Dalla meccanica del continuo alle
Equazioni
q
di Lagrange
g
g per
p i solidi elastici
Franco Mastroddi
http://www.diaa.uniroma1.it/docenti/f.mastroddi
dal corso di
Dinamica delle Strutture Aerospaziali
Anno Accademico 2008-2009
SOMMARIO
• Richiami
Ri hi i di meccanica
i d
deii continui
ti i ((solidi+fluidi)
lidi+fl idi)
• Le equazioni di Lagrange per i solidi elastici lineari
• ENFASI SU:
– La scelta delle funzioni di base per le
Equazioni
q
di Lagrange
g g
Æ FEM v.s. variabili modali
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Il problema elastico lineare
dalla meccanica del continuo
Struttura
Modello (Laplace Domain)
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Richiami di meccanica del continuo
Diversi p
punti di vista p
per la descrizione delle g
granedzze di stato dei continui
LAGRANGIANA Æ
EULERIANA Æ
Legate dal “moto” del continuo Æ
Cambio “locale”di
locale di coordinate dato dallo Jacobiano della trasformazione
Æ
Derivata “sostanziale” (lagrangiana) Æ
Un integrale di una grandezza f su un volume di continuo che si muove può essere fatto
Proprietà del determinante dello Jacobiano (teorema del trasporto di Reynolds) Æ
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Richiami di meccanica del continuo
Equazione di continuità
I postulato: per ogni volume materiale del continuo
Conseguenze (“localizzazioni”):
Conseguenza “integrale” (secondo teorema dl trasporto di Reynolds):
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Richiami di meccanica del continuo
Conservazione della quantità di moto e del
Momento della quantità di moto
II postulato: per ogni volume materiale del continuo
Conseguenze (“localizzazioni”): esiste il “tensore degli sforzi” tale che
III postulato: per ogni volume materiale
Conseguenze:
Æ
(applicando il Th. di Gauss Æ)
Legge di conservazione dell’energia meccanica
con
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Richiami di meccanica del continuo
Conservazione dell’energia
IV postulato: per ogni volume materiale del continuo
Conseguenze:
(sottraendo la legge di cons. en. meccanica)
Esiste il vettore flusso di calore tale che
Utilizzando le precedenti e localizzando
(1)
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Richiami di meccanica del continuo
Principio della Termodinamica per solidi
V postulato (termodinamca): esistono le varabili di stato temperatura ed entropia tali che
per ogni volume materiale del continuo
(2)
segno “=“ per trasformazioni reversibili
(Clausius)
SOLIDO: continuo il cui stato è determinato dalla grandezza tensoriale “deformazione” e
da una variabile scalare (ad. es,. entropia)
L’equazione di stato che fornisce l’energia interna per un solido è
Pertanto, se si definiscono
e
Poiché dalla (2) si può ricavare
Æ
, l’equazione dell’energia (1) diventa per i solidi
Contributo alla crescita di entropia dovuto al lavoro
fatto dalla “porzione irreversibile” del
tensore degli sforzi
(3)
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Richiami di meccanica del continuo
Solidi elastici
Il solido è elastico se il lavoro compiuto sulla deformazione è reversibile,
reversibile cioè , vv. Eq.
