BUCHI NERI
ROTANTI
Guarcello Mario Giuseppe – XXI Ciclo
Fisica del Campo Gravitazionale – Prof. G. Compagno
METRICA DI SCHWARZSCHILD
• Soluzione dell’equazione di Einstein per il campo
gravitazionale nel vuoto prodotto da una corpo di massa M
sferico, statico e neutro.
Per un piccolo movimento lungo r, tenendo costanti le altri coordinate:
SINGOLARITA’ E PSEUDOSINGOLARITA’:
• Superficie
di redshift infinito:
• Orizzonte
degli eventi:
 Singolarità delle
coordinate
 Forze mareali finite
SOLE
TERRA
Singolarità del buco nero:
• vera singolarità dello spazio-tempo
• forze mareali infinite
invariante di curvatura:
Nessuna divergenza all’orizzonte; divergenza all’origine
Equazioni di Boyer e Lindquist (1964)
Coordinate sferoidale nel piano x-y
Le superfici r=[costante] sono
elissoidi confocali.
Le superfici θ=[costante] sono
iperboloidi
METRICA DI KERR
Soluzione dell’equazione di Einstein nel caso di un corpo di
massa M, sferico, neutro e rotante (coordinate di Boyer &
Lindquist):
Soluzione di Kerr stazionaria ma non statica
Per
Trascurando i termini:
Trascurare il penultimo termine perché minore di un fattore:
rispetto l’ultimo
Il coefficiente dell’ultimo termine in coordinate cartesiane:
Metrica di Schwarzschild
Termini non diagonali
I primi 4 termini identificano M con la massa del buco nero
Termini non diagonali in coordinate cartesiane:
Identificano il prodotto Ma con il momento angolare del buco
nero:
( dal campo debole prodotto da una
massa rotante)
BUCO NERO ROTANTE CON
SUPERFICI DI REDSHIFT INFINITO:
Due superfici: una interna ed una esterna
Velocità di un segnale di luce in una superficie di redshift infinito:
• porre:
• considerare, per comodità, un segnale nel piano equatoriale:
• sostituire:
Se:
Il segnale non esce dalla superficie
Se:
Il segnale può uscire dalla
superficie se ha una componente
di velocità nella direzione di
rotazione del buco nero
ORIZZONTE DEL BUCO NERO:
Porre :
e porre la condizione:
rimane un fattore Δ moltiplicativo, per cui:
SINGOLARITA’ DI UN BUCO NERO ROTANTE:
La singolarità si trova da:
che porta alla condizione:
In coordinate cartesiane:
Singolarità a disco (disco con densità infinita di massa).
Coni di luce
sull’asse di
rotazione di un
buco nero
rotante
Linea di
universo di un
segnale di luce
entrante
Tra gli orizzonti g00<0 e g11>0:
t coordinata di tipo spazio
r coordinata di tipo tempo
ESTENSIONE DELLA GEOMETRIA DI KERR
DEFINIZIONE:
le geodetiche o sono infinite o terminano nelle singolarità
• La linea d’universo si
interrompe, non in singolarità
• Le pseudosingolarità
possono essere rimosse con
opportuni cambi di coordinate,
che permettono alle linee di
universo di terminare solo
nelle singolarità
Coordinate di Kruskal-Szekeres per un buco nero
statico (Kruskal, 1960)
Nessuna singolarità ad rs.
Singolarità
Orizzonte
Buco nero (regione II)
Spazio asintoticamente piatto
(regione I)
Estensione massima dello spazio-tempo di
Schwarzschild
Estensione sotto la linea u=-v;
due spazi asintoticamente piatti per u→∞ e u→-∞; ognuno
fuori dal cono di luce dell’altro
Al tempo v=1 le due
singolarità coincidono e
gli spazi sono collegati
v costante: due
singolarità nei due spazi
asintoticamente piatti
WORMHOLE
Regione che connette due spazi separati attraverso una
singolarità tra i tempi -1<v<1
Wormhole al
tempo v=0
Wormhole a v=0
che connette due
punti dello stesso
spazio
Evoluzione
del
wormhole
per -<v<1
Estensione massima della geometria di Kerr
• Si possono usare coordinate simili a quelle di Kruskal
per estendere la geometria
• La particella può attraversare la superficie a r- se viene a
trovarsi in un buco bianco di un altro universo.
• L’estensione massima della
comprende più di due universi.
geometria
di
Kerr
• La completezza delle geodetiche comporta che un
universo che contiene un buco nero ne contiene anche
uno bianco e così via.
ERGOSFERA:
Regione dello spazio tempo compreso tra la superficie di
redshift infinito esterna e l’orizzonte esterno del buco nero
LIMITE STATICO
Se:
Nell’ergosfera
i corpi sono costretti a
ruotare nella direzione in
cui ruota il buco nero
Processo Penrose
Con la metrica di Kerr:
Nell’ergosfera g00<0, g03>0, u0>0, u0>0: si possono avere traiettorie ad energia
negativa (energia gravitazionale > energia cinetica ed a riposo
Una particella che cade nel
buco nero decade in due
particelle: una ad energia
positiva
che
attraversa
l’orizzonte, una ad energia
positiva che si allontana con
più energia
La particella che cade sul buco nero ne riduce l’energia.
La particella che esce dal buco nero trasporta la quantità di
energia estratta
L’energia può essere estratta fino alla massa irriducibile
(Christodoulou & Ruffini 1970, 1971) :
che corrisponde all’estrazione di tutta l’energia rotazionale
del buco nero, per cui rimane un buco nero statico di
massa Mirr
BUCO NERO ROTANTE CON
• Singolarità ad anello.
• Nessun orizzonte (singolarità nuda).
• Ipotesi del Censore Cosmico (Penrose):
“il collasso gravitazionale di una massa non può
terminare in una singolarità nuda”.
• Non dimostrata: è ritenuto che la massa collassante
con grande momento angolare si distrugga durante il
processo.
Nei processi che coinvolgono uno o più buchi neri, l’area
totale delle superfici d’orizzonte non cambia.
(Hawking & Ellis 1973)
DINAMICA DEI BUCHI NERI
• La struttura dei buchi neri è descritta solamente da:
 Massa
 Carica
 Momento Angolare
• Leggi di conservazione di energia, quadrimomento e
momento angolare durante le interazioni che coinvolgono
buchi neri