tata
vie
Capitolo 1
Serie di funzioni
Serie di funzioni
Rip
1.1
rod
u
zio
ne
In questo capitolo trattiamo le serie di funzioni in generale e il primo importante esempio
di tali serie: le serie di potenze.
Nel capitolo precedente abbiamo visto la definizione e le proprietà delle serie numeriche, “somme di infiniti numeri”. In questo capitolo vediamo come sia possibile “sommare
infinite funzioni” e che relazione esiste tra una serie di funzioni e la funzione somma.
Questo discorso ha una grande importanza applicativa, perché consente di scrivere (ovviamente sotto ben precise ipotesi) una funzione come una somma infinita di funzioni
“più semplici”; molte operazioni che dovremmo svolgere sulla funzione somma, come la
derivazione e l’integrazione, sono eseguibili, in modo molto più agevole, sulle funzioni che
compongono la serie.
Nel primo paragrafo viene data la definizione di serie di funzioni e si presentano le
problematiche relative a questo nuovo ente matematico; con la definizione di convergenza
totale si introduce una proprietà che permette di stabilire alcune caratteristiche della
funzione somma della serie a partire da quelle delle funzioni che sommiamo. Nel secondo
e nel terzo paragrafo si studia un esempio particolarmente importante di serie di funzioni:
le serie di potenze. Queste serie ci consentono di rappresentare solamente delle funzioni
molto regolari, ma, d’altra parte, sono estremamente maneggevoli perché consentono di
ridurre le operazioni del calcolo differenziale e integrale sulla funzione somma ad analoghe
operazioni su funzioni polinomiali.
Consideriamo una successione di funzioni {fn (x)}, con n = 0,1,2, . . ., definite in un
intervallo I ⊆ IR. Fissiamo un punto x̄ ∈ I e consideriamo i valori assunti dalle funzioni
fn in questo punto; risulta cosı̀ definita la successione numerica {fn (x̄)}, a partire dalla
quale possiamo costruire (con il metodo visto nel capitolo precedente) la serie numerica
1
2
1
–
Serie di funzioni
∞
X
fn (x̄),
(1.1)
tata
n=0
che può essere convergente oppure divergente, oppure indeterminata. Questo procedimento si può ripetere per ogni punto dell’intervallo I.
Definizione 1.1 Se la serie numerica (1.1) è convergente diciamo che la serie di funzioni
∞
X
fn (x)
n=0
(1.2)
vie
converge puntualmente nel punto x̄.
L’insieme E ⊆ I dei punti in cui la serie (1.2) converge è detto insieme di convergenza (puntuale) della serie (1.2) .
f (x) =
∞
X
fn (x),
n=0
Definizione 1.2 Se la serie numerica
∀x ∈ E.
(1.3)
|fn (x̄)|,
zio
∞
X
ne
Nell’insieme E di convergenza puntuale possiamo associare a ogni punto x la somma
della serie (1.2); in questo modo viene definita una nuova funzione, che indichiamo con
f (x) e chiamiamo somma della serie (1.2); per indicare questo fatto scriviamo
n=0
è convergente diciamo che la serie di funzioni (1.2) converge assolutamente nel
punto x̄.
rod
u
Osserviamo chese la serie (1.2) converge assolutamente in ogni punto di un determinato
insieme ivi converge anche puntualmente.
Esempio 1.3 Riferendoci alle notazioni introdotte sopra, con I = IR, consideriamo la
successione di funzioni fn (x) = xn con n = 0,1,2, . . . (si intende che f0 (x) = 1 per ogni x
reale); sappiamo che scegliendo x̄ ∈ (−1,1) la serie numerica
∞
X
x̄n ,
n=0
Rip
1 , mentre essa
(serie geometrica di ragione x̄) converge e ha come somma il numero 1 −
x̄
diverge oppure oscilla se x̄ ∈ (−∞, − 1] ∪ [1, + ∞).
Possiamo quindi concludere che la serie di funzioni (detta anch’essa serie geometrica)
∞
X
xn
n=0
ha come insieme di convergenza puntuale l’insieme E = (−1,1) e che in esso risulta
–
3
Serie di funzioni
∞
X
xn =
n=0
1
.
1−x
tata
§1.1
Assegnata una serie di funzioni, il primo problema che si pone è quello di determinarne
l’insieme di convergenza puntuale E; nell’esempio precedente abbiamo visto che questo
insieme non coincide necessariamente con l’insieme I in cui sono definite le funzioni
{fn (x)}. L’insieme di convergenza può essere “strano” anche se sommiamo funzioni
molto semplici, come si vede dai seguenti esempi.
∞
X
sinn x .
n=0
vie
Esempio 1.4 Consideriamo la serie di funzioni definite in IR
Se poniamo x = π/2 + 2kπ con k ∈ ZZ otteniamo la serie
mentre per x = 3π/2 + 2kπ si ha la serie
∞
X
∞
X
(1.4)
1, che è divergente,
n=0
(−1)n , che è indeterminata. In tutti gli
ne
n=0
altri punti la serie è convergente; infatti, essendo | sin x| < 1, la (1.4) si riduce, con
la sostituzione t = sin x, alla serie geometrica
∞
X
n=0
tn , di ragione t con |t| < 1. Quindi
zio
E = IR \ {x : x = π/2 + kπ}.
1 , possiamo concludere che nell’insieme
Sapendo che la serie geometrica ha somma 1 −
t
di convergenza E si ha
∞
X
1
.
sinn x =
1 − sin x
n=0
rod
u
Esempio 1.5 Consideriamo la serie di funzioni definite in IR
∞
X
n=0
n!(x2 − x).
(1.5)
Questa serie di funzioni converge a zero per x = 0 e per x = 1, perché si riduce alla serie
nulla; in tutti gli altri punti diverge, come si verifica immediatamente usando il criterio
del rapporto.Quindi E = {0,1}.
Rip
Una volta determinato l’insieme di convergenza, si pone il problema di calcolare la somma
della serie. Questo problema è risolubile solo in casi molto particolari, per cui non vale
la pena di affrontarlo in generale. Dobbiamo apparentemente accontentarci di qualcosa
di meno; dal punto di vista matematico si tratta invece della domanda più interessante,
perché riguarda una questione generale (e non dei casi particolari, come la ricerca della
somma): la funzione somma “eredita” le proprietà delle funzioni che sommiamo?
Ad esempio, la somma di una serie di funzioni continue è una funzione continua? Oppure
4
1
–
Serie di funzioni
Z
b
a
f (x)dx =
Z
b
a
∞
X
!
fn (x)dx =
n=0
∞ Z
X
n=0 a
b
tata
la somma di funzioni derivabili è una funzione derivabile? In caso affermativo, possiamo
calcolare la sua derivata derivando termine a termine la serie che la esprime?
Inoltre, se vale la relazione (1.3), ci chiediamo se è possibile integrare termine a termine,
vale a dire, assegnati due punti a e b in E, se vale la relazione
fn (x)dx .
La risposta a queste domande è, in generale, negativa. Vediamo un esempio a riguardo
delle prime due di esse.
vie
Esempio 1.6 Consideriamo, nell’intervallo I = (−π,π), la serie di funzioni
∞
4
sin 3x sin 5x
4X
sin(2n + 1)x
sin x +
+
+... =
.
π
3
5
π n=0
2n + 1
Si tratta di funzioni di classe C ∞ (I) e quindi, in particolare, continue e derivabili; si
può dimostrare (come faremo tra breve, trattando le serie di Fourier) che questa serie di
funzioni converge puntualmente alla funzione
ne
se −π < x < 0
0
se x = 0

1
se 0 < x < π
che nell’origine non è continua e, quindi, neppure derivabile.
g(x) =

 −1
zio
Per rispondere positivamente alle domande che ci siamo posti, è necessario introdurre un
nuovo concetto di convergenza: quello di convergenza totale.
Definizione 1.7 Sia {fn (x)}, con n ∈ IN , una successione di funzioni definite nell’inse:
∞
X
fn (x) converge totalmente in I
n=0
rod
u
tervallo I ⊆ IR. Diciamo che la serie di funzioni
1. si ha che |fn (x)| ≤ an per ogni x ∈ I e per ogni n ∈ IN ;
2. la serie numerica
∞
X
an è convergente.
n=0
La convergenza totale è “più forte” della convergenza puntuale: se una serie converge
totalmente in I allora converge anche puntualmente in ogni punto di I, ma non vale il
viceversa.
∞
Infatti, fissato x̄ ∈ I la serie
X
n=0
|fn (x̄)| è convergente: è sufficiente applicare la condi-
Rip
zione 1. nel punto x̄ e il criterio del confronto per le serie numeriche tenendo conto della
condizione 2. La serie
∞
X
n=0
fn (x̄) è assolutamente convergente e quindi convergente.
