*. 6corza 'ragoni (Ed.) 7oSologia Lectures given at the Centro Internazionale Matematico Estivo (C.I.M.E.), held in Varenna (Como), Italy, $ugust 6eStemEer , C.I.M.E. Foundation c/o Dipartimento di Matematica “U. Dini” Viale Morgagni n. 67/a 50134 Firenze Italy [email protected] ISBN 978-3-642-10897-6 e-ISBN: 978-3-642-10898-3 DOI:10.1007/978-3-642-10898-3 Springer Heidelberg Dordrecht London New York ©Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011 st Reprint of the 1 ed. C.I.M.E., Florence, 1955 With kind permission of C.I.M.E. Printed on acid-free paper Springer.com CENTRO INTERNATIONALE MATEMATICO ESTIVO (C.I.M.E) 3° Ciclo - Varenna, Villa Monastero – 26 agosto – 3 sett. 1955 TOPOLOGIA K. Kuratowski: Théorie de la dimension ................................................. 1 G. Scorza – Dragoni: Traslazioni piane generalizzate....................................... 17 E. Sperner: 1. Generalizzazioni del teorema di Brouwer sul punto unito ......................................................... 41 2. Il problema dei colori sulle superficie chiuse .......... 75 G. Darbo: Grado topologico e punti uniti in trasformazioni plurivalenti ...................................................................... 93 M. Dolcher: Alcuni risultati della geometria delle trasformazioni continue .................................................. 99 M. Vaccaro: Sulle rappresentazioni localmente biunivoche delle varietà topologiche sopra i poliedri ....................... 105 Roma - Istituto Matematico dell’ Università ROlllli-Istituto Matenul.;icc dell'U.liversitEt,1955 1 C. RuratoE'sld - 1 - T~ORIE DE LA DII.IENSION I. Introduction. Espaves metriques. Definition de l'espace metrique: EspacG dont lequol uno fonc- \X-Y!1 tion non-negative de deux variables nommae distance, est Ie terme primitif, assujetti aux axiomes suivants: ~x-Yl (i) =o}:: (x=y), (iii) \x-Y \ + Exemple~ ;![-Y\ \x-z \. (ii) \ Iy-z \ ?: d t espaces mcariquGs: 11 cspeca euclidien an dimen- sions En; cube de Hilbert, clest-a.-dire lr~space H de suites infinies x:=(x 1 ,x2 ",,), o~J xn \~ 1 Ix-y \ L = )" - "t Oil \IXn-yn ). 2n Tous sous-~nsemble dl~iespace metrique est metrique. Notions fondamentales. 6 (A) = ~am8tre sup dlun ensemble A: lx-xl \ ou x,x' f A. Ensemble borne = ensemble dont le diametre est fini. Limite d'une suite de points diun espace matrique: (p = lim Pn) __ (lim \Pn-p\ =0). n= ([) Espace compact = espace n=([) dans lequel toute suite infinie de points contient une suite partielle convergente (exemples: llintervalle 0 ~ t ~ 1; Espace complet cube H de Hilbert). = espace dans lequel toute suite satisfaisant a la condition de Cauchy est convergente (ane suite P1 112'" fait a. la condition de Cauchy, 10rsqu I a. tout E >' sati.§. 0 co rrespond un k tel que pour n :::. k ou a \Pn-Pk\<t). ~ (ouverte) de centre 9:. et de rayon ,t:: 11 ensel;lble de points dont la distance de a est i:lferieure E \ x-a x I <: 3 r. a ,t:, c I est-a.-dire O.Ku.ratowaki ',ermljl'\!y.re de A = 1 I enijemble A de taus le" points p de la $,:r.rme p '" Hm ~ A (autrement dit; QUi a P € K lorsque I:i.=oo pn , ou III"'n Ii;: ~ule de centre p admet des points comm~s avec A). t~u~e Enaell).ble X~ (~ ~ ,;j ensemble!:. saUsfaisani a. Ie. condition A. Etteemble ~ = complementaite d'un e~semble ferme ••sem~le qui, avec tout point, cont1ent une boule ayant ee .o~n' La pour centre). d'ense.blem fermes est ~ (l'union) dlun nombre find 'im Eii1$emble ferme. LEi :grodlli~ (1 I :j,.:p:b8rsectiQD.) d 'un nom'bIoe :Uni il'e.nlIelnb~es ouver-i;s elilt un ~nsemble ou"tert. Le produit ('Pun mombre arbitraire d'ensemblEis fermes est ferm~ at Ia somme &'en- sembles ouverta est un ensemble ouvert. lnterieur et frontHre d!un enaemble A situe dans liespaee x! lnt (A) lam ~ (p,F) =l = x-I;[, in.f \ p-lti = A·~. Fr(A) ou x €F (pour F =0 ,on pose ~ ("F}lI:'t). lintoyage: [A est un entoilrage de ~~[ P" Int· (A)] (clesta...dire qu'il existe una boule. de centre- p oon:tenue dana A). Ensembl.e~: [A est dense dans 1 eapaee I E§pau se.i!arabie: eapaes qui con'Gient un ~!; [(A=X>]. 