UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI CATANIA
FACOLTA’ DI INGEGNERIA
DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE E AMBIENTALE
Corso di Geotecnica (Nuovo Ordinamento)
Calcolo dei cedimenti nei terreni argillosi
Secondo i classici metodi della geotecnica il calcolo dei cedimenti si esegue schematizzando il sottosuolo come un mezzo continuo deformabile, alla frontiera del quale vengono applicate distribuzioni di carico supposte note. Il calcolo si articola in genere nelle seguenti
fasi:
• calcolo delle tensioni litostatiche e degli incrementi di tensione indotti nel sottosuolo dai carichi applicati in superficie;
• determinazione sperimentale delle caratteristiche tensione-deformazione-tempo dei
vari terreni presenti nel sottosuolo e scelta dei valori rappresentativi;
• calcolo delle deformazioni unitarie e loro integrazione;
• calcolo del decorso nel tempo dei cedimenti.
In pratica, le fasi elencate vengono sviluppate solo per i terreni a grana fine per i quali è
possibile il prelievo di campioni indisturbati e l'esecuzione di prove di laboratorio, e per i
quali il decorso nel tempo ha rilevanza. Per i terreni incoerenti si ricorre in genere a procedimenti empirici basati sui risultati di prove in sito; viene inoltre a cadere, o a perdere
grandemente importanza, il problema del decorso nel tempo.
Allo stato attuale delle conoscenze è certamente possibile caratterizzare i terreni con leggi
costitutive adeguate (ad esempio: elasticità lineare, elasticità non lineare) e svolgere unitariamente l’analisi del problema al contorno con un procedimento di calcolo numerico, ad
esempio con il metodo degli elementi finiti o delle differenze finite.
Tuttavia i tradizionali metodi di calcolo, basati su ipotesi semplificative e su di una sperimentazione di tipo convenzionale, sono ancora da preferire nella maggioranza delle applicazioni per l'affidabilità che deriva loro dall'essere procedure ben consolidate e sostanziate
da un’ampia evidenza sperimentale.
Una rappresentazione schematica dei cedimenti che si verificano su terreni a grana fine è
riportata nella successiva Figura 1.
carico
scavo
costruzione
carico totale
carico netto
tempo
cedimento
tempo
Wc
Wf=Wo+Wc
Figura 1: Decorso dei cedimenti nel tempo.
1
I cedimenti avvengono in parte all'atto stesso dell’applicazione dei carichi, per deformazioni a volume costante dell'insieme scheletro solido-acqua (cedimento immediato wo), ed
in parte gradualmente nel tempo, a seguito dell'espulsione di acqua e della conseguente
dissipazione delle sovrappressioni neutre (cedimento di consolidazione wc).
Il cedimento al generico istante di tempo t può essere considerato pari a:
w (t) = wo + Um wc
Um = grado di consolidazione medio;
Um = 0
Um = 1
per t = 0
per t = ∞
-
w = wo
w = wo + wc = wf
wo = cedimento istantaneo
wc = cedimento di consolidazione
wf = cedimento finale.
Nel caso di un carico di intensità q (F/L2) e larghezza B, applicato su un terreno di spessore
H, il cedimento istantaneo wo può essere calcolato mediante la teoria della elasticità assumendo che:
B
ν = 0.5 (terreno saturo)
q
E = Eu (modulo di elasticità non drenato)
H
wo = ∫ εz dz =∫
0
H
σz - 0.5 (σx +σy)
________________________
0
H
dz
Eu
posto Eu = costante ed adimensionalizzando rispetto a q e B, si ottiene:
qB
wo = _______ Iw
Eu
(1)
essendo Iw un coefficiente di influenza, pari a:
Iw = ∫
0
H/B
σz - 0.5 (σx +σy)
________________________
dz/B
q
Il coefficiente di influenza Iw risulta pertanto dipendente dal valore del rapporto H/B, dal
coefficiente di Poisson ν, nonché dalla forma del carico applicato sul terreno. I valori di tale coefficiente possono essere ricavati dalle tabelle di seguito riportate (Giroud,1972).
Il valore del cedimento istantaneo wo calcolato secondo la relazione (1) risulta condizionato dalla scelta del modulo di elasticità non drenato Eu. Valori indicativi di tale parametro
possono essere ricavati o attraverso i risultati di prove geosismiche o dalla Tabella (1), in
cui i valori di Eu vengono correlati a quelli della coesione non drenata cu.
2
Eu /cu
OCR
Ip < 0.3
0.3< Ip < 0.5
Ip > 0.5
<3
800
400
200
3÷5
500
300
150
>5
300
200
100
Tabella 1: Valori del modulo Eu.
Secondo Skempton e Bjerrum (1957), il cedimento di consolidazione wc può essere calcolato come aliquota di quello edometrico wed, dal momento che quest’ultimo contiene sia
quello istantaneo (wo), che il cedimento di consolidazione (wc).
