Equazione risolvente delle piastre sottili
Al fine di determinare l’equazione della superficie elastica, cioè l’unica incognita del problema, dato che
tutte le altre grandezze sono scritte in funzione di essa, è necessario imporre l’equilibrio globale di un concio
infinitesimo di piastra, riferendosi alle azioni generalizzate.
Figura 1: Azioni generalizzate sul concio infinitesimo di piastra
Scrivendo l’equilibrio alla rotazione intorno all’asse x:
∂myy
∂t y
∂mxy
dy dx − (t y +
dy) dx dy +
dx dy = 0
∂y
∂y
∂x
(1)
da cui, trascurando gli infinitesimi di ordine superiore:
ty =
∂mxy ∂myy
+
∂x
∂y
(2)
E analogamente, rispetto all’asse y:
tx =
∂mxx ∂mxy
+
∂x
∂y
(3)
Scrivendo poi, l’equilibrio alla traslazione verticale si ottiene:
∂t y
∂t x
dy dx +
dy dx = −Pz dx dy
∂y
∂x
(4)
∂t y ∂t x
+
= −Pz
∂y
∂x
(5)
Le tre equazioni di equilibrio contengono 5 incognite.
Derivando l’equazione (2) in y, l’equazione (3) in x, sommando e sostituendo nell’equazione (4) si ottiene:
mxxyy + myyyy + mxxxx + mxxyy = −Pz
(6)
(7)
∂m2xy ∂m2yy
∂m2xx
+
2
+
= −Pz
∂x 2
∂x ∂y
∂y 2
Sostituendo nell’equazione (6) l’espressione dei momenti in funzione della superficie elastica, si ottiene:
−B[wxxxx + υwyyxx + wyyyy + υwxxyy + (1 − 𝜐)2𝑤𝑥𝑥𝑦𝑦 ] = −Pz
(8)
Da cui:
wxxxx + 2wxxyy + wyyyy =
Pz
B
(9)
(10)
∂w 4
∂w 4
∂w 4
Pz
+
2
+
=
∂x 4
∂x 2 ∂y 2
∂y 4
B
che può essere scritta nella forma:
∇2 ∇2 w(x; y) =
Pz (x; y)
B
Equazione di Germain-Lagrange
(11)
∇2 è chiamato operatore laplaciano.
L’equazione (11) è detta equazione della superficie elastica delle piastre sottili. E’ un’equazione
differenziale alle derivate quarte in due variabili.
La soluzione è quindi determinata a meno di 8 costanti di integrazione, che a loro volta possono essere
determinate imponendo 8 condizioni al contorno: due per ogni bordo della piastra.
Determinazione degli sforzi taglianti
Come premesso (nell’ipotesi di segmenti rettilinei) gli scorrimenti angolari 𝛾𝑥𝑧 e 𝛾𝑦𝑧 sono nulli. Ciò non
comporta però l’annullamento degli sforzi tangenziali corrispondenti 𝜏𝑥𝑧 e 𝜏𝑦𝑧 , i quali possono essere
staticamente determinati ricorrendo alle equazioni di equilibrio.
Si giunge quindi ad un’apparente contraddizione, poiché non risulta verificata legge di Hooke:
0 = γxz =
τxz
≠0
G
(12)
0 = γyz =
τyz
≠0
G
(13)
Questa stessa contraddizione è presente nelle travi studiate con la teoria di De Saint Venant e può essere
superata ricorrendo ad un compromesso ingegneristico. Infatti, in realtà, l’ingobbamento esiste, ma ha un
effetto trascurabile che non modifica in modo significativo la distribuzione lineare degli sforzi 𝜎𝑥 e 𝜎𝑦 . Di
conseguenza l’ipotesi di segmenti rettilinei, che è un ipotesi che governa la congruenza, è ben approssimata
poiché i carichi non sono elevati e il taglio risulta essere modesto. Al contrario non sono trascurabili gli sforzi
tangenziali verticali che risultano dalle equazioni di equilibrio trascurando le forze di massa. L’equilibrio
sarebbe violato in assenza di tali sforzi.