8ous~ensemble dense Qen@mbra~le (examples. esp~e euclidien. En, cuie de Hilbert Hj tQut eRssmble fini. tout B&~ense.ble diun eSface me.trique se.- l>are b)' e ) • Tout elllpace metrique separable contient une base, c'est-a.-dire 1l1le suite R1 ,R 2 ,... d I ensembles ouverta tels qu' a tout point :p at tout E> 0 oorrespond Un k tel qu.e p is Rk et Ensemble frontiere = ensemble J (Rk ) < E. dont Ie compleaentaire est dense. Ensemble de pre~ere categorie = sous-enaembio dlun ensem- ble F1+F 2+••• +F +.•• , au Fest frontiere et forme. 'l\ n The-Oreme de Baire: QaJ:lS. un espace oomplot tottt ensemble de· 4 - 3 - premiere categorie est illl ensemble :i:'rontHro. Transformation continue: f est continue lorsque ~ .~::)(]~[~ ~lJ("f\, )=~(J()]. "1\._ Q:) '1'\..:;: V,) Transformation homeOmorptle: la transformation fest illle homeomorphie lorsqu1elle cst continue, biunivoque et la trans formation inverse est conti,iue: Propriete topologigue.o; propriete invariante relativement aux transformations homeomorphes. Theoreme d'Urysohn: tout EJspace me"trique separable 1) est homeomorphe a un soue-ensemble du cube H de Hilbert. Espace fonctionnel i"-: eScJ[lce de toutes les tr[tnsformations continues de I' espace X (sUPPOS(3 CO],lpact) on sous-ensembles de l' espace Y , la distance dans I' cspac€< formule: !f- Si Y est complet, g[ =: yx 6tant defini e par la ou x E sup !f(x)-g(x)! Yl l'est X. egalement. Bj. bliograpp,ie. Trai tes sur 1a tlH~Ori(~ de la dir;,ension: 1. W. Hurewicz-H. Wa11mann, Dime,1sion Theory, :2rincetol1 1948. 2. K.IVIenger, Dimensionstileorie, Teubner, 1928, 3. P. Urysohn, Fund.l!lath. 7-8 (1925-26). 4. J.Favard,Espace et dirJ.ension, Paris (i:ichel) 1950. 1) Dans la suite tout espace sera suppose fll.etrique separable. La theorie de la dimension des espaces non separables est bien plus compliquee. Voir, par exemple, IJ:. Ka~etov. Cechoslov, mat. Zurn. 2(77). 5 C.Kuratowski - 4 - 5. K.Kuratowski, Topologie vol. r,§ §20-23, § 40, et vol. II, Warszaw.a, Monogr. lIat. 1952 (nouv. edition). 1) Voir aussi pour les proprietes de la dimension liees a. la topologie algebrique. 6. P.Alexandroff, Dimensionstheorie, I\lath.AI"..n. 106 (1932). II. Defini tion d~J_a ciimension. ProprHtes fOlldamelltales. Definition (inductive) de dim X (dimension de et de 1 di~I ~!espace X) (dime,'lsion de X au point p): °: dim 0 ... - 1, (dimpX $ n) = a. tout 2°: l > 0 correspond un ensemble ouvert G tel que pEG, 3° dim X = P (dim X <- n) - 00, S d(G) =dim - p X <C ~ etdimFr(G)~ n-1, n quel que soi t p E til n t existe 3,UC11n I.:! satisfaisant X, a 2°. Historigue. L'idee de cette definition, qui remonte H.Poincare (1912), a ete precisee par L,E.J.Brouwer en theorie de la dimension a eM cree a ~ 13. La independamment par K.Menger et P. Urysohn (vers 1922). Exemples. L I intervalle 0 ~ t ~ 1 a la dimension 1; de m~me 2 la circonference d'un cercle. On en conclut que le plan E a la dimension ~2i at ~ n~) par induction - que dim En, L'espace des nombres irrationals est de dimension O. 11 en est de m~me de l'ensemble C de ble des nombres de t ~anto"~ t 12m (c'est-a.-dire de l'ensem- latfor~e =3+ 9 + ••• + ~ + ••• ou tm =0 pu 2. 1) On y trouvera la majorite des notions et des theoremes consideres ici. 2) La demollitration de l' inegali te inverse: dim En:;, nest omise iCi, elle a ete presenten clans les conferences de 6 ]lIf. Sperner. C.Ku:tJatowski - 5 - Remarque. La dimension est un'", pl"Opri8te topologique. Theoremes.1. 8i A CB, on pour pEA. ~ dim A ~dim B et dimp A ~ dimpB == a tout E ~ 2. (dimpE ~ n) G tel que ° correspond un ensemble ouvert J (G) <t( et dim \":S'Fr(G)] 5: n-1. 