LAVORO ED ENERGIA
Corso di Fisica per Farmacia, Facoltà di Farmacia, Università “G.
“G. D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
INTRODUZIONE
• L’introduzione dei concetto di lavoro, energia
cinetica ed energia potenziale ci permettono di
affrontare i problemi della dinamica in un modo
nuovo
• In particolare enunceremo il principio di
conservazione dell’energia meccanica, il primo dei
tre principi di conservazione in meccanica
• Il principio di conservazione dell’energia
meccanica, come gli altri principi di conservazione,
non è indipendente dalle leggi di Newton perché
come vedremo può essere dimostrato a partire da
queste
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LAVORO DI UNA FORZA (1)
• Consideriamo una forza F applicata ad un punto
materiale in movimento. Il lavoro compiuto dalla
forza F , o lavoro della forza F , è definito come:
L = F • s = F s cos (F,s) = F s cos θ
dove F è la forza e s è il percorso del punto
materiale
F
m
!
θ
s
Questa formula è valida se la forza F è costante
durante il movimento del punto materiale e se
il percorso è rettilineo
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LAVORO DI UNA FORZA (2)
• Nel caso generale, in cui la traiettoria del punto
materiale è curva, e la forza non è costante, si
suddivide la traiettoria del punto in piccoli elementi
assimilabili a segmenti rettilinei e lungo i quali la
forza è approssimativamente costante
• Poi si calcola il lavoro della forza in ogni elemento di
traiettoria e si fa la somma algebrica del lavoro in
tutti gli elementi che costituiscono la traiettoria
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LAVORO DI UNA FORZA (3)
B
F
A
m s
L AÆB = Σ F • s
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LAVORO DI UNA FORZA (4)
F
m
F
s
m
Se θ > 90° allora L < 0
(lavoro “resistente”)
θ
m
F
θ
Se θ < 90° allora L > 0
(lavoro “motore”)
s
θ
s
Se θ = 90° allora L = 0
(il lavoro è nullo se la forza
è ortogonale alla direzione
del moto)
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LAVORO DI UNA FORZA (5)
• Il lavoro ha dimensione ML2/T2
• L’unità di misura nel sistema MKS è il joule (J)
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LAVORO DI UNA FORZA (6)
• Nel caso in cui agiscano diverse forze
contemporaneamente, il lavoro della forza risultante
è uguale alla somma algebrica del lavoro delle
singole forze
F1
m
F2
s
F1 + F2
Il lavoro della forza
risultante è dato da:
Lris = (F1 + F2) • s
= F1 • s + F2 • s
= L1 + L2
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LAVORO DI UNA FORZA (7)
• Se il percorso viene descritto nel verso
opposto, cambia il segno del lavoro
F
m
θ
s
L=F•s
L = F s cos θ
F
π-θ
-s
θ
m
L = F • (- s) = - (F • s)
L = F s cos (π - θ) = - F s cos θ
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LAVORO DI UNA FORZA (8)
• Questo risultato è valido anche per un
percorso non rettilineo
B
F
A
-s
m
L BÆA = Σ F •(- s) = - (Σ F • s) = - L AÆB
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LAVORO DI UNA FORZA (9)
• Se cambia il segno della forza, cambia il
segno del lavoro
F
m
m
θ
s
θ
-F
s
π-θ
L=F•s
L = (- F) • s = - (F • s)
L = F s cos θ
L = F s cos (π - θ) = - F s cos θ
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LAVORO DI UNA FORZA (10)
• Questo risultato è valido anche per un
percorso non rettilineo
B
m
A
-F
s
L AÆB = Σ(-F ) • s = - (Σ F • s) = - L AÆB
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LAVORO DI UNA FORZA (11)
• Si chiama potenza di una forza il lavoro
compiuto da quella forza nell’unità di tempo
F
m
L=F•s
L = F • v∆t
θ
v
s = v∆t
P = L / ∆t = F • v
s
P = F v cos θ
• La potenza ha dimensione ML2/T3
• L’unità di misura nel sistema MKS è il watt (W)
• 1W = 1 J/s
