Il Modello di Diamond-Mortensen-Pissarides:
la disoccupazione frizionanle
Prof. Giuseppe Rose
(Ph.D., M.Sc., London)
Modelli Macroeconomici
a.a. 2011- 2012
1
Introduzione
In questa parte del corso viene studiato il fenomeno della disoccupazione
sotto una prospettiva diversa rispetto al modello di Shapiro-Stiglitz. L’idea
principale è che i lavoratori e le imprese sono in qualche modo eterogenei
tra loro per cui passano del tempo a cercarsi l’uno con l’altro in attesa di
trovare il "partner" che veramente stanno cercando. Questa ricerca dà luogo
Università della Calabria, Dipartimento di Economia e Statistica; E-mail:
[email protected]; Homepage: www.ecostat.unical.it/Rose.
1
al fenomeno della disoccupazione frizionale. Il modello è noto come modello
di Diamond Mortensen e Pissarides ma in realtà è importante tenere presente
che i tre autori hanno sviluppato aspetti diversi del modello e non un unico
modello congiunto. Il modello che viene illustrato in questa sede è molto
vicino al modello di Pissarides.
2
Il Modello
2.1
Setup generale
Si consideri un’economia dinamica caratterizzata da imprese e lavoratori.
Imprese e lavoratori si cercano l’uno con l’altro all’interno del mercato. Ogni
impresa possiede una vacancy ovvero una postazione lavorativa che può essere
occupata (…lled) oppure vuota (vacant). Ogni lavoratore può essere occupato
(riempie una vacancy) oppure disoccupato ed in cerca di una vacancy. Si
stabilisca il seguente formalismo:
E = numero di lavoratori occupati.
U = numero di disoccupati.
L = E + U = forza lavoro.
V = indica il numero posti di lavoro disponibili (numero di Vacancies)
2
F = indica il numero di posti di lavoro occupati (Filled, ovvero vacancy
riempita).
c = indica il costo che l’impresa deve sostenere per mantenere una vacancy.
A = indica la produttività di ogni lavoratore (A > c).
w = indica il salario reale.
In ogni istante di tempo, l’utilità di un lavoratore è data da:
utilita =
8
>
>
>
w se occupato
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
:
:
(1)
0 se disoccupato
Il pro…tto di un impresa è invece dato da:
prof itto =
2.2
8
>
>
>
A
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
:
w
c se la vacancy è riempita
(2)
c se la vacancy è vuota.
La funzione di matching
Il processo di ricerca e di incontro tra lavoratori ed imprese è riassunto dalla
così detta funzione di matching. Questa funzione ci dice quanti matches
3
(incontri) ci sono in ogni istante di tempo. Indicando con la lettera M il
numero di incontri in ogni istante, la funzione di matching è data da:
M = M (U; V ) = KU V
dove 0 <
< 1; 0 <
(3)
< 1; e K > 0 sono dei parametri. Questa funzione è
simile ad una funzione di produzione solo che qui si producono "incontri". Il
numero di incontri che si produce è funzione crescente del numero di disoccupati (U ) e del numero di vacancy (V ) poichè al crescere di queste variabili
cresce il numero di agenti che si cerca l’uno con l’altro e quindi cresce il
numero di incontri che si ha in ogni periodo. Nell’espressione precedente abbiamo dato una forma funzionale alla funzione di matching che è esattamente
uguale a quella di una Cobb-Douglas.
Data la de…nizione di funzione di matching possiamo de…nire la variazione
_ nel modo seguente:
dell’occupazione da un istante all’altro del tempo (E)
E_ = M (U; V )
bE
(4)
dove b indica la probabilità istantanea di essere licenziati. L’espressione
precedente ci dice che la variazione dell’occupazione è data dalla di¤erenza
4
tra il numero di incontri ed il numero di licenziamenti che si generano in ogni
istante. In stato stazionario deve valere la seguente relazione:
E_ = 0
ovvero
M (U; V ) = bE:
(5)
De…niamo le seguenti espressioni:
a=
=
2.3
M (U; V )
= probabilita di diventare occupato
U
M (U; V )
= probabilita di riempire una vacancy:
V
Le Equazioni di Bellman
Indicando con V E ; V U ; V F ; e V V rispettivamente i valori attuali di un occupato, di un disoccupato, di un’impresa con vacancy piena e di un’impresa
con vacancy vuota, possiamo scrivere le seguenti Equazioni di Bellman (o
funzioni valore come nel modello di Shapiro Stiglitz) indicando con
di sconto degli agenti economici:
5
il tasso
VE =w
b(V E
V U = a(V E
VF =A
VV =
2.4
w
c
V U)
(6)
V U)
b(V F
c + (V F
(7)
VV)
V V ):
(8)
(9)
Due Ipotesi fondamentali
Il modello si basa su due ipotesi fondamentali:
1) Ogni qual volta si genera un match, la contrattazione che si e¤ettua
sul salario porta ad una soluzione che fa si che i surplus che si generano
dall’incontro per il lavoratore e per l’impresa siano uguali tra di loro. Questa
ipotesi implica che il salario risultante dalla contrattazione deve portare al
seguente risultato:
6
F
V
|V {z V }
=
surplus dell’impresa
E
U
V
| {z V }
surplus del lavoratore
2) Ogni vacancy può essere distrutta e creata senza costo (free entry
condition). Questa ipotesi implica che in stato stazionario V V = 0: Se così
non fosse, non avremmo uno stato stazionario. Se infatti V V fosse minore
di zero le vacancies verrebbero distrutte per cui ci sono meno imprese che
cercano sul mercato del lavoro e questo modi…cherebbe il numero di matches
che si hanno sul mercato del lavoro per cui non saremmo in stato stazionario.
