Proprietà tensoriali e momenti angolari - 1
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Università degli Studi di Padova
Dipartimento di Scienze Chimiche
Momenti angolari – p. 1/1
Indice
1. Momenti angolari
2. Rotatore rigido
3. Accoppiamento di due momenti angolari
4. Accoppiamento di tre o più momenti angolari
5. Rotazioni
6. Matrici di Wigner
7. Tensori sferici
8. Teorema di Wigner-Eckart e prodotti di tensori sferici
9. Applicazioni
Momenti angolari – p. 2/1
Momenti angolari - 1
~ = ~r × p~, vale a dire
Il momento angolare classico di una particella è L
Lx = ypz − zpy , Ly = zpx − xpz e Lz = xpy − ypx .
Equivalente operatore quantomeccanico
∂
~
∂
−z
Lx =
y
i
∂z
∂y
∂
~
∂
−x
Ly =
z
i
∂x
∂z
∂
~
∂
−y
x
Lz =
i
∂y
∂x
Operatore modulo quadrato del momento angolare
L2 = L2x + L2y + L2z
Momenti angolari – p. 3/1
Momenti angolari - 2
Proprietà di commutazione - Posizione - [Li , xj ] = iijk xk
[Lx , x] = 0
[Lx , y] = iz
[Lx , z] = −iy
[Ly , y] = 0
[Ly , z] = ix
[Ly , x] = −iz
[Lz , z] = 0
[Lz , x] = iy
[Lz , y] = −ix
Proprietà di commutazione - Momento - [Li , p̂j ] = iijk p̂k
[Lx , p̂x ] = 0
[Lx , p̂y ] = ip̂z
[Lx , p̂z ] = −ip̂y
[Ly , p̂y ] = 0
[Ly , p̂z ] = ip̂x
[Ly , p̂x ] = −ip̂z
[Lz , p̂z ] = 0
[Lz , p̂x ] = ip̂y
[Lz , p̂y ] = −ip̂x
Proprietà di commutazione - Momento angolare - [Li , Lj ] = iijk Lk
[Lx , Lx ] = 0
[Lx , Ly ] = iLz
[Lx , Lz ] = −iLy
[Ly , Ly ] = 0
[Ly , Lz ] = iLx
[Ly , Lx ] = −iLz
[Lz , Lz ] = 0
[Lz , Lx ] = iLy
[Lz , Ly ] = −iLx
Momenti angolari – p. 4/1
Momenti angolari - 3
Rispetto all’operatore L2 , le regole di commutazione sono
[L2 , Lx ] = [L2 , Ly ] = [L2 , Lz ] = 0
Relazioni analoghe valgono per il momento angolare di un sistema di
particelle o di un corpo rigido le cui componenti indichiamo nel seguito
con il simbolo Jˆi
[Jˆi , Jˆj ] = iijk Jˆk
2
2
2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
[J , J x ] = [J , J y ] = [J , Jˆz ] = 0
e per le componenti del momento angolare di spin di una particella o di
un sistema di particelle.
In generale definiamo un operatore vettore come un operatore
momento angolare se valgono le relazioni di commutazione
sopradescritte.
Momenti angolari – p. 5/1
Momenti angolari - Autostati - 1
Consideriamo un generico momento angolare (adimensionale), che
2
ˆ
indichiamo con l , ˆli
[ˆli , ˆlj ] = iijk ˆlk
2
ˆ
[l , ˆli ] = 0
2
• Possiamo definire un set completo di autostati comuni a ˆl e ˆlz (o
una qualunque delle componenti).
2
• È possibile ricavare gli autovalori della coppia ˆl e ˆlz nonchè le
proprietà generali degli autostati dalle sole proprietà di
commutazione.
Momenti angolari – p. 6/1
Momenti angolari - Autostati - 2
L’operatore modulo quadro può essere scritto nella forma
ˆl2 = ˆl∓ ˆl± + ˆlz (ˆlz ± 1)
dove ˆl± = ˆlx ± iˆly : ’operatori scaletta’.
Diamo le relazioni, facilmente dimostrabili
[ˆlz , ˆl± ] = ±ˆl±
2
ˆ
ˆ
[l ± , l ] = 0
†
dunque ˆl+ e ˆl− , che sono aggiunti l’uno dell’altro (ˆl+ = ˆl− ), non
2
ˆ
commutano fra loro, ma commutano con l .
Momenti angolari – p. 7/1
Momenti angolari - Autostati - 3
2
ˆ
Chiamiamo |a, mi gli autostati (normalizzati) di l e ˆlz :
ˆl2 |a, mi = a|a, mi
ˆlz |a, mi = m|a, mi
dove a e m numeri per ora arbitrari.
• Grazie alle relazioni precedenti, si verifica che
ˆlz ˆl± |a, mi = (m ± 1)|a, mi
• quindi ˆl+ ed ˆl− aumentano o diminuiscono di un’unità gli
autovalori di ˆlz .