3. Si Fk=Fk et dim Fk=n pour k=1,2, ••• , on a dim(F 1+F 2+••• )=n 4. Tout espace an dinensions con-Gient une base R1 ,R2 , ••• P {; G, telle que dim Fr(R k ) ~ n-1, En particulier, tout espace de dimension ° contient une base formee d 'ensembles ferme:l-l?Uverts, 5. Si dim X=n, ou on a X=A+B dim A ~n-1 et dim B=O. 6. Si dim X=n, on a X'"Ao+" --tAn O"lt dim Aj"'0 pour j=O, ... ,no 7. Si X=A+B ou dim A=n-l et dim B-O, on a dim X ~ n. 8. Si X=A +•.• +Ah , ou dim A.=O pour j=O, ••• ,n, on a dimX o J ~ n. 9. Tout espace de dimE;nsion 0 pst homeomorphe a un sous-ensemble de l'ensemble C de Cantor. III. Theoremes de reduction et de decomposi tioll. Theoreme de reduction. Etant donnee une decomposition d 'un espace X de dimension n en une suite (firrie ou infinie) d'ensembles ouverts: i1 existe une decomposition en ensembles ouverts: X = Ho + H1 + ..• 1;e11e que 10 2° rents. Hi C. Gi , H.•.•• H. =0 'Pout tout sys"teme de n+2 indices diffe~O In+1 En particulier," si n=(l, les ensembles F'i sont disjoints et fermes. A ce dernier CdS on peut ram~mer 7 la demonstration du theore- C. Ku:l1ato wski - 6 - me de reduction, en appliquant 10 th60reme II,6. En appliquant le theoreme de Borel-Lebesgue, on en deduit 1e theoreme sui vant : Theoreme de decomposition. X etant un espace compact de dimension n, a tout t 7 0 corr6spord une decomposition de cet espace en un nombre fini d'ensembles ouverts: X = Ho + ••• + Hm tela que 5(H. ) <: £ ~ et que la condition 2 0 soit satisfaite. Le theoreme restevrai en remplagant le teme "ouvert ll par "ferme". Corollaire. Atout systeme d'ensembles fermes F , ••• ,F tel que X= F +••. +F o m et a tout £~ o correspond un systeme 0 m d 'ensembles ferm.es satisfaisant aux condi tiona 10 et 2 0 en remplacant Gi par l' ensemble des points p tels que ~ (p,F i) .:::. £. Exemple. La figure ci-dessous represente une interpretation du theoreme de decomposition pour le carre (cas de decomposition en ensembles fermes). IV. Representation parametricue d'un espace compact sur l' ensembl~C de Cantor. Une fonction fest dite d'ordre systeme de k points differents Theoreme. X etant ,m ~ k, s'il a'existe aucun .. "xk tel que f(X 1 )= ••• =f(~). espCl.ce compact ct parfait (c I est-a.X1 ' dire ne contenant aucun point iso16; de dimension n, i l elltiste une transformation f de ~'ensemble Plus encore: en designant par 8 C en X d'ordre cp ~n+1. le soua-ensemble de C.Kuratowski - 7 - l'espace XC compose des fonctions f tel1es que f{C)=X, l'ensemble ~ des fonctions d'ordre > n+1 est de premiere categorie dans q:,. Idee de Is demonstra tio~. f de tp pour lesquelles i l existe %0,x1 ' ••• , U11 des fonctionJ systeme de n+2 points xn+1 tels que f{x o )=f(x1 )= ••• =f{xn+ 1) et I l vient l' ensemble 'f\( I' ensemble Soi t 'V = "V Vk 1+ 1'"2+"'+ 'tk+'" On montre que est ferme et frontiEre (en s' appuyant sur le tMoreme de decomposition, Cfr.Chap.III, corollaire). La premi~e partie du theoreme en resulte en appliquant le theoreme de Baire et le theor~me de Hausdorff d'apree 1equel CP 10. Exemple. SoH X l'intervalle 0 ~x ~ 1. La fonction f (de Cantor-Lebesgue), qui fait correspondre au point t1 t =--3-- + t2 g- + •.• (t i = 0 ou 2) de l'ensemble de Cantor le point f(t) = ~ (~+ t2 +••• ) de l'intervalle X1 est d'ordre 2. 4 En s'appuyant sur Ie theoreme precedent, on. prouve l'enonc' suivant: Theoreme de decomposition generalise. X etant un espaee compact de dimension n, Q, tout C"> 0 correspond une decomposition de cet espace en un nombre fini d'ensembles fermee: X+F +•••-IF tels que d (F . ) < E ~ et que dim (F .• : •• F. ) ~o systeme de r+1 indices differents (ou r Theoreme reciproque. ~ ~r o ~n-r n+1). Si fest une transformation de l'ensemble C, d'ordre n+.1, on a dim fCC) .::;; n. 9 m pour tout C.Kuratowski - 8 - V. Simplexes. Polytopes. Soit dans l'espace euclidien En un systeme de n+1 points po ,P1""'Pn • Le simplexe (ouvert) n p ,P1"'P c'est l'ensemble o des points p de la forme p = ( 1) A0P0 + ... + i\p, nn ou ) +... + 1\.0 A n=1 et :1..