Eq (3)
(4)
, cioè l’entropia non è
In assenza di flussi e sorgenti di calore la (3) da inoltre
più variabile di stato per il solido. Se si esprime allora il lavoro fatto dagli stress interni
sii h
ha
con
Quindi per un solido elastico la legge di conser. dell’energia meccanica diventa:
Per solido elastico e lineare dal punto di vista costitutivo (“fisico”) in assenza di pre-stess
e l’energia elastica locale
Dunque per l’energia elastica totale si ha in questo caso la forma quadratica:
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Equazioni di Lagrange per
Solidi elastici lineari
Si consideri
id i un campo di spostamenti
t
ti virtuali
i t li per la
l struttura
t tt
compatibili
tibili con i vincoli
i
li
e lo si moltiplichi scalarmente per l’equazione di Cauchy integrando sul volume del solido
(5)
Poiché sviluppando
integrando sul volume e applicando il teorema di Gauss si ha
sostituendo nella (5) si ha
Se si pone quindi per il campo di spostamenti (ed il relativo virtuale)
Æ
la (5) diviene un sistema di ODE (utilizzata l’arbitrarietà dei
1
2
)
3
4
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Equazioni di Lagrange per
Solidi elastici lineari
1
=Forze di inerzia
La velocità è data da
Per cui
1
=
e l’accelerazione
con
=Forze esterne (body-forces)
2
Se si assume che tali forze siano di natura conservativa (peso) allora
2
3
=
e quindi
con
=Forze di superficie (per esempio, Aerodinamiche)
3
NB: spetterà alla modellazione aeroelastica esprimere
tali forze generalizzate di superficie in funzione del
moto e cioè delle
=
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Equazioni di Lagrange per
Solidi elastici lineari
4
=Forze di tensione interne del continuo elastico
Per la simmetria del tensore degli sforzi
4 =
e nell’ipotesi di cinematica linearizzata
da cui si ricava che
Combinando quindi le precedenti e ricordando che per i solidi elastici
,
nella quale si è utilizzata la forma dell’equazione di continuità
che deriva dalla
per l’indipendenza delle variabili lagrangiane.
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Equazioni di Lagrange per
Solidi elastici lineari
Assemblando i termini
1
2
3
4
Se si considera elasticità lineare (fisica e geometrica)
si ha finalmente
è funzione quadratica delle
I f tti per il solido
Infatti,
lid elastico
l ti lilineare sii h
ha ((v. prec. con
)
quindi Æ
e con
Æ
con
(NB: è matrice simmetrica e semidefinita positiva)
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Equazioni di Lagrange per
Solidi elastici lineari
DISCRETIZZAZIONE AGLI
ELEMENTI FINITI
(5)
“funzioni tenda”
Rappresentano componenti di spostamento nel nodo n
n-imo
imo
Quindi troncando la (5) ad N numero finito di gradi di libertà si ha
(6)
+ I.C.
IC
Se associamo alla (6) il problema di autovalori:
per simmetria e positività delle matrici Æ
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Solidi elastici lineari
Allora il problema di risposta libera
0 + I.C.
se si cambiano coordinate lagrangiane
e si premoltiplicano le equzioni per
, utilizzando le relazioni di ortogonalità, diventa
0
che ha come soluzione
Quindi la soluzione originaria è
Se si considerasse come condizione iniziale un autovettore m-imo
l’autovettore e l’autovalore coincidono con i
la soluzione è
Æ concetti fisici di modi e frequenze
q
p
proprie
p
di vibrazione
l campo vettoriale degli spostamenti modale p-imo sarebbe dato dalla discretizzazione FEM
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Equazioni di Lagrange per
Solidi elastici lineari
Parrebbe lecita la domanda: che eq
eq. di Lagrange otterrei se usassi come funzioni di forma
le
cioè i modi approssimati agli EF?
Si avrebbero in questo caso matrici di massa, rigidezza (legge Hook) e forze generalizzate:
Cioè le stesse matrici diagonali ottenute mediante il processo di cambio di coordinate q.
Dunque cambiare funzioni di forma o coordinate generalizzate sono operazioni duali ed
Equicalenti. Cioè
Base FEM
Base modale
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Solidi elastici lineari
A parità di accuratezza, la velocità di convergenza globale della base modale
(approssimata) alla soluzione esatta
è maggiore della base FEM.
AD ESEMPIO:
Poiché la stabilità e la risposta aeroelastica di una configurazioni sono caratteristiche
globali, la base modale è la tipica base lagrangiana utilizzata in aeroelasticità.
Altra motivazione: a parità di accuratezza, si debbono calcolare meno forze generalizzate
aerodinamiche essendo il calcolo aerodinamico l’onere di calcolo maggiore
ESEMPIO FILMATI ANALISI MODALE Æ
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