∂σx ∂τxy ∂τxz
+
+
=0
∂x
∂y
∂z
∂σy ∂τxy ∂τyz
+
+
=0
∂y
∂x
∂z
(14)
(15)
Sostituendo nelle equazioni di equilibrio le equazioni che legano gli sforzi alla funzione w, si ottiene:
∂τxz
zE
zE
=
[w + νwyyx + (1 − ν)wxyy ] =
(∇2 w)x
∂z
1 − ν2 xxx
1 − ν2
(16)
(17)
∂τyz
zE
=
(∇2 w)y
∂z
1 − ν2
Integrando lungo lo spessore, come mostrato in Figura 2:
Figura 2
Si ottiene il valore dello sforzo tangenziale alla generica quota z:
z
τxz = ∫
−
s
2
z
∂τxz
zE
E
z2 s2
2
2
dz = ∫
(∇
w)
dz
=
(∇
w)
(
− )
x
x
2
s
∂z
1 − ν2
2
8
− 1−ν
(18)
2
(19)
∂τyz
zE
z2 s2
2
dz =
(∇
w)
(
− )
y
s
1 − ν2
2
8
− ∂z
z
τyz = ∫
2
Si osservi che l’espressione:
z
∫ 1 z dz
−
(20)
s
2
Figura 3
rappresenta il momento statico di una striscia di piastra di larghezza unitaria rispetto all’asse dato
dall’intersezione della superficie neutra con la sezione considerata.
Gli sforzi tangenziali, dovuti all’azione tagliante sulla piastra e legati all’ingobbamento della sezione, hanno
una distribuzione parabolica e sono massimi lungo la superficie neutra, come mostrato in Figura 4.
Figura 4: Distribuzione degli sforzi tangenziali dovuti all’azione tagliante sulla piastra
Le azioni taglianti risultanti possono essere scritte come:
s
2
s
t x = ∫ τxz
s
−
2
2
E
2 z
s2
Es 3
2
dz =
(∇
w)
∫
(
−
)
dz
=
−
(∇2 w)x
x
s 2
1 − ν2
8
12(1 − ν2 )
−
(21)
2
s
2
t y = ∫ τyz dz = −
s
−
2
Es 3
(∇2 w)y
12(1 − ν2 )
(22)
Figura 5: Azioni taglianti
τxz τyz
z 2 s 2 12
S(z)
=
=( − ) 3 =(
)
tz
ty
2
8 s
J b b=1
(23)
Nel caso della trave di De Saint Venant come in Figura 6:
Figura 6
Si ha:
J=
s3
12
momento di inerzia
S(z) = (
z2 s2
− )
2
8
(24)
(25)
Da ui
τxz =
t x S(z)
J
τyz =
t y S(z)
J
(26)
(27)
Figura 7: Momenti agenti nella piastra
Soluzione di Navier dell’equazione delle piastre mediante sviluppi in serie doppia di Fourier
Sono stati sviluppati diversi metodi per la risoluzione dell’equazione differenziale delle piastre: metodo
delle differenze finite, metodo degli elementi finiti, sviluppi in serie di Fourier semplice (Levy, 1899) e
doppia (Navier, 1820), nonché sviluppi in serie di funzioni polinomiali.
A seguire verrà illustrata la soluzione per sviluppi in serie doppia proposta da Navier, valida per piastre
quattro volte appoggiate e soggette all’azione di un carico distribuito P(x,y), come mostrato in Figura 1:
Figura 1: Piastra quattro volte appoggiata soggetta a carico distribuito
Nella soluzione proposta da Navier, il carico distribuito P(x,y), e l’espressione della superficie elastica sono
scritti mediante sviluppi in serie doppia di seni nelle due variabili spaziali indipendenti x e y:
(1)
(2)
Il ricorso agli sviluppi in serie di seni consente il soddisfacimento delle condizioni al contorno, infatti ai
bordi (per x=0 ovvero x=a, oppure y=0 ovvero y=b) risulta:
(3)
(4)
quindi
.