>0. :1. Lea points P , ••• ,p sont nommes les sommets du simplexe o n · S=p ... p , les simplexes p. • .. p. - sont ses faees (k=O, 1, ... n). o n 10 1k Le simp1exe S est dit simple si ses sommets s@nt lin~aiEement independants. Les faces d'un simp1exe simple sdnt disjointea deux a deux. En outre, Ie simplexe "ferme" S est, lEi somme de toutes les faces de S. Pour qu'un point p appartienne a f~ut S, i1 et i1 suffit qu'il satisfasse aux conditions (1) ou lline- gali te Ai -:> 0 est remplacee par Ai? O. Par polytope nous entendons une somma finie de simplexes fermes • Transfommijtion )G. Soient X un espace metrique separable, Go, ••• ,Gm un aysteme d1ensembles ouverts tels que X=Go+ ••• +Gm et p , •.• ,p un systeme de points de l'espace euclidien Er. On o m appelle transformation Xi correspondante aces system6il Ie. transformation suivante: ou Done )G(x) est Ie point du simplexe ferme ~ coordonnees barycentriques si G. , ••• ,G. 10 1k 'A o (x), ••• , ,:t m(x). o est Ie systeme de tous les ensembles contiennent x, on a m aux Plus precisement: ~;., qui (x) G Pi ••• p .• o 1k En appliquant Ie theoreme de decomposition du Chap. III et "lC> 10 C.kuratowski - 9 - ~transfGrmation dans ~, on montre le theoreme suivant: ~h9ore~. SoH X un ensemble compact a n dimensions si tue l'espace euclidien Er. A tout E > 0 correspond une transfor- mation continue f de X en un polytope P de dimension n telle que I< £ \f(x)-x 3i, en particulier, r a la tope P ~ 2n+1, on peut assujettir Ie ~oly condition supplementaire, que les simplexes (ouverts) qui le constituent soient disjoints deux a deux. Dans un ordre d I illees analogue ~ on ales theoremes suivan.s (d I Alexandroff) : L Pour qu'un.espace compact X soit de dimension ~n, i1 '£ > 0 faut et i l suffi t qu I a tout ciOJrresponde une trasnforma- tion continue de X en un polytope de dimension!S n, dont toutes les tranches (clest-a.-dire les ensembles f-i(y)) sont de diametre <. S. ;:. L'inegaillite dim X > n est) dans le domaine des el/paces compacts, un invariant des transformations c I est-a.-dire gu I i l existe un S> 0 "a petites tranches"; tel que, pour toute transfor- mation continue f de X ayant les tranchos de diametre <£, on a dim f(X) > D. T.1l.eoreme du plongement (de Menger-Nilbeling). Tout espace X de dimension nest homeomorphe a un sous-ensemble du cube . ) r 2n+1 ('a 2n+ 1 d'lmenSlons. Plus precisement, si r ~ 2n+i~ les transformations de X qui ne sont pas des homeomorphies constHuent dans l' espace " (r r)x un ensemble de premiere categorie. La demonstration est basee sur Ie Lemme suivant. ~,~, Soie:::tt A et B deux sOlis-ensembles disjoints et fermes de l'espace X a. n dimensions. ou r ~ a tout £: > 0 'iJA!.)6('B! = 0 2n+1, et telle que A toute fonction ft (rr)x, correspond une transformation )c et 11 I ')C. - f I~ s . - 10 - Le nombre 2n+1 ne peut pas 3tre remplace par Remarqueso un C.Kuratowski inferieur. En effet, le polytope somme des faces de n~bre dimensions #!. n du simplexe a 2n+2 dimensions n I est pas "topologiquement co~enu" dans le cube I2n. Le probleme de trouver les conditions dans les<!uelles un polytope I k a~ pour k ~ dimensions est topologiquement contenu dans le cube 2n, n! est pas resolu pour n '> 1 (11 a ete trai te recemment par Wu Wen-ts~r). Dans Ie cas n=1. on a le theoreme euivant: pour qujun polygone ne se 1aisse pas plonger, topologiquement dans Ie plan, i l faut. et i l suffit qu'il contienne topologiquement l'un des deux polygones ci-dessoua: VI. Problemes de dimension concernant les soua-ensembles de l'espace euclidien. 