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TEOREMA DELL’ENERGIA CINETICA (1)
B
m
A
v
• Si chiama energia cinetica di un punto materiale di
massa m con velocità v la seguente grandezza:
E c = (1/2)m v • v = (1/2)mv2
• L’energia cinetica ha dimensione ML2/T2
• L’unità di misura nel sistema MKS è il joule (J)
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TEOREMA DELL’ENERGIA CINETICA (2)
B
F
A
m
v
• TEOREMA: Il lavoro compiuto dalla forza risultante
su di un punto materiale nel percorso da un punto A
ad un punto B è uguale alla variazione di energia
cinetica del punto materiale tra i punti A e B, ovvero
è uguale alla differenza tra l’energia cinetica del
punto materiale nel punto B e l’energia cinetica del
punto materiale nel punto A
L AÆB = E c(B) - E c(A)
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TEOREMA DELL’ENERGIA CINETICA (3)
A
m F
B
xB - xA
x
• DIMOSTRAZIONE: (Caso del moto rettilineo
uniformemente accelerato)
L AÆB = F • AB = F (xB – xA)
Utilizzando la seconda legge di Newton F = ma, e
la legge oraria del moto rettilineo uniformemente
accelerato xB – xA = (1/2)at2 + vAt , ottengo:
L AÆB = ma [(1/2)at2 + vAt ]
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TEOREMA DELL’ENERGIA CINETICA (4)
• DIMOSTRAZIONE (segue):
L AÆB = ma [(1/2)at2 + vAt ]
Per il moto rettilineo uniformemente accelerato vale
anche: (vB – vA) = at
da cui otteniamo: t = (vB – vA) / a
che possiamo sostituire nell’espressione precedente:
L AÆB = ma [(1/2)a[(vB – vA) / a]2 + vA[(vB – vA) / a] ]
L AÆB = (1/2) m vB2 – (1/2)mvA2
L AÆB = E c(B) - E c(A)
!
Il calcolo cha abbiamo svolto è valido solo se la
forza F è la forza risultante, infatti abbiamo fatto la
sostituzione F = ma
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TEOREMA DELL’ENERGIA CINETICA (5)
• OSSERVAZIONE:
Il lavoro e l’energia cinetica hanno la stessa
dimensione: ML2/T2
Questo è necessario poiché nel teorema dell’energia
cinetica un lavoro è uguale ad una variazione di
energia cinetica
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TEOREMA DELL’ENERGIA CINETICA (6)
• ESEMPIO: Un corpo di massa m in
caduta libera da un’altezza h con velocità
iniziale nulla. Calcolare la velocità con cui
esso tocca il suolo
• 1 – Dalla seconda legge di Newton
otteniamo la legge oraria:
xB – xA = h = (1/2)gt2
vB = gt
dalla seconda otteniamo t = vB/g, che
sostituita nella seconda dà:
h = (1/2)vB2/g , da cui:
vB = √(2gh)
A
vA = 0
m
h
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mg
B
x
TEOREMA DELL’ENERGIA CINETICA (7)
• 2 – Dal teorema dell’energia cinetica:
Ec(A) = 0 ; Ec(B) = (1/2)mvB2
L AÆB = mgh
ma L AÆB = Ec(B) – Ec(A) da cui:
mgh = (1/2)mvB2
vB = √(2gh)
• Osserviamo che mentre il metodo che
usa la seconda legge di Newton ci dà
maggiori dettagli, il metodo che usa il
teorema dell’energia cinetica è più
semplice
A
vA = 0
m
h
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mg
B
x
FORZE CONSERVATIVE (1)
• Una forza F , che agisce su di un punto materiale
m in una data regione dello spazio, si dice
conservativa se il lavoro che compie da un punto
A ad un punto B non dipende dal percorso
seguito, ma solo dal punto A e dal punto B
m
A
F
2 m
1
F
B
L1AÆB = L2AÆB
Si intende che il lavoro ha lo stesso valore se viene calcolato,
fissati i punti A e B, lungo qualsiasi percorso che si possa
immaginare tra A e B
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FORZE CONSERVATIVE (2)
• Una definizione equivalente di forza conservativa
è la seguente: una forza F , che agisce su di un
punto materiale m in una data regione dello
spazio, si dice conservativa se il lavoro che
compie lungo qualsiasi percorso chiuso è uguale
a zero
m
F
L=0
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FORZE CONSERVATIVE (3)
