LICEO CLASSICO “F. SCADUTO” – BAGHERIA
APPUNTI DI STORIA DELLA MATEMATICA
A CURA DEL PROF. CIRO SCIANNA
LA MATEMATICA ANTICA :
DAI BABILONESI AGLI EGIZIANI.
LA MATEMATICA GRECA CLASSICA.
1
Indice
La matematica antica: dai babilonesi agli egiziani
1.
Quando nasce la matematica?
p. 3
2.
Storia e preistoria della matematica
p. 5
3.
La storia politica della Mesopotamia
p.7
2
4.
La matematica babilonese
p.8
5.
Le operazioni aritmetiche
p.11
6.
L’algebra babilonese
p.10
7.
La geometria babilonese
8.
Le applicazioni della matematica in Mesopotamia
9.
La storia politica dell’Antico Egitto
10. Le origini della matematica egizia
p.12
p.14
p.15
p.16
3
11. La matematica egizia e le sue fonti
p.17
12. Le applicazioni egiziane della matematica
p.18
13. La matematica dell’antichità: l’eredità comune
p.20
•
p.22
Testi consultati
La creazione della matematica greca classica
1. Lo sfondo
p.23
2. Le fonti generali
p.24
4
3. Le principali scuole del periodo classico
p.24
4. La scuola ionica
p.25
5. La scuola pitagorica
p.26
6. La scuola eleatica e la scuola atomista
p.29
7. La scuola sofistica
p.31
8. La scuola platonica
p.34
9. La scuola di Eudosso
p.36
5
10. L’astronomia eudossiana
p.38
11. La scuola aristotelica
p.40
La matematica greca ellenistica
1. Il periodo aureo della matematica greca
p.43
•
p.45
Testi consultati
LA MATEMATICA ANTICA: DAI BABILONESI AGLI EGIZIANI
1. Quando nasce la matematica?
La matematica, se intesa come disciplina organizzata e indipendente, non esisteva prima dell’entrata
in scena dei Greci del periodo classico compreso fra il 600 e il 300 a.C.; se intesa invece
genericamente come l’impiego di numeri e figure geometriche, essa cominciò a svilupparsi migliaia
di anni prima dell’opera compiuta dai greci dell’età classica. In senso lato, il termine matematica
include il contributo di molte civiltà anteriori, tra le quali il posto più importante spetta a quella
babilonese e a quella egiziana. Presso tutte queste civiltà, la matematica non possedeva una propria
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metodologia e non era impiegata se non per fini immediatamente pratici. Essa era uno strumento,
una serie di regole semplici e tra loro non collegate che permetteva di superare i problemi della vita
di tutti i giorni: il computo del calendario, l’agricoltura, il commercio. A queste regole si giunse per
tentativi ed errori, attraverso l’esperienza e la semplice osservazione; per di più molte di esse erano
solo approssimativamente corrette. Potremmo caratterizzare la matematica di queste civiltà antiche
definendola una matematica empirica. La matematica empirica dei babilonesi e degli egiziani servì
solo come base preliminare all’opera dei greci.
Benché la cultura greca non fosse del tutto libera da influenze esterne (i greci colti viaggiavano e
studiavano in Egitto e in Babilonia), ciò che i greci crearono è tanto diverso da quello che
ereditarono quanto l’oro dall’orpello.
Perché avvenne questo ? Fu l’irreprimibile desiderio dei Greci di comprendere il mondo fisico che
li spinse a creare e ad apprezzare la matematica. Essa era una parte dell’investigazione della natura
e costituiva la chiave per la comprensione dell’universo in quanto le leggi matematiche sono
l’essenza della sua organizzazione. La matematica era, per i Greci, lo strumento per scoprire la
verità. Come tale, essi non potevano più basarsi sui risultati rozzi, empirici, limitati, confusi e
spesso approssimativi che erano stati raccolti dai loro predecessori, specialmente dagli egiziani e dai
babilonesi.
Ogni civiltà degna di questo nome ha ricercato la verità. L’uomo intelligente non può fare a meno di
cercare di capire la molteplicità dei fenomeni naturali, di risolvere il mistero della presenza
dell’uomo sulla terra, di comprendere lo scopo della vita e di interrogarsi sul destino umano. In tutte
le civiltà antiche erano i capi religiosi a rispondere a questi interrogativi, e tutti accettavano le loro
parole; l’unica eccezione è costituita dall’antica civiltà greca. I greci scoprirono, e questa fu la più
grande scoperta compiuta dall’uomo, il potere della ragione. Furono i greci dell’età classica a
rendersi conto che l’uomo è dotato di un’intelligenza, di una mente che, talvolta aiutata
dall’osservazione e dalla sperimentazione, può scoprire la verità.
Non è ancora chiaro che cosa condusse i greci a questa scoperta. Fu nella Ionia, una colonia greca
dell’Asia Minore, che per la prima volta alcuni uomini cominciarono ad applicare la ragione in
ambito umano. Molti storici hanno cercato di spiegare questo processo analizzando le condizioni
politiche e sociali: per esempio gli ionici erano molto meno condizionati da quei vincoli religiosi
che invece dominavano la cultura greca in Europa. In ogni caso abbiamo una conoscenza tanto
frammentaria della storia greca anteriore al 600 a.C. da non poter giungere ad una spiegazione
definitiva.
Col passar del tempo i greci indagarono con strumenti razionali i sistemi politici, l’etica, la
giustizia, l’istruzione e numerosa altre attività umane. Il loro contributo principale che influenzerà
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in maniera decisiva tutte le civiltà posteriori, fu di accettare la più grande sfida lanciata alla ragione:
la comprensione delle leggi naturali. Prima di dare questo contributo, sia i greci sia le altre civiltà
antiche consideravano la natura qualcosa di caotico, d’incostante e di terrificante. Gli eventi naturali
o non venivano spiegati oppure erano attribuiti alla volontà arbitraria degli dei che poteva essere
resa propizia solo con preghiere, sacrifici e altri rituali. I babilonesi e gli egiziani, le cui civiltà
erano a un livello molto alto già dal 3000 a.C., avevano notato delle periodicità nei movimenti della
luna e del sole e, pur basando su di esse i loro calendari, non vi scorsero alcun significato profondo.
I maggiori pensatori greci rifiutarono le dottrine tradizionali, le forze soprannaturali, le
superstizioni, i dogmi, e ogni altra cosa che potesse essere di ostacolo al pensiero.
Essi furono i primi a esaminare e a tentare di capire gli aspetti multiformi, misteriosi e complessi
della natura. Contrapposero le capacità della loro mente al caos di eventi apparentemente casuali
dell’universo e si assunsero il compito di illuminarli con la luce della ragione. Bandirono tanto la
mitologia quanto la credenza che gli dei governassero a loro arbitrio l’uomo e il mondo fisico.
Essi giunsero infine a elaborare la dottrina secondo cui la natura è ordinata e agisce secondo un
grandioso disegno. Tutti i fenomeni percepibili dai sensi, dai moti planetari allo stormire delle
foglie, possono essere inseriti in una struttura precisa, coerente e intellegibile; insomma la natura
segue un disegno razionale e l’uomo, sebbene non possa modificarlo, può nondimeno comprenderlo
con la mente.
L’applicazione della matematica fu il passo decisivo che fugò dai processi naturali ogni ombra di
mistero, di misticismo e di apparente caos, e li sostituì con un modello comprensibile. In ciò i greci
mostrarono un intuito fecondo e originale, pari quasi a quello che li guidò alla scoperta del potere
della ragione. L’universo segue un disegno matematico e attraverso la matematica l’uomo può
impadronirsi del segreto di tale disegno.
I greci ricercarono quindi con determinazione la verità, specialmente sulla struttura matematica
della natura. E quindi anche la matematica, con i suoi elementi fondamentali del numero e delle
figure geometriche, doveva essere un corpo di verità. Il ragionamento matematico, volto a stabilire
verità valide anche per i fenomeni fisici (per esempio per il moto degli astri), doveva condurre a
conclusioni assolutamente certe. Come potevano essere raggiunti questi obiettivi ? Come si può
ricercare la verità, assicurandosi nello stesso tempo che ciò che si è trovato sia vero ? Anche per
questo i greci idearono un progetto risolutivo. Tale progetto si sviluppò gradatamente nel periodo
che va dal 600 al 300 a.C., culminando nella formalizzazione del cosiddetto metodo assiomaticodeduttivo da parte di Euclide.
2. Storia e preistoria della matematica
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La prima forma di matematica utilizzata dall’uomo primitivo era quella legata al conteggio.
Nel 1937, in Cecoslovacchia, sono state rinvenute delle lunghe ossa di lupo con tacche incise,
databili attorno al 30.000 a.C., nelle quali è chiaramente ravvisabile la traccia di un conteggio. In
esse sono riportate cinquantacinque tacche, suddivise a gruppi di cinque, e ciò sembra indicare che
il 5 sia da considerare come base di un sistema primitivo di numerazione. Intorno al 25.000 a.C. alla
rudimentale aritmetica si affiancò un’iniziale forma di geometria: in quell’epoca comparvero infatti
le incisioni di disegni geometrici primitivi.
Le civiltà primitive non andavano al di là della distinzione fra uno, due e molti; altre possedevano i
numeri interi più grandi ed erano in grado di effettuare operazioni su di essi; altre ancora giunsero a
riconoscere i numeri come concetti astratti, ad adottare speciali parole per indicare i singoli numeri,
ad introdurre dei simboli per i numeri e anche ad usare basi quali dieci, venti o cinque per denotare
unità di quantità più grandi. Si possono anche trovare le 4 operazioni dell’aritmetica, per quanto
limitate a numeri piccoli, e il concetto di frazione, ristretto tuttavia a 1/2, 1/3 e simili ed espresso a
parole. In aggiunta a ciò, vennero anche riconosciute le nozioni geometriche più semplici, quali
quelle di retta, cerchio ed angolo. E’ forse interessante notare che il concetto di angolo deve essere
sorto dall’osservazione dell’angolo formato dalle parti inferiore e superiore della gamba o del
braccio umani, perché in molte lingue la parola che indica il lato di un angolo coincide con quella
che indica il braccio o la gamba. Le applicazioni della matematica in queste civiltà primitive si
limitavano alle più semplici operazioni legate al commercio, al calcolo grossolano delle aree dei
campi, alla decorazione geometrica sulle ceramiche, al ricamo di disegni sui tessuti e alla
registrazione del tempo.
Ora, se consideriamo che le popolazioni primitive crearono i primi insediamenti costruendo
abitazioni e praticando l’agricoltura e l’allevamento del bestiame fin dal 10.000 a.C., ci si può
rendere conto di quanto lenti furono i primi passi mossi dalla matematica più elementare. Circa
cinque millenni fa, finalmente, fecero la propria comparsa le prime forme di matematica sviluppata
presso i Babilonesi e gli Egiziani.
Intorno al 3.000 a.C. può essere datata la prima testimonianza matematica scritta conosciuta: sulla
sommità dello scettro di Menes, rappresentante della prima dinastia dei Faraoni, troviamo registrate
numericamente con la scrittura a geroglifici, alcune prede di guerra. Gli Egiziani si mostrarono
pienamente in grado di rappresentare grandi quantità attraverso i numeri: 400.000 buoi, 1.422.000
capre e 120.000 prigionieri.
Nel Vicino Oriente Antico, una vasta area che comprende la Mesopotamia, l’invenzione del calcolo
precedette quella della scrittura; ciò è dimostrato dal rinvenimento, nei siti archeologici della vasta
area geografica compresa tra le coste del Mediterraneo e l’Iran orientale e tra la Turchia e Israele, di
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oggetti di forme diverse che servivano a svolgere operazioni di calcolo, i cosiddetti “contrassegni”.
I contrassegni sono piccoli oggetti d’argilla che rappresentavano unità di calcolo, come, per
esempio, una certa misura di cereali o un capo di bestiame.
Gli scavi stratigrafici e la datazione dei materiali reperiti hanno consentito d'inserire in una cornice
cronologica l'evoluzione di questo sistema di calcolo. I primi contrassegni apparvero verso l'8000,
contemporaneamente all'addomesticamento degli animali e delle piante; la loro distribuzione
geografica corrisponde a quella dei primi insediamenti sedentari in Siria e in Iraq. Sembra quindi
che la consuetudine di registrare gli oggetti dotati di un valore economico possa essere correlata alla
nascita dell'agricoltura. La necessità di tenere i conti nacque dal nuovo modo di vita basato sulla
pianificazione del raccolto e sull'immagazzinamento del cibo; i contrassegni furono inventati per
soddisfare questa necessità. Verso il 6000 essi erano già diffusi in tutto il Vicino Oriente,
rimanendo sostanzialmente immutati per due millenni. Nel periodo preistorico, tra l'8000 e il 4500,
il repertorio dei contrassegni era composto da forme semplici e includeva poche forme geometriche,
in particolare coni, sfere, cilindri, tetraedri e ovoidi; la superficie dei manufatti era in generale priva
di segni incisi. Questi primi contrassegni semplici rappresentavano prodotti della terra e
dell'allevamento, vale a dire, quantità di cereali e capi di bestiame.
I vari sistemi per denotare i numeri nella scrittura cuneiforme, che vide la luce intorno al 3.300 a.C.,
si possono interpretare proprio come una continuazione diretta dei contrassegni.
I testi cuneiformi trovati nell’area templare dell’Eanna, nella città di Uruk, risalenti al 3.200 circa
facevano uso di una famiglia accuratamente elaborata di sistemi numerici interrelati: un sistema
sessagesimale e uno bisessagesimale (cioè 60x60) di numeri per contare, un sistema di numeri per
misurare capacità, uno per misurare aree e uno per misurare il tempo.
La complessità della famiglia di sistemi numerici, e la complessità di numerosi tipi di testi
amministrativi risalenti al periodo dei primi documenti scritti, rendono evidente che già 5.200 anni
fa l’insegnamento della numerazione deve aver svolto un ruolo importante nelle scuole scribali
mesopotamiche. Come mostrano i testi che ci sono pervenuti, il curriculum scolastico degli scriba
nel primo periodo della scrittura doveva comprendere gli elementi fondamentali dell’aritmetica,
semplici calcoli di aree, divisioni e la risoluzione di alcuni sistemi di equazioni lineari. E’ questo
l’inizio della tradizione matematica in Mesopotamia.
Proprio in considerazione della prima presenza di una scrittura matematica, cominceremo il nostro
viaggio attraverso la storia della matematica, dall’esame dell’aritmetica e della geometria che
fiorirono nelle civiltà dell’Antico Egitto e dell’Antica Mesopotamia.
3. La storia politica della Mesopotamia
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I Babilonesi furono i primi, insieme agli Egiziani, a portare un contributo al corso principale della
matematica.
Il termine “babilonese” copre una serie di popolazioni che, contemporaneamente o successivamente
occuparono l’area situata fra i fiumi Tigri ed Eufrate e nelle loro vicinanze; questa regione è conosciuta come Mesopotamia e fa ora parte del moderno Iraq.
