Lezione VII: Competizione oligopolistica
• Oligopolio: poche imprese, non così piccole
da implicare che le loro decisioni non abbiano un significativo impatto sulle rivali.
• Ex:1) Coca Cola vs Pepsi Cola;
2) Compaq vs Dell;
3) Tim vs Vodafone.
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
1
Il modello di Bertrand (1883)
Punti di partenza:
• La fissazione dei prezzi è una componente
cruciale del processo decisionale di un’impresa.
• In oligopolio, la domanda che si rivolge ad
un’impresa (e quindi i suoi profitti) dipende
anche dai prezzi praticati dalle concorrenti.
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
2
Nella sua versione duopolistica, il modello di Bertrand
assume:
1)
2)
3)
due imprese (1 e 2), indicate da i e j (i, j = 1,2, i  j);
costi marginali/medi costanti e identici: Ci(qi) = cqi;
prodotto omogeneo (e consumatori informati).
Segue da (3) che (con D(p) domanda di mercato):
0
Di(pi, pj) = D(pi)/2
D(pi)
se pi > pj
se pi = pj
se pi < pj
domanda per il prodotto dell’impresa i.
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
3
La domanda per il prodotto dell’impresa i,
Di(pi, pj) .
pi
D(p): curva di domanda di mercato
pj
·
Di(pi, pj)
D(pj)/2
D(pj)
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
qi
4
Si supponga che le imprese debbano scegliere
simultaneamente i loro prezzi. Chiaramente, la
situazione descritta è quella di un gioco di strategia, in cui le decisioni di ciascuna impresa dipendono dalle congetture sul prezzo della rivale.
Le funzioni di payoff rilevanti sono date,
ovviamente, dal valore dei profitti:
• i(pi, pj) = pi Di(pi, pj) – Ci(Di(pi, pj))
• = (pi - c)Di(pi, pj)
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
5
Si ragioni in termini di risposta ottima dell’impresa i:
se pj > pm
——> pi* = pm,
se pm  pj > c
——> pi* = pj -  (cioè, “appena
meno”, del rivale)
se c  pj
——> pi* = c (ovvero, pi* > pj, siccome il profitto è comunque nullo).
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
6
Graficamente:
pi
45°
pm
pi*(pj)
c
c
p
Risposta ottima o
“curva di reazione”
di i
pj
m
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
7
Un NE del gioco di Bertrand è null’altro che
una coppia di prezzi (p1, p2) (detta Equilibrio
di Bertrand) tale che nessuna impresa possa
deviare convenientemente.
• Ciò richiede che debba valere:
• p1 = p1*(p2) e p2 = p2*(p1),
• ovvero che le curve di reazione si intersechino ad un NE.
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
8
Graficamente: N = Equilibrio di Bertrand
Curva di reazione di j
pj*(pi)
pi
45°
pm
pi*(pj)
N
Curva di reazione di i
c
c
pm
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
pj
9
Chiaramente, la coppia di prezzi (p1N = c,
p2N = c) è l’unico equilibrio di Bertrand!
• L’aspetto cruciale è l’incentivo a ribassare il
prezzo della concorrente.
• Si supponga che pj = p > c:
• se pi = pj = p ——> i = D(p)(p - c)/2
• se pi = p - 
——> i = D(p - )(p -  - c)
• con i  2i se  è sufficientemente piccolo.
•  nessuna coppia (p, p) può essere un NE (poiché
il gioco è simmetrico è naturale che lo sia anche il
suo equilibrio).
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
10
Si noti il cosiddetto Paradosso di Bertrand:
• Persino con due sole imprese (al posto di un monopolio) il prezzo di equilibrio risulta (come in concorrenza perfetta) uguale al costo marginale, e dunque i profitti sono nulli (e sarebbero negativi se vi fossero dei
costi fissi)!
• Questo risultato è contraddetto dall’evidenza empirica, che suggerisce:
1) normalmente i duopolisti fanno profitti elevati;
2) l’aumento del numero dei competitori diminuisce gradualmente il prezzo di mercato.
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
11
Il paradosso di Bertrand: spiegazioni
• Possibili “spiegazioni” fanno riferimento alla possibilità che non basti un piccolo ribasso per ottenere tutta la domanda, o comunque che non sia
conveniente ribassare il prezzo delle concorrenti.