• Mostriamo che le due definizioni di forza
conservativa sono equivalenti
• 1 – Supponiamo che il lavoro LAÆB non dipenda
dal percorso seguito. Un percorso chiuso può
essere diviso in due mediante due punti A e B
come in figura. Il lavoro lungo il percorso chiuso
si può esprimere per come:
1
1
2
B
L chiuso = L AÆB – L AÆB = 0
m
F
A
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2
FORZE CONSERVATIVE (4)
• 2 – supponiamo che il lavoro lungo
qualsiasi percorso chiuso sia nullo
e consideriamo due percorsi che
congiungono A e B
L chiuso = L1AÆB – L2AÆB = 0
da cui si ricava che
1
L1AÆB = L2AÆB
m
B
F
A
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2
FORZE CONSERVATIVE (5)
• ESEMPI: Si può dimostrare che le forza di
gravità, la forza elettrostatica, la forza elastica, la
forza peso sono forze conservative
• Mostriamolo per la forza peso
C
A
m
θ
mg
Serve un risultato preliminare:
L AÆB = mg AB cos θ
L AÆC = 0 perché mg ⊥ AC
L CÆB = mg CB = mg AB cos θ
Quindi, L AÆB = L CÆB = mg BC
B
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FORZE CONSERVATIVE (6)
• Consideriamo adesso il caso più generale
A
C
c
m
a
b
mg
B
Possiamo sostituire il percorso AB con un percorso a
scalini lungo il quale il lavoro è uguale a quello lungo
il percorso originario perché L aÆb = L cÆb
La lunghezza totale dei segmenti verticali è uguale a BC
Quindi, L AÆB = L CÆB = mg BC
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ENERGIA POTENZIALE (1)
• Ad ogni forza conservativa possiamo associare
un’energia potenziale definita come segue:
• Dato un punto materiale sul quale agisce, in una
certa regione dello spazio, una forza F conservativa,
fissiamo un punto O arbitrariamente e definiamo
energia potenziale del punto materiale nel punto A la
grandezza:
U(A) = - L OÆA
F
A
m
O
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ENERGIA POTENZIALE (2)
• La definizione precedente è coerente in quanto il
lavoro della forza conservativa non dipende dal
percorso dal punto O al punto A (non sarebbe stata
coerente se la forza non fosse stata conservativa)
• Tuttavia l’energia potenziale nel punto A non è
definita in modo univoco perché dipende dalla scelta
del punto O (origine o zero dell’energia potenziale)
Con un’origine diversa, ad esempio O’, il valore
dell’energia potenziale nel punto A è diverso
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ENERGIA POTENZIALE (3)
• Calcoliamo la differenza tra
UO(A) = - L OÆA
e
UO’(A) = - L O’ÆA
UO(A) – UO’(A) = - L OÆA – (- L O’ÆA) =
= L O’ÆA - L OÆA = L O’ÆA + L AÆO
= L O’ÆO
UO(A) – UO’(A) = costante (non dipende da A)
L’energia potenziale è definita a meno di una
costante additiva
A
O
O’
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ENERGIA POTENZIALE (4)
• Invece la differenza, o variazione, di energia
potenziale tra un punto B ed un punto A è definita in
modo univoco perché non dipende dalla scelta
dell’origine:
UO(B) – UO(A) = - L OÆB – (- L OÆA) =
= - L OÆB + L OÆA = L OÆA + L BÆO
= L BÆA = - L AÆB
A
Osserviamo che la variazione di energia
potenziale è uguale al lavoro da A a B
cambiato di segno
O
B
U(B) – U(A) = - L AÆB
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ENERGIA POTENZIALE (5)
La relazione precedente:
U(B) – U(A) = - L AÆB
tra variazione di energia potenziale e lavoro compiuto
dalla forza ci suggerisce due osservazioni:
1) la differenza di energia potenziale tra A e B è una
grandezza fisica misurabile, mentre l’energia potenziale
in A o in B (o in un altro punto) non lo è
2) il segno meno al membro di destra indica che se la
forza compie un lavoro positivo da A a B, l’energia
potenziale diminuisce, mentre se il lavoro compiuto è
negativo, l’energia potenziale aumenta