Queste popolazioni vivevano in città indipendenti quali Babilonia, Ur, Nippur, Susa, Assur, Uruk,
Lagash, Kish e altre. Intorno al 4000 a.C. i Sumeri, popolazione di razza diversa dai Semiti e dagli
Indoeuropei, si insediarono in una parte della Mesopotamia. La loro capitale era Ur e la parte dei
territori che essi controllavano venne chiamata Sumeria. Sebbene la loro cultura raggiungesse il suo
culmine intorno al 2250 a.C., già prima, nel 2500 a.C. circa, i Sumeri vennero sottomessi
politicamente dagli Accadi, una popolazione semitica la cui città principale era Accad e che era
allora guidata dal sovrano Sargon. La civiltà sumera fu sopraffatta da quella accadica. Un periodo di
alto livello culturale si ebbe durante il regno del re Hammurabi (1700 a.C. circa), che è noto per
essere stato il promulgatore di un famoso codice di leggi.
Intorno al 1000 a.C. le migrazioni e l’introduzione del ferro provocarono ulteriori cambiamenti.
Successivamente, nell’Ottavo secolo a.C., la regione cadde sotto il dominio degli Assiri, che si
stabilirono principalmente nella regione del Tigri superiore. Per quanto ne sappiamo, essi non
aggiunsero nulla di nuovo alla cultura già esistente.
Un secolo dopo l’impero assiro venne spartito tra i Caldei e i Medi, i quali ultimi erano assai vicini
ai Persiani che stavano più a est. Questo periodo della storia mesopotamica (VII secolo a.C.) viene
spesso citato come periodo caldeo. Il Vicino Oriente venne conquistato dai Persiani guidati da Ciro
intorno al 540 a.C. I matematici persiani, quali Nabu-rimanni (c.490 a.C.) e Kidim (c.480 a.C.),
divennero così noti ai Greci.
Nel 330 a.C. Alessandro Magno conquistò la Mesopotamia. Il periodo che va dal 300 a.C. alla
nascita di Cristo viene detto “seleucidico”, dal nome del generale greco Seleuco che s’impadronì
per primo del controllo della regione dopo la morte di Alessandro avvenuta nel 323 a.C.
Tuttavia la fioritura della matematica greca aveva già avuto luogo e dall’epoca di Alessandro
Magno fino al VII secolo d.C., quando entrarono in scena gli Arabi, l’influenza greca fu
predominante in tutto il Vicino Oriente. La maggior parte dei contributi apportati dai babilonesi alla
matematica appartengono all’epoca che precede il periodo seleucidico. Nonostante i numerosi
cambiamenti di dominazione succedutisi in Mesopotamia, vi fu, per quel che riguarda la
Matematica, una continuità di cultura, tradizioni e pratica dai periodi più antichi fino almeno
all’epoca di Alessandro Magno.
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4. La matematica babilonese
Le nostre principali informazioni concernenti la civiltà e la matematica babilonesi sia antiche sia più
recenti provengono dai testi scritti su tavolette di argilla. Queste tavolette venivano incise quando
l’argilla era ancora morbida ed erano poi sottoposte a cottura. Per questo motivo quelle che sono
sopravvissute alla distruzione sono in buono stato di conservazione. Esse risalgono principalmente a
due periodi: quello intorno al 2000 a.C. e, in numero maggiore, quello che va dal 600 a.C. al 300
d.C. Le tavolette più antiche sono le più importanti per la storia della matematica. La lingua e la
scrittura delle tavolette più antiche sono quelle accadiche, appartenenti al gruppo semitico, che
avevano soppiantato la lingua e la scrittura antecedenti dei Sumeri. Le parole della lingua akkadica
erano costituite da una o più sillabe e ogni sillaba era rappresentata da un insieme di segmenti
rettilinei. Gli Accadi usavano uno stilo a sezione triangolare che veniva appoggiato con una certa
angolazione sull’argilla e produceva incisioni a forma di cuneo che potevano essere orientate in
modo diversi. Per tale motivo questo tipo di scrittura è diventato noto con il nome di
scrittura
cuneiforme .
La ricerca sulla matematica mesopotamica conobbe il suo periodo pionieristico a partire dalla
seconda metà dell’800, quando cominciarono a essere comprese la metrologia e le notazioni
numeriche usate nei testi amministrativi cuneiformi. Tra il 1916 e il 1945 si ebbe un rapido aumento
di testi matematici cuneiformi provenienti dai musei del Vecchio e Nuovo Mondo, individuati e
pubblicati (anche se, spesso ritrovati nel corso di scavi non autorizzati, non avevano una
provenienza nota), dei quali cominciò a essere compresa la difficile e particolare terminologia. A
partire dagli anni settanta del novecento si è avuta una ripresa di questi studi, che si sono allargati ai
testi matematici e metro-matematici del III millennio, sono state rimesse in questione traduzioni e
interpretazioni consolidate dei testi già pubblicati, e sono apparsi i primi studi generali sull’intero
corpus dei testi matematici mesopotamici.
L’aritmetica più progredita della civiltà babilonese è quella akkadica. I numeri interi venivano
scritti nel modo seguente:
Due fattori sembrano aver favorito uno sviluppo sorprendentemente rapido della matematica nel
periodo compreso tra il 1.900 e il 1.600 (periodo paleobabilonese). Innanzitutto l’invenzione di un
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sistema di notazione posizionale per il sistema di numerazione sessagesimale, nel quale uno stesso
simbolo ha diverso valore se scritto prima di altri, avvenuta probabilmente intorno al 2.500.
Importante fu anche un mutamento nel clima culturale, cioè il passaggio da uno Stato centralizzato
e da una burocrazia onnipresente e presumibilmente caratterizzata, per quanto attiene all’insegnamento delle tecniche di calcolo, da un approccio meramente utilitaristico, a una burocrazia
meno onnipresente e più aperta alle istanze individuali.
5. Le operazioni aritmetiche e le tavole matematiche e metrologiche
Nel sistema babilonese i simboli che denotavano 1 e 10 erano fondamentali. I numeri da 1 a 59
venivano formati combinando fra loro un numero maggiore o minore di questi simboli. I processi di
addizione e sottrazione consistevano perciò semplicemente nell’aggiungere o togliere simboli. Per
indicare l’addizione i Babilonesi accostavano i numeri l’uno all’altro come
La sottrazione veniva spesso indicata con il simbolo
. Così,
, che significa 16.
significa 40 – 3. Nei testi
astronomici di un periodo successivo compare la parola “tab”, che significa “addizione”. Veniva
anche effettuata la moltiplicazione di interi e le divisioni tra numeri interi. Poiché dividere per un
intero n è la stessa cosa che moltiplicare per il suo inverso 1/n, venivano usate in questo contesto le
frazioni. I Babilonesi convertivano i reciproci 1/n in frazioni sessagesimali non usando però simboli
speciali per le frazioni. Le frazioni sessagesimali, cioè numeri minori di uno espressi mediante gli
inversi delle potenze di 60, ma con denominatori sottintesi, continuarono ad essere usate dai greci
Ipparco e Tolomeo e poi nel Rinascimento e fino al XVI secolo, quando furono sostituite dai
decimali in base 10.
L’inizio dell’uso del sistema di notazione posizionale per i numeri sessagesimali è strettamente
legato alla compilazione delle prime tavole cuneiformi matematiche e metrologiche, le quali a loro
volta si rivelarono uno strumento di fondamentale importanza per risolvere i problemi relativi alla
misurazione, facilitando i calcoli relativi.
I tipi più comuni di tavole matematiche sono le tavole di moltiplicazione, le tavole di quadrati o di
radici quadrate e le tavole di reciproci o inversi. In queste tavole si trovano soltanto numeri
sessagesimali, scritti in notazione posizionale.
Le tavole metrologiche, invece, elencano le notazioni tradizionali, in ordine crescente, per un
assortimento scelto di numeri che rappresentano misure appartenenti a uno dei sistemi di capacità,
di metallo, di area, di lunghezza: per ognuna delle misure selezionate la tavola metrologica indica
anche il suo valore come multiplo sessagesimale di una certa unità di base.
6. L’algebra babilonese
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Distinti dai testi che contengono le tavole e che forniscono molte informazioni sul sistema numerico
babilonese e sulle operazioni con i numeri sono i testi che trattano problemi algebrici e geometrici.
Il più antico documento di probabile significato algebrico, anche se la sua interpretazione ha
suscitato varie polemiche, risale ad una civiltà riportata alla luce nel 1975 da una spedizione
italiana: la civiltà di Ebla, città dell’attuale Siria.
La tavoletta scritta in cuneiforme, trovata negli scavi di Ebla, fa parte del cosiddetto “archivio
reale”, ricco di circa 20.000 tavolette risalenti al 2.500 a.C. circa. La tavoletta in questione è stata
decifrata da Giovanni Pettinato ed interpretata dal matematico Tullio Viola e dalla sua allieva
Isabella Vino. Essa è stata redatta da un certo Jsma-Ja (che potremmo considerare il nome del primo
matematico a noi noto), scriba di Kish, città sumera della Mesopotamia. Alla fine della tavoletta
(parte sinistra), prima del nome (o della firma) del “professore-scriba”, si trova scritto
come ad indicare un vero e proprio esercizio assegnato agli studenti di Ebla.
Secondo la traduzione più attendibile, viene in sostanza richiesto per quale numero deve essere
moltiplicata la base 60 della numerazione sumera per ottenere i vari numeri presentati; cioè la
tavoletta presenta le seguenti equazioni:
……………..
La circostanza che sia stato uno studioso di un’altra città a redigere la tavoletta, consente di
accentuare il carattere algebrico della tavoletta poiché probabilmente si trattava di una esercitazione
volta ad insegnare agli studenti di Ebla ad esprimere in numerologia sumerica alcuni numeri
significativi. Infatti, tutto il problema è basato su un sistema di scrittura sessagesimale proprio della
Mesopotamia sumerica, mentre il sistema vigente ad Ebla era quello decimale, sicché gli studenti,
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oltre a risolvere il problema puramente matematico, lo dovevano pensare e scrivere secondo un
sistema di scrittura a loro non congeniale.
Possiamo anche pensare che i sumeri mostrassero agli eblaiti la maggiore praticità del loro modo di
scrivere i numeri in una forma sostanzialmente posizionale che rappresenta, per il più importante
studioso di matematica antica Otto Neugebauer (1899-1990),
Un problema fondamentale dell’algebra babilonese più antica chiede di trovare un numero che,
aggiunto al suo reciproco, fornisca un numero dato. In notazione moderna, i Babilonesi cercavano
e
tale che
,
Queste due equazioni sono equivalenti a un’equazione quadratica in x, e precisamente:
Essi formavano
, poi
ed infine
,
che forniscono la risposta cercata. In effetti i Babilonesi conoscevano la formula per la risoluzione
delle equazioni di 2° grado. Altri problemi, come quello di trovare due numeri aventi somma e
prodotto assegnati, venivano ricondotti al problema precedente.
E’ ormai opinione comune, in seguito ai notevoli studi di Otto Neugebauer e di altri studiosi che
hanno consentito di avere traduzioni sicure di molte tavolette con incisi numerosi problemi
(dell’ordine delle centinaia), che i contenuti delle tavolette babilonesi,(1900-1.600 a.C. circa), si
trovassero già ad un notevole livello algebrico.
L’algebricità dei problemi babilonesi si ricavava principalmente dalla circostanza che poteva
accadere di trovare la somma di un’area con una lunghezza; l’incongruità di una tale operazione
fece infatti dedurre che allorché si parlava di sommare “un quadrato con un lato” in realtà si
usavano nomi geometrici intesi soltanto come numeri, distaccati da un originale significato
geometrico, così come oggi si somma “un cubo con un quadrato”
senza pensare alle
figure geometriche da cui provenivano i nomi usati. Ma questo svincolo mutava l’esercizio
7. La geometria babilonese
La geometria come noi la conosciamo ha avuto origine in Mesopotamia, sviluppandosi
gradualmente nel corso di tre millenni e più. Un'affermazione così decisa è sostenuta da un'analisi
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precisa di quali risultati siano dovuti ai “geometri” della Mesopotamia (che erano poi scribi o
insegnanti), a quali concetti geometrici abbiano dato vita e in che senso ciò che facevano merita di
essere chiamato geometria.
A quanto sembra, i primi oggetti geometrici, già nel periodo degli esordi della scrittura o anche
prima, furono campi di forma rettangolare o quasi, la cui superficie era misurata in termini di unità
d'area. L'idea di misura dell'area nacque in modo naturale in una società agricola come era quella
della Mesopotamia: si trattava di una grandezza che poteva essere calcolata come la lunghezza del
solco prodotto dall'aratro moltiplicata per il numero dei solchi e per la distanza costante tra i solchi.
È significativo il fatto che ancora nel periodo babilonese, (1900-1.600 circa), nei testi matematici i
rettangoli misuravano di solito 30 corde (una corda era circa 60 m) per 20 corde, cioè la grandezza
di un campo il cui prodotto era sufficiente a nutrire una famiglia.
Mezzo millennio più tardi il quadrato fece il suo ingresso nei testi matematici paleosumerici (29002370). L'idea di quadrato può essere di origine metrologica, perché le unità di misura più piccole
per le aree nel sistema sumerico erano le unità di “giardino”, l'area di un quadrato di lato 1 pertica
(6m circa), e l'unità di “diga (di terra)”, l'area di un quadrato di lato 1 corda.
Nel periodo paleosumerico compaiono anche per la prima volta i cerchi, in un disegno su una
tavoletta d'argilla (rinvenuta all’inizio del XX secolo nella città sumerica di Shuruppak) che mostra
quattro cerchi inscritti in un quadrato. L'idea di cerchio doveva nascere naturalmente come
immagine della Luna, o del Sole, o come il segno numerico D del contrassegno di argilla per
misurare quantità di orzo e di altri cereali.
Doveva poi essere noto da molto tempo che l'area del triangolo è la metà dell'area del rettangolo
avente la stessa base e la stessa altezza; non abbiamo però testi che ci permettano di verificare
questa ipotesi. Sono state inoltre trovate un paio di tavolette neosumeriche (2.200-2.000) con mappe
di campi, nelle quali un campo di forma irregolare è suddiviso in settori rettangolari, trapezoidali e
triangolari, e l'area totale è determinata come somma delle aree di questi. Un’altra tavoletta
dell’epoca paleoaccadica (2.600-2.350) che riporta il disegno di un trapezio equidecomposto è
notevole non soltanto perché si tratta del più antico testo che riguarda trapezi decomposti, ma anche
perché è il più antico testo matematico in cui è considerata una figura troppo piccola per
rappresentare un vero campo coltivato: si tratta infatti di un trapezio di area uguale a 1 pertica
quadrata.
Il concetto generale di angolo era sconosciuto nella geometria babilonese, o comunque tenuto in
scarsa considerazione, secondo quanto risulta dai documenti conosciuti. D'altra parte, almeno nel
caso tridimensionale, la pendenza uniforme dei lati di un canale, di un muro o di una piramide era
regolarmente espressa dalla variazione orizzontale corrispondente allo spostamento verticale di
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un'unità di lunghezza. Inoltre, anche in assenza di un concetto generale di angolo, il concetto di
triangoli simili era ben chiaro ed era utilizzato in molte situazioni. È molto importante osservare che
le tavole babilonesi di costanti per figure geometriche usano in modo essenziale i concetti gemelli
di similitudine 'lineare' e 'quadratica', ossia il fatto che, in figure simili di qualunque tipo, lunghezze
corrispondenti sono proporzionali e le aree sono proporzionali ai quadrati di queste lunghezze.
