente calcolare il cedimento finale, per cui interessano le pressioni pressione idrostatica, uf
interstiziali e la tensione pressione interstiziale, uf(z,0)
efficace verticale finale.
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σ’v,f(z) = σv,i(z) – ui(z) = (13+16z‐10z+30) kPa = (6z+43) kPa
In definitiva:
∆σv(z) = σvf(z) – σvi(z) = (16z+13‐16z‐15) kPa = ‐2 kPa ∆u(z) = uf(z) – ui(z) = (10z‐30‐10z+10) kPa = ‐20 kPa ∆σ’v(z) = σ‘vf(z) – σ‘vi(z) = (6z+43‐6z‐25) kPa = 18 kPa L’incremento di tensione efficace verticale ∆σ’v conseguente al processo di consolidazione primaria vale dunque 18 kPa ed è costante con la profondità e il cedimento conseguente vale, essendo il terreno NC:
σʹ + ∆σ v
HA
∆H1 =
⋅ [C c ⋅ log v 0 ,i ʹ
]
1 + eo
σ vo
dove i parametri di compressibilità (Cc), l’indice dei vuoti iniziale (e0) e la tensione litostatica (σ’vi) sono riferiti alla mezzeria dello strato, ipotizzato omogeneo:
Cc = 0.6
σ’v,i(Hs+Ha/2) = 6∙(4+10/2)+25 kPa = 79 kPa e0 = 1.8
∆H1 = 0.6∙10 m/(1+1.8)∙log[(79+18)/79] = 0.191 m
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N.B. Quando lo strato di cui si calcola il cedimento ha uno spessore elevato, per un calcolo più preciso, anche quando lo strato è omogeneo o comunque non è
noto come i parametri di compressibilità o le proprietà indici del terreno variano con la profondità, occorre suddividere lo strato in più sottostrati (e riferirsi alla mezzeria di ciascun strato). Ad esempio dividendo in 5 strati di spessore 2 m:
N
1
2
3
4
5
z
(m)
5
7
9
11
13
H0,i e0,i
(m) (‐)
2
1.8
2
1.8
2
1.8
2
1.8
2
1.8
Cc,i σ’v,i(6z+25) ∆σv,i
(kPa)
(‐)
(kPa)
0.6
18
55
18
67
0.6
18
79
0.6
91
0.6
18
103
0.6
18
log
σʹ v ,i + ∆σ v ,i C ∙H /(1+e ) ∆Η
ι
c,i
0,i
0,i
σʹ v ,i
(m)
(m)
0.123
0.103
0.089
0.078
0.070
0.429
0.429
0.429
0.429
0.429
0.053
0.044
0.038
0.033
0.030
σʹ v 0 ,i + ∆σ v = 0.198 m
C ci ⋅ H oi
∆H 1 = ∑
⋅ [log
]
1
e
+
ʹ
σ
i =1
oi
v ,i
5
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Nel caso in cui si suddivide in starti di spessore infinitesimo dz, la sommatoria si trasforma in un integrale:
σʹ v , 0 ( z) + ∆σ v ( z)
σʹ v ,0 ( z) + ∆σ v ( z)
C c 14
C c ( z)
∆H1 = ∫
⋅ [log
dz =
]dz =
[log
∫
σ
+
+
σ
ʹ
(
z
)
ʹ
(
z
)
1
e
1
e
(
z
)
4
o
v ,0
o 4
v ,0
14
14
⎡14
⎤ *
= 0.6/(1+1.8)∙ ⎢ ∫ log( 6 z + 43)dz − ∫ log( 6 z + 25)dz ⎥
4
⎣4
⎦
= 0.214∙[(212.028‐93.249)/6‐(174.741‐61.539)/6] = 0.199
* z2
z=z
az + b ⎤ 2
1⎡
∫z log(az + b)dz = a ⎢⎣(az + b) ⋅ log(az + b) − ln 10 ⎥⎦ z=z1
1
OSS. Un abbassamento del livello di falda in un deposito per il quale siano applicabili le condizioni edometriche determina un fenomeno di consolidazione edometrica ed un conseguente cedimento, equivalente a quello determinato da un carico uniformemente distribuito e infinitamente esteso (di valore pari all’incremento di tensione efficace verticale determinato), il processo di consolidazione è invece differente, essendo l’isocrona iniziale di forma triangolare e non rettangolare.
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2) Se al termine della consolidazione viene applicato in superficie un carico uniforme di 100 kPa , determinare il corrispondente cedimento di consolidazione q
finale dello strato di argilla.
p.c.
