L’EQUILIBRIO
1. L’EQUILIBRIO DEI SOLIDI
Il punto materiale e il corpo rigido
Un corpo è in equilibrio quando è fermo e continua a restare fermo.
Si intende, per punto materiale, un oggetto così piccolo rispetto all’ambiente in cui si trova da poter
essere considerato un punto: ha comunque una massa, ed è usato quando si voglia studiare il movimento
dell’oggetto nel suo insieme.
Il corpo rigido è un oggetto esteso che non subisce alcuna deformazione qualunque siano le forze che
gli vengono applicateL’equilibrio del punto materiale
Un corpo materiale fermo rimane in equilibrio quando è nulla la risultante delle forze che
agiscono su di esso: viceversa, se è fermo e rimane fermo, significa che la risultante delle forze
che gli sono applicate è uguale a zero.
Le forze vincolari.
In genere un oggetto non è libero di muoversi, ma è ad es. appoggiato, o
legato, o inchiodato etc.: il suo comportamento dipende cioè dalla
presenza di vincoli.
Un vincolo è un oggetto che impedisce ad un corpo di compiere alcuni movimenti.
I vincoli possono esercitare delle forze, dette reazioni vincolari: ad es. il pavimento agisce su un corpo
con una reazione vincolare uguale ed opposta alla forza-peso, che tenderebbe a farlo scendere verso il
basso; il corpo rimane in equilibrio perché la somma vettoriale di queste due forze è nulla.
La forza vincolare non ha una intensità definita: il vincolo adatta la propria reazione alla forza attiva
che agisce su di esso.
Reazioni vincolari
Forze – peso
1
Tutti i vincoli si rompono se sottoposti a forze eccessive: di solito si fa l’ipotesi che le forze applicate ai
vincoli siano tali da non superare il limite di rottura.
Poiché un punto materiale è in equilibrio quando è soggetto ad una forza totale nulla, per
determinare le condizioni di equilibrio occorre sommare alla forze attive anche le reazioni vincolari .
L’equilibrio su un piano inclinato
Consideriamo, in assenza di attrito, un corpo avente forza peso FP appoggiato su un piano inclinato:
che forza dobbiamo applicare per mantenerlo in equilibrio?
F
FP
Le forze in gioco sono tre:
 La forza-peso FP diretta verso il basso
 La reazione vincolare Fv perpendicolare al piano inclinato
 La forza equilibrante F che dobbiamo applicare
E’ opportuno scomporre la forza-peso in due componenti:
F⊥ perpendicolare al piano inclinato
 F∥ parallela al piano inclinato

La componente F⊥ perpendicolare al piano è compensata esattamente da Fv , perché il corpo non si
stacca dal piano; perché il corpo sia in equilibrio, occorre che la forza F sia uguale ed opposta alla F∥
F = - F∥
Fv
F∥
F
F∥
FP
F⊥
F⊥
2
F
Il valore F della forza equilibrante è dato dalla formula
l
h
F = FP
Fp
Quindi quanto più il piano è inclinato, ovvero quanto > è
, tanto maggiore deve essere la forza
equilibrante.
L’effetto di più forze su un corpo rigido
Se su un punto materiale sono applicate più forze, la forza risultante è uguale alla loro somma vettoriale;
nel caso di un corpo rigido questo è ancora valido, anche se il problema è complicato dal fatto che le
forze possono essere applicate in punti diversi del corpo.
Una forza che agisce su un corpo rigido può essere spostata lungo la sua retta d’azione in un altro
punto dello stesso corpo, senza che l’effetto della forza cambi.
F
F
F
Forze che agiscono sulla stessa retta
F1
F2
F1
FR = F1 + F2
F2
Se due forze sono applicate ad un corpo rigido lungo la stessa retta d’azione , possiamo spostare una delle
due lungo la retta d’azione fino a quando le due forze sono applicate nello stesso punto: la forza
risultante è la somma vettoriale delle forze e può essere spostata sulla sua retta d’azione senza che
cambino gli effetti.
Forze concorrenti
Se ho due forze concorrenti le cui rette d’azione si intersecano in P, si spostano le due forze lungo le rette
d’azione fino al punto d’intersezione P: la risultante è la somma vettoriale delle forze con la regola del
parallelogramma.
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F2
P
F2
F1
Fr
F1
Forze parallele
Due forze parallele applicate in punti diversi di un corpo rigido sono:
 Concordi quando hanno lo stesso verso: la risultante è interna alle due forze
d1
P
d2
F1
F2
F1 + F2
 Discordi quando hanno versi opposti: la risultante è esterna alle due forze
F2
F1 + F2
d2
P
F1
d1
La somma delle forze è applicata in un punto P individuato dalla proporzione
d1 : d2 = F2 : F1
dove d1 è la distanza di P dalla forza F1 e d2 la distanza di P da F2 ; ovvero, le distanze del punto P
dalle due forze sono inversamente proporzionali alle intensità delle forze: se le forze sono uguali, il
punto di applicazione della forza totale ha la stessa distanza da entrambe; altrimenti la forza totale è più
vicina alla maggiore delle due.
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Il momento delle forze
Un corpo rigido può anche ruotare
L’effetto di rotazione di una forza. Come noto, dovendo stringere o allentare un bullone, lo
sforzo è minore se si allunga la chiave con un tubo:
l’effetto non dipende solo dalla forza ma anche dal braccio.
Il braccio di una forza F rispetto a un punto O è dato dalla distanza fra il punto O e la retta che
contiene F.
F
F
braccio
braccio
O
O
Definizione del momento di una forza.
Il momento di una forza F è uguale al prodotto
dell’intensità F della forza per il braccio b
M=Fb
momento della forza [Nm]
forza [N]
Braccio [m]
Per avere un buon effetto di rotazione posso applicare una forza grande oppure utilizzare un braccio
lungo: per aumentare l’effetto posso poi fare entrambe le scelte.
Il momento della forza si considera positivo quando la forza tende a produrre una rotazione in senso
antiorario, negativo quando la rotazione è oraria.
+
antiorario
Orario
Per avere un’idea: per svitare il bullone di un’auto serve un momento di ≅ 150 Nm; il momento
applicato per ruotare una maniglia è circa 10 Nm
Il momento di una coppia di forze.
Quando ad es. ruotiamo il manubrio della bicicletta
applichiamo due forze uguali e contrarie.
Una coppia di forze è data da due forze, uguali ed opposte, applicate in due punti diversi di un
corpo rigido. L’effetto di rotazione dovuto ad una coppia di forze è descritto dal momento della
coppia, che dipende dalle forze applicate e dalla loro distanza .
Il momento di una coppia è dato dalla somma dei momenti delle forze rispetto al punto medio O, ed è uguale
al prodotto dell’intensità F di una forza per la distanza d tra le rette di azione delle due forze.
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M=Fd
momento della coppia [Nm]
distanza [m]
intensità di una delle forze [N]
d
b
F
O
b
-F
Infatti
Come prima, si considerano positive le coppie che comportano una rotazione antioraria, negative quelle che
causano una rotazione in senso orario.
es. il momento di una coppia che esercitiamo girando una chiave in una toppa è di ≅ 1Nm; il motore di
un’auto di media cilindrata fa girare il motore con una coppia di ≅ 80 Nm.
L’equilibrio di un corpo rigido.
Un corpo rigido è in equilibrio se
 Non tende a spostarsi (per l’azione di forze applicate), ovvero la somma vettoriale delle forze
applicate su di esso è uguale a zero
 Non tende a ruotare (a casua dei momenti delle forze applicate), ovvero la somma vettoriale
dei momenti delle forze, calcolati rispetto ad un punto qualsiasi, è pari a zero
Le leve
Le leve sono dispositivi per amplificare o ridurre le forze, e sono costituite da un’asta rigida che può
ruotare attorno ad un punto fisso detto fulcro
fulcro
bR
FM
bM
FR
La leva è in equilibrio quando il momento della forza resistente è uguale al momento della
forza motrice.
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Indicando con




FR
bR
FM
bM
la forza resistente
il suo braccio rispetto al fulcro
la forza motrice
il suo braccio rispetto al fulcro
FR bR = FM bM
Momento della forza resistente
momento della forza motrice
La somma dei due momenti delle forze FR e FM che agiscono in versi opposti è uguale a zero.
Per vincere una forza resistente maggiore della forza motrice che abbiamo a disposizione, dobbiamo
usare un braccio della forza motrice maggiore dell’altro.

Leve di primo genere : il fulcro è posto fra le due forze (es. mollette, forbici..)
bR
bM
FM
fulcro
FR

Leve di secondo genere : la forza resistente è tra fulcro e forza motrice (schiaccianoci..)
bM
FM
Fulcro
bR
FR

Leve di terzo genere : la forza motrice è tra il fulcro e la forza resistente (es. pinzetta per
il ghiaccio, attizzatoio, oppure il caso di una mano che tiene un
oggetto, con l’avambraccio che esercita la forza motrice ed il gomito che fa da fulcro )
bM
FM
bR
FR
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Il baricentro
Si chiama baricentro, o centro di gravità, di un corpo rigido il punto di applicazione
della forza peso di un corpo.
Dove si trova il baricentro. Per quanto riguarda l’equilibrio, un corpo rigido si comporta come
se tutto il suo peso fosse concentrato nel baricentro: questo si trova nel centro di simmetria nel caso di
figure geometriche regolari ed omogenee; per oggetti di forma irregolare e disomogenei si trova,
grossomodo, dove la massa è più concentrata.
L’equilibrio di un corpo appeso.
Un corpo appeso per un punto P è in equilibrio se il suo
baricentro G si trova sulla retta verticale che passa per P.
P
G
a)
b)
c)
P
G
G
G≡ P
P
a) Equilibrio stabile: se si sposta il quadro di poco, ritorna nella precedente posizione di equilibrio
b) Equilibrio instabile: spostandolo di poco, il quadro non ritorna nella posizione di equilibrio
c) Equilibrio indifferente: spostandolo di poco, il quadro rimane in una nuova posizione di equilibrio
L’equilibrio di un corpo appoggiato
Un corpo appoggiato su un piano è in equilibrio se la retta
verticale che passa per il suo baricentro interseca la base di appoggio.
G
base di appoggio
base di appoggio
baricentro
Es. la torre di Pisa non cade perché la verticale, che passa per il suo baricentro, cade all’interno della
base di appoggio.
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2. L’equilibrio dei fluidi
Solido: corpo rigido che conserva forma e volume propri
 Liquido: fluido che assume la forma del recipiente che lo contiene; ha un volume proprio ed è

difficilmente comprimibile

Gas (aeriforme): fluido che occupa tutto il volume che lo contiene e può essere compresso in
un volume più piccolo
La pressione
La stessa forza può avere effetti diversi a seconda di come agisce su una superficie: ad es. una persona
sulla neve affonda poco se ha ai piedi le racchette, poiché distribuisce il suo peso su una superficie
maggiore, mentre con le sole scarpe affonda di più a causa della minore superficie di appoggio.
Quindi, lo stesso peso ha un effetto tanto più grande quanto più è piccola la superficie su cui agisce.
Pressione: è il rapporto tra il valore della forza perpendicolare ad una superficie e l’area della stessa.
=
 Data una superficie, se la forza aumenta, la pressione aumenta
 Data una forza, se la superficie aumenta la pressione diminuisce
L’unità di misura della pressione
Nel Sistema Internazionale l’unità di misura della pressione è il pascal [Pa], definito come la
pressione che si ottiene quando una forza di intensità pari a 1N agisce perpendicolarmente su una
superficie di area 1 m2
1 Pa =
La pressione nei liquidi
Legge di Pascal.
La pressione esercitata su una superficie qualsiasi di un liquido si
trasmette, con lo stesso valore, su ogni altra superficie a contatto
con il liquido.
Due dei dispositivi che sfruttano questa legge per amplificare le forze e trasmetterle da un punto
all’altro sono il torchio idraulico ed i freni a disco:
9

Il torchio idraulico
FA
FB
SA
SB
Il torchio idraulico, grazie all’incomprimibilità dei liquidi, consente di sollevare grandi pesi mediante
piccole forze. E’ costituito da due cilindri, pieni di liquido e collegati fra loro, e da due pistoni come
schematizzato nella fig. sopra. Poiché le due pressioni sulle superfici SA e SB dei pistoni sono uguali
=
FA = FB
All’abbassamento di un certo volume di liquido in uno dei due rami del torchio corrisponde sempre un
innalzamento, dovuto allo stesso volume di liquido, nell’altro ramo
 I freni a disco. Funzionano sullo stesso principio: un circuito oleodinamico collega il
pedale del freno alle ruote: la pressione esercitata dal pedale si trasmette lungo i tubi pieni di
liquido e fa stringere le due pastiglie che, per attrito, rallentano il disco collegato alla ruota.
La pressione della forza peso nei liquidi
La pressione dovuta al peso di un liquido è direttamente proporzionale sia alla densità
liquido sia alla sua profondità
del
densità del liquido [kg/m3]
altezza della colonna di liquido [m]
pressione esercitata da un liquido [Pa]
pl = gh
accelerazione di gravità [m/s2]
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Infatti la pressione
data da
sulla superficie S a profondità h, causata dal peso
=
=
) per la densità ρ
ma la massa m è data dal prodotto del volume (
=
=
=
del liquido che vi sta sopra, è
=
Quella sopra vista è la legge di Stevino scritta in termini di pressione relativa
=
es.
considerando la densità dell’acqua di mare ≅ 1,03x103 kg/m3, un sub immerso a 10 m di
profondità per effetto della colonna d’acqua che gli sta sopra risente di una pressione pari a
= 1,03x103 kg/m3 * 9,8 m/s2 * 10 m ≅ 105 Pa
=
≅
≅
La legge di Stevino si può scrivere anche in termini di pressione assoluta, considerando che sulla
superficie del mare agisce la pressione atmosferica : questa, per la legge di Pascal, si trasmette
inalterata nel liquido: alla profondità h la pressione totale sarà quindi data dalla somma della pressione
atmosferica e di quella dovuta al peso del liquido
p = p0 + ρgh
Se la pressione atmosferica vale ≅ 105 Pa, un sub immerso a 10 m di profondità sarà quindi sottoposto
ad una pressione totale pari a
≅
≅
Pa (≅
≅
)
La spinta di Archimede
Legge di Archimede.
Un corpo immerso in un liquido riceve una spinta verso l’altro pari
al peso del liquido spostato
accelerazione di gravità [m/s2]
spinta di Archimede [N]
densità del liquido [kg/m3]
volume del liquido spostato [m3]
Quanto più è grande il volume del corpo immerso, tanto maggiore è la spinta verso l’alto, perché è
grande il volume di acqua che è stato spostato.
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Una nave di ferro galleggia perché la forza-peso che agisce sullo scafo (cavo!) è compensata dalla spinta
di Archimede che è rivolta verso l’alto: questa forza è tanto più grande quanto più è grande il volume
della parte di scafo che sta sotto il pelo dell’acqua.
Un corpo affonda, galleggia o sale quando la sua densità è rispettivamente maggiore, uguale o
minore di quella del liquido.
La pressione atmosferica
Ogni corpo subisce una pressione, detta pressione atmosferica, dovuta al peso della soprastante
colonna d’aria, anche se non ce rendiamo conto perché, per la legge di Pascal, essa si esercita con lo
stesso valore su tutte le superfici, comunque siano orientate: si pensi ad es. ad una ventosa attaccata ad
una piastrella.
Il valore della pressione atmosferica può essere misurato con l’esperienza di Torricelli: un tubo sottile,
chiuso ad una estremità e riempito di mercurio, viene capovolto e immerso in una bacinella piena di
mercurio; il tubo non si svuota completamente, e al livello del mare la colonna di mercurio che rimane nel tubo è alta
76,0 cm.
90
Vuoto
80
70
60
Mercurio
50
ρmgh
h = 76 cm
40
30
20
P0
10
0
P0
A
Per la legge di Pascal, la pressione atmosferica , che spinge verso il basso la superficie libera del
mercurio, agisce verso l’alto nel punto A in cui il tubo si immerge nella bacinella; in A essa è equilibrata
dalla pressione dovuta ai 76 cm di mercurio.
=
= 1,36 x 103
x 9,81
x 0,76 m = 1,01 x 105 Pa
densità del mercurio ρm
Alla pressione atmosferica “normale” si attribuisce il valore
= 1,01 x 105 Pa.
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Essa agisce su di noi senza che la avvertiamo, perché è compensata da una pressione uguale che
l’atmosfera esercita dall’interno del nostro organismo verso l’esterno.
Una pressione pari a 1,01 x 105 Pa è detta anche atmosfera [atm]; si usa anche il bar, che è un multiplo
del Pascal ed ha un valore molto prossimo ad 1 atm.
≅
≅
Il valore della pressione atmosferica diminuisce con l’aumentare dell’altitudine, perché diminuisce il
peso della colonna d’aria che ci sovrasta.
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