Inoltre, in una società nella quale i mattoni costituivano il principale materiale da costruzione,
doveva risultare ovvio che i volumi di solidi simili sono proporzionali ai cubi delle altezze.
Il concetto di figura inscritta in un'altra era noto, come pure quello di linea tangente, retta o curva.
Fin dagli inizi nel periodo degli esordi della scrittura alla fine del IV millennio, e per tutta la sua
storia, la matematica mesopotamica sembra orientata verso le applicazioni; essa aveva lo scopo di
insegnare a futuri scribi e amministratori come trattare in modo efficace e corretto calcoli
complicati con numeri e misure espresse in tutti i diversi sistemi cuneiformi di notazione. A quanto
pare, la geometria non era studiata per sé stessa, ma soltanto perché era una fonte di problemi
interessanti che sollecitavano l'intuizione visiva. Non c'è traccia di impostazione assiomatica nella
geometria babilonese; non sono mai dati né definizioni né assiomi, e né enunciati o dimostrati
teoremi. Vi sono tuttavia molte indicazioni che mostrano come la matematica, e in particolare la
geometria, fossero insegnate in modo metodico nelle scuole paleobabilonesi.
8. Le applicazioni della matematica in Mesopotamia
I Babilonesi usavano la loro conoscenza dell’aritmetica e dell’algebra elementare per esprimere
lunghezze e pesi, per scambiare manufatti, per computare interessi semplici e composti, per
calcolare tasse e per dividere le quote di un raccolto fra il contadino, la Chiesa e lo Stato. La
divisione dei campi e delle eredità conduceva a problemi algebrici. Non esiste possibilità di dubbio
circa l’influenza dell’economia sullo sviluppo dell’aritmetica nel periodo più antico.
Canali, argini ed altri progetti d’irrigazione richiedevano calcoli. L’uso di mattoni sollevava
numerosi problemi numerici e geometrici. Dovevano essere determinati i volumi dei granai e degli
edifici e le aree dei campi. La stretta connessione fra la matematica babilonese e i problemi pratici è
esemplificata dal seguente problema.
Si doveva scavare un canale la cui sezione era un trapezoide e le cui dimensioni erano note. Pure
noti erano quanto un uomo poteva scavare in una giornata e la somma del numero degli uomini
impiegati e delle giornate da essi lavorate. Il problema consisteva nel calcolare il numero degli
uomini e il numero delle giornate di lavoro.
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Poiché la connessione fra matematica e astronomia è diventata fondamentale dal tempo dei Greci in
poi, metteremo in rilievo le conoscenze e i risultati astronomici babilonesi. Nulla è noto dell’astronomia sumerica e l’astronomia del periodo accadico era rozza e puramente qualitativa; lo sviluppo
della matematica precedette lo sviluppo dell’astronomia.
Nel periodo assiro (intorno al 700 a.C.), l’astronomia incominciò ad includere la descrizione
matematica dei fenomeni e la compilazione sistematica dei dati delle osservazioni. L’uso della
matematica si estese negli ultimi tre secoli prima di Cristo e fu applicato specialmente allo studio
dei moti lunari e planetari. La maggior parte dei testi astronomici risalgono a questo periodo
seleucidico. Essi si ripartiscono in due gruppi, testi procedurali ed effemeridi, cioè tavole delle
posizioni dei corpi celesti nei vari momenti.
L’astronomia serviva a molti scopi, ma essa era principalmente necessaria per tenere un calendario,
che è determinato dalle posizioni del Sole, della Luna e delle stelle. L’anno, il mese e il giorno sono
quantità astronomiche che dovevano essere determinate accuratamente per conoscere i periodi delle
semine e le festività religiose. A Babilonia, in parte per la connessione del calendario con le
festività religiose e in parte perché i corpi celesti erano ritenuti dèi, il calendario era tenuto dai
sacerdoti. Il calendario era lunario, cioè segnava le fasi della Luna. Fu usato dagli ebrei, dai greci e
dai romani fino al 45 a.C., quando venne adottato il calendario giuliano.
9. La storia politica dell’Antico Egitto
Nel mondo ellenistico, l'Egitto era considerato la culla della scienza. Nel I sec. a.C. Diodoro Siculo
scriveva, nel primo libro della sua Bibliotheca (I, 69), che gli Egizi sarebbero stati gli inventori non
soltanto della scrittura, ma anche della geometria. Quattro secoli prima, Erodoto, il padre della
storiografia, aveva visitato l'Egitto e aveva riferito (Historiae, II, 109) che sotto il re Sesostri per
assicurare le imposte statali l'intero paese era stato lottizzato e che, dopo ogni straripamento del
Nilo, i terreni, a causa dei cambiamenti subiti, erano subito rimisurati; in questo modo, secondo la
sua opinione, era stata scoperta l'arte dell'agrimensura.
Mentre la Mesopotamia sperimentò molti cambiamenti nelle popolazioni che la governarono, la
civiltà egiziana si sviluppò senza essere toccata da influenze straniere. Le origini di questa civiltà
sono sconosciute, ma essa esisteva già prima del 4000 a.C. L’Egitto, come dice Erodoto, è un dono
del Nilo. Questo fiume, che scorre da sud a nord, una volta all’anno allaga tutto il territorio che
circonda le sue rive e lascia dietro di sé un limo fertilissimo. La maggior parte della popolazione
traeva e trae il suo sostentamento coltivando questo limo. Il resto del paese è desertico.
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Vi erano due regni, uno nella parte settentrionale e uno in quella meridionale dell’odierno Egitto. In
un certo periodo compreso fra il 3500 e il 3000 a.C. il faraone Mena o Menes, unificò l’Alto e il
Basso Egitto. Da allora in poi i periodi principali della storia egiziana vengono ripartiti secondo le
dinastie regnanti; Menes è considerato il fondatore della prima dinastia. Il periodo di maggiore
splendore della cultura egiziana venne raggiunto durante la terza dinastia (2500 a.C. circa), lo stesso
periodo in cui i faraoni costruirono le piramidi. La civiltà egiziana continuò la sua strada fino a
quando Alessandro Magno conquistò l’Egitto nel 332 a.C.
Dopo di allora, e fino al 600 d.C. circa, la sua storia e la sua matematica fanno parte della civiltà
greca.
Gli antichi egiziani crearono dei sistemi di scrittura originali. Il primo di essi, i geroglifici, era un
sistema pittografico, cioè ogni simbolo rappresentava un oggetto. I geroglifici furono usati nei
monumenti fino all’inizio dell’era cristiana. A partire dal 2500 a.C. circa, gli Egiziani usarono per
gli scopi quotidiani quella che viene detta scrittura ieratica. Il sistema usava dei simboli
convenzionali, che all’inizio erano semplicemente delle semplificazioni dei geroglifici. La scrittura
ieratica è sillabica: ogni sillaba è rappresentata da un ideogramma e una parola intera è una
collezione di ideogrammi. Il significato della parola non è legato ai singoli ideogrammi.
A partire dal VII secolo a.C. dalla scrittura ieratica si sviluppa, a seguito di un’ulteriore limatura dei
segni grafici, una terza scrittura, la scrittura demotica, che nell’epoca tolemaica e romana era la
scrittura ordinaria della vita quotidiana. La scrittura veniva tracciata mediante inchiostro su fogli di
papiro, che venivano prodotti pressando e tagliando il midollo della pianta omonima. Poiché il
papiro secca e si sbriciola, ci sono rimasti pochissimi documenti dell’antico Egitto, se si eccettuano
le iscrizioni geroglifiche scolpite sulla pietra.
10. Le origini della matematica egizia
L'Egitto è una delle aree del mondo antico in cui si sono riscontrati i primissimi segni di esistenza
della matematica, o meglio, di una tecnica di calcolo. Gli albori si perdono nell'oscurità dell'epoca
predinastica, precedente la scrittura, quando nella Valle del Nilo l'agricoltura era diventata un importante sistema economico, si erano sviluppati dei comuni rurali ed erano nati dei centri politici,
quali le antiche circoscrizioni (nomoí). A capo di questi territori, i più antichi documentabili alla
fine del IV millennio, erano posti i sovrani e i principi, con le loro corti di funzionari religiosi e
laici. Essi riscuotevano le imposte dai villaggi, che garantivano la celebrazione dei riti rivolti agli
dèi, il mantenimento della corte e l'organizzazione di lavori di interesse collettivo, come la
costruzione di templi e di argini, o l'espletamento delle funzioni difensive.
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A questo periodo risale la formazione di centri abitati nei quali risiedevano i sovrani e la loro corte,
che possono essere considerati una forma antica di capitali.
Un esempio documentato archeologicamente è l'insediamento di Ieraconpoli, situato 780 km ca. a
sud del Cairo: su un'area di 2,5 km2 si trovavano vasti spazi urbani formati da abitazioni
rettangolari, l'area templare, quella palatina e diversi cimiteri.
A partire dal 3300 ca. in poi può essere ricostruita la storia di queste aree, che continua anche in
epoca dinastica sino all'inizio del III millennio. Per gli abitanti della Valle del Nilo la costruzione
delle tombe regali (le più antiche delle quali sono state scoperte ad Abido, 550 km ca. a sud del
Cairo, e a Saqqara) è stata una notevole impresa collettiva, basata su concezioni religiose. Per
realizzare queste gigantesche costruzioni, fatte di mattoni ricavati dai sedimenti del Nilo, di legno e
di canne, era indispensabile l'impegno collettivo di grandi masse di uomini. Il personale necessario
proveniva dai villaggi, come per una sorta di leva al servizio della collettività, personificata dal
sovrano, il quale fungeva da mediatore tra il mondo degli uomini e quello degli dèi.
La precisa costruzione ad angolo retto dei primi templi, dei palazzi e delle tombe regali mostra che
si era in grado di misurare con precisione i terreni fabbricabili e di determinare gli assi degli edifici
in base a un orientamento stabilito. Dovevano quindi essere noti i tratti caratteristici del’agrimensura, dalla quale è nata la geometria. Inoltre, la raccolta dei tributi in natura nei diversi villaggi,
sotto forma di alimenti per la corte e per le maestranze, oppure di materiali edili,
l'immagazzinamento e la distribuzione di questi beni, ma anche l'organizzazione degli uomini
nell'attività edile, presuppongono la disponibilità di una forma primitiva di tecniche di calcolo. È
dunque in questo contesto che deve essere rintracciata l'origine dell'aritmetica. Partendo da questa
constatazione, Diodoro Siculo (Bibliotheca, I, 81) racconta che i sacerdoti egizi, i detentori del
sapere, avrebbero impiegato l'aritmetica solo per scopi pratici e come sussidio per la geometria.
11. La matematica egizia e le sue fonti
In Egitto, a partire da 3.000 a.C., si sviluppò una notevole competenza in matematica, competenza
riservata alle caste più potenti, i sacerdoti e gli scribi.
Le fonti considerate più autentiche ed autorevoli per queste ricerche sono costituite da alcuni famosi
papiri e rotoli; se ne sente sempre parlare e perciò vale la pena dedicare qualche riga a quelli più
noti.
Il più citato documento dell’antico Egitto è certo il cosiddetto papiro Rhind; esso fu rintracciato nel
1858 dall’antiquario scozzese Alexander Henry Rhind (1833-1863) a Luxor (l’antica Tebe).
Il papiro si trova in eccezionale stato di conservazione, è lungo 550 cm ed alto 33. Dalla morte di
Rhind si trova esposto nella III sala egizia nel British Museum di Londra. Il papiro è datato 1650
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a.C., firmato dallo scriba Ahmes; si tratta però di una copia di un papiro scritto circa 2 secoli prima,
come dichiara lo stesso scriba. Contiene, tra l’altro, 87 problemi di matematica. E’ interessante
conoscere il titolo di questo papiro che si trova proprio al suo inizio:
Anche il cosiddetto papiro di cuoio o rotolo di pelle fu comprato da Rhind ed è conservato nello
stesso museo; secondo molti studiosi è ancora più antico del precedente, dato che è noto che
l’abitudine di scrivere sul papiro sostituì quella di scrivere sulla pelle, troppo costosa e deperibile.
Per questo si considera che esso consenta di analizzare conoscenze precedenti degli Egizi sulla
matematica.
Altro famoso documento storico della matematica egizia è il cosiddetto papiro di Mosca, acquistato
da W. Golemischaff a Luxor e conservato ora nel Museo delle Belle Arti di Mosca. Le sue
dimensioni curiose sono di 560 cm di lunghezza per 8 cm di altezza. Anche in questo caso si tratta
di una ricopiatura di un testo precedente, pare contemporaneo a quello di Rhind, in base ai
contenuti.
La sua traduzione è stata completata nel secolo scorso ad opera di W.W. Struve.
Importante è anche il papiro di Berlino, sempre del 1800 a.C., conservato al Museo di Berlino, è
stato tradotto alla fine del XIX secolo.
Oltre ai detti papiri , possiamo fare affidamento su varie tavole matematiche conservate soprattutto
al Museo del Cairo.
Interessanti reperti a carattere matematico si trovano anche al Museo Egizio di Torino.
Tutti questi documenti non sono altro che raccolte di problemi relativi a specifiche situazioni, nelle
quali è possibile identificare con chiarezza le procedure di calcolo utilizzate dallo scriba.
Si tratta di testi orientati verso l'esperienza pratica, che non attribuiscono alcun valore all'indagine
della legittimità delle procedure descritte. Tale modo di organizzare e di trasmettere il sapere è
caratteristico dell'Antico Egitto e si ritrova anche nell'ambito della medicina, della veterinaria e dei
testi magici; esso si ripropone ancora in testi demotici e giuridici nel III sec. a.C.
La descrizione dei casi si sviluppa secondo lo schema seguente: "qualora si presenti questo e
quest'altro problema" ‒ sono nominati esempi concreti ‒ "tu (lo scriba) devi operare così e così" ‒
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seguono concrete istruzioni di calcolo ‒ "e troverai questo e quel risultato, tu (lo) hai trovato
esattamente".
I problemi, quindi, venivano enunciati verbalmente, insieme con delle semplici regole per ottenere
le soluzioni, ma senza spiegare perché venissero usati quei metodi e perché essi funzionassero.
Nei papiri si trovano soluzioni di problemi contenenti un’incognita che sono nel complesso
paragonabili alle nostre equazioni lineari in un’incognita. Tuttavia, i procedimenti erano puramente
aritmetici e non facevano parte, secondo gli Egizi, di un capitolo distinto della matematica
concernente la soluzione delle equazioni. La limitata algebra egiziana non usava praticamente alcun
simbolismo.