Per determinare il cedimento di zwi
consolidazione primaria conseguente Sabbia (γd(sab),γsat(sab))
∆zw
all’applicazione del carico q, uniformemente distribuito e z
infinitamente esteso, considerando che il Argilla (e0, Cc, γsat(arg))
P
H
a
terreno è ancora NC (e ci muoviamo ancora sulla linea di compressione vergine, ABC), si applica sempre la Sabbia (γsat(sab))
formula (all’intero strato):
∆H 2 =
H A ,0
σʹ + ∆σ v
⋅ [C c ⋅ log v 0 ,i ʹ
]
1 + eo
σ vo
con riferimento alle condizioni iniziali:
A
e0
σ’v0,i(z) = (6z+25) kPa HA,0 = 10m
e ad un incremento di tensione verticale : e1
e2
∆σv = ∆σv1 +∆σv2 = = 18+100 = 118 kPa
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∆e
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∆e2
∆e1
e0 = 1.8
σ’v (log)
∆σv1 ∆σv2
∆zw
Cc
B
1
q
C
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da cui (senza suddivisione dello strato):
∆H2 = 0.6∙10 m/(1+1.8)∙log[(79+118)/79] = 0.850 m
e il cedimento conseguente alla sola applicazione del carico q risulta:
∆H12 = ∆H2 ‐ ∆H1 = 0.850‐0.191 = 0.659 m
σʹ v 0 ,f + ∆σ v
H A ,1
∆H12 =
⋅ [C c ⋅ log
]
ʹ
1 + e1
σ vf
con riferimento alle condizioni iniziali:
e1
e2
∆e2
∆e1
Lo stesso risultato si può raggiungere più direttamente applicando la formula:
A
e0
σ’v (log)
∆zw
Cc
B
1
q
C
∆e
e1 = e0‐∆e1 = e0 ‐ (1+e0)∙∆H1/H0 = 1.8‐(1+1.8)∙0.191/10 = 1.747
σ’v0,f(z) = (6z+43) kPa HA,1 = HA,0 – ∆H1 = 10‐0.191 = 9.809 m
e ad un incremento di tensione verticale :
∆σv = q = 100 kPa
∆H12 = 0.6∙9.809 m/(1+1.747)∙log[(97+100)/97] = 0.659 m
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Esercizio 2
Un serbatoio cilindrico di raggio r = 10 m, che applica al terreno una pressione verticale uniforme, p, di 200 kPa è fondato su deposito costituito nei primi 10.4 m da sabbia fine (avente indice dei vuoti e = 0.76 e Gs = 2.7), seguito da uno strato di argilla soffice (Gs = 2.7) dello spessore di 2 m delimitato inferiormente da uno strato di sabbia grossa. La falda è a 3 m al di sotto del piano di campagna. Si assume che il terreno al di sopra della falda sia saturo. Determinare, assumendo γw = 9.81 kN/m3, il cedimento di consolidazione primario dello strato di argilla, ∆H, nell’ipotesi che:
a) l’argilla sia normalconsolidata, il suo contenuto d’acqua sia w = 43% e l’indice di compressione CC = 0.3;
b) l’argilla sia sovraconsolidata con grado di sovraconsolidazione OCR = 2.5, contenuto d’acqua w = 38% e indice di rigonfiamento CS = 0.05.
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Dati:
Argilla (OCR=1; OCR = 2.5):
Spessore dello strato (Ha) = 2 m
Indice di compressione (Cc) = 0.3
Indice di rigonfiamento (CS) = 0.05
Contenuto d’acqua (w) = 43% (NC), 38%(OC)
p
p.c.
zw
Gravità specifica (Gs) = 2.7
Hs
Sabbia (e, Gs)
Sabbia:
Spessore dello strato superficiale (Hs) = 10.4 m
Indice dei vuoti (e) = 0.76
Argilla (CS, Cc, GS, w)
Ha
Gravità specifica (Gs) = 2.7
Terreno sopra falda saturo
Sabbia (e, Gs)
Falda:
Profondità della falda rispetto al p.c. (zw) = 3 m
Peso specifico dell’acqua (γw) = 9.81 kN/m3
Carico:
Pressione uniforme trasmessa dal serbatoio (p) = 200 kPa
Raggio del serbatotio (R) = 10 m
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Sezione geotecnica
Svolgimento:
a) Determinare il cedimento di consolidazione primario dello strato di argilla, ∆H, nell’ipotesi che l’argilla sia normalconsolidata, il suo contenuto d’acqua sia w = 43% e l’indice di compressione CC = 0.3.
La pressione uniforme p trasmessa dal serbatoio al terreno di fondazione, saturo, induce un fenomeno di consolidazione ed un conseguente cedimento. Essendo verificate le condizioni geometriche e di vincolo edometriche (il carico, seppure distribuito su una superficie finita ha un’estensione molto superiore allo spessore dello strato, R >>HA), il cedimento di consolidazione primaria dello strato di argilla è dato da (argilla NC):
p
σʹ ( z ) + ∆σ v (z A ) ⎤
HA ⎡
p.c.