È noto che i momenti sono proporzionali alla curvatura e, poiché la derivata seconda di una funzione
sinusoidale è ancora una funzione sinusoidale, anche i momenti risultano nulli ai bordi.
Sommando in maniera opportuna le diverse armoniche, la relazione (2) è in grado di approssimare qualsiasi
tipo di carico distribuito. Maggiore sarà il numero di armoniche considerato, con i corretti pesi Pnm, migliore
sarà l’approssimazione del carico reale agente sulla struttura.
Con i valori interi di n e m molto alti, si può approssimare un carico uniformemente distribuito, visto che i
picchi delle funzioni seno si spostano vicino ai bordi.
Sostituendo le espressioni (1) e (2) nell’equazione di Germain-Lagrange:
(5)
(6)
(7)
Quindi:
(8)
Perché sia valida l’uguaglianza della serie deve valere l’uguaglianza delle singole armoniche aventi i
medesimi valori di n e m:
(9)
(10)
Quindi sostituendo quanto ricavato nell’equazione (1), si ottiene:
(11)
Rimangono da calcolare i valori dei coefficienti
che “pesano” le diverse armoniche in modo che il carico
risulti ben approssimato. Tali pesi vengono definiti in funzione del carico agente, dato noto, come indicato
nella seguente espressione:
(12)
Piastra appoggiata su quattro lati soggetta a carico a montagnola (prima armonica)
Nell’ambito dello studio delle piastre è interessante approfondire il caso di una piastra appoggiata su
quattro lati e soggetta ad un carico a montagnola p(x;y) come indicato in Figura 2:
Figura 2: Piastra appoggiata caricata con carico a montagnola
la cui distribuzione spaziale è descritta dalla prima armonica degli sviluppi in serie doppia, quindi per m=1 e
n=1. In tale circostanza, la relazione (2) che descrive lo sviluppo in serie del carico diventa:
(13)
L’espressione corrispondente della superficie elastica, sostituendo l’equazione (13) nella (11) diventa:
(14)
con:
(15)
Tale formulazione soddisfa tutte le condizioni al contorno.
Nota la formulazione della superficie elastica è possibile calcolare le sue derivate per determinare
l’andamento delle azioni interne generalizzate,
,
,
,
e
, riferite ad una striscia di larghezza
unitaria:
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
Sviluppando l’espressione precedente si ottiene:
(23)
Analogamente:
(24)
Le reazioni lungo i bordi risultano:
(25)
Da cui:
(26)
Anche per la reazione
è possibile scrivere:
(27)
Da cui:
(28)
Effettuando i dovuti raccoglimenti nelle equazioni precedenti, si giunge alla formulazione:
(29)
(30)
In corrispondenza degli spigoli si avrà la reazione:
(31)
Tale razione è negativa e nasce per equilibrare il momento torcente che tende a sollevare lo spigolo.
Si osserva, che i momenti flettenti e la superficie elastica seguono l’andamento del carico, come mostrato in
Figura 3, mentre il momento torcente è in quadratura, massimo ai bordi (dove maggiore è la collaborazione
fra le strisce ortogonali) e nullo in mezzeria.
Figura 3: Andamento di momenti flettenti e superficie elastica
L’azione tagliante è massima negli appoggi della striscia di competenza e nulla in mezzeria, inoltre decresce
verso gli appoggi paralleli alla striscia fino ad annullarsi, in corrispondenza di tale zona è massima l’azione
tagliante in direzione ortogonale.
