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Calcolo del campo magnetico
Campo magnetico in prossimità di un filo rettilineo percorso da corrente
Consideriamo un filo rettilineo percorso da una corrente di intensità i. Nello
spazio circostante al filo si manifesta un campo magnetico le cui linee di
forza sono circonferenze concentriche, con il centro sul filo e disposte su
piani perpendicolari al filo stesso. Il verso delle linee di forza segue quello
delle dita della mano destra che abbraccia il filo, disponendo il pollice nel
verso della corrente.. Il campo magnetico B0 in un punto presso il filo
rettilineo è rappresentato da un vettore tangente alla linea di forza passante
per quel punto. Il verso del vettore B0 è concorde con quello della linea di
campo, mentre la sua intensità è direttamente proporzionale all’intensità
della corrente i e inversamente proporzionale alla distanza r dal filo. Questa
relazione è stata dedotta sperimentalmente dagli scienziati francesi Jean Baptiste Biot (1774 – 1862)
µ ⋅i
e Felix Savart (1791 – 1841) ed è espressa dalla formula: B0 = 0 (Legge di Biot-Savart), dove
2π r
µ0 è la permeabilità magnetica del vuoto.
Disegniamo ora le linee del campo magnetico intorno al filo. Una sezione trasversale del filo
percorso dalla corrente i può essere rappresentata da un piccolo
cerchio: il filo risulta così perpendicolare al piano del foglio. Se
vogliamo indicare una corrente uscente dal foglio, disegniamo
un punto al centro del cerchietto. Se invece
vogliamo indicare una corrente entrante nel
foglio, all’interno del cerchio disegniamo
una crocetta. Le linee di campo magnetico
sono circonferenze concentriche al cerchietto che rappresenta la sezione del filo,
e il loro verso è indicato dalla regola della mano destra come in figura. Il campo
magnetico B0 in un punto qualunque del piano è rappresentato da un vettore
tangente alla linea di campo passante per quel punto, con lo stesso verso della
linea. La lunghezza del vettore è proporzionale all’intensità del campo in quel
punto. Un ago magnetico posto in un punto qualsiasi presso un filo percorso da corrente si orienta in
modo da essere tangente alla linea di campo passante per quel punto. La linea entra nel polo sud
dell’ago ed esce dal nord.
Esempio 1 – Calcolo di B0 nei pressi di un filo percorso da corrente elettrica
Vogliamo calcolare il campo magnetico B0 in un punto P distante 0,50 m da un filo rettilineo percorso dalla
corrente di 10,0 A.
Scriviamo i dati del problema
Distanza di P dal filo:
r = 0,50 m
Intensità di corrente che percorre il filo: i = 10,0 A
Incognita: intensità del campo magnetico B0 .
Analisi e soluzione
Calcoliamo l’intensità del campo magnetico utilizzando la legge di Biot e Savart:
N
⋅10,0 A
A2
= 4,0 ⋅10 − 6 T .
2 π ⋅ 0,50 m
1,257 ⋅10 − 6
B0 =
2
Campo magnetico nel centro di una spira circolare percorsa da corrente elettrica
Una spira circolare è un filo conduttore a forma di anello. Quando la
spira è percorsa da una corrente elettrica, nello spazio circostante si
manifesta un campo magnetico le cui linee di forza sono disposte
intorno al filo conduttore della spira. Nel centro della spira il campo
B0 è un vettore perpendicolare al piano della spira. Il suo verso è
determinato dalla regola della vite destrorsa: è entrante nel piano della
spira se la corrente circola in essa in senso orario, è uscente se la
corrente circola in senso antiorario. L’intensità di B0 è direttamente
proporzionale all’intensità della corrente e inversamente proporzionale
µ ⋅i
al raggio della spira, ed è data dalla regola: B0 = 0 .
2r
Campo magnetico di un solenoide
Un solenoide è una serie di spire formate da un filo conduttore avvolto
su un cilindro. Le spire circolari, percorse dalla stessa corrente, creano
un campo magnetico. Le linee del campo magnetico all’interno del
solenoide sono rettilinee e parallele al suo asse, mentre all’esterno sono
curve e si richiudono su se stesse. Possiamo determinare il verso delle
linee applicando la regola della mano destra: avvolgendo le dita attorno al solenoide secondo il
verso della corrente che percorre le spire, il pollice indica il verso delle linee all’interno del
solenoide. All’esterno le linee proseguono chiudendosi ad anello. Pertanto le linee del campo
magnetico di un solenoide assumono la stessa configurazione delle linee del campo di un magnete
lineare, presentando il polo nord dove le linee escono dal solenoide e il polo sud dove entrano.
All’interno del solenoide, lontano dai bordi, il campo magnetico B0 è uniforme e la sua intensità è
N ⋅i
data dalla formula: B0 = µ 0 ⋅
, dove l è la lunghezza del solenoide e
l
N
N il numero delle spire. Il rapporto
è il numero di spire per unità di
l
lunghezza (o densità lineare) e si indica con n. Possiamo perciò
scrivere: B0 = µ 0 ⋅ n ⋅ i ; pertanto l’intensità del campo magnetico
all’interno di un solenoide è direttamente proporzionale all’intensità di corrente e alla densità
lineare delle spire. L’intensità del campo magnetico non dipende quindi dal raggio delle spire.
Esempio 2 – Campo magnetico all’interno di un solenoide
Calcoliamo il campo magnetico all’interno di un solenoide lungo 0,20 m , percorso da una corrente di 2,5 A
e formato da 8000 spire.
Scriviamo i dati del problema
Lunghezza del solenoide
l = 0,20 m
Numero delle spire
N = 8000
Intensità di corrente
i = 2,5 A
Incognite
Intensità del campo magnetico B0
Analisi e soluzione
Calcoliamo il campo magnetico B0 = 1,257 ⋅10 − 6
N 8000 ⋅ 2,5 A
⋅
= 0,13 T .
A2
0,20 m
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Verifiche di comprensione
1. Quali sono le caratteristiche delle linee di forza del campo magnetico nei pressi di un filo rettilineo
percorso da corrente?
2. Descrivi il metodo per determinare il verso delle linee di forza del campo magnetico generato da un filo
rettilineo percorso da corrente.
3. Come sono direzione e verso del vettore campo magnetico in un punto presso un filo percorso da
corrente?
4. Scrivi la formula che esprime la legge di Biot-Savart.
5. Disegna le linee di forza del campo magnetico intorno a un filo perpendicolare al foglio e percorso da
una corrente entrante nel foglio.
6. Disegna le linee di forza del campo magnetico intorno a un filo perpendicolare al foglio e percorso da
una corrente uscente dal foglio.
7. Come si dispone un ago magnetico posto in un punto presso un filo rettilineo percorso da una corrente
elettrica?
8. In che cosa consiste una spira circolare?
9. Come sono e qual è il verso delle linee di forza del campo magnetico generato da una spira circolare
percorsa da una corrente elettrica?
10. Come si determina la direzione e il verso del campo magnetico generato da una spira circolare percorsa
da corrente elettrica?
11. Quanto vale l’intensità del campo magnetico al centro di una spira percorsa da corrente?
12. In che cosa consiste un solenoide?
13. Come sono le linee di forza del campo magnetico generato da un solenoide percorso da corrente?
14. Come si può determinare il verso delle linee di forza del campo magnetico generato da un solenoide
percorso da corrente?
15. Come si calcola l’intensità del campo magnetico all’interno di un solenoide percorso da una corrente?
Verifiche di conoscenza
1. Un filo rettilineo percorso da corrente genera intorno a sé un campo magnetico B0 le cui linee di forza
sono:
a. semirette uscenti dal filo che giacciono su un piano perpendicolare al filo stesso
b. circonferenze concentriche con il centro sul filo che giacciono su un piano perpendicolare al filo
c. rette parallele al filo disposte intorno ad esso
2. Qual è il verso della corrente, perpendicolare al foglio, che genera delle linee di forza concentriche al filo
e con verso antiorario:
a. entrante nel foglio
b. uscente dal foglio
c. posto in modo casuale
3. Il campo magnetico generato nei pressi di un filo rettilineo percorso da corrente è:
a. direttamente proporzionale alla distanza dal filo e all’intensità della corrente nel filo
b. direttamente proporzionale alla distanza dal filo e inversamente proporzionale alla intensità di
corrente nel filo
c. direttamente proporzionale alla intensità di corrente nel filo e inversamente proporzionale alla
distanza dal filo
4. L’unità di misura della permeabilità magnetica del vuoto, µ0, è pari a:
a.
b.
c.