∆H =
⋅ ⎢C c ⋅ log v 0 A
⎥
1 + eo ⎣
σʹ v 0 ( z A )
zw
⎦
dove il cedimento è calcolato con riferimento ad Sabbia (e, Gs)
un unico strato (considerato il suo esiguo Hs
spessore) supposto omogeneo, per il quale vale:
Ha = 2 m
zA
Argilla
(C
, C
, G
, w)
H
S
c
S
a
e0 = w∙Gs = 0.43∙2.7 = 1.16
Cc = 0.3
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Sabbia (e, Gs)
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e, con riferimento alla mezzeria dello strato (zA = Hs+Ha/2 = 11.4 m):
σ’v,0(zA) = σv,0(zA) – u(zA) = [γsat,sab∙HS + γsat,arg∙HA/2] – [γw∙(HS+HA/2‐zw) ]
⎛ Gs + e ⎞
con: γ sat ,sab = ⎜
⎟ ⋅ γ w = (2.7+0.76)/(1+0.76)∙9.81 = 19.3 kN/m3
⎝ 1+ e ⎠
⎛ G + e0 ⎞
⎟⎟ ⋅ γ w = (2.7+1.16)/(1+1.16)∙9.81 = 17.5 kN/m3
γ sat ,arg = ⎜⎜ s
⎝ 1 + e0 ⎠
σ’v,0(zA) = 19.3∙10.4 kPa+17.5∙1 kPa– 9.81∙(10.4+1‐3) kPa = 135.8 kPa
Per il calcolo dell’incremento della tensione verticale totale, ∆σv(zA), che al termine della consolidazione si traduce in uguale incremento delle tensioni efficaci, si fa riferimento alla soluzione ottenuta per pressione uniforme su superficie circolare:
r
σz /q
p
r
0
0.25
0.5
0.75
1
0
zw
R
1
Hs
z/R
2
3
Ha
r/R=0
r/R=0,5
z
4
r/R=1
r/R=2
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Come si può notare dal grafico, a parità di z (z/R), l’incremento ∆σv (∆σv/p) varia al di sotto della fondazione, cautelativamente si assume, alla quota considerata (zA) il valore massimo, in corrispondenza dell’asse della fondazione (r/R = 0)
2 3 ⎫
⎧
⎡
⎛R⎞ ⎤ ⎪
⎪
∆σ zA ( r = 0 ) = p ⋅ ⎨1 − 1 / ⎢1 + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ ⎬ = 200∙{1‐1/√[1+(10/11.4)2]3} = 115 kPa
⎢⎣ ⎝ z A ⎠ ⎥⎦ ⎪
⎪
⎩
⎭
e quindi:
∆H =
HA
1 + eo
⎡
σʹ ( z ) + ∆σ v (z A ) ⎤
⋅ ⎢C c ⋅ log v 0 A
⎥ = 0.3∙2m/(1+1.16)∙log[(135.8+115)/135.8] = 0.074 m
ʹ
(
z
)
σ
v0
A
⎦
⎣
N.B. Per calcolare il cedimento della fondazione, supponendo verificate le ipotesi edometriche, occorrerebbe quantificare anche il cedimento di consolidazione primaria dello strato di sabbia (di cui però non sono noti i parametri di compressibilità), nonché il cedimento di consolidazione secondaria.
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Sezione geotecnica
Svolgimento:
b) Determinare il cedimento di consolidazione primario dello strato di argilla, ∆H, nell’ipotesi che l’argilla sia sovraconsolidata con grado di sovraconsolidazione OCR = 2.5, contenuto d’acqua w = 38% e indice di rigonfiamento CS = 0.05.
Il cedimento di consolidazione primaria dello strato di argilla è dato in questo caso (sempre con riferimento ad un unico strato supposto omogeneo e alla sua mezzeria) da (argilla OC):
se σ’vo + ∆σ’v > σ’p
σʹ p ( z A )
σʹ ( z ) + ∆σ v ( z A )
HA
]
∆H =
⋅ [C S ⋅ log
+ C c ⋅ log v 0 A
1 + eo
σʹ v 0 ( z A )
σʹ v 0 ( z A )
se σ’vo + ∆σ’v < σ’p
HA
σʹvo ( z A ) + ∆σ v ( z A )
∆H =
⋅ [C s ⋅ log
]
ʹ
1 + eo
σ vo ( z A )
dove:
HA = 2 m
e0 = w∙Gs = 0.38∙2.7 = 1.03
Cc = 0.3
CS = 0.05
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p
p.c.
