Introduzione
La meccanica è quella parte delle scienze applicate che studia le forze ed
il moto. In questo campo è fondamentale la nozione di equilibrio, ovvero la
condizione che si instaura quando le forze che agiscono su un corpo si
bilanciano tra loro.
La statica è quella parte della meccanica che si interessa specificamente
delle relazioni tra le forze che agiscono sui corpi che si trovano in uno
stato di quiete.
La dinamica invece è quella parte della meccanica che tratta dei corpi in
movimento. Anche i corpi in movimento possono però essere considerati
come se fossero in equilibrio, considerando le forze di inerzia.
La scienza delle costruzioni è quella parte della meccanica che si occupa
delle relazioni tra le forze che agiscono su di un corpo, e gli effetti
prodotti da tali forze all’interno del corpo (sollecitazioni, deformazioni,
tensioni).
Michelangelo Laterza – Principi di Statica e di Dinamica delle Strutture
Le forze
Nello studio della meccanica viene fatta una distinzione tra quantità scalari
e vettoriali.
Le quantità scalari possono essere adeguatamente caratterizzate dalla loro
intensità.
Le quantità vettoriali devono essere caratterizzate in termini sia di
intensità (modulo) che di direzione e verso.
Una qualsiasi quantità vettoriale può essere rappresentata con un segmento
orientato (una freccia che indica il verso); la retta di azione, rispetto ad una
asse prefissato, denota la direzione della quantità vettoriale. La lunghezza
del segmento, disegnata in una certa scala, rappresenta l’intensità (o il
modulo) della quantità.
Le forze sono quantità vettoriali. Il concetto di forza è fondamentale per il
campo della meccanica. Una forza è una interazione diretta tra corpi.
Forze di interazione hanno l’effetto di causare cambiamenti nella forma o
nel moto, o entrambi, dei corpi coinvolti.
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Parallelogramma delle forze
Essenziale per lo studio del comportamento strutturale è conoscere il
risultato dell’interazione di diversi vettori forza agenti su un corpo.
Per sommare quantità vettoriali si può applicare la regola del
parallelogramma. In termini di vettori forza, questa legge afferma che
quando le linee di azione di due forze si intersecano, esiste una singola
forza, chiamata risultante, con effetto esattamente equivalente a quello
delle due forze di partenza, rappresentata dalla diagonale del
parallelogramma formato usando i due vettori forza come i lati dello stesso.
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Poligono delle forze
La risultante di più forze
può determinarsi anche
per
via
grafica
costruendo il poligono
delle forze.
I singoli vettori vengono disegnati, in scala, l’uno di seguito all’altro
(l’ordine con cui si succedono non è importante). Tranne nel caso in cui
la forza risultante sia nulla, il poligono delle forze ottenuto da questa
costruzione non è chiuso. Il lato di chiusura coincide con la risultante dei
diversi vettori forza (la risultante è quel vettore che parte dalla coda del
primo vettore e finisce alla punta dell’ultimo vettore). La risultante,
quindi, chiude il poligono delle forze.
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Scomposizione e composizione delle forze
Un procedimento che discende direttamente dall’enunciato del
parallelogramma delle forze è quello che permette di suddividere una
singola forza in due (o più) forze separate costituenti un sistema di forze
equivalente alla forza iniziale data. Questo procedimento viene spesso
indicato come scomposizione di una forza nei suoi componenti.
Nell’analisi strutturale è
spesso
conveniente
scomporre una forza nelle
sue componenti ortogonali,
o cartesiane. Utilizzando un
angolo retto, le componenti
possono essere trovate
utilizzando semplici funzioni
trigonometriche.
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Sistemi staticamente equivalenti
Due sistemi di forze applicati ad un corpo vengono detti staticamente
equivalenti quando un sistema può essere sostituito all’altro senza causare
alcun cambiamento della traslazione o della rotazione del corpo.
Una forza risultante, per esempio, è staticamente equivalente al sistema di
forze da cui viene derivata.
Le forze sono complanari
concorrenti ovvero agiscono
attraverso lo stesso punto di
applicazione e quindi non
producono
un
effetto
rotazionale attorno a quel
punto (i loro momenti sono
nulli).
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Momenti
Una forza applicata ad un corpo tende a causare una traslazione del corpo
nella direzione della forza. A seconda dei punto di applicazione della forza
questa può indurre nel corpo anche una tendenza a ruotare. Questa
tendenza a produrre rotazioni viene chiamata il momento della forza. Il
momento è una grandezza vettoriale.