Le reazioni vincolari ai bordi seguono l’andamento mostrato in Figura 4:
Figura 4: Andamento delle reazioni vincolari lungo i bordi
7. TEORIA DELLE PIASTRE
7.4.2
Progettazione di piastre in CA
Nel caso di piastre realizzate in acciaio, la verifica viene effettuata con il metodo delle
tensioni ammissibili; nel caso di elementi in calcestruzzo, a causa della bassa resistenza a
trazione, quest’ultima viene affidata alle barre in acciaio (METODO n).
L’armatura verrà disposta nelle due direzioni (non si valutano le direzioni e i momenti
principali combinando
,
e
, poiché altrimenti si disporrebbero le barre secondo
direzioni impraticabili).
7.4.2.1
Esempio di progettazione: piastra appoggiata sui 4 lati
Figura 7-34
Il valore utilizzato per il carico (comprensivo di peso proprio, carichi permanenti e variabili)
rappresenta un valore tipico per i solai e le piastre.
1) Progettazione a trave
Si considera la piastra come una serie di travi di larghezza unitaria dirette in direzione y.
Per tener sotto controllo la freccia in mezzeria si deve imporre che il rapporto luce/altezza
sia:
(7.151)
Da cui, assumendo
, si ha:
263
7. TEORIA DELLE PIASTRE
(7.152)
Figura 7-35
Risolvendo:
(7.153)
(7.154)
(7.155)
Si sceglie di inserire i seguenti valori di armatura:
(7.156)
(7.157)
Da cui:
(7.158)
(7.159)
Verifica flessionale:
(7.160)
(7.161)
(7.162)
(7.163)
(7.164)
Verifica a taglio:
(7.165)
(7.166)
Non è quindi necessario inserire armatura a taglio.
Per quel che riguarda la freccia in mezzeria, considerando
264
:
7. TEORIA DELLE PIASTRE
(7.167)
(7.168)
2) Progettazione a piastra
Figura 7-36
265
7. TEORIA DELLE PIASTRE
Dalla Tabella 1.7 del libro del Prof. Bareš (Figura 7-36), scegliendo
:
(7.169)
(7.170)
Spostamento massimo in mezzeria
Momento massimo lungo x (
)
(7.171)
Momento massimo lungo y (
)
(7.172)
L’altezza della piastra viene scelta ricorrendo ai criteri di deformabilità, imponendo che:
(7.173)
(7.174)
Da cui:
(7.175)
Si sceglie
, considerando che in generale è preferibile non scegliere spessori
inferiori a
. Con
si ha:
(7.176)
(7.177)
(7.178)
Si osserva che
visto che
. Inoltre
poiché le dimensioni dei
lati sono simili; Se una delle due dimensioni fosse di molto maggiore dell’altra si avrebbe
.
(7.179)
(7.180)
Avendo assunto un copriferro lordo pari a 3 cm. Da cui:
(7.181)
(7.182)
(7.183)
Il risparmio di armatura rispetto al caso del dimensionamento a trave è dovuto alla rigidezza
superiore legata alla bidimensionalità dell’elemento a piastra.
266
7. TEORIA DELLE PIASTRE
Verifiche a flessione:
-
Direzione x:
(7.184)
(7.185)
(7.186)
(7.187)
(7.188)
-
Direzione y:
(7.189)
(7.190)
(7.191)
(7.192)
(7.193)
Le formulazioni analitiche del libro del Bareš non consentono di calcolare la lunghezza dei
ferri. È prassi prolungare circa la metà dei ferri sino agli appoggi e posizionare i restanti per
una lunghezza di circa il
delle luci. Tali considerazioni sono coerenti con ciò che è
osservabile dall’analisi agli elementi finiti.