D’altra parte esistono serie che convergono in ogni punto di un intervallo, ma non
convergono totalmente in tale intervallo.
§1.1
–
5
Serie di funzioni
Esempio 1.8 Consideriamo la serie geometrica
∞
X
xn nell’intervallo I = (−1,1). Sap-
n=0
tata
piamo che questa serie converge puntualmente in I; non c’è però convergenza totale.
Infatti per applicare la seconda condizione della Definizione 1.7 dovremmo determinare
una successione an , tale che
1. sia |xn | ≤ an per ogni x ∈ (−1,1) e per ogni n ∈ IN ;
2. la serie numerica
∞
X
an sia convergente.
n=0
vallo (−1,1) è |xn | ≤ 1 e la serie
∞
X
1 è divergente.
n=0
vie
Questo è impossibile, perché la migliore maggiorazione che possiamo ottenere nell’inter-
Teorema 1.9 Sia
∞
X
ne
L’ipotesi di convergenza totale ci consente di risolvere il problema della continuità della
funzione somma di funzioni continue e della derivabilità della funzione somma di funzioni
derivabili. Vale infatti il seguente teorema.
fn (x) una serie totalmente convergente di funzioni definite in un
n=0
intervallo I ⊆ IR e sia f (x) la sua somma;
zio
1. se le funzioni fn (x) sono continue in I allora anche la funzione somma f (x) è
continua in I;
2. se le funzioni fn (x) sono derivabili in I e la serie delle derivate
∞
X
fn0 (x) converge
n=0
rod
u
totalmente in I, allora anche la funzione f (x) è derivabile in I e la sua derivata
può essere calcolata derivando termine a termine:
0
f (x) =
"
∞
X
n=0
fn (x)
#0
=
∞
X
fn0 (x).
n=0
Nell’ipotesi di convergenza totale è possibile anche integrare termine a termine; infatti
vale il seguente teorema.
Teorema 1.10 Sia
∞
X
n=0
fn (x) una serie totalmente convergente di funzioni continue in
Rip
un intervallo I ⊆ IR e sia f (x) la sua somma; comunque scelti a e b in I si ha che
Z
b
a
f (x)dx =
Z
a
b
∞
X
n=0
!
fn (x)dx =
∞ Z
X
n=0 a
b
fn (x)dx.
6
1
–
Serie di funzioni
Esempio 1.11 Consideriamo la serie di funzioni
∞
X
tata
sin nx
.
n3
n=1
Poiché per ogni x reale si ha
sin nx 3 n
1
,
n3
≤
∞
X
1
3 e quindi converge totalmente in
n=1 n
vie
la serie (1.6) è maggiorata dalla serie convergente
(1.6)
IR; indichiamo con f (x) la sua somma.
Essendo le funzioni fn (x) continue in IR, grazie alla prima parte del Teorema 1.9, possiamo concludere che la funzione f (x) è continua in IR.
Per dimostrare la derivabilità di f (x), dopo aver osservato che le funzioni fn (x) sono
derivabili in IR, verifichiamo (con un procedimento analogo a quello appena utilizzato)
la convergenza totale della serie delle derivate
∞
X
ne
cos nx
.
n2
n=1
Esempio 1.12 La serie di funzioni
zio
Applicando la seconda parte del Teorema 1.9, possiamo concludere che la funzione f (x)
è derivabile in IR e che
∞
X
cos nx
.
f 0 (x) =
n2
n=1
∞
X
(−1)n
rod
u
n=1
xn
n2
(1.7)
converge totalmente in [−1,1]; detta f (x) la sua somma, utilizzando il Teorema 1.10
Z
1
0
f (x)dx =
=
Z
1
0
∞
X
n=1
∞
X
(−1)
n=1
"
nx
n
n2
!
dx =
xn+1
(−1) 2
n (n + 1)
n
∞
X
n=1
#1
0
=
∞
X
n=1
Z
1
0
(−1)
(−1)n
nx
n
n2
!
dx =
1
.
n (n + 1)
2
Rip
Osservazione 1.13 Mentre la definizione di convergenza puntuale di una serie di funzioni è abbastanza facile da capire dal punto di vista intuitivo, non altrettanto si può
dire di quella di convergenza totale.
Per interpretarla graficamente consideriamo una serie di funzioni
∞
X
fn (x) che converge
n=0
totalmente alla funzione f (x), per x ∈ I. Consideriamo la somma parziale k-esima della
serie; per la definizione di convergenza totale, si ha
k
X
f (x) −
fn (x)
n=0
=
–
7
Serie di funzioni
∞
X
fn (x)
n=k+1
≤
∞
X
n=k+1
L’ultima serie è il resto k-esimo della serie convergente
|fn (x)| ≤
∞
X
n=0
∞
X
an .
n=k+1
tata
§1.1
an e quindi tende a zero per
k
X
f (x) −
fn (x)
vie
k → ∞.
La catena di disuguaglianze precedenti ci assicura quindi che, fissata una quantità > 0,
pur di scegliere opportunamente l’indice k, si ha la condizione
< ,
∀x ∈ I .
n=0
zio
ne
Dal punto di vista geometrico: fissato > 0, pur di scegliere opportunamente l’indice
k, il grafico della ridotta k-esima di una serie totalmente convergente è contenuto nella
striscia compresa tra f (x) − e f (x) + .
∞
X
x2n
2
(−1)n
= e−x
Nella Figura 1.1 si vede un esempio di convergenza totale (la serie
n!
n=0
che converge totalmente in [−1,1]) mentre nella Figura 1.2 è mostrato un esempio di
∞
X
1
(−1)n x2n = 2
che
serie che converge puntualmente, ma non totalmente (la serie
x +1
n=0
converge puntualmente in (−1,1)).
PSfrag replacements
rod
u
y
s2 (x)
s4 (x)
s(x)
1
x
Rip
−1
s1 (x)
s3 (x)
2
Sono rappresentate le funzioni s(x) = e −x e le ridotte s1 (x) = 1 −
x4
x4 x6
x4 x6 x8
x2 , s2 (x) = 1 − x2 + , s3 (x) = 1 − x2 +
− , s4 (x) = 1 − x2 +
−
+
2
2
3!
2
3!
4!
Figura 1.1
8
1
–
Serie di funzioni
y
s2 (x)
tata
s4 (x)
PSfrag replacements
s(x)
1
x
−1
s1 (x)
vie
s3 (x)
1
e le ridotte s1 (x) =
+1
1 − x2 , s2 (x) = 1 − x2 + x4 , s3 (x) = 1 − x2 + x4 − x6 , s4 (x) = 1 − x2 + x4 − x6 + x8
Figura 1.2
1.2
Sono rappresentate le funzioni s(x) =
Serie di potenze
x2
ne
Assegnati una successione {an } di numeri reali e un punto x0 dell’asse reale si dice serie
di potenze la serie di funzioni
a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + . . . + an (x − x0 )n + . . . =
∞
X
n=0
an (x − x0 )n .
(1.8)
zio
Il punto x0 viene detto centro della serie e i numeri an coefficienti della serie.
In particolare concentriamo la nostra attenzione sulle serie di potenze con centro nell’origine, che hanno la forma
∞
X
a n xn .
(1.9)
n=0
rod
u
Le definizioni e i risultati che seguono sono riferiti alle serie centrate nell’origine; per
adattarli al caso generale è sufficiente operare la sostituzione y = x − x0 .
Alle serie di potenze possono essere applicate le definizioni di convergenza che abbiamo
introdotto nel paragrafo precedente; le ricordiamo, applicandole alle serie di potenze.
Definizione 1.14 Assegnato un punto x1 si dice che la serie (1.9)
. converge puntualmente in x1 se risulta convergente la serie
Rip
. converge assolutamente in x1 se risulta convergente la serie
∞
X
an xn1 ;
n=0
∞
X
n=0
|an xn1 | .
Assegnato un intervallo I si dice che la serie (1.9) converge totalmente in I se esiste
una serie numerica convergente
n ∈ IN .
∞
X
n=0
Mn tale che |an xn | ≤ Mn , per ogni x ∈ I e per ogni
§1.2
–
9
Serie di potenze
tata
Ricordiamo che la convergenza totale in un intervallo implica la convergenza assoluta e
quindi quella puntuale in ogni punto dell’intervallo stesso.
L’insieme di convergenza
vie
Assegnata la serie di potenze (1.9) si pone il problema di determinare il suo insieme di
convergenza; a differenza di quanto visto per le serie di funzioni in generale, possiamo
ottenere risultati molto precisi a questo riguardo.
Innanzitutto, l’insieme di convergenza di una serie di potenze non è mai vuoto; infatti è
immediato notare che la serie (1.9) converge nel suo centro x = 0.
Prima di affrontare il problema della convergenza in punti diversi dall’origine, esaminiamo
alcuni esempi.