1. Tous sous-ensemble ouvert non vide de En est de dimension n. 2. Tout sous-ensemble frontiere de En est de dimension <~ 3. La fronti2.re d iun ensemble ouvert G tel que GtEn eat de dimension n-1. Plus genera1ement: 4. Theoreme de Mazurkiewicz. Soit R une region de En. Si dim A~ n-2, tout couple de points de R-A se 1aisse unir par un aous-continu de R-A. 5. Theoreme de Alexandroff. Soit F un aous-ensemble compact de En. Pour que F soit de dimension ~ r, i l faut et i l suffit 12 C.Kuratowski - 11 - qutaucun cycle de dimensionn-r-2 ne soit enlace avec F dans aucune boule a n dimensions~) En particulier, un sous-ensemble 1-dimenaionnel ferme de E3 ne coupe l'espace localement entre aucun couple de pOints; i1 est cependant enlace localement avec un cycle a 1 dimension. F etant un sous-ensembl.e ferme 2-dimensionnel de ]3, il existe une boule R telle que l'ensemble R-F est non-connexe. Cependant, comme l'a demontre recemment X.S1tnikov 2 ), il existe un ensemble (non-ferme) ACR 3 a 2 dimensions et tel que, quel que soit la region R, tout couple de points de R-A se laisse unir par un soue-continue de R-A. VII. ~rolongement des fonctions continues~ D'apres Ie theo,reme dE! Tietze, toute fonction continue a valeurfl reellee definie sur un emus-ensemble ferme d'un espaee metrique X se laisse etendre sur l'eepace X tout entier. En symbole: la condition f E ]l ou F=F eX, ilnplique I' existence dtune fonction f'JCE. EX telle que f c f! X et Y etant deux espaces metriques, nous ecrivons l ~ Y 1orsqu'a tout ensemble F=F C X et a toute fonction f~ ~ corr6spcnd une fonction £*6 yX telle que f C f; nous ecrivons X--tv y lorsqu'a ~ fonction f corr~spond un ensemble ouvert G contenent F et une fonction f4(e. yG telle que f C. t: 8i la condition X --r:: Y a lieu pour tout espace metrique separable, Y est dit un retracte absolu; s'il en est ainsi de Is condition X ~ v y, Y est dit un retracte de vOisinage. 1)Cf. P. Alexandroff, OPe cit. p.166. 2) Voir Doklady Akad. Nauk 94 (1954), p. 1007. 13 C.Kuratowski - 12 - Ainsi la droite E, l'intervalle I et - plus generalement l'eepace euclidien En et le cube In - sont aee retractes absolus. D'apres un theoreme de Borsuk, tout polytope est un retracte de voieinage; cependant un polytope peut ne pas @tre un retraote absolu; ainsi par exemple, en designant par Qn+1 1a boule x~ + x~ +••• + X!+1 ~ 1 et par Sn sa frontiere, 18 relation Qn+1 ~ ::in est en defaut (puisque 1a fonction f(p)=p pour p ~ Sn ne se laisse pas etendre sur Q 1 suns qu' elle qui tte :I'a sphere n+ Theoreme d'Alexandroff. Les conditions dim X ~n et I ~ S eont equivalentes. n Ce theoreme donne lieu a la generalisation des nombreux theoremes de la theorie de 1a dimension par 18 relation 1i 1). l'intermed~aire de Ainsi, en particulier, on demontre que (at.lee theoremes II, 3 et V, 1): 1. Fk;::FkVY, Y etant un retracte de voisinage, les relatione ou k=1,2, ••• , impliquent (F 1+F Z+"')"C Y. 2. Y etant un rdtracte de voisinage, la relation X non-~Y 8st--- dane me domaine des espaces compacts des transformations a petites ~ un invariant tranches. Cependant les problemes suivants restent ouverte: (A ex (H 1:f Y)::::;' (A "t- Y)~ (Y 't y) ? est un retracte absolu)? (X 't Y et dim X=n):~ (In 't Y) ? 1) Voir ma note de Colloquium lIiathemuticum 2{1951}, p.186 ...191. 14 c. Kurato ws.k:i - 13 - Ajoutons que Ie. condition In't' Y (ou I d6signe 1 'interval1e 0 ~ t ~ 1) caracterise les eapaces Y localement et integra- lement connexes en toute dimension Lefschetz. 15 <: n dans 1e sens d'Alexander- TEASLAZIONI PlANE GENERALIZZATE (Lezioni raccol te da R. Conti) Roma-lsti tuto 11atemr.tico dell'Universi ta, 1955 17 G.Scorza Dragoni - 1 - Ti~SLAZIONI PIANE GENERALIZZATE 1. I'reliminari. Ri teniarao noti i concetti di trasformazione topologiea, di curva sempliee,ch::'usa 0 aperta, di bicella, nonche Ie propxieta. e1ementari conneS8e a questi concetti. In proposito si potra consultare ad es. i1 vol.I delle "Lezioni di Analisi" di F.Severi (Complementi al Cap. V). e i1 L'ambiente in cui operiamo piano (reale) euclideo. Una traslazione, t, nel piano, in senso ordinario, gode delle seguenti proprieta: 1) t e un automeomorfismo del piano, cioe un omeomorflsmo del piano in se; 2) t(p);lP, qualunque sia i1 punta P, ossie t non ha gunti uniti; 3) t conserva i1 senso delle rotazioni, Queste tre proprieta. ~ earatterizzano tuttavia le trasla- zioni piane ordinarie, e neppure la class6 degli automeomorgismi del piano topolog:Lcamente equivalenti 1) ad una traslazione piana ordinaria (8i vedano i suee. nn.8 e 12). Pertanto diremo che ogni Jrasformazione che goda delle proprieta. 