Ciò accade se:
• 1) i prodotti sono differenziati (non basta un piccolo ribasso per ottenere lo spostamento di tutti i
consumatori: cap. 12);
• 2) l’interazione è “dinamica” (abbiamo visto che
nei “giochi ripetuti” occorre esaminare l’effetto
collegato a possibili future ritorsioni a comportamenti “opportunistici”: cap. 8).
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
12
Modello di Bertrand: estensioni
1) Prima di esaminare una terza “via di fuga” dal
paradossale risultato di Bertrand, consideriamo
cosa accadrebbe in una versione oligopolistica,
con n > 2 imprese simmetriche, del precedente
modello di duopolio.
Non è difficile capire che in tale versione l’equilibrio di Nash prevede che almeno due imprese
scelgano il prezzo uguale al costo marginale, mentre tutte le altre sceglieranno un qualunque prezzo
non inferiore. Si conferma dunque l’irrilevanza
del numero di imprese (purché maggiore di 1).
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
13
Modello di Bertrand: estensioni
continuazione
2) Si consideri il caso asimmetrico in cui:
C1’(q1) = c1 > c2 = C2’(q2).
Si rammenti ora che il prezzo di monopolio
di un’impresa dipende dal suo costo marginale (a parità di domanda). Perciò la precedente assunzione implica anche che, in
generale:
p1m > p2m.
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
14
N = Equilibrio di Bertrand
asimmetrico
p2*(p1)
45°
Graficamente:
p1
p1m
p2m
p1*(p2)
N
c1
c2
c2
c1
p2m p1m
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
p2
15
Nell’equilibrio asimmetrico sopra descritto:
•
•
Ovvero, l’impresa 2, “più efficiente”, “spiazza”
l’impresa 1, ribassando il costo marginale della
concorrente e ottenendo il profitto:
•
•
NE: (p1N = c1, p2N = c1 -  )
2N = (c1 -  – c2) D(c1 - )  (c1 – c2) D(c1)
L’impresa 1, “meno efficiente”, pratica un prezzo
marginalmente superiore alla concorrente, non
vende pertanto nulla e ottiene un profitto nullo.
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
16
Duopolio di Bertrand asimmetrico: continuazione
• Si noti che l’equilibrio asimmetrico è sostanzialmente equivalente alla coppia di prezzi:
• (p1= c1 + , p2= c1).
• Si noti inoltre che esso è valido se i costi marginali
non sono “troppo” differenti (c1  p2m).
• Se invece fosse c1 > p2m, allora l’equilibrio sarebbe: (p1N= c1, p2N= p2m), con 2N = 2m e 1N = 0.
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
17
Un altro modo di sfuggire al risultato di
Bertrand è supporre che vi siano vincoli di
capacità (Edgeworth, 1897)
• Ex: supponiamo che l’impresa i abbia capacità
produttiva ki (quindi qi  ki), i = 1,2.
• Ne segue che persino se fosse pi > pj l’impresa i
dovrebbe disporre di una “domanda residuale”
positiva se D(pi) > kj (data appunto da D(pi) - kj).
• E’ facile vedere che, in tale contesto, il risultato di
Bertrand non si applica se le capacità produttive,
appunto, non sono “troppo grandi”.
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
18
Graficamente (P2(q) = P(q + k1) è la curva di domanda residuale dell’impresa 2):
p
p* = P2(k2) = P(k1 + k2)
p*
R2’(k2)
P(q)
R2’(q)
0
k1 k2 k1+k2
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
P2(q)
q
19
Supponiamo per semplicità che i costi marginali
siano nulli (cioè C1’(q1) = C2’(q2) = 0).
•
(p1 = p*, p2 = p*) è un NE del gioco di
Bertrand con i vincoli di capacità indicati
graficamente.
•
Per vederlo, consideriamo l’impresa 2
(per l’altra impresa il ragionamento sarebbe
simile), supponendo p1 = p* :
•
a) un prezzo p2 < p* non sarebbe conveniente, poiché si venderebbe comunque la
quantità k2 ad un prezzo inferiore.
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
20
Vincoli di capacità: continuazione
• b) un prezzo p2 > p* non sarebbe invece conve-
niente perché l’impresa per la quantità q2 = k2 ha
un ricavo marginale, R2’(k2), maggiore del costo
marginale, C2’(k2) = 0, e dunque vorrebbe semmai vendere di più (anche ad un prezzo inferiore).
• Q.E.D.
• Più in generale, se ki < D(c) il risultato di
Bertrand non vale.