zw
Hs
Sabbia (e, Gs)
Ha
Argilla (CS, Cc, GS, w)
Sabbia (e, Gs)
zA
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Compressibilità
DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE
Sezione geotecnica
l’incremento della tensione verticale totale è il medesimo calcolato nel caso a):
∆σv(zA) = 115 kPa
il peso di volume saturo dell’argilla cambia:
⎛ G + e0 ⎞
⎟⎟ ⋅ γ w = (2.7+1.03)/(1+1.03)∙9.81 = 18 kN/m3
γ sat ,arg = ⎜⎜ s
⎝ 1 + e0 ⎠
e quindi:
σ’v,0(zA) = 19.3∙10.4 kPa+18∙1 kPa– 9.81∙(10.4+1‐3) kPa = 136.3 kPa
da cui, noto il grado di sovraconsolidazione OCR, si ricava la pressione di preconsolidazione:
σ’p (zA) = OCR∙s’v0(zA) = 2.5∙136.3 kPa = 340.7 kPa > σ’vo + ∆σ’v =136.3 + 115 = 251.3 kPa
e quindi:
HA
σʹvo ( z A ) + ∆σ v ( z A )
∆H =
⋅ [C s ⋅ log
]= 0.05∙2m/(1+1.03)∙log[(136.3+115)/136.3] = 0.013 m
1 + eo
σʹvo ( z A )
OSS. L’argilla sovraconsolidata, a parità di carico, ha un cedimento molto più basso
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Origine e struttura dei terreni – Fondamenti di Geotecnica
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Consolidazione
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Sezione geotecnica
CONSOLIDAZIONE
Esercizio 3
Un edificio di grandi dimensioni viene fondato su un deposito sabbioso (γ = 20 kN/m3) contenente al suo interno ad una profondità di 10 m dal piano di campagna, uno strato di argilla molle (γ = 16 kN/m3) della potenza di 2 m. La falda è coincidente col piano di campagna ed il carico trasmesso al terreno dall’edificio è uniforme e pari a 100 kPa (si assuma γw = 10 kN/m3).
a) Determinare la tensione efficace verticale e la pressione interstiziale al centro dello strato di argilla all’80% della consolidazione.
b) Determinare il tempo t80 necessario per raggiungere in sito tale livello di consolidazione sapendo che dai risultati della prova edometrica eseguita su un provino (di altezza 25 mm) ottenuto da un campione di argilla estratto in corrispondenza della mezzeria dello strato, è risultato che, al livello di carico applicato pari a quello trasmesso in sito dall’edificio, si è raggiunto tale grado di consolidazione in un’ora.
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Sezione geotecnica
p
Dati:
Argilla
Spessore dello strato (HA) = 2 m
Peso di volume (γarg) = 16 kN/m3
p.c.
Hs
Sabbia (γsab)
Sabbia:
Ha
Spessore dello strato superficiale (HS) = 10m
Argilla (γarg)
Peso di volume (γsab) = 20 kN/m3
Sabbia (γsab)
Falda:
Profondità della falda rispetto al p.c. (zw) = 0 m
Peso specifico dell’acqua (γw) = 10 kN/m3
Carico:
Carico considerato infinitamente esteso e uniforme (p) = 100 kPa
Carico:
Altezza del provino (hp) = 25 mm
Tempo di consolidazione all’80% (tp,80) = 1 h
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Origine e struttura dei terreni – Fondamenti di Geotecnica
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Sezione geotecnica
Svolgimento:
a) Determinare la tensione efficace verticale e la pressione interstiziale al centro dello strato di argilla all’80% della consolidazione.
La pressione uniforme p trasmessa dall’edificio al terreno di fondazione, saturo, assimilabile ad un carico infinitamente esteso (date le grandi dimensioni) induce un fenomeno di consolidazione ed un conseguente cedimento. Essendo verificate le condizioni geometriche e di vincolo edometriche, si può applicare la teoria della consolidazione edometrica per studiare il decorso delle sovrappressioni interstiziali durante il processo e quindi per calcolare la pressione interstiziale u, al centro dello strato di argilla p
(z = zA), all’80% della consolidazione (t80):
u(zA,t = t80) = up + ue(zA,t80)
p.c.
