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Costruzioni
i i – I° Modulo
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LEZIONE N° 10 – IL CEMENTO ARMATO
PRECOMPRESSO
•
DISPOSIZIONE DEI CAVI
– Generalità
– I concetti di momento utile e momento utile aggiunto
– Il fuso del cavo risultante
– Definizione dei punti limite inferiore e superiore
– Il fuso di Guyon
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LA DISPOSIZIONE DEI CAVI NELLE TRAVI IN CEMENTO ARMATO PRECOMPRESSO
(GENERALITA’)
Nelle strutture inflesse l’andamento dei cavi di precompressione deve essere progettato in
modo da contrastare efficacemente le azioni flessionali esterne sia in fase iniziale che di
esercizio. A tale scopo di consideri la trave semplicemente appoggiata di figura nella quale
per semplicità sia presente un solo cavo di precompressione con configurazione rettilinea
passante per il punto di nocciolo inferiore ci della trave (considerata a sezione costante).
In assenza di carichi esterni la sezione di mezzeria risulta interamente compressa
p
con l’asse
neutro passante per il lembo superiore della trave.
Nel caso di precompressione totale, all’atto dell’azione dei carichi esterni la situazione ideale
è quella per cui lo sforzo di precompressione N in presenza del momento esterno si sposta
fino al p
punto di nocciolo superiore
p
ce. In tal modo la sezione risulterebbe ancora
interamente compressa con asse neutro passante per il lembo inferiore.
Stato tensionale in mezzeria
cs
ci
Retta limite superiore
Retta limite inferiore
ds
di
Solo precomp.
Precomp.+carichi est.
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LA DISPOSIZIONE DEI CAVI NELLE TRAVI IN CEMENTO ARMATO PRECOMPRESSO
(GENERALITA’)
Per il caso appena esaminato man mano che ci si avvicina agli appoggi il momento
diminuisce fino ad annullarsi nelle sezioni terminali,, nelle q
quali q
quindi p
potrebbero nascere,, in
presenza di precompressione, tensioni di trazioni elevate. Per ovviare a tale inconveniente si
potrebbe pensare di variare il tracciato dei cavi in modo tale che ogni sezione, all’atto
dell’applicazione dei carichi esterni, risulti interamente compressa. Per una trave a sezione
costante tale condizione si esprime
p
semplicemente
p
((ad es. p
per lungo
g termine)) :
M(x) = [e(x) + ds ] N → e(x) =
cs
ci
M(x)
− ds
N
ds
e(x)
x
Utilizzando tale tracciato, all’atto
della applicazione dei sovraccarichi,
il centro di pressione nella generica
sezione cade sempre nel punto di
nocciolo superiore.
Ad esempio, l’eccentricità del cavo
all’appoggio, pari a –ds, garantisce
la totale compressione anche nella
sezione di estremità. Se N e ds
sono costanti e il carico è costante
il diagramma dei momenti e
parabolico così come il diagramma
delle eccentrictà e(x).
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LA DISPOSIZIONE DEI CAVI NELLE TRAVI IN CEMENTO ARMATO PRECOMPRESSO
(MOMENTO UTILE)
Mu = [di + ds ] N
Momento Utile
Il momento flettente Mu è detto momento utile della sezione. Una
sezione è considerata ben progettata se il massimo momento dovuto
ai sovraccarichi (permanenti e accidentali) coincide con il momento
Mu. In tal modo all’atto della messa in carico la trave rimarrebbe
interamente compressa.
La portanza di un trave può essere aumentata incrementando lo
sforzo normale (incremento limitato dalle tensione massime al tiro)
oppure aumentando la distanza reciproca dei punti di nocciolo di+ds.
Per tale motivo le travi in c.a.p. si realizzano normalmente utilizzando
sezioni a T o doppio T.