Considerando un polo O il
momento M di una forza F è
pari al prodotto (vettoriale)
della forza F per la distanza
(misurata perpendicolarmente) r
del punto O dalla retta d’azione
della forza:
MO=r x F
M, F, r sono vettori.
Il modulo del momento è pari a M=F r, dove F è il modulo della forza; r è la distanza tra
il polo O e la retta d’azione di F. r è il braccio della forza.
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Momenti
Una coppia è un sistema di forze costituito da due forze uguali in modulo
e direzione ma di verso opposto aventi rette d’azione parallele e non
coincidenti.
Una coppia tende a causare solo un effetto
rotazionale su un corpo e non causa alcuna
traslazione. Si può dimostrare come il momento di
una coppia sia indipendente dal polo rispetto al
quale viene calcolato.
L’intensità (il modulo) dell’effetto rotazionale
prodotto da una coppia su di un corpo è anch’esso
indipendente dal punto di applicazione della coppia
sul corpo. Il momento di una coppia è semplicemente
il prodotto di una delle due forze per la distanza
(misurata perpendicolarmente) tra le rette d’azione.
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Equilibrio di un corpo rigido
Un corpo è in equilibrio se il sistema di forze che agisce sul corpo non
tende a produrre alcun effetto di traslazione e di rotazione su di esso.
• Equilibrio alla traslazione: ΣF=0 (ΣFx=0, ΣFy=0, ΣFz=0)
• Equilibrio alla rotazione: ΣMo=0 (ΣMx=0, ΣΜy=0, ΣΜz=0)
Stabilire una convenzione dei segni per le forze e per i momenti.
Nell’esempio: forze verso l’alto positive; momenti antiorari positivi.
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Casi particolari di equilibrio
Affinché vi sia equilibrio, i sistemi di forze devono sempre rispettare le
equazioni cardinali della statica.
• Equilibrio alla traslazione: ΣF=0 (ΣFx=0, ΣFy=0, ΣFz=0)
• Equilibrio alla rotazione: ΣMo=0 (ΣMx=0, ΣΜy=0, ΣΜz=0)
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Forze applicate e reazioni vincolari
Le forze ed i momenti che agiscono su di un corpo rigido possono essere
classificate in due tipi: forze e momenti applicati oppure reazioni vincolari.
Le forze (o momenti) applicate sono quelle che agiscono direttamente su
una struttura. Le reazioni vincolari sono le forze ed i momenti generate
dall’azione di un corpo su di un altro e nascono nelle giunzioni e agli
appoggi.
L’esistenza di forze reattive è una conseguenza della terza legge di Newton
(ad ogni azione corrisponda una reazione uguale ed opposta). Più
precisamente, questa legge afferma che, ogni qual volta un corpo esercita
una forza su un secondo corpo, quest’ultimo esercita sul primo una forza
uguale in intensità e retta d’azione, ma di verso opposto.
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Forze applicate e reazioni vincolari
Alcuni esempi di schemi di equilibrio: rappresentazione su di un corpo delle
forze attive e delle reazioni vincolari.
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Condizioni di vincolo
La natura delle reazioni
vincolari agenti su un corpo
caricato dipendono dal
modo in cui il corpo è
vincolato o collegato ad
altri corpi.
Affinché una struttura possa essere in equilibrio deve esserci un numero minimo di
reazioni vincolari (strutture isostatiche).
Se il numero delle reazioni vincolari è sovrabbondante la struttura si dice iperstatica.
Se il numero delle reazioni vincolari è insufficiente a garantire l’equilibrio la struttura si
dice labile.
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Condizioni di vincolo
Equazioni cardinali della statica
ΣF=0
(1) ΣFx=0 0+RBx=0
(2) ΣFy=0 RA+RBy=5P
ΣMA=0
(3) ΣMA=0 -1P·5 -4P·15+RBy ·20=0
Mettendo a sistema la (1), la (2) e la
(3) otteniamo i seguenti valori:
RA=1.75P
RBx=0
RBy =3.25P
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Condizioni di vincolo
Equazioni cardinali della statica
ΣF=0
(1) ΣFy=0 RA+RB=wL
ΣMA=0
(2) ΣMA=0 -wL·L/2 +RB ·L=0
Mettendo a sistema la (1) e la (2)
otteniamo:
RA=RB=wL/2
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