In maniera uguale, se V V fosse più grande di zero, allora sarebbe conveniente
creare nuove vancancy (che hanno un valore positivo) per cui si in‡uenza il
numero di match nel mercato e quindi, di nuovo, non saremmo in stato
stazionario.
Sotto queste due ipotesi si dimostra che esiste un unico stato stazionario
a cui l’economia converge. In altre parole l’economia risulta essere caratterizzata da (e convergerà ad) un unico livello di disoccupazione.
3
Soluzione del modello
Per risolvere il modello utilizziamo prima l’ipotesi 1) ovvero il fatto che:
7
VF
VV =VE
V U:
(10)
Ricaviamo prima il lato destro della precedente espressione: Sottraendo
l’eq. (7) alla eq. (6) dopo qualche semplice passaggio otteniamo che:
VE
VU =
w
:
+b+a
(11)
Ripetendo la stessa operazione ricaviamo il lato sinistro della (10), ovvero
sottraendo l’eq. (9) alla eq. (8) dopo qualche semplice passaggio otteniamo
che:
VF
VV =
A w
:
+b+
(12)
Uguagliando le due epressioni che abbiamo trovato e risolvendo rispetto
al salario troviamo proprio l’espressione del salario che uguaglia i surplus del
lavoratore e dell’impresa. Questa espressione è data da:
w=
A( + b + a)
:
2 + 2b + a +
(13)
A questo punto usiamo l’ipotesi 2) ovvero V V = 0 nello stato stazionario.
8
Consideriamo l’espressione di V V contenuta nella eq. (9):
VV =
c + (V F
Poichè abbiamo trovato che V F
VV =
VV =
c+
V V ):
A w
+b+
, sostituendo avremo:
A w
:
+b+
Poichè abbiamo anche trovato un’espressione che ci dice che w =
A( +b+a)
2 +2b+a+
sostituendo nella precedente espressione e facendo qualche passaggio algebrico otteniamo che:
VV =
c+
A
2 + 2b +
+a
:
(14)
Quest’ultima espressione è fon-da-men-ta-le. E’quella che dobbiamo studiare. Prima di discutere questa espressione è importante notare che i parametri ; c; b; A sono esogeni e costanti per cui non sono molto importanti
nell’analisi di questa espressione. Invece i parametri
ed a sono importanti
perchè essi non sono esogeni ma sono endogeni. Infatti data la loro espressione noi sappiamo che:
9
,
a=
KU V
U
=
KU V
V
ed
per cui entrambi i parametri ; ed a sono funzione di U (disoccupazione) e
poichè U = L
E, entrambi i parametri sono funzione di E: Per ricordarcelo
riscriviamo l’espressione (14) come segue:
VV =
c + (E)
A
:
2 + 2b + (E) + a(E)
(15)
A questo punto possiamo capire perchè questa espressione è importante. Noi
sappiamo che il lato sinistro dell’espressione precedente, in stato stazionario
deve essere pari a zero. Per cui se esiste un livello di occupazione (E) di stato
stazionario questo deve essere tale da rendere l’espressione precedente pari
a zero. Studiando il lato destro dell’espressione in funzione di E è possibile
dimostrare che esiste uno stato stazionario ovvero esiste un livello di E
per cui l’espressione è pari a zero, ed è anche possibile dimostrare che
questo stato stazionario è unico.
10
La dimostrazione completa di questi risultati richiede tempo. In questa
sede, viene omessa la dimostrazione del seguente risultato:
@V V
< 0:
@E
(16)
La dimostrazione viene omessa poichè molto complessa. Ad ogni modo questo
è uno dei risultati importanti che dobbiamo tenere a mente. Infatti se è vero
che l’espressione che stiamo studiando (l’eq. 15) è una funzione con derivata
prima negativa, vuol dire che si tratta di una funzione sempre decrescente.
A questo punto per dimostrare l’esistenza dello stato stazionario è su¢ ciente
dimostrare che:
a) la nostra espressione ha valore positivo quando E = 0;
b) la nostra espressione ha valore negativo quando E = L:
In questo modo, infatti abbiamo una funzione continua che è strettamente
decrescente lungo la variabile E e che parte da un valore positivo per arrivare
ad un valore negativo. Questo implica che deve passare per lo zero. Il livello
di E che mi porta a questo valore della funzione pari a zero è il livello di
stato stazionario che sto cercando.