1), 2), 3) e una traslazione piana generalizzata (abbreviato in ~.P.g.). Noi esamineremo ap)unto le principali proprieta delle' t.p. g. 2. ID1 teorema ~~~wer sUll'esistenza di punti uniti. Sia G una bi.cella, t(G)= r la sua immagine in un omeomor- 1) Un autOllleomorfis!Jlo t del piano e topologieamente equivalente ad una traslazione ordinaria se ""t'"\ () ,can "t' autoomeomorfiamo conveniente, e una traslazione ordinaria. 19 G.Soorza Dragoni - 2 - fismo t. Brouwer [1] ~~..L.. ha provato i l Esi_sJI3 almmio un punto unito P 9 (Ci06 esiste almeno un punta Po tale che t(Po)=P o) se 6 soddisfatta la condizione (B) t(G) ~ G Limiteremo qui la dimostrazione al caso in cui G sia un cerchio. Procediamo per assurdo (cfr.ad es. Hurewicz e Wallman, Dimension Thepry, p. 40) • Se per ogni P € G eP I t(p) possiamo proiettare P da t(p) in un punta R del contorno g di G. Segue che G e mutato nel suo contorno da una trasformazione continua, che lascia fermi i singoli punti del contorno. L'assurdo 6 raggiunto se proviamo il Teorema II. Non esiston~ contorno~ le~~_i trasformazioni continue di G nel suo subordin1no su questo l(identita. Data la natura della questione possiamo ora supporre G ridotto ad un triangolo di vertici A,B,e. Procediamo ancora per assurdo (cfr. [2~, ~ 1) supponendo l'esistenza di una trasformazione continua t di G nel contorno che subordini su questo l'identita. Effettuiamo una divisione di G in triangOli~K (k=1,2, ••• ,p2) per mezzo di paral1ele ai 1ati oondotte per i punti di una divisione in p parti uguali di ciascuno dei lati AB,BC,CA. Associamo ai vertici A,B.e i numeri 1,2,.3 ne11 l ordine e diciamo P,Q,R i punti di mezzo di AB,BC,CA rispettivamente. Sia V un vert ice di 1:'1( , di guisa che t (V) appartiene al contorno di ABC. Associamo a V i l nUJllero ....... .-- 11 numero 2 se t(V)f; P B + B Q ,n I-' I-: se t (V) € R A + A P, H numero 3 se t(v)E Q C + .J"-: IJ R. Bastera oru provare, e 1m;, faremo nel n.3, che esiste almeno un ~k cui 6 associata la terna, non ordinata, (1,2,3), perIag- giungere l'assurdo. 20 a.Scorza Dragoni - 3- Infatti, se un tale triangolo, ~K' esiste, la sua immagine t( 1-1 P B 11 ) t- dovra avere un vertice su g~ + ~P, uno su K t-1 I- + B Q ed uno su Q C + C R , quindi dovra avere un diametro che non scende aldisotto di un certo d> O. E cia contrasta col fatto che ess-.do t continua il diametro di ogni t ( 1i'",) si puo rendere arbi trariamente piccolo pur di supporre p abba stanza grande. Rasta dunque da provare l'esistenza del ~(associato alla terna (1,2,3). 3. 11 lemma di Sporner. L' esistenza di 1:;'1< Sperner" [4] e assicurata dal cosi detto "lemma di ; nel cas~ unidimensionale e una proposizione ov- via che ha il seguente enunciato: Lemma 1. Nato un sew~ento parti. si associ il numero AB ed una sua qualungue divisione in al punto A. i1 numero 2 al punto B (0 viceversa) ed uno dei due nv~eri 1.2. a ciascun punto della divisione. Allora il numero delle patti cui non ordinata, (1,2) e dispari. e associata la coppia, Vale a dire essiste rumeno una tale parle. Hel caso bidimensionale, che e quello che a hoi serve, il lemma di Sperner si enuncia: Lemma 2. Dato un triangolo kBC dividi~olo in triangoli ~1come (-si e f~tto nel n.2 e numeriamo i vertici V dei ~K afisociando ad Ail numero 1, a B il numero 2L a C il numero 3, ed associando a V i l numero 1 0 2 se V i= A.1h....1d..!!u.mero 2 se VEB-C.il numerc> ~ VG.. C-A. Ai vertici V interni al triangolo ABC associamo, indlfferenUDente,uno dei ire numeri 1.2.3. Allora 11 n2~0 d,,,i ~K cui e dispari. li e e _associata la terna (1,2,3) Sia infatti mk i l nur;lGro dei lati appartenenti a 't'1( ai quaassociata la coppia (1,2). Sia poi g il numero dei ~ assoi( 21 G.Scorza Dragoni - 4 - ciati alla terna (1,2,1) (1,2,2) ed 0 t quello dei alla terna (1,2,3). Avromo I"~ 2..1Yrt ':t 2, \( ~ 'L assoeiati It O-r€· Sia infine f i l nULlGrO dei 1ati avent! punt! interni ad ABC ed associati alla coppia (1,2) cd h il numero dei lati appartenenti ad AB ed associati alln st.:Jssa coppia (1,2). Avromo I'l L 1 e quind! f'rIV I< £= Ma per il lcmma 1 h = 2 1P t--fv, . 