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ENERGIA POTENZIALE (6)
• ESEMPIO: l’energia potenziale associata alla forza
peso (energia potenziale gravitazionale sulla
superficie terrestre)
• Abbiamo già mostrato che la forza peso è una forza
conservativa, adesso vogliamo trovare
un’espressione per l’energia potenziale di un punto
materiale di massa m soggetto alla forza peso in
funzione della sua posizione vicino alla superficie
terrestre
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ENERGIA POTENZIALE (7)
• Osserviamo in primo luogo che se il punto materiale
si muove orizzontalmente, la sua energia potenziale
non varia. Infatti se A e B sono due punti che si
trovano sullo stesso piano orizzontale,
U(B) – U(A) = - L AÆB = - mg • AB = 0
• Questo mostra che l’energia potenziale
gravitazionale del punto materiale è costante su di
un piano orizzontale
m
A
B
mg
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ENERGIA POTENZIALE (8)
• Per calcolare l’energia potenziale del punto
materiale in un punto A, prima fissiamo
arbitrariamente un piano orizzontale sul quale
l’energia potenziale è nulla (ad esempio la superficie
terrestre o il pavimento della stanza)
• Poi applichiamo la definizione di energia potenziale
U(A) = - L OÆA , per fare questo dobbiamo calcolare
il lavoro della forza peso in un percorso (qualsiasi)
da O ad A
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ENERGIA POTENZIALE (9)
A
U(A) = - L OÆA = - mg • OA
U(A) = - ( - mg OA )
U(A) = mgh
!
I vettori mg e OA hanno
versi opposti
U=0
m
mg
O
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h
ENERGIA POTENZIALE (10)
Questo esempio ci suggerisce
un’interpretazione dell’energia
potenziale
U(A) = - L OÆA = - mg • OA
U(A) è uguale al lavoro della forza
-mg che devo applicare per sollevare
il punto materiale da O ad A
L’energia potenziale della massa m
nel punto A è pari al lavoro che devo
compiere (contro la forza peso) per
portarla in A da un punto in cui essa
ha energia potenziale nulla
A
-mg
m
mg
O
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h
U=0
ENERGIA POTENZIALE (11)
Questa interpretazione dell’energia potenziale è
generale e non limitata al caso dell’energia potenziale
gravitazionale sulla superficie terrestre
L’energia potenziale di un punto materiale in un punto
A è pari al lavoro che devo compiere (contro la forza
conservativa F) per portarlo in A da un punto in cui
esso ha energia potenziale nulla
A
-F
U(O) = 0
O
m
F
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ENERGIA POTENZIALE (12)
Riprendiamo l’esempio precedente alla
luce del teorema dell’energia cinetica
La forza risultante è uguale a zero
quindi la variazione di energia cinetica
è uguale a zero (infatti vO = vA = 0)
Il lavoro compiuto dalla forza –mg, è
“immagazzinato” sotto forma di energia
potenziale del punto materiale
A
-mg
m
mg
O
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h
U=0
ENERGIA POTENZIALE (13)
• ESEMPIO: l’energia potenziale associata alla forza
elastica di una molla
• In questo caso ammettiamo senza dimostrazione il
fatto che la forza elastica sia conservativa
k
m
L
F=-kx m
O
x
-F=kx
A
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ENERGIA POTENZIALE (14)
• Per calcolare l’energia potenziale del punto materiale
in un punto A, fissiamo l’origine dell’energia
potenziale nel punto di equilibrio, ovvero il punto in
cui la molla è nella sua posizione di riposo
• Poi, calcoliamo l’energia potenziale come il lavoro
che dobbiamo compiere contro la forza elastica per
portare il punto materiale da O ad A
• In questo caso incontriamo una difficoltà: la forza
elastica non è costante, dipende dall’allungamento
della molla, ovvero dalla posizione del punto
materiale
