Spettro
dell’idrogeno
Il gas idrogeno presenta righe ben
precise nelle tre zone principali
dello spettro (infrarossa, visibile,
Ultravioletta).
Zona Visibile
n1=2
Zone spettrali (n1)
Zona I.F.
n1=3
Serie di
Paschen
Zona alta frequenza
n1=1
Serie di
Balmer
Serie di Lyman
Equazione di Rydberg
Righe spettrali (n2)
•
•
•
•
R (costante di Rydberg)=1,098 x107 m-1
n1= numero d’ordine di zona spettrale
n2= numero d’ordine di riga
λ = lunghezza d’onda (colore)
 L’e-, in quanto corpo in moto circolare, ha un momento angolare
L=mvr
 Considerando un atomo di H a riposo, il momento angolare dell’ e-  mv0r0=k.
(m=massa ; v0= velocità a riposo; r0= raggio a riposo)
 Il raggio r0 dell’atomo di H, da varie
sperimentazioni, risultò 0,5 angstrom
 La massa m dell’ e- si conosceva grazie a Thomson
e Millikan.
+
r0
m
_
V0
L=mv0r0
 La velocità dell’ e- v0 l’aveva ricavata Rutherford.
Si potè, quindi, facilmente calcolare Il momento
angolare L0.
Bohr, confrontando tale valore con i lavori di Planck,
notò che valeva  L0 =
mv0r0 = h/2π
(dove h= costante di Planck).
Un atomo, tuttavia, non rimane sempre a riposo: può essere eccitato.
Se eccitato, l’elettrone certamente cambia orbita (si allontana o si avvicina al nucleo)
La massa m si suppone rimanga invariata, ma il raggio r e la velocità v dovranno essere
diversi da quelli a riposo per cui lo sarà anche il momento angolare  mv1r1
L1=mv1r1
m
V1
r1
+
r0
m
V0
L=mv0r0
≠ mv0r0.
Bohr, riuscì a «far quadrare i conti», mettendo
d’accordo dati sperimentali e teoria di Maxwell,
ponendo la condizione che il nuovo momento
angolare abbia un valore multiplo intero di
quello a riposo (h/2π)
L1 = mv1r1 = nh/2π
(dove n = 1,2,3,4… numero intero).
Da questa formula si ricava …
nh
v1= 2πmr1
Considerando i due momenti, a riposo ed in eccitazione avremo:
h
v0= 2πmr
e
0
nh
v1= 2πmr
1
Considerando valido il modello planetario di Rutherford, in ogni momento  Fel= -Fc ,
2
K
q
2
el
cioè
mxv =
r
m x n2h2 K q2
Sostituiamo la velocità V1 utilizzando la precedente formula 
n2h2
4π2mr1
= Kel
q2
Si ricava il
raggio
r1 =
n2h2
Kelq24π2m
4π2m2r12
=
el
r
Cioè la distanza
della nuova orbita
Osservando bene quest’ultima formula: solo n risulta variabile! (tutti gli altri parametri sono
costanti).
Questo significa che le distanze (raggi delle orbite) permesse all’e- non possono essere di
qualsiasi valore, ma solo multiple intere della distanza minima possibile (0,5 angstrom per
l’H)
Considerando l’atomo planetario, ad ogni orbita corrisponde una specifica energia.
Passando, perciò, da una all’altra l’e- subirà una variazione della sua ET.
Considerando due, riposo ed eccitato, avremo E0 ed E1.
Nel cambio di stato avremo una variazione di energia ΔE=E1 – E0
2
K
q
el
ET = - ½
Riprendendo la formula di Rutherford per la E 
ΔE= E1 – E0 =
r
2
K
q
el
-½
Nella diapositiva precedente abbiamo ricavato
+
r1
r=
Si avrà…
2
K
q
el
½
r0
n2h2
Kelq24π2m
Sostituendo, rispettivamente r1 e r0 , e semplificando l’equazione, si arriverà a…
ΔE=
2Kel2 q4 m π2
n02h2
1
(n
2
0
-
1
n12
)
ΔE=
2Kel2 q4 m π2
(
1
2
-
1
2
)
n0
n1
n02h2
Ovviamente l’e- (quindi l’atomo) assume momentaneamente il nuovo valore di energia E1
(stato eccitato) per poi ritornare, immediatamente, a quello di riposo E0.
Dato che vale la legge della conservazione dell’energia, queste variazioni di energia ΔE non
vengono dal nulla, né svaniscono nel nulla…
Per eccitare un atomo occorre fornirgli energia dall’esterno (calore, elettricità, luce ecc.).
Per tornare allo stato di riposo l’atomo, deve cedere la stessa quantità di energia assorbita.
Una carica elettrica, come lo è l’e- , può assorbire energia di varia natura, ma può cederla
solo in forma elettromagnetica (radiazioni).
Visto, inoltre, che energia assorbita e ceduta devono coincidere (conservazione
dell’energia), noi possiamo conoscere il valore di ΔE tra due stati (riposo ed eccitato)
analizzando lo spettro dei segnali elettromagnetici dell’atomo (righe di assorbimento o di
emissione).
Osservando bene anche questa equazione, come la precedente le uniche variabili sono le
n, cioè numeri interi (1,2,3,4…).
Si può ben intuire, quindi, che i valori di ΔE non possono essere causali e imprevedibili,
ma devono assumere valori ben intervallati tra loro, cioè «quantizzati».
Lo spettro, allora, sarà costituite da ben precise righe di colori.
Ogni riga di colore è «prodotta», quindi, da una ΔE, da un «quantum» di energia assorbito
o emesso quando l’e- passa da un’orbita ad un’altra
Ora, dato che si tratta di energia elettromagnetica, sappiamo che il suo valore più piccolo di
un segnale è proprio il «quantum» scoperto da Planck 
E=hf
Quindi posso ammettere che la più piccola differenza di energia, assorbita o emessa da
1
1
2Kel2 q4 m π2
un elettrone, equivalga a ΔE= hf =
2
2
n02h2
(n
0
-
n1
)
La frequenza d’onda f è proporzionalmente inversa alla lunghezza d’onda, f=C/λ (dove
1
1
2Kel2 q4 m π2
hC
=
- n2
C=velocità della luce) sostituendo 
n02
λ
n02h2
1
• 1
Portando il fattore hC a destra…
,
Ora i valori di Kel, q, m, π, h, no C sono fissi e
2
4
2
1
1
2Kel q m π 0 1
noti. I valore complessivo, calcolato da Bohr,
=
9 n2
n12 risultò pari a 1,098 x107 m-1.
λ
n02h3C
0
8
Ma questa è il valore della costate di
x
Rydberg R per lo spettro dell’idrogeno!
1
0
(
1
=R
λ
(n
1
m-
2 0 1
1
n12
)
1
m
7
7
)
• 1
,
0
9
8
x
1
0
(
)
Equazione di Rydgerg dimostrata