267
7. TEORIA DELLE PIASTRE
Figura 7-37: Spostamenti verticali ws. (ws,max =6.94 mm)
Figura 7-38: Mxs unitari (Mxx,max =12300 Nm/m)
268
7. TEORIA DELLE PIASTRE
Figura 7-39: Myy unitari (Mxx,max =16800 Nm/m)
Figura 7-40: Reazioni Vincolari ai bordi e lungo i lati appoggiati
269
7. TEORIA DELLE PIASTRE
Figura 7-41: Mxx lungo la retta y=b/2
Figura 7-42: Myy lungo la retta x=a/2
Dai grafici riportati in Figura 7-41 e in Figura 7-42 si può evincere come la regola pratica
(50% dei ferri fino ai lati, 50% per l’80% della luce) sia ragionevole.
270
7. TEORIA DELLE PIASTRE
Figura 7-43: Disposizione ferri
Verifica a taglio:
Come visto nel caso della progettazione a trave, generalmente anche nel caso di elementi a
piastra non è necessario disporre staffe per il taglio. Bisogna però porre attenzione alla
reazione sullo spigolo che essendo diretta verso l’alto tende a sollevare la piastra: può in tal
caso essere opportuno disporre dell’armatura a raggiera al lembo superiore.
Le reazioni di bordo sono calcolabili mediante le seguenti relazioni:
(7.194)
Figura 7-44
271
7. TEORIA DELLE PIASTRE
Anche per le reazioni a taglio si fa riferimento ai valori forniti dal Bareš (Tabella 1.1), tuttavia
calcolati per
(i valori corrispondenti a
non sono disponibili sul testo ma sono
simili). Si ha:
(7.195)
(7.196)
Da cui:
(7.197)
(7.198)
Come previsto non è quindi necessario disporre staffe.
7.4.2.2
Risoluzione analitica
Il calcolo analitico dell’equazione della superficie elastica per la piastra rettangolare in CA,
appoggiata su 4 lati e soggetta ad un carico uniformemente distribuito è di seguito espresso
mediante uno sviluppo in serie di Fourier.
La Figura 7-45 mostra i risultati di alcuni dei termini dello sviluppo, in funzione dei seguenti
dati in input:

E: modulo elastico del calcestruzzo espresso in kg/cm2

s: spessore della piastra espresso in m

ν: coefficiente di Poisson del calcestruzzo

a,b: dimensioni in pianta della piastra espresse in m

p: carico uniformemente distribuito agente sulla piastra, espresso in kg/m 2

Lim f: freccia massima consentita espressa come frazione della luce maggiore
Wmax
Pnm
[mm]
Wmax [mm]
Mxx
Myy
[kg/m2]
Navier
Galerkin
Wxx
Wyy
[Kg m]
[Kg m]
1296.91
6.962
6.962
0.00133
0.00191
1391.328 1819.252 1
1
432.30
-0.071
-0.071
-0.00001
-0.00017
-34.302
-152.752
1
3
259.38
0.006
0.006
0.00000
0.00004
6.369
35.976
1
5
185.27
-0.001
-0.001
0.00000
-0.00002
-2.201
-13.437
1
7
432.30
-0.127
-0.127
-0.00022
-0.00003
-191.998 -58.124
3
1
144.10
0.010
0.010
0.00002
0.00002
17.177
22.460
3
3
86.46
-0.001
-0.001
0.00000
-0.00001
-3.229
-8.376
3
5
61.76
0.000
0.000
0.00000
0.00000
1.004
3.685
3
7
259.38
0.012
0.012
0.00006
0.00000
49.143
10.115
5
1
86.46
-0.002
-0.002
-0.00001
0.00000
-8.492
-5.266
5
3
51.88
0.000
0.000
0.00000
0.00000
2.226
2.911
5
5
272
n
m
7. TEORIA DELLE PIASTRE
37.05
0.000
0.000
0.00000
0.00000
-0.758
-1.584
5
7
185.27
-0.002
-0.002
-0.00002
0.00000
-18.825
-3.362
7
1
61.76
0.001
0.001
0.00000
0.00000
4.305
1.716
7
3
37.05
0.000
0.000
0.00000
0.00000
-1.465
-1.168
7
5
26.47
0.000
0.000
0.00000
0.00000
0.579
0.758
7
7
Totale
6.79
0.001
0.002
1211
1653
Bareš
6.8
1215
1656
Figura 7-45
Nella prima colonna si calcolano i coefficienti Pnm che pesano le diverse armoniche:
La seconda colonna calcola la freccia in mezzeria w(x;y):
Nella quarta e nella quinta colonna vi sono le derivate seconde dell’equazione della
superficie elastica fatte prima rispetto ad x (w xx) e poi rispetto ad y (wyy):
che vengono utilizzate nella sesta e settima colonna per calcolare i momenti massimi in x
(Mxx) e y (Myy):
Ad ogni riga vengono fatti variare gli indici “n” e “m” da 1 a 7; la riga finale riporta la
somma dei valori determinati utilizzando tutte le 49 armoniche; in tabella sono riportate solo
le 16 che danno un contributo non nullo perché, per le regole di ortogonalità delle serie di
Fourier, è sufficiente che uno dei due interi “n” e “m” sia pari perché il coefficiente Pnm
relativo risulti nullo.