2 (f - g) + h e dis pari 0- tale sara t. 4. Estensioni del teorema.di Brouwer. Del teorema di Brouwer oull'esistenza di punti uniti s1 conoscono nUL1erose estensioni in direzioni diverse: si cfr. as es. [3]+~]. ,Qfl ' [9J, Q~J teoreIDa IIi [1~ , ed anche: (12J teorema I. Per la nostra trattazione dolla tooria delle t.p.g. ei oe- B4] , (15J corre di eonsideraro il caso in cui, ih luogo della e soddisfatta (B) t(G) ~G 180 pili debola condizionc t(G).G ammette almeno un punta interno O. L I esistenza di almeno un punto lIDi to e assicurata sotto certe ipotesi agGiuntive che ora illustreremo: le affermC!.zioni contonute in questa n,4 sono dimostrate in Sia g i l contorno di G, [9J • 'a qnello di f' = t(G). ~Ol\li ~ FIG,. :l. 22 L4 f'" G.Scorza Dragoni - 5- I punti P che si possono eongi~gere con 0 mediante una curva aemplice aperta PO aenza incontrare g ne r costi tuiscono una bi- cella J, il contorno j della quale ha punti comuni con g. Prendendo per 0 gni punta !Ii j. g il :J.a.ssimo arco o.i g che -Vi.' ...>~, ••• 10 contiene si decompone j. g in una successione di archi di g (eventualmente fini ta). Dei due archi ebe, con fo.i; "i individu~ su r uno, che indichiamo ,costituisce insieme a oj", i l eontorno di una bicella L1 non contenente 'il punta 0 e si dimostra che r = t(G)=J+L 1+L 2+••• Le ipotesi aggiwltive annuncamte prima sono quelle espresse da v. ) o (0 insieme vuoto). t ( ..,). ). (L. OJ l-V Vale aUora i l Teorema III. (cfr.~} ,teor.IV). Se valgono le ipotesi (B1)~ (B 2 ) la t ammette almeno un punto unite che appartiene a J. Per la dimostrazione, che omettiamo, ci ai riconduce, introducendo opportune trasformazioni auailiarie di Li in v~ al caao del teorema I di Brouwer. Nel n.aeguente diremo come il teorema III permette di porre i j[ondamenti per ricostruire la teoria di Brouwer sulle "traiettorie"delle t.p.g. 5. Archi di traslazione e traietterie di'una t.p.g. Una curva semplice e aperta la diremo un areo di trasla ~ zione in una data t. P.,g. t se l' immagine t ( A. ) (ehe e vvviamen- te una eurva 'semplice e aperta) e i\ han..'1o in comune solo un punto, estremo per entrambe. Non essendoei punti uniti nella t, tale estremo sara l'immagine t (P) dell' al tro estremo P di areo di traslazione (di il1llua.gine e per t-n ( A ) (n=2,3, ••. ). A. • A ) 23 Anche t -1 ( A) e un e 10 stesso sara per tn~). ) G•. Seor"a Dragoni - 6 - 11 punta P si dira QFigine dell l areo di traslazione A . L'insieme Q eostituito da un area di traslazione A e . " ) , t 2 ( I,), A '\ ), •.• , vale a dagll arch~. t ( I\. •.. , t -1 ( "'" ), t -2 ("dire l' ins i eme si dice una trai~ttoria della t. Il primo teorema (Ii Brol~ tel Teorema 1. (cfr. [2J ,teorema1; sulle traiettorie [3J e il seguen- ,~1,n.2; [4J .,teorema 4; per la dimostrazione del Gesto ved. [~) , ~ 5). Le traiettorie della t sono eurve . ~empliei e aperte • Diamo un cenna dir.;ostrativo per illustrare l'ufficio che in questa dimastrazione si pua far assumere al teorema di Brouwer generalizzato del n.4 (teorema III). ProeediarnD per assurdo e limitiamoci al caso della Fig.2, nella qual e e supposto A t 2 ( A) ';'0, rinviando per 10 studio lIllilnuto di tutti i casi a [91 ' ~ 5: ttl') eon F1'1 • .2 Sia Q la prili1a intersezlone, a partire da t 2 (P) dl t 2 ( A. ; t (Q) dovra apf"lrtenere sia a t 3 (A ) che a t ( it ); sia inoltre a 1'31'00 di estremi P,Q. 24 AJ G.Scorzo. Dragoni - 7 - r Diciamo G la bicella di contorno g = s + t( ~ ) + r, dove t 2 (P}Q di t 2 (/I.),s l'arco Qt(p) di it , Se e 10. bieella di eontorno =t(g)=t(s)+t 2 ( A )+t(r), e l'arco r '0 avremo Nel caso della Fig.2, nella quale si suppone ehe i punti di a - Q siano tutti all' esterno di r = t(G) sono r, si vede subi to ehe G e nelle eondizioni del teorema III, rispetto alla t. Dovrebbe pereio esistere almena un p=t(p), contro la proprieta 2) delle t,p.g. Se i punti di a - Q r'ossero interni a invece un punta 1mi to per la t -1 r si troverebbe • 6. Esistenza degli archi di traslazi?ne contenenti un punto o.ssegnato. Considerazioni dello stesso tipo di quelle svolte nel n. precede (cfr. [9J Teorema 2. Se A ,n,22) permettono di dimostrare i l e una c.urva semplic;c ..