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
21
Inoltre:
• Si può mostrare che, se le imprese decidono prima
quanta capacità produttiva installare e poi quali
prezzi praticare (in un gioco a due stadi), nell’unico
SPNE di tale gioco emerge esattamente la situazione sopra illustrata (Kreps & Sheinkman, 1983).
• Le imprese scelgono cioè strategicamente la capacità installata (nel lungo periodo) per rendere credibile che non abbasseranno (nel breve periodo) il
prezzo sino al costo marginale, ottenendo così profitti positivi .
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
22
Infine:
• Si noti che il precedente risultato con vincoli
di capacità si applicherebbe anche al caso
nel quale le quantità di prodotto da vendere
(se non troppo elevate) venissero realizzate
prima della determinazione dei prezzi.
• In tal caso, cioè, il prezzo di equlibrio (pi =
p*) sarebbe quello in grado di far assorbire
al mercato tutto l’output prodotto dalle imprese (p* = P(q1 + q2)).
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
23
Il Duopolio di Cournot (1838)
• Il modello di Cournot si basa esattamente su quest’ultima ipotesi. Ovvero, assumendo omogeneità
del prodotto, immagina che le (due) imprese scelgano simultaneamente le loro quantità (piuttosto
che i loro prezzi), nell’ipotesi che il prezzo sarà
quello che permette al mercato di assorbirle. Cioè:
• p = P(q1 + q2),
• dove P(q) è la curva (inversa) di domanda del
mercato, e q = q1 + q2 la quantità prodotta complessivamente.
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
24
Duopolio di Cournot: continuazione
Nella forma normale del gioco di Cournot:
• a) le imprese 1 e 2 (simmetriche nel caso
base) scelgono simultaneamente q1 e q2;
• b) le funzioni di payoff per ciascuna impresa
sono date dal valore del loro profitto:
• i(qi, qj) = P(q1 + q2)qi – cqi
(assumendo costi unitari costanti).
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
25
Ancora una volta, per risolvere il gioco, si consideri la funzione di risposta ottima (o “curva
di reazione”) dell’impresa i, qi*(qj):
Se l’impresa i si aspetta la produzione della quantità qj da parte del suo concorrente, il suo comportamento ottimale è quello di un monopolista che
abbia come curva di domanda la domanda residuale data da:
Pi(qi) = P(qi + qj),
e dunque “ricavo marginale” pari a:
Ri’(qi) = Pi’(qi)qi + Pi(qi) = P’(q)qi + P(q).
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
26
Ex: qi* è la risposta ottimale a qj.
p
Ri’(qi) = P’(q)qi + P’(q)
q = qi + qj
Pi(qi*)
C’
c
P(q)
Ri’(qi)
0
qj qi* qi* + qj
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
Pi(qi)
q
27
Si notino i due casi particolari:
• 1) se qj = 0  qi* = qm (poiché Pi(qi) = P(qi))
• 2) se qj = qe (dove P(qe) = c)  qi* = 0
(poiché Pi(0) = c)
• Il risultato (2) dipende dall’assunzione di costi marginali costanti, ed è illustrato nel prossimo grafico.
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
28
Ex: qi* = 0 è la risposta ottimale a qj = qe.
p
C’
c
P(q)
Pi(qi)
qi* = 0
Ri’(qi)
qj = qe
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
q
29
L’aumentare di qj diminuisce necessariamente la curva di domanda residuale di i.
• Ciò suggerisce che la funzione qi*(qj) sia decrescente, compresa tra un valore massimo pari alla
quantità di monopolio e un valore minimo nullo.
• Tale congettura risulta confermata nel caso, cui
ora rivolgiamo la nostra attenzione, in cui anche la
domanda risulti lineare.
• Tuttavia, se la domanda non fosse concava (e la
funzione di costo non fosse convessa), tale risultato non sarebbe garantito.
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
30
Ex: il caso lineare (P(q) = a – bq, a > c)
• i(qi, qj) = Ri(qi,qj) – C(qi) = P(qi + qj)qi – cqi
La FOC per la massimizzazione dei profitti di i conferma che una sua risposta ottima alla quantità qj della
concorrente deve soddisfare la condizione che il suo
“ricavo marginale”, Ri/qi = P’(q)qi + P(q), sia pari
al suo costo marginale, c:
• i/qi = P’(q)qi + P(q) – c = 0.
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
31
Il caso lineare: continuazione
• Sostituendo i parametri della domanda si
ottiene:
• - bqi + a – bqi – bqj – c = 0
• 
• qi*(qj) = (a – c)/(2b) – qj/2
• (si noti che la SOC  2i/qi2 = P’’(q)qi +
2P’(q) =  2Ri/qi2 = - 2b < 0 è soddisfatta).
