Le Geometrie non euclidee
Prof. Claudio Rosanova
Liceo Scientifico E. Medi
Barcellona P.G.
L’opera “Elementi” di Euclide
Prof. Claudio Rosanova
 Euclide (300 a.C.) riorganizza la geometria
in forma sistematica di tipo ipoteticodeduttivo
 Raccoglie tutte le conoscenze dei
matematici in 13 libri
 Nei primi 4 vi sono i concetti fondamentali
della geometria piana
Il Primo Libro degli Elementi
Prof. Claudio Rosanova
 23 definizioni: descrizione intuitiva dei
concetti geometrici con riferimento al
reale
• “”Punto è ciò che non ha parti”
 Assiomi o nozioni comuni: verità di
carattere generale che hanno validità
universale
 5 postulati: verità evidenti, caratteristiche
della geometria
Prof. Claudio Rosanova
Costruzione della geometria
euclidea
DEFINIZIONI
POSTULATI
TEOREMI
ASSIOMI
Il V Postulato
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 “Se due rette con una trasversale formano
angoli coniugati interni la cui somma è
minore di due retti, quelle due prolungate
si incontrano dalla stessa parte in cui
stanno gli angoli”
A


B
P
Altre formulazioni
Prof. Claudio Rosanova
 “Due rette parallele formano con una
trasversale angoli coniugati interni
supplementari” (Tolomeo)
 “Due rette complanari equidistanti sono
parallele” (Posidonio)”
 “Per un punto fuori da una retta si può
condurre una ed una sola retta parallela
alla retta data” (Proclo)
Il gesuita Saccheri (1677-1733)
Prof. Claudio Rosanova
 Opera: “Euclide emendato da ogni macchia”
(1733)
 Tenta di dare una dimostrazione per
assurdo del quinto postulato
 “Ammettiamo i primi 4 postulati e
neghiamo il quinto: se si ottiene il teorema
T e il nonT allora il V è valido!”
L’opera di Saccheri
Prof. Claudio Rosanova
 Trovò teoremi poco intuibili, ma
logicamente validi, e credette di aver
trovato la contraddizione! Getta invece le
basi per le geometrie non euclidee.
 Utilizza il cosiddetto “Quadrilatero
Birettangolo Isoscele”
Prof. Claudio Rosanova
Il QUADRILATERO BIRETTANGOLO
ISOSCELE
D
M
C




A
N
B
L’ipotesi dell’angolo retto
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D
C




A
• AB=CD
• Somma angoli interni triangolo = 180°
• Corrisponde alla geometria euclidea
B
L’ipotesi dell’angolo ottuso
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D
C



• AB>CD
A

B
• Somma angoli interni triangolo > 180°
• Vale se vale il V postulato, ma ciò implica l’ipotesi
dell’angolo retto: è pertanto contraddittoria.
L’ipotesi dell’angolo acuto
D
C
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


• AB<CD
A

B
• Somma angoli interni triangolo < 180°
• Conduce all’esistenza di rette complanari asintotiche:
Saccheri la esclude perché contraria all’intuizione, sebbene
logicamente valida.
Prof. Claudio Rosanova
Lambert e Legendre
 Riprendono l’opera di Saccheri ma le loro
ricerche sono viziate da un errore
filosofico: “il V postulato è una verità
assolutamente indimostrabile e non può
essere negato!”.
Il russo Lobatceskij
Prof. Claudio Rosanova
 Gauss (1824)
afferma che una geometria
fondata sui primi 4 postulati e sulla
negazione del V non è contraddittoria, ma
non ha il coraggio di pubblicare la sua
opera
 Lobatceskij nel 1829 fonda la geometria
iperbolica
Prof. Claudio Rosanova
Il ragionamento di Lobatceskij
P
s
l’
l
O
t
A
B
r
Il ragionamento di Lobatceskij
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 Per P passano secanti e non secanti: l e l’
sono le due rette parallele ad r
 () è l’angolo di parallelismo
 La somma degli angoli interni di un
triangolo è minore di due retti
 2R-(++)=  è il difetto angolare
 L’area del triangolo vale A=k2 
Il ragionamento di Lobatceskij
Prof. Claudio Rosanova
 Se A tende a 0,  tende a zero e la somma
degli angoli interni di un triangolo vale 2R
 Allora la geometria euclidea è il limite
della geometria iperbolica al tendere di A a
zero
 In generale, A k2 (se =  allora la somma
degli angoli vale zero)
 La geom. euclidea vale su scala terrestre e
astronomica
Riemann (1826-66)
Prof. Claudio Rosanova
 Costruisce la geometria ellittica
 Assioma di Riemann: “Due rette hanno
sempre in comune un punto”, quindi non
esistono rette parallele
 Viene modificato il postulato dell’infinità
della retta, introducendo il concetto di
ILLIMITATO
La teoria di Riemann
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 L’illimitato come relazione di estensione:
non legittima lo spazio come infinito
 L’infinito come relazione metrica
 Se lo spazio ha curvatura costante, allora
sarebbe finito appena la curvatura avesse
un valore positivo
 Non vi è accordo tra relazioni metriche e
postulato di Euclide
Caratteri della geometria
ellittica
Prof. Claudio Rosanova
 La retta è una linea chiusa
 Non vale la relazione d’ordine euclidea
 Per ordinare i punti è necessaria la
relazione di separazione
• S(A,B/C,D)  A,B separano C,D
A
D
C
B
Caratteri della geometria
ellittica
Prof. Claudio Rosanova
 Segmento AB:
• per Euclide “insieme dei punti di r che stanno
tra A e B”
• Per Riemann: PR Q  non S(A,B/C,D) è una
relazione di equivalenza e vi sono due classi r1
e r2 dette segmenti
r1
.
.
B
A
r2
r1
Caratteri della geometria
ellittica
Prof. Claudio Rosanova
 Una retta non divide il piano
.
.
A
B
r
.
.
A
B
r
Il modello di Beltrami (1835-1900)
Prof. Claudio Rosanova
 Esistono linee su una superficie che hanno
le stesse proprietà delle rette nel piano: le
GEODETICHE
 Le geodetiche sono linee i cui tratti
rappresentano la minima distanza tra due
punti della superficie
Il modello di Beltrami (1835-1900)
Prof. Claudio Rosanova
 Si hanno tre casi:
 1)
la curvatura vale zero: si ha il piano e
quindi la geometria euclidea;
 2) la curvatura è negativa: si ha la
superficie a curvatura negativa e quindi la
geometria iperbolica;
 3) la curvatura è positiva: si ha la
superficie a curvatura positiva e quindi la
geometria ellittica;
Il modello di Beltrami (1835-1900)
Prof. Claudio Rosanova
 Intoduce tre superfici curve dello spazio:
 La sfera (geom. ellittica)
 il cilindro (geom. euclidea)
 la pseudosfera (geom. iperbolica)
Il modello di Klein (1849-1925)
Prof. Claudio Rosanova
 Sostituisce il V postulato con il seguente:
 “Per un punto P fuori da una retta passano
due rette parallele alla retta data”
P
B
A