2
• Poichè invece commutano con ˆl non hanno effetto sui valori di a.
Momenti angolari – p. 8/1
Momenti angolari - Autostati - 4
Dalle relazioni precedenti segue che ˆ
l± |a, mi = c± |a, m ± 1i, dove c± sono costanti da
definirsi.
•
I due operatori di spostamento sono aggiunti l’uno dell’altro; dunque
2
ha, m|ˆ
l+ ˆ
l− |a, mi ≥ 0 ⇒ ha, m|ˆ
l −ˆ
lz (ˆ
lz + 1)|a, mi = a − m(m + 1) ≥ 0.
•
Partendo dal valore di attesa di l̂− ˆ
l+ otteniamo un’espressione analoga; in
definitiva valgono le seguenti disequazioni
a − m(m ± 1) ≥ 0 → a ≥ m2
•
Per ogni a abbiamo perciò una valore minimo e massimo di m, che chiamiamo m
e m.
•
Poichè per definizione ˆ
l+ |a, mi = ˆ
l− |a, mi = 0 e quindi
a − m(m + 1) = a − m(m − 1).
Segue che il valore massimo e minimo sono legati dalla relazione
m2 + m − m(m − 1) = 0, ovvero m = m − 1 (da scartare perchè m ≥ m) e m = −m.
Momenti angolari – p. 9/1
Momenti angolari - Autostati - 5
Chiamiamo l il valore di m, e rinominiamo il generico ket come |l, mi:
2
ˆ
l |l, mi = l(l + 1)|l, mi
ˆ
lz |l, mi = m|l, mi
e combinando le relazioni precedenti si ottengono anche i valori espliciti di c ± :
ˆ
l± |l, mi =
p
l(l + 1) − m(m ± 1)|l, m ± 1i
Applicando l̂+ ad una generica |l, −li si generano autostati di l̂z con autovalori −l + 1,
−l + 2, . . ., l. Quindi l − (−l) = 2l deve essere un numero intero, cioè l può essere un
intero o un multiplo di 1/2.
•
Tutte queste conclusioni sono state tratte partendo dalle sole relazioni di
commutazione, senza invocare alcuna forma particolare degli operatori momento
angolare.
•
Sono dunque applicabili ad ogni operatore angolare, e proprietà analoghe alle
precedenti valgono anche per gli autostati comuni anche ad operatori che
2
commutino con l̂z e ˆ
l .
Momenti angolari – p. 10/1
Rotatore rigido - 1
Consideriamo due masse m1 e m2 a distanza fissa R che ruotano intorno al centro di
massa.
•
L’energia cinetica classica del sistema è
ω2
Iω 2
L2
2
2
T =
(m1 r1 + m2 r2 ) =
=
2
2
2I
dove ri è la distanza dal centro di massa della massa mi , ed ω è la velocità
angolare di rotazione.
•
L’energia cinetica può scritta in funzione del momento angolare classico L = Iω e
del momento di inerzia I = µR2
•
L’hamiltoniano del sistema è perciò
~2 2
Ĥ =
L
2I
Momenti angolari – p. 11/1
Rotatore rigido - 2
Introducendo le coordinate polari (r, φ, θ):
L2 = −
"
2
∂
1
1 ∂
+
sin θ ∂θ
sin2 θ ∂φ2
sin θ
∂
∂θ
#
Le autofunzioni del rotatore sono le armoniche sferiche
|l, mi
=
Θlm (θ)
=
Plm (cos θ)
=
Φm (φ)
=
Ylm (θ, φ) = Θlm (θ)Φm (φ)
1/2
2l
+
1
(l
−
m)!
(−1)m
Plm (cos θ)
2 (l + m)!
d
sinm θ
Pl (cos θ)
d(cos θ)
1
exp(imφ)
(2π)1/2
con autovalori El = ~2 l(l + 1)/2I; dove:
L2 |l, mi
=
l(l + 1)|l, mi
Lz |l, mi
=
m|l, mi
Momenti angolari – p. 12/1
Accoppiamento di due momenti angolari - 1
Consideriamo due generici momenti angolari ĵ1 e ĵ2 .
•
I due operatori vettori agiscono su spazi diversi, e quindi le loro componenti
commutano fra loro [ĵ 1i , ĵ 2,j ] = 0 (i, j = x, y, z).
•
L’operatore somma ĵ = ĵ1 + ĵ2 è ancora un momento angolare, infatti
[ĵ i , ĵ j ] = [ĵ 1i , ĵ 1j ] + [ĵ 2i , ĵ 2j ] = iijk (ĵ 1k + ĵ 2k ) = iijk ĵ k
•
Possiamo ora selezionare due quaterne di operatori con un set di autostati
2
2
comuni, cioè che commutano reciprocamente: la prima è ĵ1 , ĵ 1z , ĵ2 , ĵ 2z , con
autostati |j1 m1 , j2 m2 i = |j1 m1 i|j2 m2 i;
•
2
2
2
La seconda quaterna è ĵ1 , ĵ2 , ĵ , ĵ z ; gli autostati comuni sono |j1 j2 jmi
Dalla prima alla seconda quaterna di operatori si sta semplicemente operando una
trasformazione unitaria della base originaria (disaccoppiata) nella base finale
(accoppiata).