Esempio 1.15 Consideriamo la serie di potenze, detta serie esponenziale,
xn
n=0 n!
∞
X
(1.10)
ne
e fissiamo un punto x1 6= 0. Studiamo la convergenza assoluta in x1 , vale a dire il
comportamento di
∞
X
|x1 |n
.
n=1 n!
zio
Per questa serie numerica a termini positivi possiamo utilizzare il criterio del rapporto;
si tratta di calcolare il limite
|x1 |n+1 n!
|x1 |
= 0.
lim
= lim
n→∞ (n + 1)! |x1 |n
n→∞ n + 1
rod
u
Il risultato è indipendente dal punto scelto; possiamo concludere che la serie (1.10)
converge assolutamente (e quindi puntualmente) in ogni punto dell’asse reale.
Esempio 1.16 Consideriamo la serie di potenze,
∞
X
n!xn
(1.11)
n=1
e studiamo la convergenza assoluta in x1 6= 0. Utilizzando ancora il criterio del rapporto
calcoliamo il limite
(n + 1)!|x1 |n+1
lim
= lim (n + 1)|x1 | = +∞.
n→∞
n→∞
n!|x1 |n
Rip
La serie (1.11) non converge assolutamente in alcun punto dell’asse reale, eccetto l’origine.
Può restare il dubbio che la serie converga semplicemente per x < 0, dove è una serie a segni alterni. Per
dimostrare che questo non avviene basta fare vedere che il valore assoluto del termine generale della serie non
tende a zero per n → ∞. La successione n 7→ n!|x1 |n è a termini positivi ed è (almeno a partire da un certo
punto in poi) monotona crescente e quindi non può tendere a zero. Infatti la disuguaglianza
(n + 1)!|x1 |n+1 > n!|x1 |n
1
–
Serie di funzioni
equivale alla disuguaglianza
n+1>
1
|x1 |
che è verificata almeno da un certo valore n0 in poi.
Possiamo quindi concludere che la serie (1.11) converge solo per x = 0.
tata
10
Esempio 1.17 Consideriamo la serie di potenze, detta serie logaritmica,
xn
.
n=1 n
∞
X
(1.12)
vie
Fissiamo x1 6= 0 e studiamo la convergenza assoluta, utilizzando il criterio della radice.
Calcoliamo il limite
|x1 |
lim √ = |x1 |.
n→∞ n n
ne
Quindi la serie (1.12) converge assolutamente per |x1 | < 1; per x1 = 1 si riduce alla
serie armonica (e quindi diverge), mentre per x1 = −1 si riduce alla serie armonica a
segni alterni, che converge semplicemente, ma non assolutamente. Con considerazioni
analoghe a quelle dell’esempio precedente si può far vedere che la serie non converge per
|x| > 1 in quanto il suo termine generale non tende a zero. Possiamo concludere che la
serie di potenze (1.12) converge nell’intervallo [−1,1).
zio
Esempio 1.18 Consideriamo la serie
xn
.
2
n=1 n
∞
X
(1.13)
rod
u
Questa serie converge totalmente nell’intervallo [−1,1], essendo maggiorata, in tale inter∞
X
1
vallo, dalla serie convergente
2 . Al di fuori di [−1,1] non converge, in quanto il suo
n=1 n
termine generale non è infinitesimo. L’insieme di convergenza della serie (1.13) è quindi
l’intervallo [−1,1].
Gli esempi appena visti riassumono le possibili situazioni che si presentano: il comportamento di una serie di potenze è determinato dalla proprietà presentata nel seguente
teorema.
Rip
Teorema 1.19 Si consideri la serie di potenze (1.9) e due punti x1 6= 0 e x2 6= 0. Allora
. se la serie converge in x1 , allora essa converge assolutamente per tutti i punti x tali
che |x| < |x1 |;
. se la serie non converge in x2 , allora essa non converge in tutti i punti x tali che
|x| > |x2 |.
§1.2
–
11
Serie di potenze
n
|an x | =
|xn |
|an xn1 | n
|x1 |
=
|an xn1 | tata
Dimostrazione
Supponiamo che la serie converga in x1 6= 0; consideriamo un punto x 6= 0, tale che
|x| < |x1 |. Si ha che
x n
x n
.
≤
M
x1 x1
∞
X
n=0
|an xn |
è maggiorato da quello della serie
M
∞ X
n=0
x n
,
x1 vie
L’ultima disuguaglianza è giustificata dal fatto che la serie converge, per ipotesi, nel
punto x1 ; il suo termine generale è quindi infinitesimo e la quantità |an xn1 | è limitata.
La disuguaglianza che abbiamo ottenuto ci dice che il termine generale della serie
zio
ne
che è una serie geometrica di ragione minore di uno e quindi converge. Il criterio del
confronto ci permette di concludere che la serie (1.9) è assolutamente convergente per
ogni x tale che |x| < |x1 |.
Per dimostrare la seconda parte, basta osservare che, per la prima parte del teorema, se
la serie convergesse in x tale che |x| > |x2 |, allora dovrebbe convergere anche nel punto
x2 , contrariamente all’ipotesi.
Osservazione 1.20 Si osservi che nel teorema precedente la convergenza (o la non convergenza) della serie in x1 non fornisce nessuna informazione sul comportamento della
serie nel punto −x1 .
rod
u
Osservazione 1.21 Il teorema precedente si può interpretare intuitivamente dicendo
che la convergenza in un punto x1 6= 0 ci “fa guadagnare” la convergenza in tutti i punti
dell’intervallo di centro l’origine di cui x1 è un estremo, mentre la non convergenza in
x2 6= 0 ci “fa perdere” la convergenza nelle due semirette |x| > |x2 |.
Nella determinazione dell’insieme di convergenza di una serie di potenze, dal punto di
vista operativo, ci troviamo quindi di fronte a questa casistica:
1. non si ha la convergenza per nessun x1 6= 0;
Rip
2. si ha la convergenza in un x1 6= 0; allora possiamo provare con un valore maggiore
(in modulo) e ampliare l’intervallo di convergenza; e anche qui abbiamo due casi:
(1) possiamo verificare che c’è convergenza per una successione di punti che diventa
arbitrariamente grande in modulo (e quindi c’è convergenza in tutto l’asse reale)
oppure
12
1
–
Serie di funzioni
(2) a un certo punto troviamo un valore per cui la serie non converge; allora
necessariamente la convergenza è limitata a un intervallo.
tata
Possiamo concludere affermando che si presentano tre possibili situazioni per la convergenza di una serie di potenze:
. la serie converge solo in x = 0;
. la serie converge in ogni punto dell’asse reale.
vie
. la serie converge all’interno di un intervallo (−R,R) e non converge per x > R e per
x < −R;
Per descrivere queste tre situazioni si introduce il concetto di raggio di convergenza della
serie di potenze.
Definizione 1.22 Il raggio di convergenza R della serie (1.9) è l’estremo superiore
dell’insieme dei numeri reali in cui la serie converge:
∞
X
ne
R = sup{x ∈ IR :
an xn converge}.
n=0
zio
Se è noto il raggio di convergenza, sono note le principali caratteristiche della serie di
potenze; infatti vale il seguente risultato.
Teorema 1.23 Se la serie (1.9) ha raggio di convergenza R, allora
1. Se R = 0 la serie converge solo per x = 0.
rod
u
2. Se R > 0 allora la serie converge assolutamente in (−R, R) e converge totalmente
in ogni intervallo [a, b] ⊂ (−R, R).
3. Se R = +∞ allora la serie converge assolutamente per ogni x reale e converge
totalmente in ogni intervallo [a, b].
Osservazione 1.24 Se la serie di potenze è centrata in x0 6= 0 il teorema precedente
può essere riformulato nei seguenti termini:
1. Se R = 0 la serie converge solo per x = x0 .
Rip
2. Se R > 0 allora la serie converge assolutamente in (x0 − R, x0 + R) e converge
totalmente in ogni intervallo [a, b] ⊂ (x0 − R, x0 + R).
3. Se R = +∞ allora la serie converge assolutamente per ogni x reale e converge
totalmente in ogni intervallo [a, b].
§1.2
–
13
Serie di potenze
Determinazione del raggio di convergenza
tata
Il risultato precedente ci mostra l’utilità della conoscenza del raggio di convergenza per la
determinazione delle proprietà di una serie di potenze. Per questo motivo, è importante
trovare dei metodi che permettano di calcolarlo, senza ricorrere allo studio diretto della
convergenza della serie nei vari punti dell’asse reale. A questo scopo, si hanno i seguenti
teoremi.
lim
q
n
n→∞
|an | = l
allora
. R = 0 se l = +∞;
. R = +∞ se l = 0;
ne
. R = 1/l se l è finito e non nullo.
vie
Teorema 1.25 (Criterio della radice) Data la serie di potenze (1.9), se esiste
Teorema 1.26 (Criterio del rapporto) Data la serie di potenze (1.9), se a n 6= 0, ∀n ∈ IN ,
ed esiste
|an+1 |
lim
=l
n→∞ |an |
zio
allora
. R = 0 se l = +∞;
. R = +∞ se l = 0;
rod
u
. R = 1/l se l è finito e non nullo.