T
L/2
ds
di
da
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LA DISPOSIZIONE DEI CAVI NELLE TRAVI IN CEMENTO ARMATO PRECOMPRESSO
(MOMENTO UTILE AGGIUNTO)
In realtà il cavo, in mezzeria, non è sempre posizionato nel punto di
nocciolo inferiore.
inferiore Detta da la distanza tra il cavo e il punto di nocciolo
Mua = d a N
inferiore, il momento Mu=daN è detto momento utile aggiunto.
Se il momento dovuto al peso proprio coincide con il momento utile
Momento utile aggiunto aggiunto, all’atto del tiro la trave risulterebbe interamente
compressa Questa condizione costituisce un
compressa.
un’ulteriore
ulteriore indicazione di
sezione ben progettata.
L/2
ds
di
da
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LA DISPOSIZIONE DEI CAVI NELLE TRAVI IN CEMENTO ARMATO PRECOMPRESSO
(IL FUSO DEL CAVO RISULTANTE)
Con riferimento ad una generica sezione di una trave in c.a.p. e alle due condizioni di verifica
usualmente considerate ((a vuoto e in esercizio)) si p
possono definire due andamenti limite del
cavo risultante. Il primo si riferisce alla condizione a vuoto e alla sezione interamente
compressa con asse neutro tangente alla sezione al lembo superiore. Il secondo si riferisce
invece alle condizioni di esercizio sempre in presenza di sezione interamente compressa ma
con asse neutro passante per il lembo inferiore. La prima curva (verde) si costruisce con
riferimento al momento dovuto al peso proprio MG , la seconda (arancione) con riferimento al
momento in servizio (Mp+q+MG). Le distanze rispettivamente dalla rette limite sup. ed inf. Si
esprimono come segue
M (x)
ei ( x ) = G
N0
es ( x ) =
MG + M p+q (x)
N0 = sforzo di precompressione al tiro
Ne = sforzo di precompressione in esercizio
Ne
Fuso del cavo risultante
es(x)
ds
di
da
x
ei(x)
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LA DISPOSIZIONE DEI CAVI NEL CEMENTO ARMATO PRECOMPRESSO
(PUNTI LIMITE)
L’area compresa tra le due curve è detto fuso del cavo risultante. Esso
rappresenta ll’area
area entro la quale far cadere il cavo risultante al fine di ottenere
per le due condizioni di carico considerate una sezione sempre interamente
compressa. Ammettendo la presenza al lembo superiore e inferiore di trazione
(per normativa) le rette limite modificano la loro posizione originaria. I centri di
pressione
i
che
h corrispondono
i
d
aii due
d
di
diagrammi
i limite
li it sono detti
d tti punti
ti limite.
li it
σc,me
σt,mi
Cs
σ mi =
σ c,mi + σ t ,mi
σ me =
2
ys
yi
Ci
σc,mi
Cond. iniziali
σt,me
Cond. di esercizio
σ c,me + σ t ,me
2
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LA DISPOSIZIONE DEI CAVI NEL CEMENTO ARMATO PRECOMPRESSO
(PUNTI LIMITE)
Indicando con σmi e σme le tensioni medie nella condizione iniziale e di esercizio