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
32
Il caso lineare: continuazione
• Si noti che :
• dqi*/dqj = - ½,
• qi*(0) = (a – c)/(2b) = qm,
• qi*(qe) = 0
(dove qe = (a – c)/b).
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
33
Il caso lineare graficamente:
qi
tg  = 1/2
qm
qi*(qj)

qe
0
qj
qi*(qj) è la curva di reazione di i.
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
34
Come nel caso del modello di Bertrand, l’equilibrio di
Nash del gioco di Cournot può essere localizzato come
intersezione delle curve di reazione.
Ovvero, un “Equilibrio di Cournot” è costituito
da una coppia di quantità (q1, q2) tali che:
q1 = q1*(q2) e q2 = q2*(q1)
(ovviamente, le curve di reazione saranno simmetriche se lo sono le imprese, e simmetrico sarà l’equilibrio, che può pertanto essere identificato anche attraverso la condizione qiN = qi*(qiN),
dove l’apice N indica i valori di equilibrio).
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
35
Graficamente (caso lineare):
qi
qe

qm
qiN
qj*(qi)
45°
tg  = 1/2
N
qi*(qj)

qj
0
qjN qm
qe
N è l’Equilibrio di Nash del gioco di Cournot.
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
36
Il caso lineare - conclusione:
Risolvendo il sistema dato dalle due curve di
reazione si ottiene in effetti facilmente che:
• q1N = (a – c)/(3b) = q2N,
• qN = q1N + q2N, pN = P(qN) = (a + 2c)/3.
• Perciò:
• qe > qN > qm e pm > pN > pe = c,
e anche
• We > WN > Wm.
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
37
Graficamente: qe > qN > qm.
qi
qe
qm
tg = 1
qi + qj = qe
qj*
N
qi + q j = qm
qi*

0

qm
qe
qj
.
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
38
I precedenti risultati suggeriscono che, dal punto di vista del benessere collettivo, il duopolio
(à la Cournot) sia una forma di mercato intermedia tra il monopolio e la concorrenza perfetta.
• Con imprese identiche (e costi unitari costanti) tale
conclusione vale in effetti in generale e non nel solo
caso lineare.
• Nelle valutazioni di efficienza comparata occorre invece tenere conto delle differenze di costo, e della
presenza di eventuali economie di scala, se le tecnologie sono differenti e/o con costi unitari variabili.
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
39
Modello di Cournot: estensioni
• Il modello duopolistico sopra presentato si estende
comunque facilmente al caso di imprese asimmetriche e costi marginali crescenti.
• Supponiamo che sia C1’ > C2’. Ciò implica che
risulti:
• q1m < q2m e q1e < q2e
come mostriamo nel grafico seguente.
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
40
Imprese asimmetriche: C1’(q) > C2’(q)
C1’
C2’
R’(q)
0
P(q)
q1m q2mq1e
q2e
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
q
41
Modello di Cournot: estensioni
• Manipolando la FOC che definisce la curva di
reazione si ottiene facilmente che:
• P’(q)qi + P(q) = Ci’(qi)
ovvero
• Li (qi, qj) = (P(q) - Ci’(qi))/P(q)
= -P’(q)qi/P(q) = si (qi, qj)/(q)
dove  è l’elasticità della domanda, Li è l’indice di
Lerner dell’impresa i e si = qi/q è la sua quota di
mercato.
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
42
Modello di Cournot: estensioni
• Perciò, nell’equilibrio di Cournot:
• LiN = siN/N,
• dove LiN = Li (qiN, qjN), siN = si (qiN, qjN) e N = (qN).
• Poiché il prezzo di equilibrio sul mercato è unico, ne
segue che l’impresa col costo marginale più elevato
avrà la minore quota di mercato.
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
43
Imprese asimmetriche – il caso lineare
• Si noti che, nel caso lineare, (q) = (a - bq)/(bq).
• Perciò, se le imprese sono simmetriche, la
precedente condizione diventa:
• (a – bqN – c)/(a – bqN) = siN bqN/(a – bqN),
ovvero (siN = ½)
• a – bqN - c = bqN/2,
e quindi
• qN = 2(a – c)/(3b) = 2qe/3 ,
come già sapevamo.