273
7. TEORIA DELLE PIASTRE
L’equazione della superficie elastica nelle diverse coordinate x e y permette il calcolo della
freccia come sommatoria delle 49 armoniche sopra descritte. Tale calcolo viene ripetuto per
ogni coordinata della maglia considerata, per un totale di 2500 punti.
La Figura 7-46 riporta un grafico tridimensionale, fuori scala nell’asse verticale, relativo alla
deformata qualitativa della piastra.
Figura 7-46
L’obiettivo dell’analisi qui presentata è la valutazione della velocità di convergenza delle
serie di Fourier così da determinare quali sono i valori minimi degli interi “n” e “m” per cui
si ottenga un risultato che ben approssimi il carico uniformemente distribuito.
Per fare questo calcoliamo la funzione carico:
in ognuno dei punti della maglia per 6 diverse combinazioni di “n” e “m” (4 singole
armoniche e 2 sommatorie).
In Figura 7-47 è riportato il carico a montagnola equivalente alla prima armonica (n=1, m=1):
274
7. TEORIA DELLE PIASTRE
Figura 7-47
In Figura 7-48, il carico equivalente alla seconda armonica (n=1, m=3):
Figura 7-48
In Figura 7-49, il carico equivalente alla terza armonica (n=3, m=1). Si noti la simmetria con il
precedente:
275
7. TEORIA DELLE PIASTRE
Figura 7-49
La Figura 7-50 presenta il carico equivalente alla quarta armonica (n=3, m=3):
Figura 7-50
In Figura 7-51 viene infine riportata la sommatoria delle funzioni carico delle 4 armoniche
sopra rappresentate:
276
7. TEORIA DELLE PIASTRE
Figura 7-51
In Figura 7-52 invece viene presentata la sommatoria delle funzioni carico delle prime 16
armoniche non nulle, ottenuta facendo variare sia “m” che “n” tra 1 a 7.
Figura 7-52
Dal confronto fra la Figura 7-51 e la Figura 7-52, si può chiaramente osservare come
l’aumento del numero di armoniche considerate aiuti a meglio approssimare il carico
uniformemente distribuito di 800 kg/m2, grazie all’aumento del numero dei picchi e alla
modulazione dell’ampiezza degli stessi.
277
7. TEORIA DELLE PIASTRE
L’andamento dei momenti principali per la piastra oggetto di studio è di seguito
schematicamente riportato. In Figura 7-53 viene presentata la sommatoria delle funzioni
momento Mxx delle prime 16 armoniche non nulle (con “m” e “n” varianti tra 1 e 7):
Figura 7-53
La Figura 7-54 presenta invece l’analoga sommatoria delle funzioni momento M yy:
Figura 7-54
I valori di freccia massima e dei momenti massimi in x e y sono del tutto simile ai valori
riportati nel libro del Prof. Bareš.
278