rispettivamente, le distanze dal baricentro dei due nuovi punti limite si possono
esprimere in funzione delle distanza dei punti di nocciolo dal baricentro stesso:
σ mi =
σ c,mi + σ t ,mi
σt,mi
Cs
ys
2
=
N0
A
σc,me
⎛ σ c,mi + σ t ,mi
⎜
yi = yci
⎜ σ c,mi − σ t ,mi
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
⎛ σ c,me + σ t ,me
ys = ycs ⎜
⎜ σ c,me − σ t ,me
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
yan
yi
Ci
σ me =
σc,mi
Cond. iniziali
σ c,me + σ t ,me
σt,me
Cond. di esercizio
2
=
Ne
A
Distanze dal baricentro dei
punti limite Cc e Ci
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LA DISPOSIZIONE DEI CAVI NEL CEMENTO ARMATO PRECOMPRESSO
(PUNTI LIMITE)
Ad esempio la prima delle due si ricava facilmente come segue:
Dall’equazione dell’asse neutro
yi yan
ρ
2
x
sii può
ò ricavare
i
l seguente
la
t relazione:
l i
+1 = 0
yi = −
ρ x2
yan
=−
J x ys
W y
y
= − x s = − yci s
Ayan ys
ys yan
yan
yan =
Dal digramma delle tensioni si può ricavare l’asse neutro:
con semplici
li i proporzioni
i i sii ricava
i
che:
h
σ=
σ
σc + σ t
h
σc − σ t
2
h/2
y
=
y
con la quale si può dimostrare quanto i
ci
(σ c − σ t
Espresso nella slide precedente
2
)
(σ
c
+ σt
h
) = y (σ
(σ
c
+ σt )
c
− σt
ci
)
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LA DISPOSIZIONE DEI CAVI NEL CEMENTO ARMATO PRECOMPRESSO
(PUNTI LIMITE)
In tal modo si individua un nuovo fuso (limiti tratteggiati) entro il quale far
variare il cavo senza mai superare i limiti di trazione e/o compressione imposti
dalla normativa. Naturalmente il raggiungimento contemporaneo della resistenza
a trazione e a compressione nei due estremi della sezione è una situazione ideale,
di fatto mai realizzabile.
ye
yi
x
N0/A
Ne/A
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LA DISPOSIZIONE DEI CAVI NEL CEMENTO ARMATO PRECOMPRESSO
(FUSO DI GUYON)
Generalmente, in fase di progetto vengono in qualche modo predimensionati la
sezione e lo sforzo di precompressione; il fuso entro il quale fare variare il cavo
viene allora individuato mantenendo entro il limiti normativi le tensioni massime
di trazione e compressione ammissibili nel calcestruzzo:
N 0 − ΔN p
1) σ t ,mi ≤
2)
3)
A id
N 0 − ΔN p
A id
+
(N
0
0
− ΔN p ) e
Ws
− ΔN p ) e
Wi
N 0 − ΔN p − ΔN L
4) σ t ,me ≤
(N
−
A id
−
(N
0
N 0 − ΔN p − ΔN L
A id
−
M
+ G
Ws
MG
≤ σ c,mi
Wi
− ΔN p − ΔN L ) e
Ws
+
(N
0
+
M G + M p+q
− ΔN p − ΔN L ) e
Wi
Ws
−
≤ σ c,me
M G + M p+q
Wi
Il limite inferiore del fuso si
valuta
come
la
minima
eccentricità ricavabile dalle
relazione 1) e 2) (condizioni a
vuoto). Il limite superiore
corrisponde
alla
massima
eccentricità ricavabile dalle
relazione 3) e 4) (condizioni
di servizio). Il fuso così
costruito va sotto il nome di
fuso di Guyon.
N.B. Le tensioni negative
vanno
considerate
con
proprio segno (negativo).