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
44
Imprese asimmetriche – il caso lineare
continuazione
• Si noti che la quantità del monopolista si ottiene dalla
formula precedente ponendo siN = 1. Intuitivamente,
poiché se diminuisse il proprio prezzo ciascuna impresa
sottrarrebbe anche clienti al competitore, tutto è come se
l’elasticità della domanda fosse aumentata (da  a /si).
• Se ora C1’ = c1 > c2 = C2’, la precedente condizione si
sdoppia in:
• a – bqN – c1 = bq1N
e
• a – bqN – c2 = bq2N.
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
45
Imprese asimmetriche – il caso lineare
continuazione
• Sommando le due precedenti espressioni si ottiene facilmente:
• qN = (2a – c1 – c2)/3b = 2(a – (c1 + c2)/2)/3b,
• pN = P(qN) = (a + c1 + c2)/3,
e perciò
• qiN = (a + cj – 2ci)/3b,
• siN = (a + cj – 2ci)/(2a – ci – cj),
• LiN = (a + cj – 2ci)/(a + ci + cj).
con siN > sjN e LiN > LjN se e solo se ci < cj.
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
46
Imprese asimmetriche – il caso lineare
conclusione 1
• I medesimi risultati si ottengono riderivando le
curve di reazione e mettendole a sistema.
• In particolare, dalla FOC:
• i/qi = P’(q)qi + P(q) – ci = 0,
• si ottiene immediatamente che:
• qi*(qj) = (a – ci)/(2b) – qj/2.
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
47
Imprese asimmetriche (caso lineare): p2m > c1 > c2
q2
q1e
q2N > q1N

q2m
q2N
q1*(q2)
45°
tg  = 1/2
N
q2*(q1)

0
q1N
q1m
q2e
q1
q2m < q1e
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
48
Imprese asimmetriche – il caso lineare
conclusione 2
• Si noti graficamente che l’equilibrio fin qui descritto
richiede che q2m  q1e, ovvero:
• p2m = (a + c2)/2  c1.
• Se invece fosse c1 > p2m, ovvero le differenze tra i costi
marginali fossero così grandi da “spiazzare” del tutto
l’impresa “meno efficiente”, allora si otterrebbe:
• q1N = 0, q2N = (a - c2)/2b = q2m
come indicato nel grafico seguente (si rammenti che, nel
caso lineare, qi*(qj) = 0 se qj  qie).
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
49
Imprese asimmetriche (caso lineare): c1 > p2m
q2
45°
N
tg  = 1/2
q2N = q2m
q1e
q2*(q1)

q1*(q2)
N
q1 = 0
q1m

q2e
q1
q2m > q1e
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
50
Bertrand (B) vs Cournot (C)
• Il modello di Bertrand è nato storicamente
come una critica a quello di Cournot, che
metteva al centro dell’analisi le scelte di
produzione piuttosto che quelle di prezzo.
• Le implicazioni dei due modelli sono in
effetti molto diverse:
• B:
pB = c  qB = qe.
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
51
Manipolando la FOC che definisce le curve di
reazione si ottiene invece:
pC = c – P’(qC)qiC > c  qC < qe
(mark up oligopolistico).
• Qual è il modello “giusto”?
• Dipende dal tipo di industria. Se le imprese
devono scegliere oltre ai prezzi anche la loro
capacità produttiva (o l’effettivo livello di produzione), allora quale modello risulti più adeguato dipende dall’ordine temporale delle
decisioni.
• C:
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
52
Usando un modello di gioco a due stadi:
1) se le scelte di capacità produttiva (o di
output) sono più difficili (richiedono più
tempo) da modificare di quelle di prezzo:
LP: k, q

Cournot
BP: p
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
53
2) se invece è più facile modificare l’output
che i prezzi:
LP: p

Bertrand
BP: k, q
• (in effetti il modello di Bertand prevede che
le imprese soddisfino tutta la domanda che
si rivolge loro (in assenza di vincoli di capacità produttiva)).
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
54
Molte industri sembrano più vicine allo scenario previsto dal modello di Cournot.
Ex: acciaio, automobili, computer, videogame
(nel 1999 la Nintendo cambiò i suoi prezzi
un’ora dopo che l’aveva fatto la Sony!).
Per altre, comunque, l’ipotesi che le quantità
possano adeguarsi quasi istantaneamente
non è fuori luogo. Ex: servizi bancari, assicurativi, software (si rammenti che il risultato di Bertrand richiede anche uniformità di
prodotto e interazione one shot).
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
55
Qualche applicazione dei modelli
oligopolistici
• Il confronto tra i valori di equilibrio di un modello
in corrispondenza di differenti valori delle variabili esogene è detto esercizio di statica comparata.
• Ex. 1: costo degli input e prezzo del prodotto.
In un equilibrio (di lungo periodo) di concorrenza
perfetta, se i costi di produzione aumentano nella
stessa proporzione aumenta anche il prezzo del
prodotto (indipendentemente dall’elasticità della
domanda).
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
56
Cosa accade in oligopolio (ragionamento
simile si potrebbe fare per il monopolio)?
Supponiamo:
1. Duopolio à la Cournot
2. Imprese identiche, “fondamentali” lineari
3. Un aumento del costo marginale:
C’ = c  c° = C’° > c
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
57
La curva di reazione si sposta verso il basso:
p
qe > qe°, qm > qm°
c°
C’°
c
C’
P(q)
R’(q)
0
qm° qm qe°
qe
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
q
58
L’equilibrio si sposta lungo la retta a 45°:
qi
qm
45°
qi*(qj)
N
qm°
N°
qi*°(qj)
qe°
0
qe
qj
qN > qN°
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
59
Riprendendo le formule per il caso lineare asimmetrico, si ottiene:
• pN = P(qN) = (a +2c)/3 = c,
dove  = (a/(3c) + 2/3) > 1.
• Perciò pN/c = 2/3, e dpN = 2/3dc.
• Ovvero:
dpN/pN = (2/3)dc/pN = ((2/3)/)dc/c.
Perciò l’aumento del prezzo è proporzionalmente
meno di 2/3 di quello del costo marginale!
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
60
L’intuizione del risultato precedente è semplice:
• In duopolio il prezzo è più elevato del costo,
ma il mark up dipende dall’elasticità della
domanda.
• Se l’aumento del prezzo causato dall’aumento del costo fa aumentare l’elasticità
(come nel caso lineare), allora quest’ultimo
viene “passato” solo parzialmente al prezzo,
che cresce meno che proporzionalmente.
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
61
Ex. 2: Fluttuazioni del tasso di cambio e quote di mercato.
• Supponiamo che un’impresa statunitense e un’impresa europea competano à la Cournot sul mercato
USA, con fondamentali lineari.
• Inoltre CU’ = cU = 10$ e CE’ = cE = 10€.
• Inizialmente, il cambio sia 1$ = 1€. Supponiamo
che il cambio si rivaluti successivamente a favore
del dollaro del 100%, ovvero 1$ = 2€ e quindi,
tradotto in dollari, cE° = 5$.
• Cosa accadrà? La curva di reazione dell’impresa
europea si allontanerà dall’origine, mentre quella
dell’impresa statunitense non si muoverà.
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
62
Graficamente, l’equilibrio si sposta lungo la curva
di reazione dell’impresa statunitense:
qE
45°
qUe
tg  = ½
qU*(qE)
tg  = 1
qEm°
tg  = 2
N°
qEm
qE*°(qU)
N

0
 
qUm qN° qEe

qEe° qU
qEN° > qEN = qUN > qUN° e qN < qN°
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
63
Si noti che la retta di “inclinazione unitaria” (di equazione qU + qE = qN°) che passa per N° e sopra il
punto N dimostra che nel nuovo equilibrio la quantità complessivamente prodotta è aumentata (ovvero
qN° > qN).
• Lo stesso risultato si ottiene riconsiderando la
formula:
• qN = 2(a – (c1 + c2)/2)/3b,
• dalla quale si deduce che l’ammontare complessivamente prodotto nell’equilibrio di Cournot asimmetrico dipende dal valore medio dei costi
marginali.
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
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Calibrazione:
• Si parla di calibrazione quando i valori di equilibrio delle variabili vengono utilizzati per determinare i valori dei parametri dei fondamentali.
• Nel nostro esempio, se pN = 20$, allora deve essere:
• a = 3pN – 2c = 40$.
• Perciò:
• sEN° = (40 + 10 – 10)/(80 – 10 – 5) = 40/65
•  61,54%
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
65
Si noti che:
• Il dimezzamento del costo unitario dell’impresa
europea comporta l’aumento della sua quota di
mercato solo di poco più del 20% (da 0, 5 a circa
0,62).
• In effetti, è il caso di notare che l’equilibrio di
Cournot non distribuisce in maniera “efficiente” la
produzione tra le imprese, diversamente da quanto
accade in concorrenza perfetta (al fine di minimizzare il costo complessivo, tutta la produzione dovrebbe essere realizzata dall’impresa europea).
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
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Ex. 3: Innovazione e profitti.
Supponiamo che, in presenza di fondamentali lineari, le imprese duopolistiche utilizzino tecnologie di diversa anzianità.
In particolare, assumiamo: c1 < c2.
Quale somma massima dovrebbe essere
disposta a pagare l’impresa 2 per accedere alla nuova tecnologia?
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
67
La risposta è naturalmente data dalla differenza nei
profitti dell’impresa 2 nelle due situazioni (con la nuova o con la vecchia tecnologia), ovvero: 2N° - 2N.
Riprendendo le formule del caso asimmetrico (che
naturalmente ci dicono che l’impresa più efficiente, che produce di più con un margine di profitto
unitario più elevato, farà maggiori profitti):
iN = (pN - ci)qiN =
[(a + cj – 2ci)/3][(a + cj – 2ci)/(3b)]
= (a + cj – 2ci)2/(9b).
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
68
Innovazione e profitti: continuazione
Tornando a calibrare il modello, supponiamo:
pN = 20, qN = 10, c1 =10 e c2 = 15.
Ne segue che:
a = 3pN - c1 - c2 = 35,
b = (2a - c1 - c2)/(3qN) = (70 -25)/30 = 1,5.
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
69
Innovazione e profitti: continuazione
•
•
Perciò:
• 2N = (a + c1 – 2c2)2/(9·1,5) = 152/13,5 
16,7,
2N° = (a + c1 – 2c2°)2/(9·1,5) = 252/13,5 
46,3,
2N° - 2N  29,6.
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
70
Innovazione e profitti: continuazione
• Per evidenziare la rilevanza delle analisi di
statica comparata, si considerino le due seguenti “approssimazioni” al risultato precedente.
• 1) q2N = (a + c1 – 2c2)/(3b) = 15/4,5  3,3
• 2 = (c2 – c1)q2N  16,5 < 29,6
(qui l’errore principale è che il passaggio alla nuova tecnologia fa aumentare la produzione e non solo il margine di profitto unitario).
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
71
Innovazione e profitti: continuazione
• 2) q1N = (a + c2 – 2c1)/(3b) = 30/4,5  6,7
• 1N = (pN – c1)q1N  (20 - 10)6,7 = 67
• 2 = 1N - 2N  50,3 > 29,6
(qui i problemi principali sono due: a) la quantità dell’impresa 1 nell’equilibrio iniziale era dovuta al suo
vantaggio rispetto al competitore, e dunque non può
essere “replicata” (qiN° = 25/45,5  5,6); b) con l’adozione della nuova tecnologia da parte dell’impresa 2 il
mercato diviene più competitivo e il prezzo di mercato
scende (pN° = 55/3  18,3)).
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
72
Innovazione e profitti: continuazione
• Si noti infine che la diminuzione del profitto realizzato dall’impresa 1 in seguito all’introduzione dell’innovazione di processo da parte dell’impresa 2 è data
da
• 1N - 1N°  67 - 46,3 = 20,7
Tale somma costituirebbe quella minima che l’impresa
1 dovrebbe richiedere all’impresa 2 se fosse lei ad aver
brevettato la nuova tecnologia. Si noti che risulta
inferiore a quella massima che l’impresa 2 dovrebbe
essere disposta a pagare, suggerendo così la possibilità
di un miglioramento paretiano.
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
73
Innovazione e profitti: continuazione
• Infine, notiamo che ovviamente i nostri risultati dipendono dall’assunzione di competizione à la Cournot.
• Supponiamo invece che le imprese competano à la Bertrand. Nell’equilibrio iniziale risulterebbe, come sappiamo:
• p1N = c2 < p2N = c2 + , con 2N = 0 e
• 1N = (c2 – c1)D(c2) = (15 - 10)(35 - 15)/1,5 
66,7
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
74
Innovazione e profitti: conclusione
• Comunque, nel caso di competizione à la
Bertrand l’impresa 2 non avrebbe alcun incentivo ad acquistare la medesima tecnologia dell’impresa 1, perché il suo profitto resterebbe nullo!
• Si tratta di un’altra faccia del paradosso di
Bertrand.
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
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Una giustificazione “dinamica” dell’equilibrio
di Cournot:
• Riconsideriamo il grafico rappresentante le curve di
reazione nel caso lineare, e supponiamo il seguente
processo pseudo dinamico:
• al tempo 0 l’impresa 1 sceglie un qualche livello di
produzione per la propria impresa;
• al tempo 1 l’impresa 2 sceglie il proprio livello ottimale di produzione dato quello scelto al tempo 0 dal
suo competitore;
• al tempo 2 l’impresa 1 sceglie il proprio livello ottimale di produzione dato quello scelto al tempo 1 dal
competitore;
• Etc.