Come noto, pertanto, nell’ipotesi di deformazione unicamente nella direzione verticale (deformazione laterale impedita), si può scrivere:
wed = wf = ∫
∆σz’
H
__________
0
e
dz
Eed
e0
retta vergine
e1
∆σz i’
∆wed i = _________ ∆z i
Eed i
∆σz'
σ0'
H
wed = Σ ∆wed i
σ1'
ln σ'
z=0
poiché:
∆u = B ∆σ3 + A (∆σ1 – ∆σ3)
si ha :
wc = ∫
0
H
∆u
________
Eed
dz = ∫
H
B ∆σ3 + A (∆σ1 – ∆σ3)
________________________________
0
dz
Eed
se Eed = cost e B = 1 (terreno saturo), si ottiene :
∆ wc = β ⋅
∆σ '
⋅ ∆h
E ed
essendo:
H
0
β = A + α (1 – A)
wc = β wed
α=
∫ ∆σ3 dz
______________
H
0
∫ ∆σ1 dz
3
I valori del coefficiente α possono essere dedotti dalla Tabella (2) al variare del rapporto
H/B e della forma del carico.
H/B ; H/D
0.0
0.25
0.50
1.0
2.0
4.0
10.0
∞
α = f(H/D)
(fondazione circolare)
1.0
0.67
0.50
0.38
0.30
0.28
0.26
0.25
α = f(H/B)
(fondazione nastriforme)
1.0
0.74
0.53
0.37
0.26
0.20
0.14
0.0
Tabella 2: Valori del coefficiente α.
I valori del coefficiente β possono essere dedotti da opportuni grafici forniti da Skempton e
Bjerrum (1957), in dipendenza del rapporto H/B, del parametro A, della forma del carico.
Valori orientativi possono essere dedotti dalla Tabella (3) di seguito riportata.
Terreno
β
Argille molli
1.0 ÷ 1.2
Argille N.C.
0.7 ÷ 1.0
Argille S.C.
0.5 ÷ 0.7
Argille fortemente S.C.
0.2 ÷ 0.5
Tabella 3: Valori del coefficiente β.
Evidenze sperimentali mostrano che:
wo/wf = 0.25 ÷ 0.70
wo = (0.5 ÷ 0.6) wed
wc = (0.4 ÷ 0.5) wed
wf = wed
Argille S.C.
wo = 0.1 wed
wc = wed
wf = 1.1wed
Argille N.C.
4
Figura 2: Valori del coefficiente β.
5
ν=0
H/B
L/B
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
4.0
5.0
10.0
∞
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.1
0.098
0.099
0.099
0.099
0.099
0.099
0.099
0.099
0.098
0.2
0.187
0.190
0.191
0.192
0.193
0.193
0.194
0.193
0.191
0.3
0.267
0.274
0.277
0.279
0.281
0.282
0.283
0.284
0.284
0.4
0.338
0.350
0.356
0.359
0.361
0.365
0.366
0.366
0.366
0.5
0.400
0.418
0.427
0.433
0.437
0.441
0.444
0.449
0.446
0.6
0.454
0.479
0.492
0.499
0.504
0.511
0.515
0.522
0.520
0.7
0.500
0.533
0.550
0.560
0.567
0.575
0.580
0.590
0.588
0.8
0.540
0.581
0.602
0.615
0.623
0.634
0.640
0.653
0.651
0.9
0.575
0.624
0.649
0.665
0.675
0.688
0.696
0.711
0.713
1.0
0.604
0.661
0.691
0.710
0.722
0.737
0.746
0.765
0.772
1.1
0.630
0.695
0.729
0.750
0.765
0.782
0.793
0.814
0.821
1.2
0.653
0.724
0.764
0.787
0.803
0.823
0.836
0.860
0.869
1.3
0.672
0.751
0.794
0.821
0.839
0.861
0.875
0.903
0.912
1.4
0.690
0.774
0.822
0.852
0.872
0.897
0.912
0.943
0.956
1.5
0.705
0.796
0.848
0.880
0.902
0.930
0.946
0.980
0.998
2.0
0.762
0.876
0.944
0.990
1.022
1.062
1.086
1.136
1.170
2.5
0.800
0.928
1.010
1.065
1.105
1.158
1.188
1.255
1.308
3.0
0.825
0.963
1.056
1.121
1.168
1.230
1.268
1.350
1.416
4.0
0.858
1.012
1.117
1.194
1.252
1.331
1.382
1.491
1.591
5.0
0.875
1.040
1.155
1.240
1.305
1.395
1.460
1.590
1.743
10.0
0.900
1.090
1.220
1.320
1.410
1.540
1.630
1.850
2.177
20.0
0.920
1.120
1.260
1.370
1.480
1.630
1.740
2.030
2.612
∞
0.946
1.148
1.300
1.424
1.527
1.694
1.826
2.246
∞
Tabella 4: Coefficienti di influenza Iw per ν = 0, Giroud J.P. (1972).