con uP = γw∙(HS+HA/2) = 10∙(10+1) = 110 kPa
t = 0
Inoltre risulta:
t = t80
u e ( z A , t 80 )
U z ( z A , t 80 ) = 1 −
= 0.8
u0
ue(z,0) = u0 = p per ogni z
da cui:
ue(zA,t80) = (1‐0.8)∙u0 = 20 kPa
Z
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Origine e struttura dei terreni Fondamenti di Geotecnica
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Hs
Sabbia (γsab)
Ha
Argilla (γarg)
zA
Sabbia (γsab)
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Sezione geotecnica
Svolgimento:
Da cui:
u(zA, t80) = up + ue(zA,t80) = 110 kPa + 20 kPa = 130 kPa
La tensione verticale totale al centro dello strato di argilla vale:
σv(zA) = γsab∙HS+γarg∙(HA/2) + p = 20∙10+16∙1+100 = 316 kPa
La tensione efficace verticale vale:
σ’v(zA, t80) = σv(zA) – u(zA,t80) = (316‐130) kPa = 186 kPa
b) Determinare il tempo t80 necessario per raggiungere in sito tale livello di consolidazione sapendo che dai risultati della prova edometrica eseguita su un provino (di altezza 25 mm) ottenuto da un campione di argilla estratto in corrispondenza della mezzeria dello strato, è risultato che, al livello di carico applicato pari a quello trasmesso in sito dall’edificio, si è raggiunto tale grado di consolidazione in un’ora.
Applicando allo strato di argilla la teoria della consolidazione edometrica, la relazione esistente tra grado di consolidazione medio, Um, e fattore di tempo adimensionale, TV è nota (in forma analitica, grafica o approssimata), in particolare ad Um = 0.8, corrisponde uno ed un solo valore di Tv (TV,80) Origine e struttura dei terreni –
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Sezione geotecnica
Svolgimento:
Inoltre dalla definizione di TV:
Tv ,80
c v ⋅ t 80
=
H2
dove cV è il coefficiente di consolidazione verticale caratteristico del terreno (non noto) e H la lunghezza del percorso di drenaggio, che, essendo lo strato drenato da entrambi i lati, vale:
H = HA/2 = 1 m
Con riferimento al provino dello stesso terreno, sottoposto allo stesso carico e nelle stesse condizioni di drenaggio, allo stesso grado di consolidazione Um = 0.8, corrisponde lo stesso valore di TV (TV,80):
Tv , 80 =
c v ,p ⋅ t p ,80
Hp2
dove cV,p è il coefficiente di consolidazione verticale caratteristico del terreno (non noto) e Hp la lunghezza del percorso di drenaggio, che, essendo lo strato drenato da entrambi i lati, vale:
tp,80 = 1h
Hp = hp/2 = 12.5 mm = 0.0125 m
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Sezione geotecnica
Svolgimento:
Eguagliando le due relazioni e ricordando che il terreno è lo stesso (cV = cV,p)
c v ⋅ t 80 c v ⋅ t p , 80
=
2
H
Hp2
da cui si ricava:
t 80 =
H 2 ⋅ t p , 80
Hp
2
= 1 m2∙1h/0.01252 m2 = 6400 h ≅ 267 gg
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Sezione geotecnica
Esercizio 4
Si consideri un deposito costituito a partire dal piano di campagna da uno strato di argilla satura con falda coincidente col piano di campagna, di spessore pari a 10 m, coefficiente di permeabilità k = 10‐7 cm/s, indice dei vuoti iniziale e0 = 1.5 e coefficiente di compressibilità av = 3 10‐4 m2/kN, delimitato inferiormente da uno strato di sabbia (si assuma γw = 9.81 kN/m3).
a) Determinare il tempo t necessario per raggiungere un grado di consolidazione del 70% in presenza di un sovraccarico di 100 kPa e l’andamento con la profondità delle sovrappressioni interstiziali.
b) Se il cedimento corrispondente, dopo questo tempo, è 9.5 cm determinare il cedimento di consolidazione primaria finale, ∆H.
p
Dati:
p.c.
Spessore dello strato (HA) = 10 m
Coefficiente di permeabilità (k) = 10‐7 cm/s
Coefficiente di compressibilità (aV) = 3∙10‐4 m2/kN
Argilla (k, aV)
Indice dei vuoti (e0) = 1.5
HA
Profondità della falda rispetto al p.c. (zw) = 0 m
Peso specifico dell’acqua (γw) = 9.81 kN/m3
Sovraccarico (q) = 100 kPa
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Sabbia
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Sezione geotecnica
Svolgimento:
a) Determinare il tempo t necessario per raggiungere un grado di consolidazione del 70% in presenza di un sovraccarico di 100 kPa e l’andamento con la profondità delle sovrappressioni interstiziali.
