Meccanica 5
31 marzo 2011
Lavoro. Principio di sovrapposizione
Potenza. Energia cinetica
Energia potenziale
Lavoro della forza d’attrito
Forze conservative
Energia meccanica e sua conservazione
Momento angolare
Momento di forza
Momento dell’impulso
Lavoro
• Supponiamo di avere un punto materiale P di
massa m, soggetto ad una forza F
• Supponiamo di spostarlo da un punto dello
spazio A ad un punto B
• Il lavoro svolto dalla forza F nello
spostamento di P da A a B è una grandezza
meccanica scalare definita come
 
  F ds
B
ds
A
WAB
P
B
F
A
2
Lavoro
• Le dimensioni fisiche del lavoro sono
W   F L  ML2T 2
• E l’unità di misura è il newton metro
uW   N  m  J
• che prende il nome di joule (J)
3
Principio di sovrapposizione
• Se la forza è la risultante di n forze F 
F
k
k1,... n
• Si può applicare il principio di sovrapposizione
per calcolare il lavoro
  B
   B 
 
WAB   F ds     Fk  ds     Fk  ds  

A
A  k 1,... n 
A  k 1,... n
B 

   Fk  ds   Wk
B

k 1,... n A

k 1,... n
• Cioè il lavoro complessivo è uguale alla somma
dei lavori delle singole forze
4
Potenza
• La potenza media è una grandezza
meccanica scalare definita come il rapporto
tra il lavoro compiuto e l’intervallo di tempo
W
impiegato
P
t
• Grandezza importante per caratterizzare le
prestazioni di una macchina
• Accanto alla potenza media è definita la
potenza istantanea
dW
P
dt
5
Potenza
• Le dimensioni fisiche della potenza
P  W / T  ML2T 3
sono
• E l’unità di misura è il joule al secondo
uP   J /s  W
• che prende il nome di watt (W)

6
Potenza
• Dall’espressione infinitesima del lavoro,
possiamo scrivere
la potenza come

   

dW F  ds
ds
P

F
 F v
dt
dt
dt
7
Energia cinetica
• Consideriamo il lavoro infinitesimo e riscriviamolo
usando la 2a legge


  dp 
 ds
 
dW  F  ds 
 ds  dp   mv  dv
dt
dt
• Per trovare il valore del prodotto scalare
differenziamo i due membri dell’identita` seguente
2
d v   d v 2 
2
 
 
2
d v   d v  v   2v  dv
d v   2vdv
• Da cui
  1
v  dv  d v 2 
2
8
Energia cinetica
 
1 2
• Abbiamo infine dW  mv  dv  d  mv 
2

• Per una variazione finita dobbiamo integrare
tra il punto iniziale e il punto finale
1 2 1 2 1 2
W   dW   d  mv   mvB  mvA
2
2
 2
A
A 
B
B
1 2
• La quantità K  mv prende il nome di
2
energia cinetica

9
Teorema dell’energia cinetica
• Il teorema appena dimostrato è detto
teorema dell’energia cinetica: il lavoro
fatto dalla forza sul punto materiale è
uguale alla variazione di energia
cinetica del corpo stesso
10
Energia cinetica
• Vediamo cosa succede geometricamente
• Scomponiamo i due vettori secondo la
direzione tangente e normale localmente alla
traiettoria
• Otteniamo v  dv  vt dvt
• siccome vt=v,possiamo

dvt
concludere v  dv  vdvt
v
dv

dvn
11
Energia cinetica
• Consideriamo due casi limite
• Moto uniformemente accelerato
dv=dvt
 
v  dv  vdvt  vdv
v
d v   2vdv
2
• Moto circolare uniforme
 
v  dv  vdvt  0
d v 2   0
v
dv=dvn
12
Energia cinetica e lavoro
• Il lavoro è conseguenza dell’interazione
del sistema con l’ambiente
• Si parla pertanto di lavoro scambiato tra
sistema e ambiente e non di lavoro
posseduto dal sistema
• Si parla invece di energia posseduta dal
sistema
13
Energia cinetica
• Troviamo le dimensioni dell’energia
cinetica
2
2 2
K

M
V

ML
T
   
sono ovviamente uguali a quelle del
lavoro

• L’unità di misura dell’energia è, di
nuovo, il joule
14
Energia cinetica e quantità di
moto
• Ricordiamo le espressioni di queste due
grandezze
1 2
p  mv
K  mv
2
• Il modulo della QM e l’energia cinetica
sono legati dalle relazioni



p2
K
2m

p  2mK
15
Energia cinetica in relativita`
• Il lavoro elementaresi esprime ora
  dp 
 ds
 
dW  F  ds 
 ds  dp 
 dp  v
dt
dt
• E il differenziale della QM e`




dp  d m vv   mdv  mdv
• Il lavoro finito e`
B
B
B
B
A
A
A
A

 
 
 
W   dW   mdv  mdv   v   mv  v d   mv  dv 
B
B
A
A
  mv 2 d   mvdv
16
Energia cinetica in relativita`
• Esprimiamo v in funzione di 

