CONTINUITA’
CONTINUA
DISCONTINUA
Una funzione
continua e’
una funzione il
cui grafico non
presenta
interruzioni
CONTINUITA’
P
Yo=f(Xo)
CONTINUA
Xo
Nel punto
P(Xo,Yo)
questa
funzione è
continua: se
facciamo il
limite per x
tendente a Xo
otteniamo
come risultato
Yo, che è
anche il valore
della funzione
CONTINUITA’
DISCONTINUA
Yo
H
Xo
Questa è
discontinua: se
facciamo il limite
sinistro e destro
per x tendente a
Xo questi danno
due valori
diversi, Yo e un
altro, H. Il
grafico compie
un salto pari a
Yo-H
CONTINUITA’
Data f:D->R, e dato Xo punto del dominio D, allora
la funzione f si dice CONTINUA in Xo se il limite
per x tendente ad Xo di f(x):
• ESISTE
• E’ FINITO
• E’ UGUALE A f(Xo)
Ovvero, in formule:
Lim f ( x)  f ( xo )
x  xo
CONTINUITA’
Una funzione continua in tutti i punti di un
certo intervallo si dice CONTINUA SU
QUELL’INTERVALLO
CONTINUITA’
Se una di queste clausole non è verificata
allora la funzione si dice discontinua in Xo.
CONTINUITA’
I punti di discontinuità vengono classificati in tre
specie
CONTINUITA’
Se il limite sinistro e destro di f(x) per x tendente a
Xo:
• ESISTONO
• SONO FINITI
• SONO DIVERSI TRA LORO
Xo si dice punto di discontinuità di PRIMA SPECIE
CONTINUITA’
La funzione
y=INT(x) offre un
esempio di tale
discontinuità: tutti i
numeri interi sono
punti di discontinuità
di prima specie
1
2
3
CONTINUITA’
Se almeno uno dei due limiti, sinistro o destro, di
f(x) per x tendente a Xo:
• NON ESISTE…
• …OPPURE NON E’ FINITO
Xo si dice punto di discontinuità di SECONDA
SPECIE
CONTINUITA’
La funzione y=ln(x)
offre un esempio di
tale discontinuità
nell’origine
CONTINUITA’
Se il limite per x tendente a Xo esiste, è finito, ma
è diverso della valore della funzione (oppure la
funzione non esiste in Xo)
Lim f ( x)  f ( xo )
x  xo
Xo si dice punto di discontinuità di TERZA SPECIE,
o ELIMINABILE
CONTINUITA’
La discontinuità si dice eliminabile perché basta
alterare leggermente la definizione della funzione
ponendo:
f ( xo )  Lim f ( x)
x  xo
Per rendere la funzione continua
CONTINUITA’
Un esempio è la funzione:
senx
f ( x) 
x
Infatti non esiste per X=0, ma il limite per x
tendente a 0 è, come è noto, 1.
Basta quindi porre:
f(0)=1
E la funzione risulta continua anche in 0.
CONTINUITA’
Dove si trovano i punti di discontinuità di una
funzione?
• Nei punti esclusi dal dominio (che siano però
punti di accumulazione del dominio)
• Nei punti in cui l’argomento di un valore
assoluto cambia segno
• in altri casi particolari
CONTINUITA’
TEOREMA DI WEIERSTRASS
Una funzione continua su un intervallo chiuso
ammette sempre massimo e minimo assoluti
su quell’intervallo
CONTINUITA’
MASSIMO
MINIMO
Una curva senza
salti, definita su
un intervallo, di
fatto può essere
racchiusa in un
rettangolo, la cui
altezza avrà per
estremi il
massimo e il
minimo della
funzione
CONTINUITA’
TEOREMA DI DARBOUX
Una funzione continua su un intervallo chiuso
assume almeno una volta tutti i valori
compresi tra il minimo e il massimo
CONTINUITA’
TEOREMA DI DARBOUX
Potremmo enunciarlo anche così: se la funzione f è
continua sull’intervallo [a,b] e se il numero k è
compreso tra min(f) e max(f) su tale intervallo,
allora esiste un punto c appartenente ad [a,b] tale
che:
f(c)=k
CONTINUITA’
Graficamente è
abbastanza
evidente che, se
una curva è
continua, al
valore k
compreso tra
min e max deve
corrispondere un
valore c tra a e b
MASSIMO
k
MINIMO
a
c
b
CONTINUITA’
TEOREMA DEGLI ZERI
Se f è una funzione continua su un intervallo
chiuso e se su tale intervallo la funzione
cambia segno, allora esiste almeno un punto
dell’intervallo in cui la funzione si annulla
CONTINUITA’
TEOREMA DEGLI ZERI (altra versione)
Se f è una funzione continua su un intervallo
chiuso e se su tale intervallo la funzione
cambia segno, allora l’equazione:
f(x)=0
Ammette almeno una soluzione in tale
intervallo
CONTINUITA’
E’ una conseguenza del teorema di Darboux; infatti
se la funzione cambia segno sicuramente il
massimo sarà un numero positivo e il minimo un
numero negativo: e siccome 0 è sempre compreso
tra un numero positivo e uno negativo, allora la
funzione deve per forza assumere il valore 0.