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
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La “stabilità” dell’equilibrio di Cournot (caso
lineare)
q2
q1*(q2)
N
q25
q23
q21
0
q2*(q1)
q14 q12
q10
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
q1
77
Si noti che:
• L’aggiustamento dinamico descritto postula un
comportamento particolarmente naive da parte
delle imprese, che prendono decisioni di produzione a periodi alternati continuando a supporre
che il competitore mantenga costante la propria
produzione a livello del periodo precedente …
• Si tratta a ben vedere di una pseudo dinamica che
“giustifica” l’equilibrio ma non il processo attraverso il quale esso è raggiunto. Si potrebbe naturalmente utilizzare anche per “giustificare” il concetto stesso di equilibrio di Nash (se il sottostante
processo risultasse stabile).
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
78
Un’altra giustificazione dell’equilibrio nel duopolio di Cournot (caso lineare, simmetrico).
• La curva di reazione si può utilizzare per definire
il seguente processo di eliminazione iterativa di
strategie dominate.
• Si noti che, essendo il gioco simmetrico, ogni eliminazione valida per il giocatore i si applicherà a
entrambi i giocatori.
• Passo 1: ogni scelta di produrre più della quantità
di monopolio è dominata dall’opzione per quest’ultima quantità.
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
79
Eliminazione di strategie dominate nel duopolio di Cournot (lineare, simmetrico).
• Passo 2: dunque ogni scelta di produrre
meno di:
• qi*(qm) = (a – c)/(2b) – qm/2
• = (a – c)/(4b) = qm/2
• sarà dominata da tale quantità.
• L’argomento è illustrato nel grafico
successivo.
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
80
Eliminazione di strategie dominate nel duopolio di Cournot (lineare, simmetrico). Passo 2
qi
45°
qm
qi*(qm)
0
qi*(qj)
qm
qe
qj
Intervallo “rimanente”: qi  [qm/2, qm]
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
81
Eliminazione di strategie dominate nel duopolio di Cournot - continuazione
• Passo 3: a questo punto dunque ogni scelta
di produrre più di:
• qi*(qm/2) = (a – c)/(2b) – qm/4
• = 3(a – c)/(8b) = 3qm/4
• sarà dominata da tale quantità.
• L’argomento è nuovamente illustrato
nel grafico successivo.
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
82
Eliminazione di strategie dominate nel duopolio di Cournot (lineare, simmetrico). Passo 3
qi
45°
qm
qi*(qm/2)
qm/2
0
qi*(qj)
qm/2
qm
qe
qj
Intervallo “rimanente”: qi  [qm/2, 3qm/4]
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
83
Eliminazione di strategie dominate nel duopolio di Cournot - continuazione
• Passo 4: perciò ogni scelta di produrre
meno di:
• qi*(3qm/4) = (a – c)/(2b) – 3qm/8
• = 5(a – c)/(16b) = 5qm/8
• sarà dominata da tale quantità.
• Si veda il grafico successivo.
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
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Eliminazione di strategie dominate nel duopolio di Cournot (lineare, simmetrico). Passo 4
qi
45°
qm
m/4
3q
qi*(3qm/4)
qm/2
0
qi*(qj)
qm/2 3qm/4 qm
qe
qj
Intervallo “rimanente”: qi  [5qm/8, 3qm/4]
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
85
Eliminazione di strategie dominate nel duopolio di Cournot - conclusione
• E’ facile immaginare (e si può provare) che il processo continuerà sino a ridurre l’insieme delle
strategie non dominate all’unico valore qm corrispondente ad un punto fisso della curva di reazione:
• qm = qi*(qm) = (a – c)/(2b) – qm/2,
• cioè
• qm = (a – c)/(3b) = qiN,
• ovvero  = 2/3.
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
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Eliminazione di strategie dominate nel duopolio di Cournot - conclusione
• L’equilibrio del duopolio di Cournot è dunque anche l’equilibrio in strategie dominanti
dopo l’iterativa eliminazione delle strategie
dominate del gioco di Cournot (nel caso lineare).
• qiN corrisponde in effetti all’unica strategia
di produzione “non dominata”.
IO: VII Lezione (P. Bertoletti)
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