Bisogna quindi studiare l’eq. (15) in E = 0 ed in E = L: Per fare ciò
dobbiamo prima studiare le variabili a(E) ed (E) in E = 0 ed in E = L:
11
Cominciamo a studiare la variabile a(E):
a(E) =
KU V
U
: Poichè in stato stazionario KU V = bE avremo che:
a(E) =
bE
L
E
:
Da questa ultima espressione è facile vedere che:
lim
E!0
lim
E!L
bE
L
E
bE
L
E
=0
= +1
per cui
lim a(E) = 0
E!0
lim a(E) = +1:
E!L
Passiamo adesso ad (E): Noi sappiamo che:
(E) =
KU V
V
per cui in stato stazionario (KU V = bE) avremo che:
12
(E) =
bE
:
V
Dalla relazione di stato stazionario KU V
= bE possiamo ricavare
un’espressione per V che è data da:
V =
1=
bE
KU
:
Sostituendo questa espressione nel denominatore dell’espressione di (E) abbiamo che:
bE
(E) =
bE
KU
1=
(17)
:
Riordinando la precedente espressione e ricordando che U = L
E otte-
niamo:
(E) = [bE]
1
K 1= (L
E)
=
:
Possiamo anche in questo caso studiare i limiti di questa espressione per
E = 0 e per E = L: Ricordando che
seguenti ridultati:
13
< 1; è facile vedere che valgono i
lim (E) ! 0
E!0
lim a(E) = 0:
E!L
A questo punto possimo studiare cosa accade alla nostra espressione (15)
quando E = 0 e per E = L: Per comodità riscriviamo l’espressione (15):
VV =
c + (E)
A
:
2 + 2b + (E) + a(E)
Cominciamo da E = 0. Quando E = 0, a(E) = 0, mentre (E) ! +1:
Questo implica che abbiamo un rapporto tra in…niti dello stesso grado che
è pari al rapporto tra i coe¢ cienti degli in…niti. Per cui se E = 0 la nostra
espressione diventa:
V V = | c{z
+ A} :
(18)
>0 per ipotesi
Adesso passiamo a E = L: Quando E = L, a(E) ! +1, mentre (E) =
14
0: Per cui se E = L la nostra espressione diventa:
VV =
c+0
0=
c:
(19)
Abbiamo quindi trovato esattamente quello che cercavamo: dato che la
funzione V V è decrescente in E e parte da un valore positivo …no ad arrivare
ad un valore negativo, deve esistere per forza un livello di occupazione E nel
quale la …nzione V V è pari a zero. Questo livello di occupazione è il livello
di stato stazionario. La situazione è descritta nella Figura 1.
4
La dinamica ed alcune considerazioni
Nella Figura 1 si può vedere come la stato stazionario verrà raggiunto da
qualsiasi livello di occupazione l’economia cominci ad operare.
Se E 0 < E le vacancies hanno valore positivo, per cui ne verranno create
delle altre. Man mano che si creano vacancy l’occupazione aumenta e questo
fa ridurre il valore delle vacancy. Il motivo di tale riduzione è cruciale e
risiede nell’ipotesi 1): poichè i surplus derivanti dal match devono essere
uguali, quando l’occupazione cresce, si riduce la disoccupazione per cui i
lavoratori hanno un surplus sempre più basso dai nuovi matches che fanno
15
Figure 1: Lo stato stazionario nel modello di D-M-P.
16
(poca disoccupazione voul dire che è facile avere un match quindi il fatto che
un lavoratore abbia avuto un match non gli genera un grande surplus). Le
imprese, invece, al crescere dell’occupazione vedono ridursi la loro possibilità
di fare dei match (pochi disoccupati) per cui ogni volta che fanno un match
realizzano un grnde surplus. Poichè i surplus devono essere uguali, il salario
viene contrattato in modo tale da trasferire parte del surplus delle imprese
verso i lavoratori. Questo implica che il valore di una vacancy si riduce man
mano che l’occupazione cresce. La creazione di vacancy continuerà …no a
quando V V = 0 ovvero …no a quando non si raggiunge lo stato stazionario.
Allo stesso modo se E 00 > E il valore delle vacancy è negativo. Questo
implica che le vacancy vengono distrutte. Se le vacancy vengono distrutte
si crea meno occupazione ed E si riduce. Questa riduzione fa aumentare il
valore delle vacancy. Infatti l’aumento della disoccupazione implica che il
surplus dei lavoratori cresce (è di¢ cile trovare un lavoro perchè è cresciuta
la disoccupazione quindi se trovo un lavoro il mio surplus è grande) mentre
quello delle imprese diminuisce (è facile trovare i lavoratori a causa della
crescita della disoccupazione quindi ogni volta che si fa un match non è un
grande avvenimento). In virtù del fatto che il salario si contratta per rendere
pari i surplus, una parte del surplus dei lavoratori viene trasferito alle imprese
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e questo fa crescere il valore delle vacancies. La distruzione delle vacancies
continuerà …no a quando V V = 0:
18