Applicando allo strato di argilla la teoria della consolidazione edometrica, la relazione esistente tra grado di consolidazione medio, Um, e fattore di tempo adimensionale, TV è nota (in forma analitica, grafica o approssimata), in particolare ad Um = 70%, corrisponde un valore di Tv: TV,70 = 0.403
Inoltre dalla definizione di TV:
Tv ,70 =
c v ⋅ t 70
H2
dove cV :
cv =
k(1 + e o )
= 10‐9m/s∙(1+1.5)/(9.81 kN/m3∙3∙10‐4 m2/kN) = 8.5∙10‐7 m2/s
γw ⋅ av
H = HA/2 = 5 m (lo strato è drenato da ambo i lati)
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Sezione geotecnica
Svolgimento:
da cui si ricava: H 2 ⋅ Tv ,70
t 70 =
cV
= (25 m2∙0.403)/(8.5∙10‐7 m2/s) = 1.19∙107 s ≅ 138 gg
Per determinare l’andamento con la profondità (ad es. per z = 0, 2, 4, 6, 8, 10 m) delle sovrappressioni interstiziali ue(z,TV,70) al 70% della consolidazione (TV = 0.403), si può procedere per via analitica:
m =∞
m =∞
2u o
(sin MZ ) − M 2 Tv
− M 2 Tv
u e ( Z , Tv ) = ∑
(sin MZ )e
= 2u o ∑
e
M
M
m =0
m =0
dove:
π
M = ( 2 m + 1)
2
1< Z (= z/H = z/5) < 2
u0 = q = 100 kPa
TV = 0.403
z (m)
0
2
4
6
8
10
Z (‐)
0
0.4
0.8
1.2
1.6
2
m
M
(sin MZ ) − M 2 Tv
e
M
0
1.57
1
4.71
2
7.85
0
1.38E‐01
2.24E‐01
2.24E‐01
1.38E‐01
2.89E‐17
0
2.62E‐05
‐1.62E‐05
‐1.62E‐05
2.62E‐05
1.01E‐20
0
2.49E‐28
‐4.99E‐28
7.48E‐28
‐9.98E‐28
1.25E‐27
3
11.00 ue(kPa)
0
‐5.98E‐23
3.69E‐23
3.69E‐23
‐5.98E‐23
5.39E‐38
0.00
27.69
44.80
44.80
27.69
0.00
N.B. I termini della sommatoria diventano trascurabili già per m = 1.
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Sezione geotecnica
Svolgimento:
Per determinare l’andamento con la profondità delle sovrappressioni interstiziali ue(z,TV,70) al 70% della consolidazione (TV = 0.403), si può ricorrere anche alla soluzione grafica che ci permette di calcolare, per ciascuna profondità Z (e quindi z) il grado di consolidazione Uz (in termini di sovrappressioni) corrispondente ad un assegnato valore di Tv e quindi la sovrappressione interstiziale, essendo:
Si sceglie la curva corrispondente al valore ti TV = 0.403 (tra quelle disegnate o per interpolazione), e per i valori prefissati di Z, si trova Uz e quindi ue:
u e ( Z , TV ) = [1 − U z ( Z , TV )] ⋅ u 0
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Sezione geotecnica
TV = 0.403
Svolgimento:
A
Da cui risulta che per:
Z
Uz
0
0
0.4
28
0.8
0.72
0.55
1.2
0.55
45
1.6
0.72
28
2.0
0
0
ue (kPa) 0.4
0
0.8
Z= z/H
45
1.2
1.6
Grado di consolidazione, Uz
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Sezione geotecnica
Svolgimento:
b) Se il cedimento corrispondente, dopo questo tempo, è 9.5 cm determinare il cedimento di consolidazione primaria finale, ∆H.
Il grado di consolidazione medio (in termini di sovrappressioni), Um coincide con quello in termini di cedimenti : U m (t ) =
s( t )
sf
ed essendo s(t) = 9.5 cm
si ricava il cedimento finale:
sf = s(t)/Um = 9.5/0.7 cm = 13.6 cm
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Sezione geotecnica
Esercizio 5 (Esame del 09/04/2009) Si consideri un deposito sabbioso saturo (γ = 19 kN/m3) con falda coincidente col piano di campagna (γw = 10 kN/m3) e si supponga che al suo interno, a una profondità di 6 m dal piano di campagna, sia presente uno strato di argilla NC (γsat =18 kN/m3, γs = 27 kN/m3, ϕʹ =27°, Cc = 0.25, Cs = 0.04, cV = 3x10‐6 m2/s) di spessore 4 m. Viene eseguito uno scavo di profondità 5 m e larghezza molto grande per realizzare un edificio che, a realizzazione completata, comporterà un incremento delle tensione efficaci verticali di 130 kPa, che assumiamo uniforme con la profondità. Durante lo scavo le falde al di sotto e al di sopra dello strato di sabbia vengono mantenute comunicanti attraverso un pozzo di drenaggio, mediante il quale il livello di falda viene abbattuto fino a 1 m al di sotto del fondo dello scavo e mantenuto tale anche durante la realizzazione dellʹedificio.