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ENERGIA POTENZIALE (15)
• Suddividiamo il percorso OA in piccoli segmenti nei
quali la forza può essere considerata costante, poi
calcoliamo il lavoro per ciascun segmento, e infine
calcoliamo il lavoro totale
O
F=-kx m -F=kx
x
A
∆x
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ENERGIA POTENZIALE (16)
-F
kxA
-F
L’area
tratteggiata
è uguale a
kx∆x che è
il lavoro
compiuto
nel tratto tra
x e x+∆x
x
k
=
kx
0
x x+∆x
xA
x
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ENERGIA POTENZIALE (17)
• Il lavoro totale è la somma del lavoro corrispondente
a tutti i segmenti di lunghezza ∆x nei quali è suddiviso
il segmento OA di lunghezza xA
• Il lavoro totale è quindi uguale all’area compresa tra
la curva –F = kx, l’asse x e la retta verticale x = xA
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ENERGIA POTENZIALE (18)
-F
L’area
tratteggiata
è uguale a
(1/2)kxAxA
= (1/2)kxA2
kxA
-F
0
x
k
=
xA
x
Energia
potenziale
elastica =
(1/2)kx2
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ENERGIA POTENZIALE (19)
• Avrei ottenuto lo stesso risultato se avessi ragionato
sulla compressione della molla piuttosto che
sull’allungamento. Infatti nella compressione la forza
elastica ha comunque verso opposto al movimento, e
la forza che si deve opporre alla forza elastica è nello
stesso verso del movimento. Quindi anche in questo
caso il lavoro della forza che si oppone alla forza
elastica è positivo
• Quindi, sia nell’allungamento che nella
compressione, l’energia potenziale elastica della
molla aumenta
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ENERGIA POTENZIALE (20)
U
0
U = (1/2)kx2
x
Osserviamo che la
posizione di equilibrio
della molla
corrisponde
ad un minimo della
energia potenziale
Questa proprietà è
caratteristica di una
posizione di equilibrio
stabile
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ENERGIA POTENZIALE (21)
Relazione tra forza ed energia potenziale
U(x+∆x) – U(x) = - L xÆx+∆x = - F∆x
F = - [U(x+∆x) – U(x)] / ∆x
F = - ∆U / ∆x
U U = (1/2)kx2
∆U/∆x = kx
U(x+∆x)
U(x)
0
x x+∆x x
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ENERGIA MECCANICA TOTALE (1)
• Si chiama energia meccanica totale di un punto
materiale la somma algebrica della sua energia
cinetica e di tutte le energie potenziali associate alle
forze conservative agenti sul punto materiale stesso
(un’energia potenziale per ogni forza conservativa)
ET = EC + U1 + U2 + … = (1/2)mv2 + U1 + U2 + …
• Se vi è una sola forza conservativa
ET = EC + U = (1/2)mv2 + U
• Se questa forza è la forza peso
ET = (1/2)mv2 + mgh
• Osserviamo che anche l’energia meccanica totale è
definita a meno di una costante additiva
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ENERGIA MECCANICA TOTALE (2)
m
F
B
A
• Consideriamo il caso in cui su di un punto materiale
agisca solo una forza conservativa F
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ENERGIA MECCANICA TOTALE (3)
• Applichiamo il teorema dell’energia cinetica al moto
da A a B:
EC(B) – EC(A) = L AÆB
dove L AÆB è il lavoro compiuto da F nel percorso da
AaB
• Ma poiché F è conservativa
L AÆB = U(A) – U(B)
• Dalle due espressioni precedenti otteniamo
EC(B) – EC(A) = U(A) – U(B)
da cui
EC(B) + U(B) = EC(A) + U(A)
ovvero
ET(B) = ET(A)
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ENERGIA MECCANICA TOTALE (4)
• Osserviamo che i punti A e B non sono stati in alcun
modo specificati: sono dei punti qualsiasi della
traiettoria del punto materiale
• Il precedente risultato dimostra che l’energia
meccanica totale in un punto della traiettoria è uguale
all’energia meccanica in qualsiasi altro punto della
traiettoria stessa
• L’energia meccanica totale è costante lungo la
traiettoria. Si dice anche che l’energia meccanica