E che dire della geometria egiziana ? Gli Egiziani non separavano l’aritmetica e la geometria. Nei
papiri si trovano problemi che rientrano in entrambi i campi. Come i Babilonesi, gli Egiziani
consideravano la geometria una questione pratica. Essi applicavano semplicemente l’aritmetica e
l’algebra ai problemi concernenti aree, volumi e altre situazioni geometriche. Erodoto dice che la
geometria egiziana ebbe origine dalla necessità di rideterminare annualmente i confini cancellati
dallo straripamento del Nilo. Tuttavia, i Babilonesi svilupparono altrettanta geometria senza avere
questa necessità. Gli Egiziani avevano delle ricette per determinare le aree di triangoli, rettangoli e
trapezoidi. Il loro calcolo dell’area del cerchio, sorprendentemente buono, seguiva la formula
A=(8d/9)2, dove d è il diametro. Ciò equivale a usare 3,1605 come valore di π. Non siamo certi che
gli Egiziani conoscessero il teorema di Pitagora. Sappiamo che vi erano tenditori di corda, cioè
agrimensori, ma nessun documento conferma la leggenda seconda la quale essi usavano una corda
annodata a intervalli tali da dividerne la lunghezza totale in parti che stavano fra loro nei rapporti di
3 a 4 a 5 e che potevano poi essere usate per formare un triangolo rettangolo.
12. Le applicazioni egiziane della matematica
Come a Babilonia, l’applicazione principale della matematica era l’astronomia, che risale alla prima
dinastia. Per l’egiziano il Nilo era la linfa vitale. Egli traeva il suo sostentamento coltivando il
terreno che il Nilo ricopriva di fertile limo nel corso delle sue inondazioni annuali. Tuttavia, egli
doveva essere ben preparato per evitare gli aspetti pericolosi della piena. La sua casa, le sue
masserizie e il suo bestiame dovevano essere temporaneamente spostati dall’area interessata
all’inondazione ed egli doveva essere pronto a seminare immediatamente dopo. Era quindi
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necessario predire l’arrivo dell’ondata di piena e ciò era reso possibile dalla conoscenza degli eventi
celesti che lo precedevano.
L’astronomia permise anche la compilazione di un calendario. Essi pervennero alla stima della
lunghezza dell’anno solare osservando la stella Sirio. In un certo giorno dell’estate questa stella
diveniva visibile sopra l’orizzonte proprio prima del sorgere del Sole. Nei giorni successivi essa era
visibile per un periodo più lungo prima che la luce del Sole nascente la oscurasse. Il primo giorno in
cui essa era visibile proprio prima del sorgere del Sole era noto come il sorgere eliaco di Sirio e
l’intervallo fra due di questi giorni era di circa 365 giorni; per questo motivo gli egiziani adottarono
un calendario civile di 365 giorni per anno.
La concentrazione dell’attenzione su Sirio è certamente dovuta al fatto che le acque del Nilo
cominciavano a crescere proprio in quel giorno, che venne scelto come primo giorno dell’anno.
L’anno di 365 giorni veniva diviso in 12 mesi di 30 giorni ciascuno, più 5 giorni supplementari alla
fine. Sebbene la determinazione dell’anno e il calendario egiziano fossero risultati di valore, essi
non derivavano da un’astronomia ben sviluppata. In effetti, l’astronomia egiziana era rozza e molto
inferiore a quella babilonese.
Gli egiziani combinarono le loro conoscenze astronomiche e geometriche per costruire i loro templi
in una posizione tale che in certi giorni dell’anno il Sole li colpisse in modo particolare. In effetti,
alcuni furono costruiti in modo tale che nel giorno più lungo dell’anno il Sole illuminasse
direttamente l’interno del tempio e i suoi raggi colpissero il dio posto sull’altare. Questa
orientazione dei templi può essere trovata in qualche misura anche presso i babilonesi e i greci.
Anche le piramidi furono orientate verso speciali direzioni celesti e la Sfinge è rivolta verso est. Le
piramidi rappresentano un’altra applicazione della geometria egiziana. Essi si preoccupavano molto
di dare alle basi delle piramidi la forma corretta; anche le dimensioni relative della base e
dell’altezza avevano un importante significato (legato, pare, alla sezione aurea). Non si deve però
esagerare eccessivamente la complessità o la profondità delle idee implicate. La matematica
egiziana era semplice e rozza e non vi era sottinteso nessun principio profondo, contrariamente a
quanto viene spesso asserito.
13. La matematica dell’antichità: l’eredità comune
Riesaminiamo la stato della Matematica prima dell’ingresso in scena dei Greci. Nelle civiltà
babilonese ed egiziana troviamo un’aritmetica degli interi e delle frazioni, compresa la notazione
posizionale, i primi rudimenti dell’algebra e alcune formule geometriche empiriche. Non vi era
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quasi simbolismo, né riflessione cosciente intorno all’astrazione, né alcuna formulazione di una
metodologia generale e nessun concetto di dimostrazione o anche soltanto di un argomento
plausibile che potesse convincere della correttezza di un procedimento o di una formula. In effetti,
non vi era alcuna concezione di una scienza teoretica di alcun tipo.
La matematica delle due civiltà non era una disciplina distinta, né veniva studiata di per sé. Essa era
uno strumento che si presentava sotto la forma di un insieme di semplici regole prive di connessione
fra loro, rispondenti a problemi che nascevano nella vita quotidiana della gente.
Negli ultimi due decenni del secolo scorso è stata avanzata, da alcuni storici della matematica,
l’ipotesi di un’influenza della tradizione mesopotamica sulla matematica in Egitto, in Grecia e in
Cina. Tale ipotesi si fonda su un confronto punto per punto degli argomenti trattati e dei metodi
usati nei testi matematici mesopotamici ed extramesopotamici.
I più antichi testi matematici egizi conosciuti, i papiri matematici ieratici, sono all'incirca del
periodo del Medio Regno (2000-1630), come dire coevi dei testi paleobabilonesi. Le differenze più
evidenti risiedono nell'uso della scrittura ieratica, nel sistema di numerazione (è usato quello
decimale), negli algoritmi per la moltiplicazione e la divisione e nel modo di contare con le frazioni
(si usano somme di unità frazionarie). I più ampi testi ieratici conosciuti, il papiro Rhind e i papiri
matematici di Mosca, sono però, com'è il caso per i più noti testi cuneiformi di una certa mole,
raccolte di parti di altre opere. In questi papiri sono cioè riuniti, in modo piuttosto caotico, parti di
varia lunghezza tratte da opere più strutturate. Non sono perciò manuali che contengono
un'esposizione particolareggiata della matematica egizia, né possono servire a dare un'idea precisa
della portata di questa matematica nel II millennio. Tuttavia, anche in questa prospettiva limitata vi
sono riscontri che permettono di concludere che le idee e i metodi dell'antica matematica babilonese
erano in larga misura conosciuti anche in Egitto.
Il problema 17 del papiro di Mosca, per esempio, su un triangolo avente una data area e un dato
rapporto tra i lati, può essere confrontato con un esercizio simile che si trova nel testo di una tavoletta paleobabilonese appartenete alla Collezione Babilonese dell’Università di Yale negli Stati
Uniti; o, ancora, nel problema 53 del papiro Rhind un triangolo è diviso in tre strisce parallele, e
una divisione analoga compare nella tavoletta paleobabilonese appartenente al Museo Nazionale
dell’Iraq a Baghdad.
È notevole il fatto che i problemi considerati nei papiri demotici (periodi ellenistico e romano)
coincidono largamente con problemi molto comuni della matematica babilonese: sistemi di
equazioni lineari o quadratiche; problemi del tipo 'palo contro un muro', che fanno intervenire
triangoli rettangoli; figure dentro figure; volume di una piramide; suddivisioni di trapezi in strisce
parallele; approssimazioni di radici quadrate, e così via.
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In ultimo, nei papiri matematici greci trovati in Egitto, in genere molto simili ai papiri demotici, i
problemi considerati appartengono quasi senza eccezione al repertorio dei problemi comuni della
matematica babilonese.
In conclusione, anche se non sono stati ancora scoperti testi matematici egizi del IV o del III
millennio, è ragionevole supporre che lo sviluppo delle tecniche di calcolo sia avvenuto di pari
passo in Egitto e in Mesopotamia. Possono addirittura esserci stati scambi di idee e metodi, come
suggerisce il fatto che le differenze più rilevanti tra i molti testi matematici paleobabilonesi e i pochi
papiri matematici egizi dello stesso periodo riguardano essenzialmente il ricorso a basi di numeri
differenti. Del periodo tardobabilonese (1.000-330 a.C.) ci sono pervenuti solo pochi testi, ma sono
sufficienti a dimostrare che la tradizione matematica paleobabilonese si era conservata essenzialmente intatta, subendo solo qualche variazione superficiale di stile. Un ampio testo matematico
demotico egizio del III sec. a.C. dimostra in modo piuttosto chiaro che la matematica egizia di quel
periodo aveva molto in comune con la matematica tardobabilonese, compreso il contare con
frazioni sessagesimali. I Greci, che secondo la leggenda da loro stessi tramandata avevano appreso
la geometria dagli Egizi, ebbero una notevole familiarità con gran parte della tradizione matematica
babilonese, anche se la relegavano nel ruolo ancillare di matematica pratica. Se si ammette che i
matematici greci lavorassero all'interno della tradizione mesopotamica, vengono meno alcune
difficoltà che nascono nello studio della matematica greca, come la questione delle origini oppure la
scelta degli argomenti trattati. È inoltre possibile che questa tradizione mesopotamica abbia
interagito con la matematica cinese intorno al I millennio, come suggerisce la scelta degli argomenti
e dei metodi del classico Nove capitoli, il più antico testo cinese di matematica a noi pervenuto, il
quale si può far risalire all'epoca della dinastia Han (206 a.C. - 220 d.C.). Nella forma in cui ci è
noto questo testo contiene materiale più avanzato di quanto non sia quello del corpus babilonese in
nostro possesso. Gli argomenti trattati sono però gli stessi, e il tipo di problemi e i metodi di
risoluzione si corrispondono in modo così puntuale che è ovvio supporre una notevole interazione
tra la matematica cinese e quella babilonese in qualche periodo storico. Deboli ma innegabili tracce
di quella tradizione si possono ancora trovare nell'opera di alcuni grandi matematici islamici, come
pure, in Occidente, in numerosi e ben noti testi matematici prerinascimentali.
Testi consultati
•
Storia della Scienza, Enciclopedia Treccani, Vol. I
•
Storia della Matematica, G. T. Bagni, Vol. I, Pitagora Editrice Bologna
•
Storia del pensiero matematico, M. Kline, Vol. I, Giulio Einaudi Editore
25
•
Storia dell’Algebra, S. Maracchia, Liguori Editore
LA CREAZIONE DELLA MATEMATICA GRECA CLASSICA.
1. Lo sfondo
Nella storia della civiltà i Greci occupano un posto preminente; nella storia della matematica sono
l’evento supremo. Sebbene abbiano subito l’influenza delle civiltà che li circondavano, i Greci
costruirono una civiltà e una cultura che sono le più stupefacenti fra tutte le civiltà, le più influenti
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sullo sviluppo della cultura occidentale moderna e quelle decisive per la fondazione della
matematica quale noi la concepiamo oggi. Uno dei grandi problemi della storia della civiltà è il dar
conto della brillantezza e della creatività degli antichi Greci.
Sebbene la nostra conoscenza della loro storia primitiva possa essere soggetta a correzione e ad
ampliamento con il proseguire delle ricerche archeologiche, abbiamo oggi ragione di credere, sulla
base dell’Iliade e dell’Odissea di Omero, della decifrazione delle lingue e degli scritti antichi e delle
ricerche archeologiche, che la civiltà greca risalga al 2800 a.C. I Greci si stabilirono in Asia Minore,
che potrebbe essere il loro luogo d’origine, nell’area della Grecia moderna, nell’Italia meridionale,
in Sicilia, a Creta, a Rodi, a Delo e nell’Africa settentrionale. Intorno al 775 a.C. i Greci
sostituirono i vari sistemi geroglifici di scrittura fino allora usati con l’alfabeto fenicio (che era
usato anche dagli Ebrei). Con l’adozione di un alfabeto i Greci divennero più letterati e più
facilmente in grado di registrare la loro storia e le loro idee. Non appena raggiunta una certa
stabilità interna, i Greci cominciarono a visitare l’Egitto e la Mesopotamia e a commerciare con
questi paesi. L’influenza degli Egiziani e dei Babilonesi fu quasi certamente avvertita a Mileto, città
ionica dell’Asia Minore e culla della filosofia, della matematica e della scienza greche.
Mileto era una grande e ricca città commerciale situata sulle sponde del Mediterraneo. Alle
banchine del suo porto attraccavano navi provenienti dalla Grecia, dalla Fenicia e dall’Egitto;
Babilonia era collegata attraverso le strade carovaniere che si dirigevano a est. La Ionia cadde sotto
il dominio della Persia intorno al 540 a.C., benché a Mileto venisse lasciato un certo grado
d’indipendenza. Dopo che una rivolta ionica contro i Persiani venne soffocata nel 494 a.C.,
l’importanza della Ionia incominciò a declinare. Essa divenne nuovamente greca nel 479 a.C.
quando la Grecia sconfisse l’impero persiano, ma già allora l’attività culturale si era spostata nella
Grecia continentale e aveva il suo epicentro ad Atene.
Sebbene la civiltà greca antica sia durata fino al 600 d.C., dal punto di vista della storia della
matematica è conveniente distinguere due periodi, quello classico, che va dal 600 al 300 a.C., e
quello alessandrino o ellenistico, che va dal 300 a.C. al 600 d.C.
L’adozione dell’alfabeto, già menzionata, e il fatto che il papiro sia stato introdotto in Grecia
durante il VII secolo a.C. possono essere giustificazioni sufficienti del fiorire dell’attività culturale
intorno al 600 a.C. La disponibilità di questo tipo di supporto scrittorio favorì indubbiamente la
diffusione delle idee.
2. Le fonti generali
Le fonti della nostra conoscenza della matematica greca sono stranamente meno autentiche e meno
attendibili di quelle di cui disponiamo per le molto più antiche matematiche babilonese ed egiziana,
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perché non ci è pervenuto nessun manoscritto originale dei matematici greci più importanti. Uno dei
motivi è che il papiro è deperibile; è vero che anche gli egiziani usavano il papiro, ma per un caso
fortunato alcuni dei loro documenti matematici sono sopravvissuti. Alcune opere greche sarebbero
potuto giungere fino a noi se le loro grandi biblioteche non fossero state distrutte.
Le nostre principali fonti per le opere matematiche greche sono codici bizantini scritti da 500 a
1500 anni dopo la composizione delle opere originali. Questi codici non sono riproduzioni
letterarie, ma edizioni critiche, cosicché non possiamo sapere quali cambiamenti potrebbero essere
stati introdotti dai curatori. Abbiamo anche traduzioni arabe delle opere greche e versioni latine
derivate da quelle arabe. Qui di nuovo non è possibile sapere quali cambiamenti i traduttori possono
avere apportato o quanto bene essi abbiano compreso i testi originali. Inoltre anche i testi greci usati
dagli autori bizantini e arabi erano discutibili.