Dimostriamo il primo teorema; la dimostrazione del secondo può essere svolta in modo
analogo.
Dimostrazione
∞
Applichiamo il criterio della radice per le serie numeriche alla serie
per l’ipotesi del teorema,
lim
n→∞
q
n
X
n=0
|an xn |. Abbiamo,
|an xn | = l|x|;
Rip
Se l = 0 il limite precedente è sempre nullo e quindi, sempre per il criterio della radice,
la serie è assolutamente convergente per ogni x.
Se invece l è infinito la serie non converge per nessun x diverso da zero.
Se infine l è un numero reale si ha la convergenza assoluta se l|x| < 1, vale a dire se
|x| < 1/l; non si ha invece convergenza se risulta l|x| > 1, cioè se |x| > 1/l.
14
1
–
Serie di funzioni
(n2 + 1)xn
.
n!
n=1
∞
X
Conviene applicare il criterio del rapporto e calcolare
tata
Esempio 1.27 Determiniamo il raggio di convergenza della serie
|an+1 |
(n + 1)2 + 1 n!
n2 + 2n + 2 1
lim
= n→∞
lim
= lim
= 0.
n→∞ |a |
n2 + 1 (n + 1)! n→∞ n2 + 1 n + 1
n
Il raggio di convergenza della serie è quindi infinito.
n n xn
.
n=1 n + 1
∞
X
vie
Esempio 1.28 Determiniamo il raggio di convergenza della serie
ne
In questo caso conviene utilizzare il criterio della radice; si tratta di calcolare
√
n
= +∞,
lim n an = lim √
n
n→∞
n→∞
n+1
in quanto il numeratore tende all’infinito, mentre il denominatore tende a uno. La serie
di potenze considerata ha quindi raggio di convergenza nullo.
Esempio 1.29 Calcoliamo il raggio di convergenza della serie
nx4n
.
n
n=1 3
zio
∞
X
rod
u
Questo esempio mostra come in alcuni casi il teorema precedente non sia applicabile
direttamente, ma richieda una sostituzione preliminare nella serie.
Nella serie proposta compaiono solo le potenze di x con esponenti che sono multipli di
4. La successione dei coefficienti comprende dei valori nulli, ripetuti con legge periodica.
In particolare essa risulta (a partire dal termine costante)
0,0,0,0,1/3,0,0,0,2/9,0,0,0,3/27, . . . .
Il limite della radice non esiste, mentre quello del rapporto non ha senso per la presenza
di coefficienti nulli. Per ovviare a questa difficoltà si può operare un cambiamento di
variabile e porre z = x4 , per cui la serie assegnata si trasforma nella
nz n
,
n
n=1 3
∞
X
Rip
il cui raggio di convergenza può essere determinato calcolando
√
n
n
1
lim
= ;
n→∞ 3
3
la serie nella variabile z converge per √
|z| < 3; sostituendo si ottiene che la serie assegnata
converge per |x|4 < 3, cioè per |x| < 4 3.
§1.2
–
15
Serie di potenze
Operazioni sulle serie di potenze
Teorema 1.30 Assegnate due serie di potenze
Σ1 =
∞
X
a n xn ,
∞
X
Σ2 =
n=0
n=0
tata
Vogliamo qui esaminare la possibilità di sommare e moltiplicare serie di potenze e determinare il raggio di convergenza delle serie ottenute. A riguardo della somma, si ha il
seguente risultato.
b n xn ,
∞
X
(an + bn )xn
n=0
vie
con raggio di convergenza R1 ed R2 rispettivamente, si ha che la serie somma
ha raggio di convergenza maggiore o uguale al minimo tra R1 ed R2 .
Esempio 1.32 Le serie
Σ1 =
∞ X
n=1
1
+1
n!
zio
ne
Osservazione 1.31 Nel caso in cui R1 ed R2 siano diversi (ad esempio R1 < R2 ) allora
la serie somma ha come raggio di convergenza proprio il minimo dei due.
Infatti, preso un punto x1 tale che R1 < |x| < R2 la serie Σ1 non converge in x, mentre
la serie Σ2 converge; per i risultati visti sulle serie numeriche, la serie somma non è
convergente.
Nel caso in cui R1 = R2 si possono invece avere, fuori dall’intervallo di convergenza, delle
cancellazioni in modo tale che la somma converga.
xn ,
Σ2 =
∞ X
n=1
1
−1
n!
xn ,
hanno entrambe R = 1. Sommandole si ottiene la serie
2
n!
rod
u
∞ X
Σ1 =
n=1
xn ,
che ha raggio di convergenza infinito.
Assegnate due serie di potenze si può definirne il prodotto, detto prodotto alla Cauchy, delle due serie.
Teorema 1.33 Assegnate due serie di potenze
∞
X
an xn ,
Rip
n=0
∞
X
bn x n ,
n=0
con raggio di convergenza R1 ed R2 rispettivamente, si ha che la serie prodotto
∞ n
X
X
n=0
i=0
ai bn−i xn
ha raggio di convergenza maggiore o uguale al minimo tra R1 ed R2 .
16
1
–
Serie di funzioni
Serie di potenze, derivazione e integrazione
tata
In questo paragrafo studiamo le relazioni che esistono tra le serie di potenze e le operazioni
di derivazione e integrazione, applicando alle serie di potenze i risultati che abbiamo visto
per le serie di funzioni.
Definizione 1.34 Assegnata la serie di potenze
∞
X
a n xn
n=0
∞
X
nan xn−1 ,
n=1
vie
si dice sua serie derivata la serie
ottenuta derivando formalmente termine a termine la serie.
Vale il seguente teorema.
ne
Teorema 1.35 Una serie di potenze e la sua serie derivata hanno lo stesso raggio di
convergenza.
Teorema 1.36 Sia
∞
X
zio
Applicando i Teoremi 1.23 e 1.9 e il teorema precedente, otteniamo il seguente importante
risultato, che ci dice che la somma di una serie di potenze è una funzione molto regolare.
an xn una serie di potenze con raggio di convergenza R > 0 e sia
n=0
f (x) la sua somma in (−R,R). Allora la funzione f (x) è derivabile con derivate continue
di ogni ordine in (−R,R) (vale a dire f (x) ∈ C ∞ (−R,R)) e la derivata n-esima di f (x)
rod
u
può essere calcolata derivando termine a termine n volte la serie
∞
X
a n xn .
n=0
Esempio 1.37 Sappiamo che vale la relazione
∞
X
1
=
xn ,
1 − x n=0
per |x| < 1.
d 1 =
1
Il teorema precedente ci dice la funzione f 0 (x) = dx
ammette per
1−x
(1 − x)2
|x| < 1 lo sviluppo ottenuto derivando termine a termine la serie geometrica
Rip
mentre la funzione f 00 (x) ammette lo sviluppo
∞
X
n=2
∞
X
nxn−1 ,
n=1
n(n − 1)xn−2 e cosı̀ via.
Il Teorema 1.10 di integrazione termine a termine assume una forma particolarmente
semplice, quando è applicato alle serie di potenze.
§1.2
Teorema 1.38 Sia
∞
X
–
17
Serie di potenze
an xn una serie di potenze con raggio di convergenza R > 0 e sia
n=0
Z
x
0
f (t)dt =
Z
∞
X
x
0
an t
n
n=0
!
dt =
∞ Z
X
n=0
x
0
n
an t dt =
Esempio 1.39 Dalla relazione
per |z| < 1,
an xn+1
.
n=0 n + 1
∞
X
vie
∞
X
1
=
zn,
1 − z n=0
tata
f (x) la sua somma in (−R,R). Allora, per ogni x ∈ (−R,R), vale la relazione
con la sostituzione z = −x si ha
∞
∞
X
X
1
(−x)n =
(−1)n xn ,
=
1 + x n=0
n=0
per |x| < 1.
Applicando il teorema precedente otteniamo lo sviluppo della funzione log(1 + x):
log(1 + x) =
x
0
∞
X
=
!
Z x X
∞ Z x
∞
X
1
n n
n n
(−1) t dt
dt =
(−1) t dt =
1+t
0
0
n=0
n=0
(−1)n
n=0
ne
Z
xn+1
, per |x| < 1 .
n+1
zio
Invece, con la sostituzione z = −x2 , risulta
∞
∞
X
X
1
2 n
=
(−x
)
=
(−1)n x2n ,
1 + x2 n=0
n=0
per |x| < 1.