a) Si calcolino in corrispondenza della mezzeria dello strato di argilla, le tensioni efficaci verticali ed orizzontali, prima dellʹesecuzione dello scavo, dopo la realizzazione dello scavo e dopo il completamento dellʹedifico, supponendo ogni volta che la consolidazione sia terminata.
b) Si disegnino i percorsi corrispondenti sul piano e‐logσʹv e si calcoli il tempo necessario ad una consolidazione del 90% nellʹipotesi che il carico dellʹedificio venga applicato istantaneamente. Origine e struttura dei terreni –
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Sezione geotecnica
Sabbia:
Spessore dello strato superficiale (HS1) = 6m
Peso di volume (γsab) = 19 kN/m3
Argilla (NC)
Spessore dello strato (HA) = 4 m
Peso di volume (γarg) = 18 kN/m3
Peso specifico dei solidi (γs) = 27 kN/m3
Angolo di resistenza al taglio (ϕ’) = 27°
Indice di compressione (Cc) = 0.25
Indice di rigonfiamento (CS) = 0.04
Coefficiente di cons. verticale (CV) = 3∙10‐6 m2/s
piano campagna
d
HS1
sabbia
piano di scavo
HA/2
HA
argilla
B
Profondità dello scavo (d) = 5 m
Falda:
Profondità della falda rispetto al p.c. (zw) = 0 m HS2
sabbia
Abbassamento della falda (∆zw) = 6 m
Peso specifico dell’acqua (γw) = 10 kN/m3
Carico:
Carico considerato infinitamente esteso e uniforme (p) = 130 kPa
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Sezione geotecnica
Svolgimento:
a) Si calcolino in corrispondenza della mezzeria dello strato di argilla, le tensioni efficaci verticali ed orizzontali, prima dellʹesecuzione dello scavo, dopo la realizzazione dello scavo e dopo il completamento dellʹedifico, supponendo ogni volta che la consolidazione sia terminata.
piano campagna
La mezzeria dello strato di argilla si trova a
profondità (dal p.c.): zB = HS1+HA/2 = (6+2)m = 8m
Prima dello scavo : σv0(B) = γsab ∙ (Hs1 –d)+ γarg∙HA/2 = (19∙6 +18∙2) kPa
= 150 kPa
u0(B) = γw∙zB = (10∙8) kPa = 80 kPa
σ’v0(B) = σv0(B) – u0(B) = (150‐80) kPa = 70 kPa
Il terreno è NC, quindi:
σ’v0(z) = σ ‘p (OCR =1)
K0(NC) = 1‐senϕ’ = 0.55
σ’h0(B) = K0 (NC) ∙ σ’v0(B) = (0.55∙70) kPa = 38.5 kPa
σh0(B) = σ’h0(B) + u0(B) = (38.5+80) kPa = 118.5 kPa
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HS1
sabbia
HA/2
HA
argilla
B
HS2
sabbia
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Sezione geotecnica
Dopo lo scavo : Nonostante l’abbassamento del livello di falda, essendo i due strati di sabbia comunicanti, non si genera alcun gradiente di carico e quindi alcun moto di filtrazione e quindi il regime di pressione rimane idrostatico e in equilibrio con il nuovo livello di falda all’interno di tutto il deposito.
σv1(B) = γsab ∙ Hs1 + γarg∙HA/2 = (19∙1 +18∙2) kPa
= 55 kPa
u1(B) = γw∙(zB –∆zw) = 10∙(8‐6) kPa = 20 kPa
σ’v1(B) = σv1(B) – u1(B) = (55‐20) kPa = 35 kPa < σ’p
Il terreno, per effetto dello scarico tensionale, è ora OC (σ’v1<σ’p), e il grado di sovraconsolidazione vale in B:
OCR= σ’v0(B)/σ’v1(B) = 70/35 = 2
ed assumendo α = 0.5:
K0(OC) = K0(NC)∙OCRα = 0.55∙20.5 = 0.78
σ’h1(B) = K0 (OC) ∙ σ’v1(B) = (0.78∙35) kPa = 27.3 kPa
σh1(B) = σ’h1(B) + u1(B) = (27.3+20) kPa = 47.3 kPa
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d
piano di scavo
HS1
sabbia
∆ ZW
HA/2
HA
argilla
B
HS2
sabbia
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Sezione geotecnica
Dopo la costruzione dell’edificio : Dopo la realizzazione dell’edificio, a consolidazione completata, il regime delle pressioni interstiziali rimane immutato, mentre si registra un incremento delle tensioni efficaci pari all’incremento della tensione verticale totale, assunto uniforme con la profondità e pari a p.