6
ν = 0.3
H/B
L/B
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
4.0
5.0
10.0
∞
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.1
0.075
0.075
0.075
0.075
0.075
0.075
0.075
0.975
0.073
0.2
0.145
0.146
0.147
0.147
0.147
0.147
0.147
0.147
0.145
0.3
0.210
0.214
0.215
0.216
0.217
0.218
0.218
0.218
0.217
0.4
0.271
0.278
0.280
0.282
0.283
0.285
0.286
0.287
0.284
0.5
0.327
0.337
0.342
0.345
0.347
0.350
0.351
0.354
0.349
0.6
0.376
0.391
0.399
0.403
0.406
0.409
0.412
0.416
0.413
0.7
0.419
0.440
0.450
0.456
0.460
0.465
0.468
0.474
0.471
0.8
0.457
0.485
0.498
0.506
0.511
0.518
0.521
0.529
0.525
0.9
0.490
0.525
0.541
0.551
0.558
0.566
0.571
0.580
0.576
1.0
0.519
0.561
0.581
0.592
0.601
0.610
0.616
0.628
0.624
1.1
0.544
0.593
0.617
0.630
0.640
0.651
0.658
0.672
0.670
1.2
0.567
0.621
0.650
0.665
0.676
0.690
0.697
0.713
0.711
1.3
0.586
0.647
0.679
0.697
0.709
0.725
0.734
0.751
0.752
1.4
0.604
0.671
0.706
0.727
0.740
0.757
0.768
0.788
0.791
1.5
0.620
0.692
0.731
0.754
0.769
0.788
0.799
0.822
0.825
2.0
0.678
0.772
0.828
0.862
0.886
0.914
0.930
0.964
0.982
2.5
0.715
0.825
0.893
0.938
0.968
1.008
1.030
1.073
1.104
3.0
0.741
0.862
0.939
0.992
1.031
1.079
1.108
1.164
1.206
4.0
0.770
0.909
1.001
1.066
1.115
1.180
1.221
1.301
1.370
5.0
0.785
0.935
1.040
1.110
1.165
1.245
1.295
1.400
1.498
10.0
0.830
0.980
1.110
1.200
1.280
1.390
1.470
1.650
1.894
20.0
0.840
1.010
1.145
1.260
1.340
1.485
1.585
1.870
2.293
∞
0.861
1.045
1.183
1.296
1.390
1.542
1.662
2.044
∞
Tabella 5: Coefficienti di influenza Iw per ν = 0.3, Giroud J.P. (1972).
7
ν = 0.5
H/B
L/B
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
4.0
5.0
10.0
∞
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.1
0.014
0.012
0.011
0.010
0.009
0.009
0.008
0.008
0.007
0.2
0.046
0.040
0.037
0.035
0.034
0.032
0.031
0.028
0,026
0.3
0.088
0.079
0.075
0.072
0.070
0.067
0.065
0.061
0.055
0.4
0.133
0.123
0.117
0.113
0.110
0.106
0.104
0.098
0.090
0.5
0.177
0.168
0.161
0.157
0.153
0.149
0.146
0.140
0.129
0.6
0.219
0.211
0.204
0.200
0.196
0.192
0.189
0.182
0.167
0.7
0.258
0.253
0.247
0.243
0.239
0.234
0.231
0.224
0.209
0.8
0.293
0.293
0.288
0.283
0.280
0.275
0.272
0.265
0.248
0.9
0.325
0.329
0.326
0.322
0.319
0.315
0.312
0.305
0.284
1.0
0.354
0.363
0.362
0.359
0.356
0.352
0.350
0.344
0.320
1.1
0.379
0.393
0.395
0.394
0.391
0.387
0.385
0.378
0.353
1.2
0.402
0.422
0.426
0.426
0.424
0.421
0.418
0.412
0.386
1.3
0.422
0.448
0.455
0.456
0.455
0.452
0.450
0.445
0.418
1.4
0.441
0.471
0.481
0.485
0.485
0.482
0.481
0.475
0.449
1.5
0.457
0.493
0.506
0.511
0.512
0.511
0.509
0.504
0.476
2.0
0.518
0.576
0.604
0.618
0.624
0.630
0.632
0.630
0.597
2.5
0.558
0.630
0.673
0.695
0.708
0.723
0.728
0.733
0.695
3.0
0.586
0.671
0.722
0.753
0.773
0.793
0.803
0.814
0.778
4.0
0.622
0.724
0.789
0.834
0.864
0.899
0.918
0.945
0.914
5.0
0.645
0.755
0.830
0.885
0.925
0.975
1.000
1.045
1.021
10.0
0.675
0.805
0.890
0.960
1.015
1.085
1.140
1.265
1.346
20.0
0.690
0.830
0.935
1.015
1.075
1.175
1.250
1.455
1.674
∞
0.710
0.861
0.975
1.068
1.145
1.271
1.370
1.685
∞
Tabella 6: Coefficienti di influenza Iw per ν = 0.5, Giroud J.P. (1972).
8
Figura 3: Esempio numerico di calcolo del cedimento totale.
9