Le notizie sul periodo classico della matematica greca le abbiamo da commenti agli Elementi di
Euclide, a libri di Archimede e di Apollonio. Fra questi molto notevole è il Commento di Proclo
(410-485 d.C.) al 1° libro degli Elementi di Euclide; in esso si trova un intermezzo storico, assai
ricco di notizie, che forse l’autore trasse da un’opera di maggiore mole scritta da Eudemo di Rodi,
nel 335 a.C. circa. Da quest’opera di Proclo, da altri commenti, dalle Vite di Plutarco (50-120 d.C.)
e da altri lavori storici si è potuto costruire il periodo pre-euclideo della matematica greca.
La ricostruzione della storia della matematica greca, basata sulle fonti che abbiamo descritto, è stata
un’impresa enorme e complicata. A dispetto dei grandi sforzi degli studiosi, vi sono ancora delle
lacune nella nostra conoscenza e alcune conclusioni sono discutibili. Ciò nonostante i fatti
fondamentali sono chiari.
3. Le principali scuole del periodo classico
La matematica greca classica si sviluppò in numerosi centri che si susseguirono l’un l’altro
costruendo ciascuno sull’opera dei predecessori. In ogni centro un gruppo informale di studiosi
portava avanti le sue attività sotto la guida di uno o più grandi maestri.
La prima di queste scuole, quella ionica, fu fondata da Talete a Mileto (c.624-c.546 a.C.) e che ebbe
tra i suoi allievi i filosofi Anassimandro e Anassimene. Anche Anassagora apparteneva a questa
scuola e si suppone che Pitagora abbia imparato la matematica da Talete. Pitagora fondò poi la sua
grande scuola nell’Italia meridionale. Verso la fine del VI secolo, Senofane di Colofone (Ionia)
emigrò in Sicilia e fondò una scuola a cui appartenevano i filosofi Parmenide e Zenone. Questi
ultimi risiedevano a Elea, nell’Italia meridionale, dove si era trasferita la scuola e così il gruppo
divenne noto come scuola eleatica. I Sofisti, attivi dalla seconda metà del V secolo in poi, erano
concentrati soprattutto ad Atene. Ma la scuola più celebre di tutte è l’Accademia di Platone ad
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Atene, di cui fu allievo Aristotele. L’Accademia ha avuto un’importanza senza pari per il pensiero
greco. I suoi allievi furono i più grandi filosofi, matematici e astronomi della loro epoca; la scuola
conservò la sua preminenza nella filosofia anche dopo che il ruolo di guida nella matematica passò
ad Alessandria. Eudosso, che imparò la matematica principalmente da Archita di Taranto, fondò la
propria scuola a Cizico, una città dell’Asia Minore settentrionale.
Aristotele, dopo avere lasciato l’Accademia platonica, fondò un’altra scuola ad Atene, il Liceo, che
viene comunemente detta scuola peripatetica.
4. La scuola ionica
Il capo e il fondatore di questa scuola fu Talete. Sebbene non possediamo conoscenze sicure sulla
vita e sull’opera di Talete, egli probabilmente nacque e visse a Mileto. Viaggiò a lungo e per un
certo periodo soggiornò in Egitto, dove si dedicò agli affari e imparò molte cose intorno alla
matematica egiziana. Incidentalmente, pare sia stato un astuto uomo d’affari.
Talete è ricordato specialmente per avere saputo sfruttare le proprietà dei triangoli simili. Dice
Diogene Laerzio:
«Talete ha misurato l'altezza delle piramidi mediante l'ombra, osservando il momento in cui la
nostra ombra è della stessa altezza di noi». E Plutarco nel Banchetto dei sette saggi immagina un
dialogo tra Nilosseno e Talete; Nilosseno dice a Talete, parlando del re egiziano Amasi: «Benché
egli ti ammirò anche per altre cose, pure pregia sopra tutte la misura delle piramidi, giacché tu,
senza fatica alcuna e senza ricorrere ad istrumenti, ma col solo infiggere il bastone all'estremo
dell'ombra proiettata dalla piramide hai dimostrato, servendoti dei due triangoli risultanti dai
contatti col raggio luminoso, che un'ombra ha rispetto all'altra lo stesso rapporto che l'altezza della
piramide a quella del bastone». Proclo attribuisce a Talete la conoscenza di altre proprietà, come ad
es., l'eguaglianza degli angoli opposti al vertice o degli angoli alla base di un triangolo isoscele o
che un diametro divide il cerchio in due parti eguali; ma queste proprietà sono troppo semplici e
troppo facilmente sperimentabili per dare a Talete il merito della loro scoperta. Talete è rimasto
celebre per avere predetto un'eclissi solare, sembra che sia stata quella avveratasi il 28 maggio 585;
ma è dubbio se egli avesse conoscenze profonde di astronomia; è più probabile che egli avesse
appreso tali predizioni da qualche astronomo caldeo o egiziano o da qualche effemeride usata da
quegli astronomi.
Si attribuisce a Talete l’idea che una proposizione matematica espressa con precisione si potesse
dimostrare logicamente con un ragionamento formale, innovazione che segnò la nascita del
teorema, ora pietra miliare della matematica. Con questo passaggio la matematica cesserà di essere
una raccolta di tecniche di misurazione, di conteggio e contabilità, per diventare un’area di studio
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astratto. Per i greci questo nuovo modo di affrontare la matematica culminerà nella pubblicazione
degli Elementi di Euclide, il libro più diffuso di tutti i tempi dopo la Bibbia.
Sono attribuite a Talete anche la scoperta del potere di attrazione dei magneti e quella dell’elettricità
statica.
La scuola ionica merita soltanto una breve citazione per quel che riguarda i suoi contributi alla
matematica vera e propria, ma la sua importanza per la filosofia, e in particolare per la filosofia
della scienza, è senza pari.
L’importanza della scuola declinò quando la regione fu conquistata dai Persiani.
5. La scuola pitagorica
La scuola pitagorica rappresenta un movimento di pensiero di livello scientifico molto superiore a
quello della scuola ionica. Membri eminenti di questa scuola furono Filolao e Archita. Non esistono
opere scritte dei Pitagorici e quanto sappiamo di loro proviene dagli scritti di altri autori, fra cui
Platone ed Erodoto.
Nato a Samo, un’isola situata al largo delle coste dell’Asia Minore, Pitagora abbandonò circa a
quarant’anni la propria patria per trasferirsi nella Magna Grecia, e precisamente a Crotone in
Calabria. Qui fondò una scuola che ebbe un notevole peso nella vita politica della città, essendo
legata al partito aristocratico. Era organizzata sulla base di regolamenti molto rigorosi, che, tra
l’altro, esigevano dagli scolari un lungo periodo di tirocinio prima di essere ammessi ai segreti più
profondi della setta. Su questa base si creò assai presto la divisione fra <<acusmatici>>, ascoltatori,
e <<matematici>>, partecipi degli insegnamenti più profondi. Verso la fine del sesto secolo, una
sommossa provocata dal partito democratico cacciò i pitagorici da Crotone. Pitagora riparò nella
vicina Metaponto, dove fu assassinato nel 497 a.C.
La dottrina pitagorica s’imperniava su di un pensiero fondamentale: i numeri sono il principio di
tutte le cose. << Tutte le cose che si conoscono hanno un numero; senza questo nulla sarebbe
possibile pensare, né conoscere. >>
Col termine “numeri” i pitagorici intendevano soltanto i numeri interi, concepiti come le collezioni
di più unità. Non fecero particolari indagini sulla natura di queste unità, limitandosi a rappresentarle
con punti, circondati ciascuno da uno spazio vuoto. Proprio questa rappresentazione spaziale facilitò
il passaggio dalla concezione del numero in rapporto alle cose, alla sua concezione come costituente
fisico elementare delle cose.
Il problema essenziale diventava allora, per i pitagorici, quello di cogliere il modo con cui dalla
collezione di più unità si generano tutti gli esseri. Le leggi della formazione dei numeri venivano
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considerate come leggi della formazione delle cose, e si riteneva di poter trovare in esse la vera
ragione esplicativa del mondo fisico e morale.
La più importante di tali leggi era costituita – secondo i pitagorici – dall’opposta struttura dei
numeri dispari e di quelli pari. L’antitesi dispari-pari veniva così assunta a principio di una serie di
altre nove opposizioni, che spezzano il mondo in due: limitato-illimitato; uno-molti; destra-sinistra;
maschio-femmina; luce-tenebra; buono-cattivo; immobile-mobile; retto-curvo; quadrato-rettangolo.
Tutto questo finiva con l’infondere ai numeri in generale, e a certuni di essi in particolare, un vero e
proprio valore magico-simbolico. Così il numero 5 veniva assunto a rappresentare il matrimonio,
essendo la somma del primo numero dispari, il 3, con il primo numero pari, il 2 (l’1 veniva
considerato come “parimpari” servendo a generare sia i numeri pari che i dispari); il 4 e il 9
venivano presi come simboli della giustizia; il 7 dell’opportunità; e così via.
I pitagorici classificavano i numeri a seconda delle forme che si ottenevano disponendo nei vari
modi i punti. Così, i numeri 1, 3, 6, 10 erano detti triangolari perché i corrispondenti punti potevano
essere disposti a triangolo. Al numero triangolare 10 veniva attribuita un’importanza speciale, come
somma dei primi quattro numeri naturali. I numeri 1, 4, 9, 16,… venivano chiamati numeri quadrati
perché intesi come punti potevano essere disposti in un quadrato.
Questa particolare concezione dei numeri spinse i pitagorici a studiare la geometria per via
aritmetica. Ne sorse una disciplina che, per il suo doppio carattere, fu chiamata <<aritmogeometria>>. Essa ebbe vita breve e la sua crisi fu causata dalla scoperta che le figure geometriche
sono costituite non da un numero finito, ma da una infinità di punti. Il primo <<fatto geometrico>>
che costrinse i pitagorici a riconoscere che le figure sono costituite da infiniti punti, è proprio
connesso a quel medesimo teorema che porta il nome di Pitagora. Ed infatti, applicando detto
teorema ad uno dei due triangoli isosceli in cui è diviso un quadrato, si dimostra facilmente che il
lato e la diagonale di tale quadrato non possono avere alcun sottomultiplo comune, cioè sono
incommensurabili. Orbene, proviamo a supporre che un segmento sia generato dall’accostamento di
una serie finita di punti (piccoli ma non nulli, e tutti eguali fra loro, come allora si immaginava): ne
seguirebbe che uno qualunque di questi punti risulterebbe contenuto un numero intero, e finito, di
volte (per esempio m volte) nel lato e un altro numero intero, e finito, di volte (per esempio n volte)
nella diagonale. Lato e diagonale avrebbero dunque un sottomultiplo comune, e non sarebbero –
come si era dimostrato – incommensurabili. La loro incommensurabilità esige pertanto che essi
siano costituiti da una infinità di punti.
La leggenda racconta che il fatto scandaloso, ora riferito, fu gelosamente custodito per vari anni tra i
segreti più pericolosi della setta. Esso fu rivelato fuori della scuola pitagorica da Ippaso di
Metaponto, una delle figure più notevoli dell’antico pitagorismo. Per questo fu cacciato
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ignominiosamente dalla scuola, di cui era un acusmatico, ed a lui anzi i pitagorici avrebbero eretto
una tomba come ad un morto. Secondo la tradizione su di lui sarebbe caduta anche l’ira di Giove, il
quale lo fece perire in un naufragio; la sua triste morte non impedì tuttavia che lo scandalo si
diffondesse rapidamente tra i cultori di matematica e finisse per scuotere dalle fondamenta l’intera
concezione pitagorica.
Questa crisi verrà resa ancor più acuta – come vedremo – dalla scoperta delle antinomie di Zenone
sul movimento e sulla divisibilità. Per uscire da essa, i maggiori scienziati greci non troveranno
altra via se non quella di scindere completamente la geometria dall’aritmetica, interpretando la
prima come studio del continuo e la seconda come studio del discontinuo.
La scuola pitagorica fiorì per più di un secolo, e i pitagorici fondarono anche a Taranto una scuola
filosofica e matematica. Della scuola di Taranto merita particolare menzione Archita, filosofo
insigne che ebbe la gloria di annoverare Platone fra i propri discepoli, celebrato da Orazio in una
delle sue Odi (la 28° del 1° libro), dove è detto che sia perito in un naufragio. Archita fu uno dei
primi che si occuparono del problema di Delo o della duplicazione del cubo, e la sua geniale
soluzione ci è stata tramandata da Eutocio (V-VI sec. d.C.) nel suo commento al 2° libro di
Archimede sulla sfera e sul cilindro.
Archita visse a Taranto tra la fine del V secolo e la prima metà del IV, ultima figura di statista
pitagorico che resse per lungo tempo la sua città incrementandone la prosperità e la potenza
militare, facendone la prima della Magna Grecia. Si ritiene che Archita abbia applicato la propria
dottrina matematica alla meccanica militare, e, poiché sappiamo pure che fece uso di strumenti
meccanici per risolvere problemi geometrici, si può dire che per primo (e sfortunatamente con pochi
imitatori per molto tempo) egli intuì la fecondità teorica e pratica di una relazione fra matematica e
meccanica. Profonda fu l'impressione che la personalità di Archita suscitò in Platone in occasione
del suo soggiorno a Taranto nel 389.
In campo matematico, Archita riprese il problema di Delo secondo le linee tracciate da Ippocrate di
Chio, e lo portò a soluzione mediante la rappresentazione strumentale di figure geometriche in
movimento. La soluzione di Archita è troppo complessa per essere qui riportata: da essa risulta
comunque che egli era familiare con i processi mediante cui si generano cilindri, coni e altri solidi
di rivoluzione, e che fu il primo ad usare consapevolmente il concetto di luogo geometrico. In
questo modo, Archita offriva il primo esempio di applicazione della geometria dello spazio alla
soluzione dei problemi di geometria piana, e insieme dava inizio alle ricerche che concluderanno
alla teoria delle coniche. Ma quello che va messo in maggiore rilievo, è lo spregiudicato coraggio
con il quale Archita faceva ricorso a tutti i metodi e gli strumenti che permettessero di far
progredire la ricerca.
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Particolarmente ardite furono le sue concezioni in aritmetica e in acustica: quanto alla prima egli
contribuì a sviluppare il concetto che il numero è essenzialmente un rapporto, perciò indipendente
dalle condizioni di commensurabilità e razionalità, e potè quindi tornare a rivendicare la supremazia
dell'aritmetica fra le scienze matematiche; quanto alla seconda, egli scoprì che il suono è dovuto al
movimento e all'urto dei corpi, che l'aria è un corpo atto a ricevere la vibrazione e a propagarla e
propose anche una teoria delle scale musicali.
La tradizione, che fa di Archita uno dei maestri di Eudosso, anche se dubbia, vale certamente a
simboleggiare la funzione del tarantino nel passaggio dalla matematica del V secolo alla grande
fioritura che ebbe luogo nel IV.
Da tutto quanto si è detto la conclusione che si può trarre è semplice e breve: è per opera di Pitagora
e della sua scuola che la matematica assurge veramente a maestà di scienza.