totale è una costante del moto
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ENERGIA MECCANICA TOTALE (5)
m
A
F1
B
F2
• Consideriamo adesso il caso in cui sul punto
materiale agiscano solo due forze conservative F1 e
F2
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“G. D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
ENERGIA MECCANICA TOTALE (6)
• Applichiamo il teorema dell’energia cinetica al moto
da A a B:
EC(B) – EC(A) = L1 AÆB+ L2 AÆB
dove L1 AÆB è il lavoro compiuto da F1 , e L2 AÆB è il
lavoro compiuto da F2 , nel percorso da A a B
• Ma poiché F1 e F2 sono conservative,
L1 AÆB = U1(A) – U1(B) e L2 AÆB = U2(A) – U2(B)
• Dalle tre espressioni precedenti otteniamo
EC(B) – EC(A) = U1(A) – U1(B) + U2(A) – U2(B)
da cui
EC(B) + U1(B) + U2(B) = EC(A) + U1(A) + U2(A)
ovvero
ET(B) = ET(A)
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ENERGIA MECCANICA TOTALE (7)
• Anche nel caso di due forze conservative, l’energia
meccanica totale è una costante del moto. Questo
risultato si generalizza ad un numero qualsiasi di
forze conservative
• IL PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE
DELL’ENERGIA MECCANICA
afferma che, se su di un punto materiale agiscono
solo forze conservative o forze che compiono un
lavoro nullo, allora l’energia meccanica totale del
punto materiale è una costante del moto (“si
conserva”)
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ENERGIA MECCANICA TOTALE (8)
A
R
hA
mg
m
B
hB
• ESEMPIO: La massa m scivola senza attrito
vincolata alla curva. Su di essa agiscono la forza
peso che è conservativa e la reazione vincolare che
non compie lavoro. L’energia meccanica totale si
conserva
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ENERGIA MECCANICA TOTALE (9)
• ET(B) = ET(A), ovvero
(1/2) mvB2 + mghB = (1/2) mvA2 + mghA
(abbiamo scelto lo zero dell’energia potenziale sul
piano orizzontale indicato in figura)
• Supponiamo di conoscere la velocità nel punto A e le
altezze dei punti A e B; l’espressione precedente
diventa un’equazione che ci permette di calcolare la
velocità nel punto B
vB2 = vA2 + 2g(hA – hB)
• Se vA = 0
vB = √(2g(hA – hB))
notiamo che è la stessa velocità del caso della
caduta libera
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ENERGIA MECCANICA TOTALE (10)
• Piano inclinato. Il corpo scivola senza attrito e parte
con velocità nulla dal punto A. Vogliamo calcolare la
sua velocità quando arriva nel punto B
La forza peso è
conservativa e la
A
reazione vincolare non
m
N
compie lavoro quindi
possiamo applicare il
principio di conservazione
P
dell’energia meccanica
θ
B
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ENERGIA MECCANICA TOTALE (11)
• ET(A) = mg AB sen θ = mgh
• ET(B) = (1/2) mvB2
• Per il principio di conservazione dell’energia
meccanica ET(A) = ET(B)
A
h
m
mgh = (1/2) mvB2
vB2= 2gh
vB=√(2gh)
N
P
θ
B
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ENERGIA MECCANICA TOTALE (12)
Il grafico dell’energia potenziale in funzione della
posizione è molto utile per avere delle informazioni
qualitative sul moto di un punto materiale
U
U=
(1/2)kx2
ET
EC
- xA
0
x
xA
La differenza tra l’energia
meccanica totale e
l’energia potenziale è
l’energia cinetica ed è
rappresentata dalla
distanza tra i due grafici
I valori di x per i quali la
curva dell’energia
potenziale è al di sopra
x della energia meccanica
totale non sono “permessi”
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ENERGIA MECCANICA TOTALE (13)
Ad esempio nell’interazione descritta dal seguente
grafico dell’energia potenziale le posizioni “permesse”
al punto materiale sono date da xA ≤ x ≤ xB e x ≥ xC
U
ET
EC
xA
xB
xc
x
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x