Procedendo come prima, otteniamo lo sviluppo della funzione arcotangente:
=
x
0
∞
X
1
dt =
1 + t2
Z
x
0
∞
X
n 2n
(−1) t
n=0
rod
u
arctan x =
Z
n=0
(−1)n
!
dt =
x2n+1
, per |x| < 1 .
2n + 1
∞ Z
X
n=0
x
0
n 2n
(−1) t dt
Rip
Osservazione 1.40 Il teorema specifica che i raggi di convergenza coincidono, ma non
dice niente sul comportamento della serie agli estremi dell’intervallo di convergenza.
Si può, in modo impreciso, affermare che l’operazione di derivazione può “peggiorare”
il comportamento della serie agli estremi, mentre l’operazione di integrazione lo può
“migliorare”. La serie
∞
X
xn+1
Σ1 =
(−1)n
= log(1 + x)
n+1
n=0
e la sua serie derivata
Σ2 =
∞
X
n=0
(−1)n xn =
1
;
1+x
18
1
–
Serie di funzioni
1.3
tata
entrambe hanno raggio di convergenza uguale a uno. La serie Σ1 converge in (−1,1],
mentre la Σ2 converge in (−1,1).
Serie di Taylor
ne
vie
Nel paragrafo precedente abbiamo studiato le serie di potenze dal punto di vista formale,
determinando le loro proprietà. Non abbiamo discusso in generale la relazione che esiste
tra una serie di potenze e la sua somma. Ci siamo limitati a determinare esplicitamente
la somma della serie geometrica e di alcune serie che da essa possono essere ricavate.
Ora ci chiediamo se, in generale, data una funzione, sia possibile determinarne lo sviluppo
in serie di potenze in un intervallo e, in caso affermativo, quale sia il procedimento per
determinare questa serie.
Il Teorema 1.36 fornisce una prima indicazione: poiché la somma di una serie di potenze
è una funzione di classe C ∞ (−R,R) abbiamo che: condizione necessaria perché una
funzione sia sviluppabile in serie di potenze in un intervallo è che sia di classe C ∞ in tale
intervallo.
Possiamo enunciare un primo risultato, che mette in relazione i coefficienti dello sviluppo
in serie con le derivate della funzione somma della serie.
Teorema 1.41 Sia f (x) ∈ C ∞ (−R,R) e supponiamo che in (x0 − R, x0 + R) valga la
relazione
∞
X
an (x − x0 )n .
zio
f (x) =
n=0
Allora risulta che
f (n) (x0 )
an =
,
n!
∀n ∈ IN.
(1.14)
f (x)
f 0 (x)
f 00 (x)
f (n) (x)
=
=
=
=
rod
u
Dimostrazione
La dimostrazione di questo teorema è una conseguenza del Teorema 1.36. Infatti dalle
relazioni
a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + . . . + an (x − x0 )n + . . .
a1 (x − x0 ) + 2a2 (x − x0 ) + . . . + nan (x − x0 )n−1 + . . .
2a2 + 2 · 3a3 (x − x0 ) + . . . + n(n − 1)an (x − x0 )n−2 + . . .
n!an + (n + 1)!an+1 (x − x0 ) + . . .
ponendo x = x0 si ottengono la (1.14).
Rip
Poiché si può dimostrare che se una funzione ammette uno sviluppo in serie di potenze,
tale sviluppo è unico, possiamo concludere che: se una funzione di classe C ∞ ammette
uno sviluppo in serie di potenze in un intervallo centrato in x0 allora tale sviluppo è
necessariamente della forma
∞
X
f (n) (x0 )
(x − x0 )n .
(1.15)
n!
n=0
§1.3
–
19
Serie di Taylor
tata
Data una funzione f (x) ∈ C ∞ (x0 − R, x0 + R), possiamo calcolarne le derivate di ogni
ordine in x0 e costruire la serie (1.15); affinché questa serie rappresenti la f (x) almeno
in un intorno (x0 − δ, x0 + δ) di x0 devono però verificarsi altre due condizioni:
1. la serie (1.15) deve essere convergente in (x0 − δ, x0 + δ);
2. in tale intervallo la sua somma deve essere uguale a f (x).
Queste due condizioni non sono sempre verificate.
Esempio 1.42 Consideriamo la funzione:
2
ne
vie
e−1/x se x 6= 0
0
se x = 0 .
Si può dimostrare che questa funzione è continua, con le sue derivate di ogni ordine,
su tutto l’asse reale e che tutte le derivate nell’origine sono nulle. La serie (1.15) di
h(x) centrata nell’origine è quindi la serie identicamente nulla; questa serie ovviamente
converge in tutto l’asse reale, ma la sua somma non coincide con la funzione h(x) in
nessun punto, tranne l’origine.
h(x) =
Introduciamo una definizione per le funzioni per cui le condizioni precedenti sono verificate.
zio
Definizione 1.43 Una funzione f (x) ∈ C ∞ (x0 − δ, x0 + δ) si dice analitica oppure
sviluppabile in serie di Taylor nel punto x0 se la serie (1.15) converge in un intorno
(x0 − δ, x0 + δ) di x0 e se per ogni x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) si ha
f (n) (x0 )
(x − x0 )n .
f (x) =
n!
n=0
∞
X
(1.16)
rod
u
La serie (1.15) si chiama serie di Taylor della funzione f (x) centrata in x 0 e i
f (n) (x0 )
numeri
sono detti coefficienti di Taylor della f (x) in x0 . Se x0 = 0, la
n!
(1.15) è detta anche serie di McLaurin.
Rip
Come abbiamo visto, la condizione f (x) ∈ C ∞ (x0 − δ,x0 + δ) non è sufficiente ad
assicurarci che f (x) sia sviluppabile in serie di Taylor in x0 ; solo ulteriori condizioni sulla
f (x) assicurano la sviluppabilità.
Senza entrare nei dettagli di questo discorso, possiamo comunque capire quali possano
essere queste condizioni con le seguenti considerazioni.
Le somme parziali di ordine k della (1.15) non sono altro che i polinomi di Taylor Pf,k,x0 (x)
della funzione f (x) nel punto x0 di ordine k. Il polinomio di Taylor approssima la funzione
f (x) a meno di un resto, che indichiamo con Rf,k,x0 (x):
f (x) =
f (n) (x0 )
(x − x0 )n + Rf,k,x0 (x) .
n!
n=0
k
X
20
1
–
Serie di funzioni
La convergenza della serie di Taylor (1.15) alla funzione f (x) significa che
!
vale a dire
lim Rf,k,x0 (x) = 0
tata
lim
k→∞
f (n) (x0 )
f (x) −
(x − x0 )n = 0,
n!
n=0
k
X
∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ).
k→∞
Esprimiamo il resto Rf,k,x0 (x) nella forma di Lagrange; la condizione precedente diventa
f (k+1) (c)
(x − x0 )k+1
k→∞ (k + 1)!
k→∞
vie
lim Rf,k,x0 (x) = lim
dove c è un punto dell’intervallo (x0 − δ, x0 + δ); in tale intervallo |x − x0 | < δ e quindi
possiamo eseguire la seguente maggiorazione:
(k+1)
f
(c)
(x − x0 )k+1 (k + 1)!
≤
δ k+1 (k+1)
f
(c)
.
(k + 1)! (1.17)
zio
ne
δ k+1 → 0 per k → ∞; affinché l’intera espressione (1.17) tenda a
(k + 1)!
zero è quindi sufficiente che le derivate successive non crescano troppo rapidamente nell’intervallo (x0 − δ, x0 + δ). Questa condizione è verificata, in particolare, quando le
derivate sono maggiorate in modulo da una costante in tutto l’intervallo considerato,
come avviene negli esempi seguenti.
Il quoziente
Esempio 1.44 Mostriamo che la funzione f (x) = ex è sviluppabile in serie di McLaurin
con raggio di convergenza infinito.
Fissiamo un punto x e scegliamo un intervallo [−M,M ] che contiene x. Scriviamo la
formula di Taylor con il resto di Lagrange:
xn
xk+1
+ ec
(k + 1)!
n=0 n!
k
X
rod
u
ex =
dove c è un punto dell’intervallo [−M,M ].
In tale intervallo ec ≤ eM e |x| ≤ M ; quindi possiamo maggiorare il resto:
k+1 c x
e
(k + 1)! ≤ eM
M k+1
.
(k + 1)!
Rip
Questa quantità tende a zero per k → ∞, per cui la somma della serie coincide con ex
nel punto x.
Il ragionamento può essere ripetuto per ogni x reale, scegliendo un M opportuno; concludiamo dunque che vale il seguente sviluppo di McLaurin su tutto IR
ex =
xn
.
n=0 n!
∞
X
§1.3
–
21
Serie di Taylor
cosh x =
x2n
,
n=0 (2n)!
