Oscillazione risonante di una
colonna d’aria e velocità del
suono
Scuola estiva di Genova
20 – 25 luglio 2009
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Questo esperimento impiega l’oscillazione risonante di una colonna d’aria
per misurare la velocità del suono.
Teoria
La risonanza è il fenomeno che capita quando un oggetto che oscilla alla
stessa frequenza naturale di un secondo oggetto pone in vibrazione questo
secondo oggetto. Se prendiamo due diapason con la stessa frequenza naturale
posti l’uno vicino all’altro e ne percuotiamo uno in modo da farlo vibrare,
anche l’altro diapason inizierà a vibrare pure se non lo percuotiamo. Questo
è causato dalla risonanza.
Nell’esperimento impiegheremo una sorgente sonora a frequenza tenuta
fissa per produrre una risonanza in un tubo verticale. Il suono prodotto
dalla colonna d’aria risonante sarà udito con un’intensità maggiore del suono
prodotto dalla sorgente.
Le espressioni riportate sotto mostrano le relazioni fra la lunghezza della
colonna d’aria e la lunghezza d’onda, e fra la velocità del suono e la lunghezza d’onda. La relazione fra la velocità del suono e la lunghezza d’onda è
chiamata relazione di dispersione.
Ln =
2n − 1
λ − ∆L,
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c = f λ,
dove :
Ln = lunghezza della colonna d’aria per il punto di risonanza n ;
∆L = correzione da estremità aperta della colonna d’aria ;
λ = lunghezza d’onda del suono ;
c = velocità del suono ;
f = frequenza dell’onda sonora.
In realtà anche l’aria intorno all’estremità aperta del tubo risonante si
comporta come parte della colonna d’aria. Questa si chiama “correzione da
estremità aperta”. Possiamo eliminare gli effetti della correzione da estremità
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Figura 1: 1 Punto di risonanza 1 ; 2 punto di risonanza 2.
aperta misurando la lunghezza della colonna d’aria nel punto di risonanza
1 e nel punto di risonanza 2 e calcolando la differenza fra i due. Possiamo
usare questo insieme alla relazione di dispersione dell’onda per determinare
la velocità del suono, con l’espressione seguente :
c = 2f (L2 − L1 ).
Apparato
Tubo risonante di vetro, con diametro interno uniforme ed, eventualmente,
tacchette graduate.
Tubicino di gomma ;
serbatoio ;
supporto.
Microfono piezoeletrico e cavetto di connessione.
Altoparlante e cavetto di connessione.
Generatore di forma d’onda sinusoidale.
Oscilloscopio con sonda.
Termometro.
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Figura 2: 1 Tubo risonante di vetro ; 2 lunghezza del tubo = 1 metro ;
3 supporto ; 4 serbatoio ; 5 tubo di gomma ; 6 generatore a bassa frequenza :
800 Hz ; 7 altoparlante.
Preparazione
• Disponiamo l’apparato come mostrato nella figura 2 e riempiamo tubo
e serbatoio d’acqua, senza farla uscire.
• Solleviamo e abbassiamo il serbatoio assicurandoci che il livello dell’acqua cambi.
Misurazione dei punti di risonanza
• Posizioniamo il microfono in modo che riceva un segnale e visualizziamolo sull’oscilloscopio collegato ; misuriamo l’ampiezza.
• Abbassiamo il livello dell’acqua e troviamo il punto di ampiezza massima.
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Figura 3: 1 Tubo risonante di vetro ; 2 punto di risonanza 1 ; 3 L1 ; 4 ampiezza
dell’onda sonora ; A : livello A dell’acqua ; B : livello B dell’acqua ; C : livello
C dell’acqua.
• Abbassiamo ulteriormente il livello dell’acqua e troviamo il successivo
punto di ampiezza massima.
• Ripetiamo le misure un certo numero di volte e calcoliamo la media dei
risultati.
• Sostituiamo i valori medi di L1 ed L2 nella formula teorica di sopra e
calcoliamo la velocità del suono.
Misurazione della temperatura della colonna
d’aria
• Usiamo il termometro per misurare la temperatura all’interno del tubo
di vetro.
• Sostituiamo il valore misurato della temperatura nella seguente formula ( vedere appendice ) e calcoliamo la velocità del suono. Quindi
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Figura 4: 1 Tubo risonante di vetro ; 2 punto di risonanza 1 ; 3 L1 ; 4 punto
di risonanza 2 ; 5 L2 ; 6 ampiezza dell’onda sonora ; D : livello D dell’acqua ;
E : livello E dell’acqua ; F : livello F dell’acqua.
confrontiamo il risultato con il valore precedentemente trovato.
c = 331.3 + 0.606 ϑ,
dove :
c = velocità del suono ;
ϑ = temperatura in gradi Celsius.