§...JllJ\!rta di es~remi P e t(P) e se It.. •t( It. ) CP + i\. t ( A )oot (p), ~ t(P)+t 2 (P) :'ti:-f&~ci che /I. Vale a dire, ogni punyo P e un e origine area di traslazione. di quanti si vogliono archi di traslo.zione; non solo, infatti vale il Teorema punto P 3. (cfr. ~J ,teorcoa7; e interno a 9ua.Q~..L [4J ,teorema 3; [5J ,pag.62) Ogni si.J[Q;r,l:i,g}l.Q..._a..r.chi di traslazione. Infatti, essendo p I t (p), un cerchio C ~ di cent.ro P e raggio ~ non ineontra t (C~ se e abbastanza t(~ se ~ tale che C~ cr / ~ \ piccolo, incontm grandc • .2er continui ta esiste un e la bicella ~'--"""" ( e aiJbastanza \A f~ " FIG.3 25 G.Scorza Dragoni - 8 - t(C~) hanno in comune solo pinti dei contmrni. Sia A uno di ta- li punti. (Fig.3). Una qualunque curva sempliee e aperta A estremi t- 1(A),A, passante per P e interna, salvo gli estremi, a C~ di e un area di traslazione, a norma del teor.ama 2. Di qui e da;!. teorema 1 segue anche, subito, che: P ~ tn(P) (n=o,± 1 ,±2' , ... ) 7. Il teorema fondamentale di Brouwer sulle traiettorie. Vale i l seguente Teorema 4 (cfr. [2J ,teorema 6; [9] ,~6). La curva sem'Olice e aper- ta c incontra la propria immagine t(c) se l'arco staccato ~~ I,yremi di c su una conveniente traiettoria della t contiene almeno un area di traslazione della t e costituisce __qQn insie~e c una curva semplice e chiusa. Rinviamo a [9J ' ~ 6 per la come quella del teorema 1 e baseta, dimostrazione, che sull'impiego del teorema di Bro~~ generalizzato (teorema III). 8. Equivalenza topologiea fra traiettorie e rette. a) il teorema seguente stabilisee che ogni traiet'Goria di una t.p.g. ~ topologicamente equivalente ad una retta; vale a dire esiate una trasformazione topologica che muta una traiettoria in una retta. 8i dira anche ehe una traiettoria semplice aperta. Teorema 5 (efr. (2J traiettoria " ed s teorema 2; e un [1g ,n.3) e una linea Se J? appartiene ad una sottoarco (fini to) d' che fit P nell' interno, allora la d1stanza di P da 6' -s .e cont:i,,~.M P,? si tiva, Altrimenti detto: Deserivendo una traiettoria in uno dei due versi a part ire da un suo punto P qualunque non 61 si pua avvicinare indefinitamonte ,U. La dimostrazione si PUQ dedurre in modo semplice daL 26 G.Seorza Dragoni - 9 - teorema 4 (cfr. ad es. B~ ,nI3) ~oJ ,li.5) i l b) Dal teorema 5 si deduce (Cir. Teorema 6. (efr. ~J ,t("orema 7; [4J ;teorema 3). Qualungue sia -1 2 -2 11 punto P del..1!.iano la suce~_fLsione P,t(p),t (p), t (p},t (P}, •• diverge. I . P,t(p), t punt~ -1 (p)" •• sono a ~ue a due distinti (n.6), pereio se la suecessione non fosse divergente ammetterebbe almeno un punta di aecumulazione A. Costruiamo) analogamente a quanta si e fatto nella dimostr~ zione del teorema 3, un aerohio C di centro A, avente in comune con t(C) sol tanto punti del eontorno e sia t(R) uno di questi punti. In C esiste almeno un tn(P). La spezzata Rtn(P)At(R) e un area di traslazione i1 quale genera una traiettoria e:t'!e contiene tutte le immagini. di P nelle diverse potenze di t e ehe dIal trog de passa per A, loro punto di aecumulazione. Cio contro i l teorema 5. f 14. 4- c) segue subito dal teorema 6 il f? ] Teorem?-......1 ( 1 teorema 3; &J ' teorema 10) .§.£ dei due insiemi A. e un areo di traslazioneuia~euno "'" Q"" e illimitato. Ogni = ••• +t -2, -1 '\ (" )+t (1\); Ossis, tra~.£~toria ~plic~rte (= e divisa tia ogni suo