∞
X
sinh x =
tata
Con un ragionamento analogo si dimostra che la funzione esponenziale è sviluppabile in
serie di Taylor con centro in un punto x0 6= 0 e raggio di convergenza infinito.
Dallo sviluppo di McLaurin dell’esponenziale si ottengono immediatamente i seguenti
sviluppi, validi anch’essi in tutto l’asse reale:
x2n+1
.
n=0 (2n + 1)!
∞
X
sin x =
k
X
(−1)n
n=0
vie
Esempio 1.45 Mostriamo che la funzione f (x) = sin x è sviluppabile in serie di McLaurin con raggio di convergenza infinito.
Come nell’esempio precedente, fissiamo un punto x e un intervallo [−M,M ] che contiene x. La formula di Taylor con il resto di Lagrange è:
x2n+1
x2k+3
+ (−1)k+1
g(c)
(2n + 1)!
(2k + 3)!
ne
dove con g(c) abbiamo indicato la derivata di ordine k + 1 della funzione seno nel punto
c; essa ha quattro possibili valori: sin c, − sin c, cos c e − cos c; in ogni caso si tratta di
una quantità minore di uno in modulo. Possiamo quindi maggiorare il resto:
2k+3
k+1 x
(−1)
g(c)
(2k + 3)!
≤
M 2k+3 k→∞
−→ 0 .
(2k + 3)!
zio
Per l’arbitrarietà di x, concludiamo che vale su tutto l’asse reale il seguente sviluppo
sin x =
∞
X
(−1)n
n=0
x2n+1
.
(2n + 1)!
rod
u
Con considerazioni analoghe si dimostra che la funzione coseno ammette il seguente
sviluppo
2n
∞
X
n x
cos x =
(−1)
,
∀x ∈ IR.
(2n)!
n=0
α
dove
Rip
Esempio 1.46 Vogliamo studiare lo sviluppo della funzione f (x) = 1 + x . Osserviamo che se α ∈ IN , la funzione f (x) si riduce ad un polinomio; se α ∈
/ IN , essa
è sviluppabile in serie di McLaurin con raggio di convergenza R = 1. Vale, infatti,
l’uguaglianza
!
∞
α
X
α n
1+x =
x ,
∀x ∈ (−1,1) ,
n=0 n
!
α
α(α − 1) . . . (α − n + 1)
.
=
n!
n
La serie appena considerata viene detta serie binomiale.
22
1
–
Serie di funzioni
tata
Osservazione 1.47 Nello studio degli integrali indefiniti si è osservato che esistono delle
funzioni elementari le cui primitive non possono essere espresse elementarmente.
In alcuni casi, primitive di questo tipo assumono grande importanza applicativa, ad
esempio in elettronica, in ottica o nel calcolo delle probabilità.
Vediamo alcuni esempi:
1. la funzione seno integrale di x, Si(x), che è definita come
Si(x) =
Z
x
0
sin t
dt;
t
2
Erf(x) = √
π
Z
x
0
vie
2. la funzione degli errori, Erf(x), che è definita come
exp(−t2 )dt;
3. la funzione integrale di Fresnel, S(x), che è definita come
x
0
πt2
sin
dt.
2
!
ne
S(x) =
Z
zio
Queste funzioni possono essere espresse come serie di potenze. Ad esempio, scriviamo lo
sviluppo in serie di potenze della funzione Si(x) e calcoliamo Si(1) con un errore minore
di 10−3 . Partiamo dallo sviluppo della funzione seno, che sappiamo essere convergente
per ogni z reale:
∞
X
(−1)n z 2n+1
sin z =
.
n=0 (2n + 1)!
Scrivendo questo sviluppo nella variabile t e dividendo per t otteniamo:
rod
u
∞
∞
X
(−1)n t2n
sin t
1X
(−1)n t2n+1
=
=
.
t
t n=0 (2n + 1)!
n=0 (2n + 1)!
Integriamo per serie (l’operazione è senz’altro possibile, perché lo sviluppo precedente ha
raggio di convergenza infinito):
Si(x) =
=
Z
!
!
Z x X
Z x
∞
∞
X
sin t
(−1)n t2n
(−1)n t2n
dt =
dt
dx =
t
0
0 (2n + 1)!
n=0 (2n + 1)!
n=0
x
0
∞
X
n=0
"
(−1)n t2n+1
(2n + 1)!(2n + 1)
#x
0
=
(−1)n x2n+1
.
n=0 (2n + 1)!(2n + 1)
∞
X
Rip
Questo sviluppo ha raggio di convergenza infinito.
Per calcolare Si(1), valutiamo la serie che abbiamo ottenuto per x = 1; otteniamo una
serie numerica a segni alterni
(−1)n
1
1
=1−
+
+... .
3!3 5!5
n=0 (2n + 1)!(2n + 1)
∞
X
§1.3
–
23
Serie di Taylor
Rip
rod
u
zio
ne
vie
tata
Affinché l’errore sia minore di 10−3 , per il Criterio di Leibniz, è sufficiente fermarci al terzo
termine. Infatti il primo termine trascurato è minore di 10−3 , poiché risulta 7!7 ≈ 35000.
24
–
Serie di funzioni
Esercizi svolti
tata
1.4
1
Esercizio 1.1
Data la serie di funzioni
∞
X
exp(−nx),
n=0
(1.18)
vie
determinarne l’insieme di convergenza e verificare che essa converge totalmente in J =
[1, + ∞).
Soluzione
n
Con la sostituzione z = exp(−x) siamo ricondotti alla serie geometrica ∞
n=0 z , che
converge per −1 < z < 1. La serie (1.18) converge quindi per −1 < exp(−x) < 1, cioè
per x ∈ I = (0, + ∞).
Nell’insieme J ⊂ I la serie converge puntualmente; per verificare la convergenza totale,
P
osserviamo che in J si ha che exp(−nx) ≤ exp(−n) e che la serie ∞
n=0 exp(−n) è
convergente; sono quindi soddisfatte le ipotesi che ci permettono di concludere che la
serie converge totalmente in J.
ne
P
zio
Esercizio 1.2
Determinare il raggio di convergenza e l’insieme di convergenza della serie
xn
.
2
n
n=0 (n + 2)2
Soluzione
rod
u
∞
X
(1.19)
Per la determinazione del raggio di convergenza utilizziamo il criterio del rapporto,
calcolando
(n2 + 2)2n
1
1 n2 + 2
lim
=
.
=
lim
2
n+1
2
n→∞ ((n + 1) + 2)2
n→∞ 2 n + 2n + 3
2
Rip
Il raggio di convergenza è quindi R = 2. Nel punto x = 2 la serie (1.19) si riduce a
che converge (è equivalente a
P
∞
X
n=0
(n2
1
,
+ 2)
1/n2 ), mentre per x = −2 abbiamo la serie
(−1)n
,
2
n=0 (n + 2)
∞
X
§1.4
–
25
Esercizi svolti
tata
che è (assolutamente) convergente. Quindi la serie (1.19) converge in [−2,2].
Esercizio 1.3
Determinare il raggio di convergenza e l’insieme di convergenza della serie
n + 1 x3n
.
n
n=1 n + 2 3
Soluzione
(1.20)
vie
∞
X
Con la sostituzione z = x3 ci riconduciamo alla serie
n + 1 zn
.
n
n=1 n + 2 3
∞
X
Applichiamo il criterio del rapporto, calcolando
1
n + 2 n + 2 3n
= .
n→∞ n + 3 n + 1 3n+1
3
ne
lim
zio
La serie (nella variabile z) ha raggio di convergenza Rz = 3; quindi converge per |z| <
√ 3;
ricordando la sostituzione √
fatta, la serie (1.20) converge per |x3 | < 3, cioè per |x| < 3 3.
Ponendo nella (1.20) x = 3 3, otteniamo la serie numerica
∞
X
n+1
,
n=1 n + 2
rod
u
che non converge in quanto il suo termine generale non tende a zero (condizione
√ necessaria
di convergenza delle serie numeriche). Ponendo invece nella (1.20) x = − 3 3, otteniamo
la serie numerica
∞
X
n+1
(−1)n
;
n+2
n=1
anche questa serie non converge in quanto il suo termine generale non ammette limite
(per n pari la successione dei suoi termini tende a√1, √
mentre per n dispari tende a -1).
L’insieme di convergenza della (1.20) è quindi (− 3 3, 3 3).
Esercizio 1.4
Rip
Determinare il raggio di convergenza e l’insieme di convergenza della serie
dove a è un numero reale positivo.
xn
,
a
n=1 n
∞
X
(1.21)
26
1
–
Serie di funzioni
Soluzione
1
.
lim √
n
n→∞
na
Possiamo scrivere
√
n
na =na/n = exp a lnn n . Ricordando che
ln n
=0
n→∞ n
vie
lim
tata
Determiniamo il raggio di convergenza con il criterio della radice. Dobbiamo calcolare
abbiamo che a lnn n → 0 e quindi exp a lnn n → 1. Il raggio di convergenza della (1.21) è
quindi R = 1 per ogni valore a > 0.