6. La scuola eleatica e la scuola atomista
Contemporanea alla scuola pitagorica fu la scuola eleata, fondata ad Elea (nell’antica Lucania, oggi
Basilicata) da Senofane di Colofone (città della Ionia). Il suo principio fondamentale era quello
dell’unità (indivisibilità )e immutabilità dell’essere, e questo principio fu sostenuto, dopo Senofane,
da Parmenide che diede grande sviluppo alle dottrine eleatiche; il principio stesso condusse alla
concezione dello spazio quale fu espressa da Anassagora di Clazomene, celebre filosofo vissuto tra
il 500 e il 428 a.C., che influenzò con le sue idee la scuola ionica e quella eleatica.
Anassagora giunge ad una concezione profonda dello spazio, precorrendo così Euclide e la moderna
geometria.
<<Lo spazio – egli dice – non soltanto è infinito nel senso che non ha termine in nessun luogo, ma è
anche infinito, per così dire, internamente, in quanto si accosta ad ogni suo punto senza alcuna
interruzione: gli elementi dello spazio non sono staccati l’uno dall’altro come se fossero tagliati
dall’accetta>>.
Contro questa concezione insorgeva la teoria atomistica propugnata da Democrito di Abdera (460370 circa). Secondo questa teoria la sostanza fondamentale è costituita da numerosissime particelle
indivisibili (atomi), ed è unica, presentando diversità solo apparenti, che dipendono dalla posizione
e dal moto di queste particelle. Democrito, in uno dei frammenti che ci sono rimasti, si esprime
così: <<Sono semplici opinioni il dolce, l’amaro, il caldo, il freddo, il colore; realmente esistenti
non vi sono che gli atomi e il vuoto>>.
Ma dalla concezione dello spazio, secondo Anassagora, e cioè come illimitato internamente,
nasceva quella della sua illimitata suddivisibilità, che trovava appoggio nella scoperta delle
grandezze incommensurabili, fatta dai pitagorici; ma anche contro l’illimitata suddivisibilità dello
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spazio insorgeva Democrito con questa argomentazione: <<Si vuole assumere che la divisione è
possibile, ebbene si accetti, che la divisione è possibile sempre, e lo si ammetta pure; ma che resta
infine ? Niente. Non può restare un corpo, altrimenti esso sarebbe divisibile e la divisione non
sarebbe stata spinta all’estremo; potrebbero rimanere soltanto dei punti, ma questo è
manifestamente assurdo>>.
Si noti che Pitagora aveva concepito il punto come unità avente posizione e quindi senza grandezza
alcuna, e i pitagorici ne avevano dedotto che ogni corpo geometrico è una somma di unità.
Ma non meno accanita contro gli atomisti e i pitagorici si dimostra la scuola eleatica a sostegno dei
suoi principi fondamentali. Dopo Parmenide è il suo allievo Zenone che con i suoi famosi
paralogismi lancia strali infuocati alle due scuole. Ecco alcuni argomenti contro la pluralità
dell’essere, sostenuta da Democrito.
Se
Se l’essere fosse multiplo dovrebbe essere nello stesso tempo infinitamente piccolo ed infinitamente
grande. Infatti, pluralità è serie di unità indivisibili, le unità indivisibili non hanno grandezza
(perché tutto ciò che ha grandezza è divisibile all’infinito). Ciò che non ha grandezza può essere
aggiunto o tolto ad una grandezza senza che questa si alteri, per conseguenza la pluralità è
infinitamente piccola. Ma la pluralità è anche infinitamente grande. Infatti ciò che non ha grandezza
non esiste, cosicché la pluralità per esistere deve avere una grandezza, e però le sue parti devono
essere discoste e tra esse ci deve essere una grandezza, applicando a questa lo stesso ragionamento
si conclude che la pluralità è infinitamente grande.
(Si noti la confusione che fa Zenone tra grandezze nulle e grandezze infinitesime; egli poi non
riflette che la riunione di grandezze infinitesime può dar luogo ad una grandezza finita).
Zenone fa un analogo ragionamento per dimostrare che, rispetto al numero, ciò che è multiplo è, ad
un tempo, limitato ed illimitato.
A sostegno dell'immutabilità dell'essere e perciò contro il movimento è celebre il paralogismo di
Zenone che il piè veloce Achille non può raggiungere la tartaruga e quello della freccia che
lanciata nello spazio si muove e non si muove nel tempo stesso.
Zenone dice così: quando Achille sarà arrivato al posto dov'era la tartaruga, questa non vi è più
perché si è mossa, quando egli arriverà al posto dov'era ora, la tartaruga non vi sarà più, e così via
indefinitamente; dunque Achille non raggiungerà mai la tartaruga.
Una freccia che vola è in ogni istante in una posizione determinata e quindi in riposo; la freccia è
dunque in ogni istante in riposo e perciò il suo moto è apparente.
Zenone nel primo paralogismo mostra di conoscere che una serie di tempuscoli infinitesimi può
formare un tempo finito, nel secondo confonde la quiete istantanea con quella assoluta. Oggi i suoi
λóγoι appaiono sciocchi e ridicoli; ma noi dobbiamo riferirci all'epoca in cui furono formulati, cioè
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quando le concezioni di tempo e di spazio erano nebulose, com'erano imprecise le nozioni di
infinitesimo e d'infinito. E però notevole il fatto che queste due nozioni, come anche quelle del
continuo, cominciano già a manifestarsi, sebbene passerà più di un millennio perché esse divengano
ciò che oggi sono: il fondamento della matematica (moderna). In queste discussioni noi vediamo il
travaglio della filosofia naturale dei Greci dinanzi alle concezioni matematiche che acquistano una
sempre maggiore astrattezza. Né le argomentazioni della scuola eleatica né quelle della scuola
atomista potevano scuotere le salde basi della geometria secondo la concezione di Anassagora e
della scuola italica, concezione che non poteva essere compresa subito e dalla generalità dei filosofi,
che si lasciavano offuscare dall’ intuizione; ma il significato di quella concezione non poteva
sfuggire ad una mente acuta come quella di Aristotele. Infatti osserva lo Stagirita che << le linee
sensibili non sono quali il geometra le concepisce, perché nessuna fra esse è perfettamente retta o
rotonda»; e in un altro luogo: «Nel continuo sono invero parti senza limiti, ma non secondo la
realtà, ma secondo la possibilità».
E’ veramente meraviglioso che in queste parole del grande filosofo greco del IV sec. a.C. è l'essenza
della concezione moderna del continuo, secondo Dedekind, ma più ancora secondo Hilbert.
7. La scuola sofistica
Dopo la sconfitta finale dei Persiani a Micale nel 479 a.C., Atene divenne la città più influente della
lega delle città greche e un importante centro commerciale. La ricchezza acquisita attraverso il
commercio fu usata da Pericle per ampliare e abbellire la città. Gli Ionici, i Pitagorici e tutti gli
intellettuali in genere, erano attratti da Atene, dove veniva data la preminenza al ragionamento
astratto e posto l’obiettivo di estendere il dominio della ragione su tutta la natura e sull’uomo.
La prima scuola ateniese, quella sofistica, comprendeva colti maestri di grammatica, di retorica, di
dialettica, di eloquenza, di morale e – ciò che è più importante per noi – di geometria, di astronomia
e di filosofia. Uno dei loro principali obiettivi era l’uso della matematica per capire il
funzionamento dell’universo.
Molti dei risultati matematici ottenuti scaturirono dallo sforzo per risolvere i tre famosi problemi di
costruzione: costruire un quadrato avente un’area uguale a quella di un cerchio dato; costruire il lato
di un cubo il cui volume sia doppio di un cubo di lato dato; trisecare un angolo qualsiasi. Tutte e tre
le costruzioni dovevano essere effettuate servendosi soltanto di riga e compasso.
Sono state date diverse interpretazioni circa la restrizione di usare nelle costruzioni soltanto riga e
compasso. La linea retta e il cerchio erano, secondo i Greci, le figure fondamentali e la riga e il
compasso sono i loro analoghi fisici. Le costruzioni effettuate con questi strumenti erano perciò
preferibili.
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L’origine di questi famosi problemi di costruzione viene riferita in vari modi. Sulla duplicazione del
cubo ci è stata tramandata un’interessante leggenda: a Delo esisteva un celebre tempio consacrato
ad Apollo con un altare a forma di cubo. Essendo una volta scoppiata nella città una grave
pestilenza fu interpellato l’oracolo onde sapere quale dono il dio esigesse per far cessare la grave
sciagura. Fu risposto che egli desiderava l’erezione di un altare, sempre di forma cubica, ma con
volume doppio del precedente. Gli abitanti credettero di ottemperare la richiesta costruendo un
altare con spigolo doppio; la pestilenza però, anziché cessare, subì una notevole recrudescenza. Ce
cosa era accaduto ? Semplicissimo! La richiesta del dio non era stata eseguita; il volume dell’altare
era stato infatti moltiplicato per otto, non per due!
A parte la leggenda ora riferita, è chiaro che il problema della duplicazione del cubo non costituì
altro che un ampliamento del problema della duplicazione del quadrato, che aveva potuto venir
facilmente risolto per mezzo del teorema di Pitagora (è chiaro infatti che se il quadrato primitivo ha
per lato l’unità, il quadrato doppio deve avere lato √2, cioè la diagonale del quadrato stesso). Ma il
problema della duplicazione del cubo risultò subito assai più difficile, portandoci dal campo delle
radici quadrate a quello delle radici cubiche.
Il primo tentativo noto per risolvere uno dei tre famosi problemi fu effettuato da Anassagora,
appartenente alla scuola ionica, che si dice abbia lavorato sulla quadratura del cerchio mentre era in
prigione. Non sappiamo nulla di più della sua opera.
Chi nel V secolo diede comunque il maggior contributo alla soluzione di questi problemi fu il
matematico Ippocrate di Chio (da non confondere con il celebre medico Ippocrate di Cos), uno dei
più notevoli ingegni della sua epoca.
Si racconta che egli fosse un commerciante, ma, avendo perduto tutto quanto possedeva, si recò ad
Atene dove <<si mise a frequentare i filosofi>> ed insegnò la geometria, probabilmente fra il 450 e
il 430. Fu per l’appunto la necessità di dare un ordine preciso alla propria materia di insegnamento
che lo indusse a scrivere quello che oggi diremmo un <<libro di testo>>; tale libro ebbe il titolo
generico di Elementi (Stoichéia) e aprì la strada ai futuri Elementi di Euclide.
Volendo accennare al contributo dato da Ippocrate allo studio del problema della duplicazione del
cubo, basta ricordare che egli dimostrò l’equivalenza fra tale problema e un altro, a prima vista
completamente diverso, riguardante le proporzioni. Questo secondo problema consiste nella ricerca
di una doppia media proporzionale da inserirsi fra due segmenti, di lunghezza a e 2°; si tratta in altri
termini i trovare due segmenti incogniti x ed y tali che a : x = x : y = y : 2a. Con le nostre
conoscenze di algebra, basta poco per ricavare da questa proporzione il valore di x: x3 = 2a3, e
quindi si comprende senza difficoltà l’equivalenza dei due problemi. Partendo invece dagli scarsi
mezzi matematici posseduti nel V secolo, la scoperta di Ippocrate presenta una notevole difficoltà;
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essa suscitò pertanto un forte interesse. Non riuscì tuttavia a far risolvere il problema della
duplicazione del cubo, poiché si vide ben presto che quello della ricerca di una doppia media
proporzionale era altrettanto difficile quanto il primo. Ebbe, comunque, il vantaggio di
familiarizzare i matematici dell’epoca con il concetto di riducibilità di un problema all’altro.
La parte più originale dell’attività matematica di Ippocrate è quella da lui dedicata alla quadratura
del cerchio. Lo studio di questo problema lo indusse ad indagare l’area delle lunule (che sono
porzioni di piano racchiuse da due archi di cerchio, di raggio diverso, ma con i medesimi estremi)
dimostrando fra l’altro un risultato veramente notevole: la somma delle aree delle due lunule
tratteggiate in figura è equivalente all’area del triangolo ABC.
Alcune antiche testimonianze ci narrano che Ippocrate avrebbe ritenuto possibile dedurre che, in
generale, tutte le lunule sono quadrabili (qualunque sia il rapporto fra il raggio del primo ed il
raggio del secondo arco che le delimitano), e, partendo da questo risultato erroneo, si sarebbe illuso
di giungere alla quadratura del cerchio.
Sembra strano che un ingegno così sottile come il suo sia caduto in questo equivoco, ed è probabile
(non essendo giunto fino a noi il testo originale) che si tratti più di una inesattezza di chi riferisce i
risultati di Ippocrate, che non di un errore di Ippocrate stesso; comunque, esso non diminuirebbe il
merito di avere attratto l’interesse dei matematici sulle lunule e di aver provato che alcune di esse
godono effettivamente di proprietà molto eleganti.
Anche i sofisti Ippia e Antifonte si cimentarono intorno al problema della quadratura del cerchio: il
primo ideò, per risolverlo, una « curva meccanica », la quadratrice, che riesce indubbiamente allo
scopo voluto (anzi, riesce pure a risolvere il problema della trisezione dell'angolo) ma ha il difetto
di non prestarsi a venir disegnata con la medesima esattezza delle figure tracciabili con riga e
compasso; il secondo suggerì una strada ottima, quella di giungere alla circonferenza partendo da
un poligono regolare inscritto in essa e via via raddoppiandone il numero dei lati, ma commise
l'errore di ritenere che, a un certo punto, questo poligono avrebbe dovuto senz'altro coincidere col
cerchio. Malgrado l'imperfezione logica di qualche ragionamento, come appunto quest'ultimo, gli
studi matematici dei due sofisti furono, come quelli di Ippocrate, fecondi di ampi sviluppi e
contribuirono in modo molto serio al progresso della cultura matematica della loro epoca.
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8. La scuola platonica
La scuola platonica succedette a quella sofistica nella leadership dell’attività matematica. I suoi
precursori, Teodoro di Cirene (nato intorno al 470 a.C.) e Archita di Taranto (428-347 a.C.), erano
pitagorici e furono entrambi maestri di Platone. I loro insegnamenti devono essere stati la causa
della profonda influenza pitagorica su tutta la scuola platonica.
Teodoro è noto per aver dimostrato che i rapporti che noi indichiamo con
,
,
,…,
sono
incommensurabili con l’unità. Di Archita ne abbiamo già parlato nel paragrafo sulla scuola
pitagorica.
La scuola platonica era capeggiata da Platone e comprendeva Menecmo, suo fratello Dinostrato e
Teeteto. Molti altri suoi membri ci sono noti soltanto di nome.
Platone (427-347 a.C.) era nato da una nobile famiglia e nella sua giovinezza nutrì ambizioni
politiche. Ma la sorte di Socrate (suo maestro, fu accusato di empietà e di opera corruttrice sui
giovani, fu condannato a bere la cicuta nel 399) lo convinse che non vi era posto nella politica per
un uomo di coscienza. Platone fece suo il fondamento della dottrina pitagorica. I suoi contatti con
gli ultimi pitagorici furono molto stretti. Dopo la morte di Socrate, egli viaggiò lungamente.