σv2(B) = σv1(B) + p = (55+130) kPa = 185 kPa
u2(B) = u1(B) = 20 kPa
σ’v2(B) = σv2(B) – u2(B) = (185‐20) kPa = 165 kPa > σ’v0
Il terreno, ha subito ora un ricarico, che ha portato al tensione efficace a superare il valore massimo preesistente (σ’v2 > σ’v0) e quindi a ripercorrere la linea di compressione vergine, per cui il terreno è di nuovo NC: σ’v2(z) = σ ‘p
(OCR =1)
σ’h0(B) = K0 (NC) ∙ σ’v2(B) = (0.55∙165) kPa = 90.7 kPa
σh0(B) = σ’h0(B) + u0(B) = (101.7+20) kPa = 110.7 kPa
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d
p
HS1
sabbia
∆ ZW
HA/2
HA
argilla
B
HS2
sabbia
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Sezione geotecnica
Svolgimento:
b) Si disegnino i percorsi corrispondenti sul piano e‐logσʹv e si calcoli il tempo necessario ad una consolidazione del 90% nellʹipotesi che il carico dellʹedificio venga applicato istantaneamente. L’indice dei vuoti iniziale (e0), prima dello scavo si ricava dalla relazione:
G +e⎞
γ sat = ⎛⎜ s
⎟ ⋅ γ w che diventa:
⎝ 1+ e ⎠
e=
γ s − γ sat
γ sat − γ w
e
da cui : Cc
e0 = (27‐18)/(18‐10) = 1.125
1
0
e1
CS
Il punto corrispondente sul piano e‐logσ’v (0), si e
1
trova sulla linea di compressione vergine (NCL), 0
di pendenza Cc. Dopo la fase di scarico (terminato il processo di “deconsolidazione”), l’indice dei vuoti è aumentato di ∆e01 = e1 – e0, seguendo la linea si σ’v0
σ’v1
scarico‐ricarico, di pendenza Cs:
∆e01 = ‐ Cs∙∆logσ’v01 = Cs∙(logσ’v0 – logσ’v1) = 0.04∙log(70/35) = 0.012
e1 = e0+∆e01 = 1.125 + 0.012 = 1.137
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σ’v (log)
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UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI FIRENZE
DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE
Sezione geotecnica
Svolgimento:
da cui, valendo la relazione in condizioni edometriche: ∆e
∆H
=
1 + e0 H0
si ricava il rigonfiamento dello strato di argilla conseguente allo scavo: ∆h1 = HA∙∆e01/(1+e0) = 4m∙0.012/(1+1.125) = 0.023 m
HA1 = HA+ ∆h1 = (4 + 0.023)m = 4.023 m
Dopo la fase di carico (terminato il processo di “consolidazione”), l’indice dei vuoti è diminuito di ∆e02 = e2 – e1, seguendo nel primot tratto (1‐0) la linea si scarico‐ricarico, di pendenza Cs:, e poi proseguendo sulla linea di e
compressione vergine di pendenza CC:
∆e12 = ‐ Cs∙∆logσ’v10 ‐ Cc∙∆logσ’v02
= ‐ ∆e01 + CC ∙(logσ’v2 – logσ’v0) =
= ‐0.012 ‐ 0.25∙log(165/70) = ‐ 0.105
e2 = e1+∆e12 = 1.137 ‐ 0.105 = 1.03
∆h2 = HA1∙∆e12/(1+e1) = 4.023m∙(‐0.105)/(1+1.137) = ‐ 0.198 m
Origine e struttura dei terreni –
Origine e struttura dei terreni – Fondamenti di Geotecnica
Corso di Laurea in Scienze dell’Ingegneria Edile A.A. 2009/2010
Cc
e1
e0
e2
1
1
σ’v1
CS
0
2
σ’v0 σ’v0 σ’v (log)
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UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI FIRENZE
Consolidazione
DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE
Sezione geotecnica
Svolgimento:
Ad un grado di consolidazione medio Um = 90% corrisponde un valore di TV
pari a (Terzaghi):
Tv = 1.781 − 0.933 log(100 − U m (%)) per U m > 60%
ovvero:
Tv,90 = 1.781‐0.933∙log(100‐90) = 0.848
da cui si ricava (essendo lo strato drenato da entrambi i lati H = HA1/2 = 2.012m): H 2 ⋅ Tv , 90
t 90 =
cV
= (2.0122 m2∙0.848)/(3∙10‐6 m2/s) = 4.57∙106 s ≅ 13 gg
e il cedimento corrispondente, essendo Um = s(t)/sf = s(t)/∆h2 = 0.9 vale:
s(t) = Um ∙∆h2 = 0.9∙0.198m = 0.178 m
Origine e struttura dei terreni –
Origine e struttura dei terreni – Fondamenti di Geotecnica
Corso di Laurea in Scienze dell’Ingegneria Edile A.A. 2009/2010
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