1 
v  c 1  2 
  
2
c2
dv  3 d
v
2
• Otteniamo
2
B
B
B
1
c


2
2
2
W   mc 1  2 d   m 2 d  mc  d  mc  B   A 

A
A
A
  
• Il lavoro si puo` di nuovo interpretare come
variazione di energia cinetica
W  KB  K A
17
Energia cinetica in relativita`
• E quindi l’energia cinetica si puo` scrivere come
K  mc2  const .
• Per determinare la costante poniamo v=0, in tal caso
=1 e K=0, ne segue const .  mc 2
• L’energia cinetica e` dunque K  mc2   1
• In relativita` si introduce anche l’energia
E  K  mc  mc 
2
2
2
• Il termine mc e` la cosiddetta energia a riposo, cioe`
quella posseduta dal corpo fermo e stabilisce
l’equivalenza tra massa ed energia
18
Lavoro della forza peso
• Dato un punto di massa m nel campo di gravita`, il
lavoro del peso nello spostamento da un punto A ad
B 
un punto B e`

A
W   P  ds
z
A
• Siccome P=mg e` costante e g ha solo
componente z, pari a –g, abbiamo
 B   
  
W  P   ds  P  rAB  mg  rB  rA   mg  z B  z A 
B
P
A
• Il lavoro non dipende dalla traiettoria seguita dal punto
per andare da A a B, ma solo dagli estremi A e B
19
Energia potenziale
• Introducendo la nuova grandezza U  mgz
(omogenea ad un’energia)
• il lavoro diventa
W  mgzB  z A   mgzB  mgzA  U B  U A 
• U prende il nome di energia potenziale della
forza peso
• Il lavoro e` dunque uguale all’opposto della
variazione di energia potenziale tra stato
finale e stato iniziale
20
Lavoro della forza elastica
• Dato un punto di massa m soggetto ad una
forza elastica, il lavoro nello spostamento da
un punto A ad un punto B e`

B
  B  
1
2
2
W   Fe  ds    kr  ds  k  rdr   k rB  rA
2
A
A
A
B
A
P ds
dr
Fe

B
r
21
Energia potenziale
1 2
• Introducendo la nuova grandezza U  mr
2
(omogenea ad un’energia)
• il lavoro diventa


1 2 2
1 2 1 2
W   k rB  rA   krB  krA  U B  U A 
2
2
2
• U prende il nome di energia potenziale della
forza elastica
• Il lavoro e`, di nuovo, uguale all’opposto della
variazione di energia potenziale tra stato
finale e stato iniziale
22
Lavoro della forza d’attrito
• Dato un punto di massa m soggetto ad una forza
d’attrito dinamica, il lavoro nello spostamento da un
ds
punto A ad un
punto
B
e`
P
B 
B
A

 
W   Fd  ds     d Ns  ds
Fd
A
A
• La direzione della forza e` opposta a quella dello
spostamento. Il lavoro e` (supposta N costante)
B
B
A
A
 
W    d N  s  ds    d N  ds    d NL
• Il lavoro della forza d’attrito e` sempre negativo: se si
cambia il verso dello spostamento, anche la forza
cambia verso
23
B
Lavoro della forza d’attrito
• Poiche’ il lavoro della forza d’attrito dipende
da L , la lunghezza del percorso fatto dal
punto, ora il lavoro dipende dalla traiettoria e
non solo dai punti estremi A e B
• A differenza del caso della forza peso ed
elastica, non e` ora possibile esprimere il
lavoro come differenza tra i valori che una
funzione della posizione assume negli
estremi
24
Forze conservative
• Se il lavoro dipende solo dalle coordinate dei punti
iniziale e finale, allora qualunque sia il percorso su
cui si calcola il lavoro, purche’ i punti estremi siano gli
stessi, il risultato sara` il medesimo
A B
  A B 
 F  ds   F  ds
C1
C2
• Inoltre se si cambia il verso di percorrenza, l’integrale
cambia segno (cio` e` dovuto al fatto che il prodotto
scalare cambia segno)
A B
B  A
 

 F  ds    F  ds
C
C
25
Forze conservative
• Se calcoliamo il lavoro lungo un
percorso chiuso C  C1 C2
 
 F  ds 
C
  A B  B A  A B  A B 
 F  ds   F  ds   F  ds   F  ds   F  ds  0
C1 C2

C1
C2
C1
C2
otteniamo zero: questo e` un modo
alternativo di esprimere lo stesso fatto
• Forze siffatte si dicono conservative
26
Forze dissipative
• Le forze di attrito non soddisfano questi
requisiti, abbiamo infatti visto che il
lavoro che producono e` sempre
negativo
• Queste forze si dicono dissipative
27
Esercizi
• Un corpo di massa m=15 kg si muove
su un piano orizzontale, soggetto ad
una forza motrice F=10 N ed a una
forza d’attrito dinamico A con
coefficiente di attrito =0.06
• Trovare il lavoro fatto da ciascuna forza
in un intervallo di tempo t
28
Esercizi
• N. 4.1 pag. 105 MNV
• N. 4.3 pag. 105 MNV
• N. 4.14 pag. 106 MNV
29
Energia potenziale
• Per le forze conservative esiste dunque una
funzione U delle coordinate degli stati iniziale
e finale, cui diamo il nome di energia
B 
potenziale