Secondo Cicerone, andò in Egitto e a Cirene ascoltò le lezioni di Teodoro (di cui parla con grande
venerazione nel celebre suo dialogo Teeteto). Fu anche nella Magna Grecia, conobbe a Locri
Timeo, a Taranto Archita e Filolao; anzi si dice che da questi abbia acquistato tre libri contenenti le
dottrine pitagoriche.
Ritornato ad Atene, intorno al 387, fondò la sua scuola filosofica, la cosiddetta Accademia, perché
sorgeva nel ginnasio di un sobborgo che prendeva il nome di un signore ateniese, Academo.
L’Accademia sotto molti aspetti era simile a una moderna università, aveva cortili, edifici, studenti
e corsi formali impartiti da Platone e dai suoi aiuti. Durante il periodo classico vi fu particolarmente
favorito lo studio della matematica e della filosofia. Sebbene il centro guida per la matematica si
fosse spostato ad Alessandria intorno al 300, l’Accademia conservò la sua preminenza per quel che
riguarda la filosofia durante tutto il periodo alessandrino. La sua vita durò novecento anni, fino a
quando non fu chiusa dall’imperatore Giustiniano nel 529 d.C. perché vi si insegnavano «dottrine
pagane e perverse».
Platone, uno degli uomini più colti del suo tempo, non era un matematico, ma il suo entusiasmo per
l’argomento e la fede nella sua importanza per la filosofia e per la comprensione dell’universo
incoraggiava i matematici a perseguirne lo studio. E’ degno di nota il fatto che quasi tutto il lavoro
matematico importante del IV secolo sia stato fatto da amici e allievi di Platone. Sembra invece che
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Platone dal canto suo si sia dedicato principalmente a migliorare e a perfezionare quanto era già
noto. Egli vide nella matematica caratteri di necessità non soltanto umana, ma anche divina.
«Dio sempre geometrizza»; «Il numero governa il mondo»; «Abolite il numero e voi abolirete le
arti, le scienze; restituitelo e con lui si mostrano le sue due figlie celesti: l’armonia e la bellezza; il
grido diventa canto, il rumore suono, il salto danza, la forza dinamica la linea disegno»; «La
geometria dirige l’anima verso l’essere eterno»;«Non è possibile arrivare ad una vera fede in Dio, se
non si conosce la matematica e l’astronomia, nonché l’intimo legame che queste hanno con la
musica».
La matematica è propedeutica alla conoscenza dell’universo delle idee, e, nell’intendere le cose, «vi
è una celestiale differenza fra uno che abbia studiato la geometria ed uno che non l’abbia studiato»,
anzi «coloro che fin dalla nascita sono abituati all’aritmetica hanno una facoltà di capire più
sviluppata, e le teste più tarde riescono ad intendere con maggiore facilità».
E’ indicativo del ruolo che Platone attribuiva alla matematica l’iscrizione posta all’ingresso
dell’Accademia: “Non varchi questa soglia chi ignora la geometria”.
Sebbene non sia possibile essere certi della misura in cui i concetti matematici fossero trattati come
astrazioni prima dei tempi di Platone, è fuori di dubbio che Platone e i suoi successori li
considerassero tali. Platone dice che i numeri e i concetti geometrici non hanno in sé nulla di
materiale e che sono distinti dalle cose fisiche. I concetti matematici sono indipendenti
dall’esperienza e hanno una realtà loro propria. Essi vengono scoperti, non inventati o modellati. E’
probabile che questa distinzione fra astrazioni e oggetti materiali provenga da Socrate.
I Platonici apprezzavano le idee astratte e privilegiavano le idee matematiche come preparazione
alla filosofia. Le idee astratte con cui la matematica ha a che fare sono simili ad altre, quali il bene e
la giustizia, la cui comprensione è lo scopo della filosofia platonica.
Platone in particolare riteneva che la realtà fosse costituita dalle idee perfette degli oggetti fisici. Il
mondo delle idee e le relazioni fra di esse sono eterne, atemporali, incorruttibili e universali. Il
mondo fisico è una realizzazione imperfetta del mondo delle idee ed è perciò soggetto a
decadimento. Si può avere conoscenza infallibile soltanto nei confronti delle forme intelligibili
pure. Intorno al mondo fisico si possono avere soltanto delle opinioni e la scienza fisica affonda
nelle secche del mondo dei sensi.
Platone affermò con forza la necessità di una organizzazione deduttiva della conoscenza. Il compito
della scienza era quello di scoprire la struttura della natura (ideale) e di articolarla in un sistema
deduttivo. Egli fu il primo a sistematizzare le regole della dimostrazione rigorosa e si suppone che i
suoi seguaci abbiano disposto i teoremi secondo un ordine logico. La matematica organizzata dai
Platonici in modo deduttivo sulla base di espliciti assiomi e l’insistenza sul ragionamento deduttivo
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come unico metodo di dimostrazione in matematica, scardinava tutte le regole, le procedure e i fatti
che erano stati accettati nel corpo della matematica per millenni prima del periodo greco. Questa
esigenza ha caratterizzato dopo di allora la matematica e l’ha distinta da tutti gli altri campi di
conoscenza o di ricerca.
Per quel che riguarda la ricerca matematica, la scoperta più significativa della scuola platonica
furono le sezioni coniche. Questa scoperta è attribuita dall’alessandrino Eratostene a Menecmo,
geometra e astronomo, che fu allievo di Eudosso ma membro dell’Accademia. Sebbene non si
sappia con certezza che cosa abbia condotto alla scoperta delle sezioni coniche, è opinione comune
che essa sia scaturita dalle ricerche sui famosi problemi di costruzione.
9. La scuola di Eudosso
Il più grande dei matematici greci classici, secondo soltanto ad Archimede in tutta l’antichità, fu
Eudosso. Era nato a Cnido nell’Asia Minore intorno al 408 a.C., aveva studiato sotto Archita a
Taranto, viaggiato in Egitto, dove imparò l’astronomia, e fondato infine una scuola a Cizico
nell’Asia Minore settentrionale. Intorno al 368 egli e i suoi seguaci si unirono a Platone. Alcuni
anni più tardi tornò a Cnido dove morì intorno al 355 a. C.
Astronomo, fisico, geometra, legislatore e geografo, è soprattutto noto per la creazione della prima
teoria astronomica dei moti celesti. Nei secoli successivi hanno scritto grandi elogi di lui Eratostene
(che lo qualificò col titolo di «divino»), Cicerone, Tolomeo, Sesto Empirico, Proclo, ecc.
Il suo primo grande contributo alla matematica fu una nuova teoria delle proporzioni.
Il concetto di proporzione come eguaglianza di due frazioni risale al V secolo o a periodi ancora
precedenti. Esso si riduce a dire che quattro grandezze geometriche A, B, C, D (delle quali A
omogenea a B, e C omogenea a D) sono in proporzione quando la frazione numerica che esprime il
rapporto fra A e B eguaglia quello che esprime il rapporto fra C e D. Tale concetto però richiede,
per venire applicato, che A e B siano commensurabili, e così pure lo siano, ovviamente, C e D. In
questa ipotesi la proporzione geometrica si riduce ad una proporzione fra numeri interi.
Il problema difficile consiste nel trovare un’estensione di tale concetto che lo renda applicabile
anche al caso della incommensurabilità. Orbene, il merito fondamentale di Eudosso nella teoria
delle proporzioni sta proprio nell’aver scoperto tale estensione, nell’averci dato cioè una definizione
di proporzione applicabile tanto al caso delle grandezze commensurabili quanto a quello delle
grandezze incommensurabili.
La definizione eudossiana, fatta propria da Euclide nel libro V degli Elementi, è stata ripetuta, tanto
era perfetta, da tutti i testi di geometria fino alla sostituzione, ai nostri giorni, con un’altra che fa
esplicito riferimento ai numeri reali, razionali od irrazionali (ecco la definizione odierna: si dice che
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A,B,C,D sono in proporzione quando il rapporto reale fra le due prime grandezze eguaglia il
rapporto reale fra le due ultime).
Vale la pena di riferire la definizione di Eudosso:
«Quattro grandezze geometriche A,B,C,D si dicono in proporzione quando  presi due multipli
qualunque di A e B, per esempio mA ed nB (con m ed n interi) e presi due multipli corrispondenti di
C e D, cioè mC ed nD  risulti sempre vero che se mA
nB anche mC
nD».
Come ognuno vede, la definizione eudossiana è apparentemente espressa in termini pitagorici,
perché fa riferimento soltanto a multipli interi delle grandezze in esame; ciò che la rende applicabile
anche alle grandezze incommensurabili è il fatto nuovo che essa parla non di una determinata
coppia di multipli, ma di due multipli «qualunque» di A e B (e dei due corrispondenti C e D). Senza
dubbio l’introduzione di questi multipli qualunque diminuisce notevolmente l’intuibilità del
concetto definito; è proprio essa, però, che gli fornisce la generalità di cui il geometra ha bisogno.
Come abbiamo detto, essa rende infatti applicabile il concetto di proporzione a tutte le quadruple di
grandezze geometriche A, B, C, D, a due a due omogenee, indipendentemente dal fatto che siano o
no commensurabili. Costruendo su di essa un ampio edificio di teoremi, noi potremo essere pertanto
sicuri (e questa era la garanzia cercata da Eudosso) che tali teoremi risultassero applicabili, senza
contraddizioni o limitazioni, a tutto il campo delle proporzionalità geometriche.
Non è necessario aggiungere altro per illustrare l’importanza del passo compiuto da Eudosso; è
bene però riflettere sulle difficoltà che il grande geometra greco dovette superare per giungere ad un
concetto che oggi può sembrarci ovvio solo perché inserito in un livello molto più alto di cultura
scientifica.
Il secondo importante contributo di Eudosso fu l’invenzione del cosiddetto metodo di esaustione per
determinare le aree e i volumi delle figure curve. Servendosi di esso Eudosso dimostrò, ad esempio,
che le aree di due cerchi stanno fra loro come i quadrati dei loro raggi, che i volumi di due sfere
stanno fra loro come i cubi dei loro raggi, che il volume di una piramide è un terzo del volume di un
prisma avente la stessa base e la stessa altezza e che il volume di un cono è un terzo del volume del
cilindro corrispondente.
Il punto centrale di questo metodo consiste nel dimostrare che due aree o volumi «debbono» essere
uguali perché è assurdo che la loro differenza sia diversa da zero. La prova di questa assurdità si
ottiene, non da un confronto diretto delle due figure che non è possibile, ma dal confronto tra classi
di altre figure (di area o di volume calcolabili) che racchiudono le due date con differenze via via
minori: concezione questa che implica l’illimitata proseguibilità delle classi di figure testé
considerate.
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Qui l’intento di Eudosso era manifestamente quello di evitare la antinomie connesse alla
suddivisione di una figura in una infinità di grandezze infinitamente piccole, antinomie che avevano
provocato tante preoccupazioni a tutta la matematica pitagorica; il metodo di cui si serve è contorto,
artificioso, di scarsissima intuibilità, ma logicamente impeccabile. Sarà il metodo seguito, in questo
genere di ricerche, da tutti i più grandi geometri fino alla scoperta del calcolo infinitesimale
moderno.
10. L’astronomia eudossiana
Passando dalla matematica all’astronomia, va ricordato anzitutto che Eudosso ha il grande merito di
avere liberato questa scienza da ogni infiltrazione teologica. Egli ne ha fatto un sistema matematico
del mondo, sistema che oggi apparirebbe certo inidoneo a rendere conto dei molti fenomeni
astronomici in nostro possesso, ma che nel IV secolo poteva a buon diritto venir considerato come
una spiegazione abbastanza soddisfacente di gran parte dei dati allora conosciuti dagli studiosi. Di
fronte ad essa il nostro giudizio non deve lasciarsi influenzare dalla radicale diversità fra le ipotesi
eudossiane e quelle accettate dall’astronomia moderna: ciò che conta è il carattere scientifico della
teoria ideata dal grande pensatore di Cnido, la formulazione rigorosamente matematica che egli ha
dato alle leggi astronomiche, il potente sforzo razionalistico che sorregge la sua costruzione. Essa
rappresenta senza dubbio uno dei principali capisaldi di tutta la storia dell’astronomia antica.
Oggi il principio generale che sta alla base di tutte le teorie astronomiche è un principio di carattere
dinamico (ad esempio la legge sull’attrazione delle masse di Newton); ai tempi di Eudosso,
mancando ogni nozione esatta di dinamica, tale principio non poteva essere che di carattere
geometrico. Ciò ha fornito al sistema eudossiano l’aspetto di semplice modello teorico ideato per
descrivere l’ordine dei fenomeni celesti, non per indicarcene le cause.
Il corso delle stelle, del Sole, della Luna, ci suggerisce l’idea del moto circolare uniforme. I
pitagorici e Platone avevano accettato in pieno questa idea, stabilendo come assioma generale che
ogni moto celeste debba venir pensato o come moto circolare uniforme o come combinazione di più
moti di tale tipo. Eudosso ereditò da essi questo assioma e ne fece il principio generale (di carattere
geometrico) della sua astronomia. Introdusse però un’importante innovazione: invece di parlare di
anelli celesti, immaginò i vari astri come fissi sopra superfici sferiche ideali, trasparenti, che
ruotano uniformemente intorno a due poli; Sole, Luna e tutti i pianeti (in quei tempi se ne
conoscevano solo cinque) devono avere la propria sfera indipendente dalle altre; un’ultima sfera
(unica) deve essere quella delle stelle fisse. Tutte queste sfere debbono risultare concentriche fra
loro e con la Terra interpretata come centro dell’universo.
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Si constata però agevolmente che, se questo modello può servirci a farci comprendere senza
difficoltà il moto apparente delle stelle fisse, non serve altrettanto bene per quello del Sole e della
Luna, e tanto meno per quello dei pianeti che sembrano avanzare ora più ora meno del dovuto,
piegando ora a destra ora a sinistra nel senso della latitudine. A risolvere la gravissima difficoltà,
Eudosso introdusse un’ipotesi veramente geniale: ognuno di tali astri possiede non una sola sfera,
ma un ordine di più sfere, una interna all’altra, tutte concentriche e ruotanti con moto uniforme, ma
con periodo diverso e intorno ad assi di rotazione differenti, ciascuno dei quali imperniato nella
sfera precedente. Mentre, per la rotazione uniforme della prima sfera di tale ordine, ogni punto di
essa descrive un cerchio, per la rotazione di due sfere collegate nel modo anzidetto ogni punto della
seconda sfera descriverà una curva assai più complicata che un cerchio (Eudosso era in grado, per la
sua competenza geometrica, di farsi un’idea abbastanza precisa di tali curve). Le cose si complicano
ancora maggiormente al crescere del numero di sfere collegate. Ebbene, Eudosso si convinse di
poter dare con questo modello una spiegazione geometrica soddisfacente del moto apparente del
Sole e della Luna, supponendo ciascuno di essi fornito di un ordine di tre sfere; per i pianeti, data la
maggiore complessità del loro moto apparente, suppose che ciascuno possedesse un ordine di
quattro sfere. Si avevano così, in tutto, ventisei sfere, più una ventisettesima delle stelle fisse.