Studiamo il comportamento nell’estremo x = 1; la serie
∞
X
1
a
n=1 n
ne
converge se a > 1 e non converge se a ≤ 1,
Sostituendo x = −1, abbiamo la serie a segni alterni
(−1)n
.
na
n=1
∞
X
zio
Questa serie è convergente per ogni valore di a > 0, per il criterio di Leibniz. Infatti la
successione {1/na } è decrescente e infinitesima.
L’insieme di convergenza della (1.21) è quindi [−1,1) se a ≤ 1 e [−1,1] se a > 1.
Esercizio 1.5
rod
u
Determinare il raggio di convergenza e l’insieme di convergenza della serie
∞
X
xn! = x + x2 + x6 + x24 + x120 + . . .
(1.22)
n=1
Soluzione
La successione dei coefficienti (sempre a partire dal termine costante) è
Rip
0,1,1,0,0,0,1,0,0,. . . ,0,1,0,0,0,. . . ,
dove gli zeri non si ripetono con regolarità ma in blocchi “sempre più grandi” all’aumentare di n. Non è quindi possibile operare una sostituzione z = xk allo scopo di ottenere
una serie con coefficienti non nulli.
Per studiare l’insieme di convergenza della serie assegnata bisogna procedere direttamente. È immediato osservare che la serie diverge in x = 1 e in x = −1, mentre converge
§1.4
–
27
Esercizi svolti
per |x| < 1. Infatti se |x| < 1 possiamo affermare che
n=1
|xn! | = |x| + |x2 | + |x6 | + . . . ≤ |x| + |x2 | + |x3 | + |x4 | + |x5 | + . . . ;
tata
∞
X
la serie maggiorante è la serie geometrica presa in modulo, che sappiamo essere convergente per |x| < 1. Dal criterio del confronto discende l’assoluta convergenza della (1.22),
che ha quindi raggio di convergenza uguale a uno e insieme di convergenza (−1,1).
vie
Esercizio 1.6
Determinare il raggio di convergenza e l’insieme di convergenza della serie
(2x − 1)n
.
n
n=1 3 + 1
∞
X
Soluzione
(1.23)
ne
La serie assegnata non è della forma (1.8); per ricondurla a questa forma scriviamo
∞
X
(2(x − 1/2))n
2n (x − 1/2)n
=
.
3n + 1
3n + 1
n=1
n=1
∞
X
zio
Con la sostituzione z = x − 1/2 ci riconduciamo a una serie centrata nell’origine:
2n z n
.
n
n=1 3 + 1
∞
X
Esercizio 1.7
rod
u
Il raggio di convergenza di questa serie è R = 3/2, come si verifica con il criterio del
rapporto; agli estremi dell’intervallo la serie diverge (in entrambi i casi si ottiene una
serie il cui termine generale non è infinitesimo), per cui l’insieme di convergenza risulta
{z : −3/2 < z < 3/2}. Tenendo conto della sostituzione z = x − 1/2 la (1.23) ha come
insieme di convergenza {x : −1 < x < 2}.
Determinare lo sviluppo in serie di Taylor delle seguenti funzioni, centrato nei punti
indicati, indicandone il raggio di convergenza:
Rip
a) f (x) = exp(1 − x2 )
b) g(x) = 2x 1− 3
c) h(x) = ln(1 + x)
x0 = 0
x0 = 0
x0 = 1
28
1
–
Serie di funzioni
Soluzione
exp(z) =
tata
a) Poiché f (x) = exp(1) exp(−x2 ), utilizzando lo sviluppo della funzione esponenziale
zn
n=0 n!
∞
X
e operando la sostituzione z = −x2 , otteniamo
∞
X
(−x2 )n
(−1)n x2n
= exp(1)
.
n!
n!
n=0
n=0
∞
X
vie
f (x) = exp(1)
La serie esponenziale converge per ogni z reale e quindi la serie data converge per
ogni x reale.
b) Possiamo calcolare lo sviluppo di g(x), riconducendoci alla serie geometrica
∞
X
1
=
zn,
1 − z n=0
g(x) =
1
1
=
2x − 3
−3 1 −
2x
3
zio
e sostituiamo z = 2x/3, ottenendo
g(x) = −
(1.24)
ne
Scriviamo
|z| < 1.
∞
2x
1X
3 n=0 3
n
=−
=−
1 1
3 1 − 2x
3
∞
2n n
1X
x .
3 n=0 3n
rod
u
Poiché la (1.24) converge per |z| < 1, tenendo conto della sostituzione effettuata,
la serie che abbiamo ottenuto converge se | 2x
| < 1, vale a dire per |x| < 23 . È
3
immediato verificare che la serie non converge nei punti x = 3/2 e x = −3/2.
c) Con la sostituzione t = x − 1 ci riconduciamo allo sviluppo centrato in t0 = 0 della
funzione ln(2 + t), che scriviamo nella forma
t
ln(2 + t) = ln 2 1 +
2
t
= ln 2 + ln 1 +
.
2
Utilizzando lo sviluppo della funzione
Rip
ln(1 + z) =
(−1)n+1 z n
,
n
n=1
∞
X
|z| < 1
con la sostituzione z = t/2, otteniamo
ln(2 + t) = ln 2 +
(−1)n+1 tn
,
n2n
n=1
∞
X
(1.25)
§1.4
–
29
Esercizi svolti
che converge quando |t/2| < 1, cioè quando |t| < 2, e infine
(−1)n+1 (x − 1)n
ln(1 + x) = ln 2 +
.
n2n
n=1
tata
∞
X
Questa serie converge se |x − 1| < 2, cioè nell’intervallo (−1,3).
Nel punto x = 3 converge, in quanto si riduce alla serie armonica a segni alterni.
Nel punto x = −1 si ottiene invece la serie
∞
∞
X
X
(−1)n+1 (−1)n 2n
(−1)2n+1
1
ln 2 +
= ln 2 +
= ln 2 −
,
n
n2
n
n=1
n=1
n=1 n
vie
∞
X
che è divergente.
Esercizio 1.8
Sviluppare in serie di McLaurin la funzione
x2
2x − 8
− 8x + 12
ne
f (x) =
zio
precisando il raggio di convergenza. Utilizzare il risultato ottenuto per calcolare f (n) (0)
per n generico.
Soluzione
rod
u
Conviene decomporre la funzione f (x) in fratti semplici e sviluppare le due funzioni
ottenute:
2x − 8
1
1
1
1
f (x) = 2
=
+
=
+
x − 8x + 12
x−6 x−2
−6(1 − x/6) −2(1 − x/2)
Utilizzando la serie geometrica (1.24), con le sostituzioni z = x/6 e z = x/2, rispettivamente, otteniamo
∞
∞
∞
∞
∞
X
X
X
xn
xn
xn 1 X
xn
1
1
1X
−
=−
−
=
− n+1 − n+1 xn .
f (x) = −
n
n
n+1
n+1
6 n=0 6
2 n=0 2
6
2
n=0 6
n=0 2
n=0
Osserviamo che la prima serie ha raggio di convergenza R − 1 = 6, mentre la seconda ha
raggio R2 = 2; quindi la serie somma ha raggio R = 2.
Ricordando la formula dello sviluppo in serie di Taylor, si ha che
e quindi
Rip
f (n) (0)
1
1
= − n+1 − n+1
n!
6
2
f (n) (0) = −
n!
6n+1
−
n!
2n+1
.
30
1
–
Serie di funzioni
Esercizio 1.9
Determinare l’insieme di convergenza puntuale delle seguenti serie di funzioni:
(1 − x2 )n
;
n
n=0
∞
X
b)
(2x − 1)n
;
n
n=0 3 + 1
∞
X
c)
tann x
;
2
n=0 n + 1
∞
X
(x2 + 1)n/2
.
4
n=1 3n + 4
∞
X
tata
a)
d)
Per ognuna di esser indicare (se possibile) un intervallo di convergenza totale.
zn
,
n=0 n
∞
X
vie
Soluzione
a) Con la sostituzione z = 1 − x2 ci riconduciamo alla serie di potenze
ne
che ha raggio di convergenza Rz = 1 e converge in [−1,1). La serie di funzioni
√
2
converge
allora
per
x
tale
che
−1
≤
1
−
x
<
1,
vale
a
dire
nell’insieme
[−
2,0) ∪
√
(0, 2]; osserviamo che questo insieme non è un intervallo.
Un intervallo
di convergenza totale è, ad esempio, un intervallo [a, b] con 0 < a <
√
b < 2.
b) Si tratta di un problema che abbiamo già trattato; vediamo qui un metodo alternativo di soluzione.