Operazioni all’oscilloscopio
• Usiamo il microfono piezoelettrico per ricevere il suono e visualizzarne
il segnale d’uscita all’oscilloscopio.
• Confermiamo che l’ampiezza sia al suo massimo per i livelli B ed E
dell’acqua.
• Usiamo la sonda del termometro per misurare la temperatura e leggerla.
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Figura 5: 1 Tubo risonante di vetro ; 2 sonda del termometro ; 3 termometro.
Figura 6: Forma d’onda ai livelli d’acqua A, C, D, ed F. 1 Forma d’onda ;
2 ampiezza ; S intensità del suono ; t tempo.
Figura 7: Forma d’onda ai livelli d’acqua B ed E.
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Approfondimenti
• Ripetiamo l’esperimento usando una diversa frequenza e osserviamo la
differenza nei punti di risonanza e nella velocità del suono.
• Usiamo l’analisi della FFT ( Fast Fourier Transform ) per determinare
la frequenza ad ogni livello d’acqua e confrontiamo il risultato con la
frequenza della sorgente sonora.
• Sostituiamo la velocità osservata nella formula teorica e calcoliamo la
correzione da estremità aperta.
• Cerchiamo per che fattore dobbiamo moltiplicare il valore della correzione da estremità aperta per ottenere il diametro interno del tubo
risonante.
• Effettuiamo l’esperimento con un tubo di vetro di diametro diverso
e troviamo come il valore della correzione da estremità aperta viene
alterato.
Appendice
In generale, la velocità del suono c è data da :
s
c=
C
,
ρ
dove :
C = modulo di Young, o modulo di compressibilità per un gas ;
ρ = densità.
Si trova anche che
∂p
c2 =
,
∂ρ
dove la derivata è calcolata lungo una trasformazione adiabatica.
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Per un gas, il modulo di compressibilità, C, è approssimatamente dato
da
C = γ · p,
cosicché la velocità del suono diventa
s
c=
p
γ· ,
ρ
dove :
γ = indice adiabatico del gas. È il rapporto del calore specifico a pressione
costante del gas per il calore specifico a volume costante. Compare nella
formula perché un’onda acustica induce una compressione adiabatica, in cui
il calore prodotto dalla compressione non ha abbastanza tempo per sfuggire
dalla regione compresa e, perciò, contribuisce alla pressione indotta dalla
compressione.
p = pressione.
ρ = densità.
Se usiamo la legge dei gas ideali per sostituire p con nRT /V e ρ con
nM/V , l’espressione di prima diventa
s
cideale =
p
γ· =
ρ
s
γ·R·T
=
M
s
γ·k·T
,
m
dove :
cideale = velocità del suono di un gas ideale.
R = costante molare dei gas ( circa 8.3145 J mol−1 K−1 ).
k = costante di Boltzmann.
γ = indice adiabatico del gas.
T = temperatura assoluta.
M = massa molare. La massa molare media dell’aria secca vale circa 0.0289645
kg/mol.
m = massa di una molecola del gas.
Questa formula, calcolata per l’aria, dà valori solo leggermente diversi da
quelli misurati sperimentalmente.
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Per l’aria il valore dell’indice adiabatico, γ, varia fra 1.3991 e 1.403 a 0o C.
L’uso del valore 7/5 per γ richiede che il gas si trovi in un intervallo di
temperature abbastanza alte affinché i gradi di libertà rotazionali siano eccitati, in modo che la rotazione molecolare agisca come un serbatoio di calore ;
ma, allo stesso tempo, la temperatura sia abbastanza bassa affinché i modi vibrazionali molecolari non contribuiscano alla capacità termica. Cioè la
quantità di calore che va in vibrazione deve essere trascurabile, dal momento che tutti i modi vibrazionali quantistici al di sopra di quello di energia
minima, a queste temperature devono avere energie troppo alte per essere
popolati da un numero significativo di molecole. Per l’aria queste condizioni
sono soddisfatte alla temperatura ambiente e a temperature inferiori.
Se, per calcolare la velocità del suono nell’aria a temperature vicine a
273 K, misuriamo la temparatura in gradi Celsius, scriveremo ϑ = T −273.15.
s
cideale =
s
=
γ·R·T
=
M
s
γ · R · (ϑ + 273.15)
=
M
γ · R · 273.15
·
M
s
1+
ϑ
.
273.15
Se valutiamo questa formula per l’aria secca con R = 8.314510 J mol−1
K−1 , M = 0.0289645 kg mol−1 e γ = 1.4, abbiamo
s
caria = 331.3 m · s
−1
1+
ϑ
.
273.15
Approssimando il termine sotto radice con la sua espansione in serie di Taylor
troncata dopo i primi due termini, riscriviamo
Ã
caria = 331.3 m · s−1
ϑ
1+
2 · 273.15
10
!
= (331.3 + 0.606 · ϑ) m · s−1 .