Momenti angolari – p. 13/1
Accoppiamento di due momenti angolari - 2
Notazione di Dirac:
|j1 j2 j, mi
=
X
|j1 m1 , j2 m2 ihj1 m1 , j2 m2 |j1 j2 j, mi
m1 ,m2
|j1 m1 , j2 m2 i
=
X
|j1 j2 jmihj1 j2 jm|j1 m1 , j2 m2 i
j,m
I coefficienti (reali per convenzione) della trasformazione
hj1 m1 , j2 m2 |j1 j2 jmi = hj1 j2 jm|j1 m1 , j2 m2 i = C(j1 j2 j; m1 m2 m)
sono detti coefficienti di Clebsch-Gordan (CG) o coefficienti di Wigner.
Per l’unitarietà della matrice dei coefficienti CG il prodotto di due righe o due colonne è
zero (righe/colonne diverse) o uno (righe/colonne uguali):
X
hj1 j2 jm|j1 m1 , j2 , m2 ihj1 m1 , j2 , m2 |j1 j2 j 0 m0 i
=
δj,j 0 δm,m0
=
δm1 ,m0 δm2 ,m0
m1 ,m2
X
hj1 m1 , j2 , m2 |j1 j2 jmihj1 j2 jm|j1 m01 , j2 , m02 i
1
2
j,m
Momenti angolari – p. 14/1
Accoppiamento di due momenti angolari - 3
Quali sono le condizioni imposte a j ed m? Un coefficiente CG vale zero a meno che
m = m1 + m2 e |j1 − j2 | ≤ j ≤ j1 + j2 . Infatti:
X
(m1 + m2 )|j1 m1 , j2 m2 ihj1 m1 , j2 m2 |j1 j2 j, mi =
X
m|j1 m1 , j2 m2 ihj1 m1 , j2 m2 |j1 j2 j, mi
m1 ,m2
m1 ,m2
che può essere verificata solo se m − m1 − m2 = 0.
•
Segue da ciò che il massimo valore possibile di m è dato dalla somma dei valori
massimi di m1 e m2 , quindi mmax = j1 + j2 = jmax , dove l’ultima uguaglianza
discende dal fatto che −j ≤ m ≤ j per ogni valore di j.
•
Possiamo ora raggruppare gli stati accoppiati e disaccoppiati caratterizzati dallo
stesso valore di m, partendo dal valore massimo mmax .
m
accoppiata |(j1 j2 )jmi
disaccoppiata |j1 m1 , j2 m2 i
mmax
|j1 + j2 , j1 + j2 i
|j1 j1 , j2 j2 i
mmax − 1
|j1 + j2 , j1 + j2 − 1i
|j1 j1 , j2 j2 − 1i
|j1 + j2 − 1, j1 + j2 − 1i
..
.
|j1 j1 − 1, j2 j2 i
Momenti angolari – p. 15/1
Accoppiamento di due momenti angolari - 4
•
•
•
Per m = mmax esiste solo uno stato
Per m = mmax − 1 esistono due stati e così via
Ad ogni nuovo valore di m è incluso uno stato accoppiato con un j ridotto di
un’unità rispetto agli stati associati al valore di m precedente.
In totale si dovrà pervenire ad un valore minimo di j, tale che
jX
max
(2j + 1) = (2j1 + 1)(2j2 + 1) ≡ [jmax (jmax + 1) − jmin (jmin − 1)]/2
jmin
l’ultima identità si verifica da proprietà elementari di somme fra interi (o seminteri), da cui
discende che se jmax = j1 + j2 , l’unico valore non-negativo possibile di jmin è
jmin = |j1 − j2 |.
Momenti angolari – p. 16/1
Accoppiamento di due momenti angolari - 5
•
I coefficienti hj1 m1 j2 m2 |j3 m3 i CG possono essere ricavati in forma esplicita in
funzione degli interi (seminteri) j1 , m1 , j2 , m2 , j3 , m3 (formule di Racah)
•
Hanno numerose proprietà di simmetria, che possono essere più facilmente
riassunte se si scrivono i coefficienti CG in funzione dei simboli 3-j:

•
•
•

j1
j2
j3
m1
m2
m3

 = (−1)j1 −j2 −m3 (2j3 + 1)−1/2 hj1 m1 j2 m2 |j3 − m3 i
Ogni permutazione pari di colonne di un simbolo 3-j lascia il suo valore invariato
ogni permutazione dispari moltiplica il valore del simbolo risultante per
(−1)j1 +j2 +j3
Analogo effetto ha il cambio di segno di tutti gli indici della seconda riga.
Momenti angolari – p. 17/1