U  U B  U A    F  ds  W
A
• In termini infinitesimi
 
dU   F  ds  dW
30
Energia meccanica
• Ricordiamo il teorema dell’energia cinetica,
che vale per una forza qualunque
W  KB  K A
• Per forze conservative vale inoltre
W  U B  U A
• Confrontando le due equazioni troviamo
K A  U A  KB  U B
31
Conservazione dell’energia
meccanica
• Introducendo la nuova grandezza
E  K U
• che chiamiamo energia meccanica,
l’equazione diventa EA  EB
• Cio` significa che l’energia meccanica (cioe`
la somma dell’energia cinetica e dell’energia
potenziale) di un punto materiale soggetto a
forze conservative si conserva
32
Lavoro nel caso generale
• Se sono attive sia forze conservative che non
conservative, il lavoro e` W  Wc  Wnc
• Applicando il teorema dell’energia cinetica (sempre
valido)
W  KB  K A
• Ed esprimendo il lavoro conservativo in termini di
energia potenziale Wc  U B  U A
• Otteniamo per il lavoro non conservativo
Wnc  EB  E A
• Cioe`: se vi sono forze non conservative l’energia
meccanica non si conserva e la sua variazione e`
uguale al lavoro di tali forze
33
Vettori momento
• Per alcune grandezze vettoriali, associabili
al PM, possiamo definire grandezze
vettoriali derivate che sono i momenti delle
precedenti
• Per questo occorre scegliere un punto
arbitrario dello spazio, detto polo, rispetto a
cui e` definito il vettore posizione r del PM
• Il momento di una grandezza
 w e`
 definito

come il prodotto vettoriale m  r  w
• Il polo non necessariamente dev’essere
fermo
w
PM
O
r
34
Momento angolare
• E` il momento del vettore quantita`
di

 
moto del punto materiale: LO  r  p
p
• E` una grandezza vettoriale
PM
perpendicolare sia a r che a p
r
O
2 1
• Dimensioni fisiche: L  L p  L T M
• Unita` di misura: uL   kg  m2 / s  N  m  s
35
Cambiamento di polo
• Cambiando polo il momento angolare
diviene

'   
       
LQ  r  p  r  rQ  p  r  p  rQ  p  LO  rQ  p
• Il valore del momento dipende dunque
dal polo scelto
p
r
O
r’
Q
rQ
36
Momento di forza
• E` il momento delvettore
 forza agente sul
punto materiale:  O  r  F
• E` una grandezza vettoriale perpendicolare sia
a r che a F
• Dimensioni fisiche:    LF   L2T 2 M
• Unita` di misura: u   kg  m2 / s 2  N  m
• Se si cambia polo il momento diviene
       
'   
 Q  r  F  r  rQ  F  r  F  rQ  F   O  rQ  F

37
Momento risultante
• Vale il principio di sovrapposizione: se la forza
complessiva R e` la risultante di piu` forze
applicate tutte allo stesso punto materiale:


   i  
i
i


  
 

r  Fi  r   Fi  r  R
i
• il momento risultante (cioe` la somma dei
momenti di tutte le forze) e` uguale al momento
della risultante (cioe` al momento della somma
di tutte le forze)
38
Teorema del momento angolare
• Calcoliamo la derivata temporale del
momento angolare di un punto

materiale dLQ d   dr   dp
 r  p    p  r 
p
dt
dt
dt
dt
• Se il polo Q e` fisso rispetto al sistema
r’
di riferimento, allora la derivata
O
temporale di r e` uguale alla velocita`
del punto e se il sistema e` inerziale la
derivata di p e` uguale alla forza
agente sul punto dL

  
Q
 v  mv  r  F
dt
r
Q
rO
39
Teorema del momento angolare
• Il primo prodotto vettoriale e` nullo, il secondo
e` il momento di forza (calcolato rispetto allo
stesso polo), quindi otteniamo il teorema del
momento angolare (MA)

dLQ
dt

Q
Conservazione del MA
• Se il momento di forza e` nullo (rispetto al
polo scelto) allora il momento angolare si
conserva (rispetto allo stesso polo) e
viceversa

Q  0

dLQ
dt
0

LQ  const .
41
Momento dell’impulso
• Riscriviamo il teorema del momento
angolare



dt  dL
in forma differenziale
e integriamo da un’istante iniziale ad uno
t
t
finale
 


dt   dL  L
0
f
 Li
0
• Cio` significa che per produrre una variazione
di momento angolare e` necessaria l’azione,
su un intervallo di tempo, di un momento di
forza
42
Momento dell’impulso
• Nel caso degli urti, la variazione di momento angolare


t

 t 
 
L f  Li    dt   r  F dt
0
0
si puo` esprimere in termini dell’impulso prodotto dalla
forza, purche’ l’intervallo di tempo sia abbastanza
piccolo affinche’ il vettore r non cambi
t 
apprezzabilmente   t  

 
L f  Li   r  F dt  r   Fdt  r  J

0

0
• Questo e` il teorema del momento dell’impulso
43