T
A2
N
A2
A2
N
5. Il campo magnetico al centro di una spira circolare percorsa da una corrente è:
a. direttamente proporzionale al diametro della spira
b. inversamente proporzionale al diametro della spira
c. inversamente proporzionale all’area della spira
4
6. Come è diretto il campo magnetico all’interno del solenoide rappresentato in
figura?
a. da destra a sinistra
b. da sinistra a destra
c. all’interno del solenoide non si può determinare il verso del campo
magnetica, ma se ne può calcolare solamente l’intensità
7. Il campo magnetico all’interno di un solenoide percorso da corrente, nel caso
in cui il diametro delle spire raddoppia,
a. raddoppia
b. rimane costante
c. si dimezza
8. All’interno di un solenoide costituito da N spire, di lunghezza l e percorso dalla corrente i, si genera un
campo magnetico di intensità B0. Se vengono dimezzati contemporaneamente il numero delle spire e la
lunghezza del solenoide, mantenendo costante l’intensità dei corrente, l’intensità del campo magnetico:
a. si dimezza perché si dimezza il numero delle spire
b. raddoppia perché si dimezza la lunghezza
c. rimane costante
9. Quale delle seguenti affermazioni è vera:
a. le linee di forza del campo magnetico all'esterno di un solenoide percorso da corrente vanno dal
polo nord al polo sud, mentre all’interno non possono essere definite
b. le linee di forze del campo magnetico sono linee chiuse e sia all’esterno che all’interno di un
solenoide vanno dal polo nord al polo sud
c. le linee di forza del campo magnetico sono linee chiuse e, assimilando un solenoide percorso da
corrente con un magnete permanente, all’esterno del solenoide vanno dal polo nord al polo sud,
mentre all’interno vanno dal sud al nord
10. Come sono disposti i poli degli aghi magnetici P1 e P2 disegnati in figura?
a. nord a sinistra e sud a destra
b. nord a destra e sud a sinistra
c. dipende da come sono stati posizionati inizialmente
Problemi
1. Considera un filo rettilineo percorso dalla corrente di 0,25 A. Determina l’intensità del campo magnetico
a 10 cm dal filo.
2. Alla distanza di 0,16 m da un filo rettilineo si ha un campo magnetico di intensità B0 = 6,2· 10—6 T.
Calcola l’intensità di corrente che passa nel filo.
3. A che distanza da un filo rettilineo percorso dalla corrente di 2,4 A si ha un campo magnetico di intensità
B0 = 4,8 µT?
4. Un filo di nichel-cromo (ρ = 1,0 · 10—6 Ω·m) lungo 16,0 m e di sezione 0,80 mm2, è soggetto alla
differenza di potenziale di 220 V. Quanto vale l’intensità del campo magnetico alla distanza di 0,20 m
dal filo (Suggerimento: calcola prima la resistenza del filo e poi la corrente…)?
5. Una spira circolar e di diametro 40,0 cm è percorsa da una corrente di 5,0 A. Calcola l’intensità del
campo magnetico al centro della spira.
6. Determina il raggio della spira circolare che percorsa da una corrente di intensità pari a 2,8 A determina
nel suo centro un campo magnetico di 3,4 · 10—5 T.
7. Calcola l’intensità di corrente che percorrendo una spira circolare di raggio di 15 cm determina al centro
della spira un campo magnetico di 8,0 · 10—8 T.
8. Calcola il campo magnetico al centro di un solenoide lungo 1,0 cm e percorso dalla corrente di 0,20 A e
formato da 20 spire.
9. Determina quante spire deve avere un solenoide lungo 5,0 cm e percorso dalla corrente di 0,16 A
affinché il campo magnetico al suo interno valga 8,0 · 10—5 T.
10. Calcola quanto vale la densità lineare delle spire di un solenoide che, percorso dalla corrente di 0,40 A,
presenta al proprio interno un campo magnetico di intensità 6,3 · 10—5 T.