Ponendo z = 2x − 1 ci riconduciamo alla serie di potenze
zn
,
n
n=0 3 + 1
zio
∞
X
rod
u
che converge per −3 < z < 3. La serie assegnata converge quindi per −3 < 2x − 1 <
3, vale a dire per −1 < x < 2.
Verifichiamo che si ha convergenza totale nell’intervallo I = [0,1]. Tracciando il
grafico della funzione y = |2x − 1|, si verifica che |2x − 1| ≤ 1 in I; possiamo
P
(2x − 1)n
quindi affermare che la serie ∞
n=0 3n + 1 , maggiorata in I dalla serie convergente
P∞
1
n=0 3n + 1 , è totalmente convergente in I.
c) Ponendo z = tan x, siamo ricondotti a studiare la serie di potenze
zn
,
2
n=0 n + 1
∞
X
Rip
che ha insieme di convergenza I = [−1,1].
Quindi la serie di funzioni converge per −1 ≤ tan x ≤ 1, vale a dire per −π/4 ≤
x ≤ π/4.
Verifichiamo che la √
serie converge totalmente nell’intervallo I = [−π/6,π/6]. In I si
ha che | tan x| ≤ 1/ 3; quindi
∞ n X
tan x 2
n + 1
n=0
≤
∞
X
∞
X
1
1
√
≤
.
2
2
n
n=0 (n + 1)( 3)
n=0 n + 1
§1.4
√
31
Esercizi svolti
x2 + 1 otteniamo la serie di potenze
zn
,
4
n=0 3n + 2
∞
X
tata
d) Con la sostituzione z =
–
Rip
rod
u
zio
ne
vie
che converge in I = [−1,1].
√
La serie di funzioni converge quindi per tutti gli x tali che −1 ≤ x2 + 1 ≤ 1.
Questa disuguaglianza è soddisfatta solamente per x = 0; l’insieme di convergenza
della serie di funzioni si riduce a un solo punto. Non esistono quindi intervalli di
convergenza totale.
32
1.5
1
–
Serie di funzioni
Esercizi proposti
tata
1. Determinare il raggio di convergenza e l’insieme di convergenza delle seguenti serie
di potenze:
(−1)n xn
a)
;
n2
n=1
∞
X
n=1
∞
X
n2 (x − 1)n
3n + 5 n n
n
nx
n=1 3 + 7
∞
X
e)
n!
xn
n=1 6 + 2
f)
n(x + 2)n
n
n=1 2 + 1
h)
i)
l)
n
∞
X
∞
X
n=1
∞
X
n=1
∞
X
n=1
∞
X
n=1
[R = 7/5, I = (−7/5, 7/5)]
(−1)n xn−1
s
n2 + 1
n2
5n x3n
2n(2n + 2)
(−1)n
3n x2n+1
n(n + 1)
(−1)n x2n
[R = 0]
[R = 2, I = (−4, 0) ]
1 + n2n
1 + n 2 2n
rod
u
g)
[R = 1, I = (0, 2)]
vie
d)
∞
X
[R = ∞]
ne
c)
(n + 5)4 xn
n!
n=1
∞
X
zio
b)
[R = 1, I = [−1, 1]]
[R = 1, I = (−1, 1)]
[R = 5−1/3 , I = [−5−1/3 , 5−1/3 ]]
[R = 3−1/2 , I = [−3−1/2 , 3−1/2 ]]
[R = 1, I = [−1, 1]].
2. Data la serie di potenze
∞
X
n=1
con a parametro reale positivo,
an ln(
n+3 n
)x
n+2
. si determini a in modo che il suo raggio di convergenza valga 3;
. per il valore di a trovato si studi il comportamento della serie agli estremi
dell’intervallo di convergenza.
Rip
[a = 1/3; per x = 3 la serie diverge, per x = −3 converge semplicemente]
3. Data la serie di potenze
∞
X
1
bn sin( √
)xn
n
+
3
n=1
con b parametro reale positivo
§1.5
–
33
Esercizi proposti
. si determini b in modo che il suo raggio di convergenza valga 2;
tata
. per il valore di b trovato si studi il comportamento della serie agli estremi
dell’intervallo di convergenza.
[b = 1/2; per x = 2 la serie diverge, per x = −2 converge semplicemente]
4. Il raggio di convergenza della serie
an xn è R = 5. Determinare il raggio di
n=0
convergenza delle serie
a)
∞
X
∞
X
3an x2n ,
b)
an x4n+3 .
n=1
vie
n=0
∞
X
[a) R =
√
√
5, b) R = 4 5]
5. Sviluppare le seguenti funzioni in serie di McLaurin, indicando il raggio di convergenza degli sviluppi ottenuti.
(−1)n x4n+2
[
, R = ∞]
n=0 (2n + 1)!
∞
X
2
b) f (x) = ln(1 + x4 );
c) f (x) = arctan(5x);
ne
a) f (x) = sin(x );
[
∞
X
[
∞
X
n=1
(−1)n
2
;
3−5x
2
f)
x
x2 − x − 2
g) 3 − 2x2
(1 − x)
rod
u
e) f (x) = ln(2 + x );
zio
n=0
d) f (x) =
h) log(x2 + 5x + 6)
(−1)n+1
52n+1 x2n+1
, R = 1/5]
2n + 1
[2
[ln 2 +
∞
X
5 n xn
n+1 , R = 3/5]
n=0 3
∞
X
(−1)
n=1
[ 31
∞
X
n=0
x4n
, R = 1]
n
n+1
√
x2n
2]
,
R
=
n2n
((−1)n − 2−n )xn , R = 1]
[
∞
X
(n + 3)xn , R = 1]
n=0
[ log 6 +
∞
X
(−1)
n
n=1
n−1
(
1
1 n
n + n )x , R = 2]
3
2
Rip
6. Sviluppare in serie di Taylor, con centro nei punti indicati seguenti funzioni, indicando l’insieme I di convergenza degli sviluppi ottenuti.
a) f (x) = x1 ;
x0 = 2;
b) f (x) = x1 ;
x0 = −3;
[
∞
X
(−1)n
n=0
[−
(x − 2)n
, I = (0,4)]
2n+1
(x + 3)n
, I = (−6,0)]
3n+1
n=0
∞
X
34
1
c) f (x) =
√
x;
–
Serie di funzioni
x0 = 1;
[
n=0
√
x
4−x
x0 = 1.
[− ln 3 +
∞
X
n=1
n
(x − 1)n ,
tata
I = (0,2)]
d) f (x) = ln
∞ X
1/2
(−1)n+1
1
+ n
2
3
!
(x − 1)n
, I = (0,2]]
n
vie
7. Scrivere lo sviluppo in serie di potenze della funzione Erf(x) e calcolare Erf(1/2) e
Erf(-1/2) con un errore minore di 10−3 .
∞
X
(−1)n
1 + 1 ,
[Erf(x) = √2
x2n+1 , Erf(1/2) ≈ √2 21 − 24
320
π n=0 (2n + 1)n!
π
Erf(-1/2) = −Erf(1/2), essendo la funzione Erf(x) dispari]
8. Scrivere lo sviluppo in serie di potenze della funzione S(x) e calcolare S(1/3) con un
errore minore di 10−3 .
∞
X
π 2n+1
[S(x) =
(−1)n
x4n+3 , S(1/3) ≈ π/162]
2n+1
(2n
+
1)!2
(4n
+
3)
n=0
b)
Z
c)
Z
1
0
1
0
sin x
dx;
x
∞
X
(−1)n
1
1
1
≈1−
+
]
(2n + 1)!(2n + 1)
18 600
[I =
(−1)n
1
1
≈1−
+
]
10 216
n=0 (2n)!(4n + 1)
(−1)n+1
1
1
1
1
1
1
≈ −
+
−
+
]
2 16 72 256 800
2 n
n=0
cos(x2 )dx;
1/2
0
[I =
ln(1 + x)
dx.
x
∞
X
zio
a)
Z
ne
9. Calcolare per serie con un errore minore di 10−3 i seguenti integrali.
[I =
∞
X
n=1
n 2
b)
c)
∞
X
n=1
∞
X
(−1)n
e−nx
;
n2
lnn x
2
n;
n=0 (n + 1)2
∞
X
n=0
[e−x = t, I = [0, + ∞) ]
[ln x/2 = t, I = [e−2 ,e2 ] ]
(sinn x + cosn x).
[Si studiano separatamente le due serie con sin x = t, cos x = t,
I = IR \ {x = k π
2 ,k ∈ ZZ}]
Rip
a)
rod
u
10. Determinare l’insieme I di convergenza delle seguenti serie di funzioni, riconducendole, mediante un’opportuna sostituzione a serie di potenze.