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LA DISPOSIZIONE DEI CAVI NEL CEMENTO ARMATO PRECOMPRESSO
(FUSO DI GUYON)
Il limite inferiore fuso di Guyon si individua quindi con le prime due relazioni:
1) σ t ,mi =
2)
N 0 − ΔN p
A id
N 0 − ΔN p
A id
(N
+
0
−
(N
0
− ΔN p ) e
Ws
− ΔN p ) e
Wi
+
MG
Ws
M
− G = σ c ,mi
Wi
⇒ e1i =
⇒
Il limite inferiore del fuso di Guyon è dato da
Ws
A id
⎛ σ A
⎞
⎜ − t ,mi id + 1⎟ + M G
⎜ N − ΔN
⎟ N − ΔN
0
p
0
p
⎝
⎠
W
e 2i = i
A id
⎛ σ c ,mi A id
⎞
MG
⎜
− 1⎟ +
⎜ N − ΔN
⎟ N − ΔN
p
0
p
⎝ 0
⎠
emin = min (e1i, e2i)
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LA DISPOSIZIONE DEI CAVI NEL CEMENTO ARMATO PRECOMPRESSO
(FUSO DI GUYON)
Il limite superiore del fuso di Guyon si individua con le altre due relazioni:
3)
N 0 − ΔN p − ΔN L
A id
⇒ e1s =
Ws
A id
−
(N
0
− ΔN p − ΔN L ) e
Ws
+
M G + M p+q
Ws
≤ σ c ,me
⎛
⎞
M G + M p+q
σ c,me A id
⎜−
+ 1⎟ +
⎜ N − ΔN − ΔN
⎟ N − ΔN − ΔN
0
p
L
0
p
L
⎝
⎠
Il limite superiore del fuso
di Guyon è dato da
emin = max (e1s, e2s)
3)
σ t ,me ≤
N 0 − ΔN p − ΔN L
W
⇒ e 2s = i
A id
A id
−
(N
0
− ΔN p − ΔN L ) e
Wi
+
M G + M p+q
⎛
⎞
M G + M p+q
σ t ,me A id
⎜
⎟
−1 +
⎜
⎟
⎝ N 0 − ΔN p − ΔN L ⎠ N 0 − ΔN p − ΔN L
Wi
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(FUSO DI GUYON)
Esempio: Tracciare il fuso di Guyon per la trave appoggiata di figura
110
15
28 m
15
Dati
20
180
15
30
60
Forza di Precompressione
N0-ΔNp=
5200 kN
N0-ΔNp-ΔNL= 4500 kN
Materiali:
Sezione:
cls
A p = 30 ttrefoli
f li 7φ5
σt,mi
σt,me
σc,mi
σc,me
Ac,id
yG
Wi
Ws
Rck=40 Mpa
41 23 cm2
41.23
2.993 Mpa
2.324 Mpa
17.76 Mpa
19.92 Mpa
p
0.712 m2
0.973 m
0.308 m2
0.358 m2
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(FUSO DI GUYON)
Esempio
La condizione per individuare il limite inferiore del fuso di Guyon è
⎛ σ t ,mi Aid
⎞
MG
0.358 ⎛ − 0.2993 ⋅ 7120 ⎞ M G ( x)
⎜−
+ 1⎟ +
=
+ 1⎟ +
⎜−
⎜ N − ΔN
⎟ N − ΔN
0
.
712
5200
⎝
⎠ 5200
0
p
0
p
⎝
⎠
e1i ( x) = 0.2967 + 0.00019 M G ( x)
e1i ( x) =
Ws
Aid
e 2i ( x ) =
Wi
A id
⎛ σ c,mi A id
⎞
MG
⎜
− 1⎟ +
= 0.619 + 0.000192 M G ( x )
⎜ N − ΔN
⎟ N − ΔN
p
0
p
⎝ 0
⎠
ei = min ((e1i , e2i)
Limite inferiore del Fuso di Guyon
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(FUSO DI GUYON)
Esempio
La condizione per individuare il limite superiore del fuso di Guyon è
⎛
⎞
M G + M p+q
σ t ,me Aid
0.308 ⎛ − 0.2324 ⋅ 7120 ⎞ M G ( x) + M p + q ( x)
⎜
− 1⎟ +
=
− 1⎟ +
⎜
⎜ N − ΔN − ΔN
⎟ N − ΔN − ΔN
4500
0
.
712
4500
⎝
⎠
p
L
p
L
0
⎝ 0
⎠
e1s ( x) = −0.5927 + 0.000222 [ M G ( x) + M p + q ( x)]
e1s ( x) =
Wi
Aid
W
e 2s = s
A id
⎛
⎞
M G + M p+q
σ c,me A id
⎟
⎜−
+1 +
= −1.083 + 0.00022 M G ( x ) + M p + q ( x )
⎟ N − ΔN − ΔN
⎜ N − ΔN − ΔN
0
p
L
0
p
L
⎝
⎠
[
es = max (es1 , es2)
Limite superiore del Fuso di Guyon
]
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(FUSO DI GUYON)
Esempio
IL fuso di Guyon della trave considerata è rappresentato nella figura seguente: