Forze di attrito e Viscosita
prof. Chiefari
Aprile 2011
Capitolo 6
Le forze di attrito. Viscosita
6.1
Le forze di attrito
Le forze di attrito si manifestano quando un corpo viene poggiato ( 0 anche premuto ) sopra
un altro carpo e si oppongono a qualsiasi movimento di scorrimento relativo.
Una superficie che presenta attrito viene detta scabm.
Le prime esperienze precise sui comportamento delle forze di attrito sono dovute a
C.A. Coulomb.
Attrito statico
6.1.1
N'
Co)
to..
-~
m,g= -N
f:
= -
f:
finche
.it:;
Quando f~ raggiunge il valore
corpo comincia a muoversi.
~t
fmax
f max;
,,~
il
-')
,~ ~
Fig.1
Sperimentalmente si trova :
•
f~ax
• fmax
e indipendente dalla superficie di contatto entro certi limiti.
= p'sN con I-ts coefficiente di attrito statico.
1
-)
Da questo deriva che ( vedi fig.2 )
N
e
dove e la semiapertura del cono di at­
trito, ossia l'8:ngolo formato dalla reazio­
ne vincolare R con la normale al piano di
appoggio.
Fig.2
6.1.2
Attrito cinematico radente
Quando un oggetto si muove strisciando contro un vincolo, sui moto agisce una forza
tangenziale f~ opposta alla direzione del moto.Empiricamente si trova
dove N e la componente normale della reazione vincolare, {) e il versore della velocita. del­
l'oggetto relativamente al vincolo e /-Lc e il coefficiente di attrito cinematico ( 0 dinamico),
che e un parametro caratteristico dei materiali a contatto.
6.1.3
Altre forme di attrito
• attrito volvente : si ha quando un corpo rotola su una superficie.
• attrito interne : si esplica fra Ie varie parti di un gas
• attrito del mezzo :
.
.
immers!.
e la
resistenza di un gas
0
0
di un liquido.
liquido al moto dei corpi che vi sono
L'attrito interno e l'attrito del mezzo sono aspetti diversi di un unico concetto, quello di
viscosita. .
6.2
Viscosita
Consideriamo un fiuido che scone lentamente e in condizioni di regime in un tubo : il moto
avviene in modo ordinato e per strati ( moto laminare ), ossia un arbitrario piccolo volume
di liquido si muove parallelamente all'asse del tubo ( vedi fig.3 ) .
2
.n.- - . :. .­
,.
~
­
............
,
\, ,:
~"
--...­
10 strato di liquido in contatto con la superficie del tubo
e fermo,
mentre la velocita di
scorrimento del liquido e massima lungo l'asse centrale. Nasce allora una forza di attrito fra
due strati adiacenti, rna in moto relativo l'uno rispetto all'altro.
Newton osservo che per la maggior parte dei liquidi ( liquidi newtoni Clui ) la forza di
attrito A' agente sopra uno strato di liquido sufficientemente piccolo ( in modo tale che si
possa considerare costante la velocita in tutti i punti della strato ) ha direzione opposta al
moto e intensita. proporzionale alia superficie S dello strato e a ~~, dove he la distanza dallo
strato di liquido considerato.
con
coefficiente di viscosita.
"7
Ne consegue che il coefficiente di viscosita ha Ie dimensioni di ( una forza per un tempo
diviso una superficie ), ossia ha Ie dimensioni di una pressione per un tempo. Nel S.r. l'unita
di misura della pressione e il Pascal ( simbolo Pa ), per cui il coefficiente di viscosita. si misura
in Pa s.
Nel Sistema C.G.S. l'unita. di misura di "7
per la formula sulla portata dei liquidi.
1 Pa s
=
1 N m- 2 s
=
1 kg m- 1
S-1
e il
=
poise, abbreviazione di Poiseuille, celebre
10 3
X
10- 2 g cm- 1 S-1
=
10 poise
Se il fluido e un liquido, "7 diminuisce rapidamente al crescere della temperatura. Ad es.
iI coefficiente di viscosita della glicerina pura vale 1.499 Pa s a 20°C, 0.945 Pa s a 25°C e
0.624 Pa s a 30°C. Inoltre la presenza, sia pur minima, di acqua fa variare notevolmente "7.
Per esempio, nel caso della glicerina a 20°C, un 5% di acqua abbassa "7 da 1.499 Pa sa 0.545
Pa s !!. Da notare che, a 20°C, "7acqua vale ~ 10- 3 Pa s .
Se il fluido e un aeriforme, "7 aumenta al crescere della temperatura ( vedi Teoria Cinetica
dei Gas ) . Per l'aria a 20°C "7 = 1.84 X 10- 5 Pa s, mentre vale 1. 72 x 10- 5 Pa s a O°C .
6.2.1
Forze di attrito nei fl uidi
Un corpo, quando si muove in un fluido, a causa dell'attrito tra la sua superficie ed il fluido
circostante, risente l'effetto di una forza frenante F~, opposta alia velocita. iJ che esso ha
3
rispetto al fiuido.
F~
= - /3iJ =
se il moto
-'yr;iJ
e laminare
in cui 1] e sempre il coefficiente di viscosita e 'Y dipende dalla forma del corpo. Stokes ha
trovato che , per un corpo sferico di raggio R, 'Y e uguale a 67r R, per cui ( Legge di Stokes)
per una sEera
Questa equatione e alla base del metoda della sfera cadente , usato per determinare speri­
mentalmente il valore di 1] dei fiuidi.
Da notare che, se il moto non e laminare, F~ puo contenere dei termini che dipendono
dal quadrato, dal cubo, ... della velocita.
6.2.2
Metoda della sfera cadente
Supponiamo di avere un tubo cilindrico di vetro, contenente del liquido di cui si vuole
determinare 1], e di lasciar cadere nel tubo una sferetta di raggio R con velocita illiziale VQ.
Fissiamo un sistema di riferimento come in figura 1 : z=O corrisponde al peto libero del
liquido.
.j
o
.....
~
..
~
1.. ~~'
r...
..•
.--."
f!j
..............
...
~,""li
~
,• •', . '­-y.
"e:
."
~
~"
Fig.4
Le forze agenti sulla sferetta sono :
• la forza peso,
mg, diretta verso it basso
• la forza viscosa, -67r Rv, diretta verso l'alto
• la spinta di Archimede, diretta verso l'alto, che vale ~7rR3Plg, in cui PI e la densita del
liquido ( da notare che, se la sferetta e omogenea, il centro di spinta coincide con it
centro di massa della sferetta )
II II Principio della Dinamica di scrive allora
ma
= mi = mg -
4
"37r R 3Pig - 67r R1]z
4
Indicando con P la densita della sEeretta, possiamo anche scrivere
OSSla
"_ [1 - -PI] - -91-7R ­
z
2 .
z-g
P
2P
Questa equazione differenziale, contenente termini in i e
variabili :
..
dv
Z= e
z=v
dt
Ponendo, per semplicita di notazione,
z, e risolubile
per separazione di
e
si ottiene
dv
-=a-bv
dt
dv
ossia
a­
bv
= dt
Quindi
-b dv
a ­ bv
= -b dt
ossia
Integrando a sinistra Era
Vo
d(a-bv) =-bdt
a ­ bv
per
e
Per t ~
In
=
a-bv
a-bvQ
(~ - v)
00,
alb ­
v=
bv)] = -b dt
e v(t) e a destra Era 0 e t,
In(a - bv) - In(a - bv o) = -b(t ­ 0) = -bt
Infine
d [In(a ­
CUl
=
In
a­
a­
a ­ bv
-bt
= e
a ­ bvo
(~
- vo)
e-
bt
~ 0 e quindi ( vedi Fig.5 )
Yo (
"oJ:)
I...------------->t
v= -
V
= ( v= 5
-bt
Vo ) e
Fig.5
bv
b = -bt
Vo
-
La grandezza lib ha Ie dimensioni di un tempo e viene chiamata costante di tempo del
fenomeno ( T ). Dopo un tempo pari a 3T, e- 3T / T = e- 3 = 0.05 e l'esponenziale puo essere
considerato circa nullo. La sferetta raggiunge in pratica la velocita limite, a patto che sia
abbastanza piccola la differenza in modulo fra V oo e Va : diversamente, bisogna aspettare per
un tempo maggiore.
Ricordando Ie espressioni di a e di b,
V OO
_ 2 (p - PI) R 2
-g
9
77
-
Quindi, se si conosce il valore di g,P,PI eRe si determina sperimentalmente
determinare il valore di 77.
V oo ,
e possibile
L'espressione per V oo poteva essere ottenuta, in modo formalmente pili semplice, cercltndo
per la nostra equazione differenziale una soluzione con z = cost = V oo ' Essendo z = 0 in
questo caso, si ricava immediatamente per V oo la relazione che e stata scritta poco prima.
Per determinare 77 sperimentalmente con il metoda descritto, si usa un insieme di sferett8,
aventi raggio diverso. Si determina, per ogni fissato R, la corrispondente V oo , si costruisce un
grafico di V oo in funzione di R 2 , si fa il fit dei minimi quadrati e dalla pendenza della retta
si ottiene it valore di 77.
E opportuno notare che, essendo T = ~ R 2 , sferette di raggio sempre pili piccolo raggiun­
gono sempre pili presto la condizione limite.
II problema sperimentale pili serio e determinare V oo , ossia misurare la velocita di caduta
in pili punti della traiettoria e determinare la quota, a partire dalla quale, la velocita si possa
considerare costante.
Puo essere di aiuto la seguente considerazione. Supponiamo, per maggior semplicita, che
Ie sferette vengano fatte cadere da ferme ( Va = 0 ), lasciandole Ii bere una volta posizionate
a pelo del liquido. In tal caso
da cui
e quindi
z(t 2: 3T)
~
voo(t - T)
ossia la quota Z(3T), a partire dalla quale in pratica la sferetta cade con velocita costante,
vale
8
(PI - p) 4
Z (3T ) ~ 2V oo T = -gp
2
R
81
77
La conclusione e che, se si determina, per il campione di sferette avente R maggiore, la
quota a partire dalla quale si ha velocita limite, sicuramente Ie sferette, aventi raggio minore,
raggiungeranno ad una quota minore la corrispondente velocita limite.
6
6.3
Determinazione del coefficiente di viscosita 17 della
glicerina con il metodo della sfera cadente
Materiale a disposizione ;
3
• un cilindro di vetro, riempito di glicerina ( PI = 1.26 X 10 3 kg/m a temperatura
ambiente ) , alto circa 60 em , il cui diametro interno puo essere misurato con un
calibro a scorrimento, e tenuto il pili verticale possibile, per motivi che vedremo fra
breve
3
• un insieme di sferette di acciaio ( P == 7.85 X 10 3 kg/m ) di diametro diverso, suddivise
per diametro in diversi scatolini di plastica, delle quali e bene controllare il diametro
con il calibro Palmer
• un cronometro
• una scala graduata
La prima cosa da fare e determinare la quota critica.
procedere nel seguente modo:
Per ottenere cio,
51
potrebbe
1. con l'aiuto di una scala graduata, si fissano dei traguardi equidistanti sul tubo di vetro
( tipicamente ogni 10 em e la distanza puo essere misurata allora con un calibro a
scorrimento )
2. si misurano gli intervalli di tempo, necessari affinche la sferetta di raggio maggiore
percorra 10 spazio fra il primo e l'ultimo traguardo, tra il secondo e l'ultimo e cos1 via
3. si ottiene in questa modo una successione di valori della velocita media, che a partire
da un certo traguardo in poi apparira costante entro gli errori
4. per le sferette di raggio minore basta misurare l'intervallo di tempo intercorrente fra il
passaggio delle sferette per il traguardo determinato nel punto 3) e l'ultimo traguardo.
Una pili rapida alternativa al punto 2) e di misurare gli intervalli di tempo compresi fra il
passaggio della sferetta per il primo traguardo e fra il passaggio per il secondo traguardo, ....
secondo e terzo, terzo e quarto e cos1 via e controllare se questi intervalli di tempo so no
uguali fra di lora entro gli errori.
In realta , " a posteriori", si ricava che, sfruttando il valore di 7) della glicerina noto in
letteratura, per una sferetta di acciaio , avente 8 mm di diametro, la quota critica supera
di poco il centimetro. Le differenze di velocita che allora si possono trovare sono dovute ad
altri effetti. Ad esempio la legge di Stokes vale nell'ipotesi di una sferetta che si muove in
un fluido di dimensioni infinite. Per una sferetta che si muove in un cilindro pieno di fluido,
bisogna tener conto di due effetti. 11 primo e dovuto agli estremi del cilindro e puo essere
minimizzato , utilizzando solo la parte centrale del tubo. 11 secondo e dovuto alle dimensioni
finite del diametro D del cilindro e provoca una diminuzione del valore sperimentale della
velocita limite, rispetto a quello trovato per un fluido infinito. Una espressione pili corretta
7
per 17 e stata data da Faxen ( 1922) per una sferetta che cade esattamente lungo l'asse
centrale del tubo :
2 (p - PI) 2[
17 = 99
V
R 1 - 2.104
oo
( Dd ) + 2.09 ( Dd ) 3-
0.90_ (d)
D
5]
dove d e il diametro delle sferette. Si vede allora che solo se si grafica V<Xl in funzione di
R 2 [1 - 2.104 (~) + ... J si ottiene un andamento lineare. Da notare che se D = 3 cln e
d = 0.3 em, il fattore correttivo vale rv 0.79 !!!!.
C'e da notare inoltre che le V oo sono determinate dividendo una stessa quantita L distanza
fra i traguardi di riferimento, e i tempi too corrispondenti. Questo fatto introduce uan
correlazione fra i diversi valori di V<Xl: infatti, se il valore "vero" di L e stato sottostimato,
allora tutte Ie V oo sono sottostimate e se it valore "vero" di L e stato sovrastimato, allora
tutte Ie V<Xl sono sovrastimate. Si puo ovviare a questo inconveniente ad es. conglobando il
termine L nella pendenza della retta
- 1 ex: R 2 [1 - 2.104 ... ]
t<Xl
C'e da notare ancora che in laboratorio vengono misurati i diametri d delle sferette.
aspetta allora :
0,
no si
equivalentemente,
18L
--
t
00 -
17
1
­
9 (p - PI) d;j j
dove d;jj = d2[1 - 2.104...].
Potrebbe sembrare superfiuo ricordare che, avendo a disposizione per un fissato diametro
un campione di sferette , e possibile determinare, dalla distribuzione dei tempi di caduta
delle sferette aventi uguale diametro, una media aritmetica e una sigma della media, per cui
l'errore su t<Xl puo essere considerato di tipo statistico, mentre rimane di tipo massimo quello
su d;jf .
1e formule precedenti suggeriscono che la variabile dipendente sia too : infatti questa
scelta possibile, visto che non si possono ritenere costanti fra di loro gli errori
statistici sconosciuti su d;jf e quindo non si puo fare un fit non pesato di -;.- in funzione di
e l'unica
eJJ
t<Xl'
Tuttavia bisogna aspettarsi un aumento del X2 per aver trascurato l'errore su d;jj'
Ce da notare pero che la presenza di D in d;j j introduce una certa correlazione fra i
diversi valori di d;ff' Questo vuol dire che, se l'effetto non e trascurabile, bisogna fare 3
fit, il primo con D dato dalla nostra migliore stima e gli altri due variando D di ±6D e
vedendo l'effetto sulle stime dei parametri del fit. Questo vuol dire anche che, per ogni fit,
nella stima dell'errore massimo su d;j j) il diametro del tubo deve essere considerato privo di
errore. Tuttavia, prima di fare tre fit, si puo effettuare un controllo sull'errore di d;jj) dato
da
6d;jj = 2d{
11 -
3.156(d/D) 16d + 1.052(d/ D)2 6 D}
Se il secondo termine di questo errore e molto minore del primo, si puo dedurre che la
correlazione sia trascurabile e che quindi sia inutile effettuare tre fit.
8
Per concludere : dalla pendenza b della retta ( nota con errore di tipo statistico ) e
possibile ottenere TJ e il suo errore, ricordando che L tuttavia e affetta da errore di tipo
ma.SSlmo.
9