Il sistema ora accennato dava risultati indubbiamente buoni per i pianeti Saturno, Giove e Mercurio;
assai meno soddisfacenti per Venere, e ancora meno per Marte. I continuatori di Eudosso si
trovarono quindi di fronte al compito di migliorare le spiegazioni del maestro, senza abbandonare
però il modello generale da lui tracciato. Fu così che Callippo e Polemarco aumentarono il numero
delle sfere da ventisette a trentatré. In questo modo essi riuscirono pure a determinare con maggiore
esattezza i solstizi e gli equinozi e la durata delle stagioni.
Malgrado la sua meravigliosa simmetria, il sistema di Eudosso si trovò tuttavia, fin dall’inizio, di
fronte ad una difficoltà insolubile: quella del diverso splendore dei pianeti (specialmente di Marte e
di Venere) nei diversi periodi della loro rotazione. Tale variabilità è invero assolutamente
inconciliabile con l’ipotesi che le sfere dei pianeti risultino concentriche alla Terra, perché questa
ipotesi avrebbe come conseguenza la costanza della loro distanza dalla Terra e quindi la costanza
del loro splendore. Fu un discepolo di Platone, Eraclito Pontico (contemporaneo di Eudosso), a far
perno su tale difficoltà per respingere l’edificio del matematico e astronomo di Cnido. Studiando i
moti di Mercurio e di Venere, Eraclide intuì che il loro centro di rotazione doveva essere non la
Terra ma il Sole; suppose pertanto che, mentre il Sole gira intorno alla Terra, i due pianeti in
questione girano nello stesso senso intorno al Sole secondo sfere di raggio minore. Spiegato in
questo modo il diverso splendore di Venere, restava l’analogo problema per Marte; esso fu risolto
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un po’ più tardi (non si sa con sicurezza se dallo stesso Eraclito o da qualche pitagorico a lui
vicino).
Senza insistere oltre sull’argomento, basta solo osservare che l’astronomia di Eraclito, anche se
assai meno rigorosa di quella di Eudosso, rivela un’orientazione nuova, un carattere che l’avvicina a
concezioni molto più moderne. Tanto è vero che un sistema simile verrà ripreso, diciannove secoli
più tardi, da Tycho Brahe.
Sarà un continuatore di Eraclito, Aristarco di Samo, a formulare l’ipotesi che vada collocato nel
Sole il centro, non solo del moto di alcuni pianeti, ma di tutto l’universo.
11. La scuola aristotelica
Aristotele nacque a Stagira, città della Macedonia, nel 384 a.C., studiò ad Atene e fu allievo di
Platone. Ad Atene rimase fino alla morte del maestro, poi fu chiamato dal re Filippo di Macedonia
a dar lezioni al figlio Alessandro. Quando questi salì al trono, Aristotele ritornò ad Atene nel 335,
fondò nel Liceo la sua scuola (detta dei peripatetici); dodici anni dopo, in seguito alla morte di
Alessandro il Grande, per sfuggire alle persecuzioni contro i macedoni, riparò a Calcide, nell’isola
Eubea, dove morì a 63 anni, nel 322. C’è chi dice che si sia ucciso con il veleno per non cadere in
potere del governo di Atene.
Aristotele è una delle menti più vaste, più profonde che abbia avuto l’umanità: egli fu filosofo e
scienziato, e seppe riunire, anzi organizzare in un sistema veramente meraviglioso, quasi tutto lo
scibile del suo tempo, sistema che per quasi duemila anni costituì l’ossatura della scienza. L’autorità
del grande Maestro, l’ammirazione immensa dei posteri per il suo genio universale permisero che
l’edificio aristotelico si reggesse per così lungo tempo. Ma era fatale che anch’esso crollasse; nuove
scoperte nel campo scientifico dovevano fatalmente porre in contrasto la scienza ufficiale
aristotelica con la scienza nuova, perché la scienza è progresso del pensiero umano e non fissazione
e cristallizzazione.
L’importanza del Liceo nella storia del pensiero scientifico-filosofico non dipende soltanto dal
contenuto delle dottrine ivi insegnate, ma è pure legata all’organizzazione veramente nuova e
notevole della scuola, che aveva, alla morte di Aristotele, circa duemila allievi.
Potremmo dire che il Liceo  per l’ampiezza dei programmi di lavoro, per l’ordinata suddivisione
delle indagini fra i vari gruppi di ricercatori, per la raccolta sistematica del materiale di studio,
ecc. ci abbia fornito il primo esempio di istituto scientifico nel senso moderno della parola.
La sua grandiosa biblioteca costituì il modello per le più celebri biblioteche dell’antichità. Venne
impostato un ampio programma di studi intorno alla filosofia e alla scienza. E’ noto che la stessa
Metafisica di Aristotele inizia con un rapido quadro dello sviluppo antecedente del pensiero
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filosofico; ma molto precise dovevano essere le ricerche storiche sulle singole scienze speciali:
quelle sulla matematica furono affidate ad Eudemo; le ricerche storiche sulla fisica furono affidate a
Teofrasto, che sarà il successore di Aristotele nella direzione della scuola; quelle sulla medicina a
un certo Menone, ecc. Un lavoro particolarmente preciso e paziente fu richiesto dagli studi
biologici: Aristotele stesso diresse le indagini intorno alla vita degli animali, mentre dopo di lui
Teofrasto diresse quelle sulla vita delle piante. Né meno interessanti e notevoli furono i contributi
della scuola su discipline di tipo completamente diverso: quelli per esempio riguardanti la filologia,
che in seguito passarono essi pure, come il resto della tradizione aristotelica, al Museo di
Alessandria. Per gli studi politici basti ricordare che Aristotele, con la collaborazione di vari
discepoli, descrisse la costituzione di centocinquantotto città greche (purtroppo ne giunse fino a noi
soltanto una, ritrovata in un papiro egiziano nel 1890: l’analisi della costituzione di Atene, dovuta
allo stesso Aristotele). Fu proprio il carattere enciclopedico della scuola, l’enorme varietà dei
problemi trattati, a richiedere la suddivisione del lavoro di cui abbiamo poco sopra fatto parola. E’
un carattere che ritroveremo in tutta la cultura ellenistica, e che dimostra la profonda differenza tra
essa e la cultura propriamente ellenica.
Dopo Aristotele la direzione della scuola passò a Teofrasto; dopo di lui a Stratone di Lampsaco.
Questi però, all’inizio del III secolo, si trasferì ad Alessandria con vari discepoli, causando il rapido
declino della fortuna del Liceo, che finì col perdere ogni peso sulla cultura del mondo antico.
Aristotele non si rivela come un cultore speciale della matematica; ma egli è un grande amico della
matematica. Nella sua Metafisica dice: «E’ a torto, dunque, che i geometri vengono accusati di non
insegnare che delle chimere e di non avere nella loro scienza nulla di buono e di bello. Io invece
sostengo che essi senza farne pompa, insegnano delle cose che sono ad un tempo buonissime e
bellissime. Giacché ogni bontà e bellezza, non risulta forse dall’ordine e dalla proporzione? Ora, di
che cosa si occupano i geometri, se non di ordine e proporzione?».
La principale realizzazione di Aristotele fu la fondazione della scienza della logica e rappresenta il
suo maggiore contributo, seppure indiretto, alla matematica. Fornendo leggi corrette al
ragionamento matematico i greci avevano posto le basi della logica, ma toccò ad Aristotele
codificare e sistematizzare queste leggi in una disciplina separata. Gli scritti di Aristotele
chiariscono al di là di ogni dubbio che egli derivò la logica dalla matematica. I suoi principi
fondamentali della logica – il principio di non contraddizione (due proposizioni contraddittorie,
cioè l’affermazione e la negazione dello stesso predicato di uno stesso soggetto, non possono essere
vere contemporaneamente e sotto lo stesso rispetto), e il principio del terzo escluso (tra due
proposizioni contraddittorie è necessario che una sia vera e l’altra falsa, cioè non si dà una terza
possibilità) – sono il cuore del metodo di dimostrazione indiretto o “per assurdo” in matematica.
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Questo consiste nel dimostrare una tesi assumendo come premessa la tesi a essa contraddittoria e
deducendo da questa conseguenze impossibili, cioè contrastanti con altri principi ammessi come
veri. L’impossibilità delle conseguenze rivela infatti, per il principio di non contraddizione, la
falsità della premessa da cui discendono e la falsità di essa rivela a sua volta la verità di quella a
essa contraddittoria, per il principio del terzo escluso.
Inoltre, Aristotele usava esempi matematici tratti dai testi contemporanei per illustrare i suoi
principi del ragionamento. La logica aristotelica rimase senza rivali fino al XIX secolo.
Sebbene fosse derivata dalla matematica, la logica giunse infine ad essere considerata indipendente
ed antecedente alla matematica e applicabile a ogni tipo di ragionamento. Già Aristotele, come
abbiamo notato, considerava la logica preliminare alla scienza e alla filosofia. In matematica egli
mise l’accento sulla dimostrazione deduttiva come unica base per stabilire i fatti. Per Platone, che
considerava le verità matematiche preesistenti o esistenti in un mondo indipendente dall’uomo, il
ragionamento non era la garanzia della correttezza dei teoremi; le facoltà logiche svolgevano
soltanto un ruolo secondario. Esse rendevano esplicito, per così dire, ciò che già si sapeva essere
vero.
Un membro della scuola di Aristotele, già citato all’inizio e particolarmente degno di nota, è
Eudemo di Rodi, che visse nell’ultima parte del IV secolo a.C. e che fu autore di storie della
geometria, dell’aritmetica e dell’astronomia, purtroppo persa nei secoli, che la principale fonte di
quel «riassunto storico» scritto da Proclo, che costituisce uno dei testi fondamentali per la
ricostruzione della storia della matematica greca da Pitagora ad Euclide. Eudemo si può considerare
il primo storico della scienza a noi noto. Ciò che è però più significativo è che il corpus di
conoscenze dell’epoca fosse già così esteso da giustificare delle storie.
Il periodo storico su cui ci siamo intrattenuti in questi paragrafi, dal sesto al quarto secolo, relativo
al periodo classico della storia greca, è un periodo di grande attività scientifica. La matematica,
innalzata a dignità di scienza per opera di Pitagora e della scuola italica, si è andata rapidamente
sviluppando. I pitagorici, non più costretti al silenzio, fondano delle scuole e v’insegnano; alla
diffusione della cultura contribuiscono pure i sofisti che girano di città in città tenendo lezioni a
pagamento; Platone prima e Aristotele poi, con la loro autorità, incitano gli studiosi a coltivare la
matematica; Aristotele vuole che i risultati delle ricerche scientifiche non vadano dispersi, ma
raccolti e pubblicati; egli stesso dà l’esempio. Tutto ciò fa ritenere che si prepari per la scienza e per
la matematica in particolare un periodo di grande sviluppo. Ed infatti nel secolo che segue, e cioè
nel III secolo a.C., la matematica greca tocca il suo apice con Euclide ed Archimede.
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LA MATEMATICA GRECA ELLENISTICA
1. Il periodo aureo della matematica greca
Come abbiamo visto, nel IV sec. a. C., il maggiore centro della cultura ellenica fu Atene, risorta a
nuova vita dopo che Trasibulo l'aveva liberata dal dominio dei Trenta tiranni; ma non soltanto
queste ragioni d'indole politica influirono a dare ad Atene il primato della cultura greca, ma ancor
più il fatto che lì, successivamente, due grandi pensatori divennero centro d'attrazione per gli
studiosi: Platone ed Aristotele. Abbiamo già detto che il contributo di Platone ed Aristotele allo
sviluppo della matematica fu quasi del tutto indiretto; ma la matematica ebbe assidui cultori e fra
questi, come abbiamo visto, fu celebre Eudosso da Cnido che studiò in Egitto, a Taranto e ad Atene,
fondò a Cizico una scuola e contribuì allo sviluppo di alcune parti delicate della matematica come la
teoria delle proporzioni e della misura, mentre con i suoi allievi di Cizico, fra i quali primeggia
Menecmo, iniziò lo studio delle sezioni coniche.
Ma dopo la morte di Alessandro il Grande (323 a. C.) Atene è teatro di fiere lotte politiche;
Aristotele è costretto a sfuggire alle persecuzioni contro i macedoni riparando a Calcide, dove
presto finisce i suoi giorni. La scuola ateniese languisce, mentre si sviluppa e diviene assai famoso
un altro centro di cultura, che non è in Grecia, ma in Egitto: Alessandria.
Alessandria era stata fondata da Alessandro il Grande in seguito alla conquista dell'Egitto (332 a.C.)
per farne la capitale e togliere ogni prestigio a Tebe che si era dimostrata ribelle. Morto Alessandro,
l'immenso impero fu ripartito fra i suoi generali e il dominio dell'Egitto passò a Tolomeo Lagi
(Soter). Fu questi il fondatore della dinastia dei Tolomei, detta anche dei Lagidi, che elevarono
l'Egitto a grande splendore. A Tolomeo I Lagi successe il figlio Tolomeo II (Filadelfo) che nei 37
anni di pacifico governo promosse attivamente le scienze, le lettere e le arti, ordinando la traduzione
in greco della Bibbia e fondando il famoso museo e la non meno famosa biblioteca d’Alessandria.
Questi istituti fiorirono per 9 secoli, ma raggiunsero l'apice nei primi tre secoli, sotto la protezione
dei Lagidi, cioè fino a quando l’Egitto non perdette la sua indipendenza (30 a.C., morte di Cleopatra
VII), divenendo provincia romana. Nel 640 d.C. l’Egitto veniva conquistato dagli Arabi e unito al
regno dei Califfi; si racconta che la biblioteca, che racchiudeva circa 2.000.000 di opere, fosse
incendiata per ordine di Amru, luogotenente del califfo Omar.
Nel museo non soltanto s'insegnava, ma gli studiosi trovavano aiuti e incoraggiamenti nelle loro
ricerche. Le scienze in genere, e le scienze esatte in particolare, vi fecero progressi notevoli, e
specialmente le matematiche, che raggiunsero altezze veramente elevate, confrontabili solo con
quelle toccate dopo l’invenzione del calcolo infinitesimale. Ma si noti, benché la scienza fiorisca
ora in terra egiziana, essa è sempre essenzialmente greca, ed è per questo che il periodo che ora
tratteremo e che costituisce il periodo aureo della matematica greca è indicato col nome di periodo
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greco alessandrino. Esso abbraccia 5 secoli: dal III a. C. al II d. C. Nei primi due secoli è la
geometria che tocca il suo apogeo con Euclide, Archimede ed Apollonio Pergeo, negli altri due
secoli successivi è l'astronomia, con Ipparco e Tolomeo, che raggiunge le alte vette, e nell'ultimo
l'aritmetica con Diofanto.
PERIODO AUREO DELLA MATEMATICA GRECA
(III sec. a.C. – II sec. d.C.)
Testi consultati
•
Storia del Pensiero Filosofico e Scientifico, di L. Geymonat, Vol. I, Garzanti Editore
•
Storia della matematica, G. T. Bagni, Vol. I, Pitagora Editrice Bologna
•
Storia del pensiero matematico, M. Kline, Vol. I, Giulio Einaudi Editore
48
•
Storia della matematica, M. Cipolla, Istituto Euro Arabo di Studi Superiori
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