L’insegnamento della fisica e delle
scienze nella scuola; proposte
operative per un approccio
laboratoriale low-cost no cost
progetto SCIENTIA MAGISTRA VITAE
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Misure & Numeri
E. Sassi - L-A- Smaldone
(diamo) I NUMERI (?)
12.32 metri è uguale a 12.32000 metri ?
Sì per un matematico ma … NO per un fisico,
chimico, biologo etc. (uno sperimentale) !
Unità di misura
È il risultato (diretto o indiretto) di una
operazione di misura e le cifre (significative) hanno
un … preciso significato !
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E. Sassi - L-A- Smaldone
Misura Diretta di una Grandezza
• Confronto con un Campione
• 5.9 cm
• 6.0 cm
• 6.1 cm
• …. cm
• .... cm
Errori Casuali (±)
Errori Sistematici
individuati, si possono correggere
(offset, taratura, procedura, condizioni di misura,
preparazione )
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E. Sassi - L-A- Smaldone
Distribuzione delle Misure (istogramma)
distribuzione gaussiana
 Ae
e
σ
Vm
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 V  Vm 


 σ 
2
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Qual è la Misura della Lunghezza della Matita?
V1=5.9 V2=6.1 V3=6.0 V4=5.9 V5=5.8 V6=6.2 V7=5.6 …. Vi=…. ….
N ripetizioni della misura
N
Vi
V1  V2  V3  ...  Vi  ... i
Vm 
 1  Valore medio
N
N
(Vi-Vm) scarto (dal valor medio) della misura i
N
 (Vi Vm )  (V1  Vm )  (V2  Vm )...  (Vi  Vm )  ...  V1  ...  Vi  ...  NVm
i 1
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0
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Qual è la Misura della Lunghezza della Matita?
Occorre fornire anche un indice di quanto è largo
l’istogramma (poco o molto dispersa la misura, in un
certo senso .. la bontà della misura)
(V1  Vm )  (V2  Vm )  ...  (Vi  Vm )  ...


N
2
2
2
N
 (Vi
i 1
 Vm ) 2
N
ScartoQuadraticoMedio (detto anche errore)
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E. Sassi - L-A- Smaldone
Qual è la Misura della Lunghezza della Matita?
Come si riassume il risultato delle operazioni di misura:
Vm± σ
Indica anche che, effettuata una nuova
misura nelle identiche condizioni, il
valore V ottenuto ha una probabilità del:
68% (Vm-σ) ≤ V < (Vm+σ)
95% (Vm-2σ) ≤ V < (Vm+2σ)
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Esempio: Periodo di Oscillazione di un Pendolo
• 12 misure (in secondi):
15.21
15.43
15.32
15.50
15.61
15.45
15.61
15.24
15.55
15.48
15.35
15.52
Pm= 15.43917 s
σ = 0.145090s
P=15.43917±0.145090 s ??
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Considerazioni sull’Esempio
Pm= 15.43917 s σ = 0.145090 s
(sul display della mia calcolatrice … su altre possono esserci anche più cifre!)
Leggiamolo:
Effettuando una nuova misura vi è il 68% di probabilità
che essa sia compresa tra 15.29408 e 15.58426
Cifre certe
Prima cifra incerta
Prima regola: Buon Senso – che senso ha indicare i millesimi quando il
cronometro segna i centesimi ed i tempi di reazione sono di 0.1-0.2 s ?
P=15.44 ±0.15
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Ritorniamo alla Misura del Periodo del Pendolo
Pm= 15.43917 s σ = 0.145090 s
Regola del: Buon Senso P=15.44
±0.15 Approssimazione al
centesimo di secondo
Regola della presentazione delle misure:
Le cifre significative di una misura sono le cifre
certe e la prima cifra incerta
P=15.4 ±0.15(*) s
(*) Se la prima cifra significativa dell’errore (incertezza) è 1, arrotondare
l’errore a 2 cifre (se togliamo 5 l’errore relativo è 5/10)
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Presentazione della Misura
Errore (incertezza) esplicito:
x±Δx (x±σ)
Errore (incertezza) implicito, definito dall’ultima
cifra significativa:
32.54 kg→ ±0.005 kg
32.5 kg→ ±0.05 kg;
32 kg→ ±0.5 kg
• I numeri che devono essere usati nei calcoli possono essere tenuti con una
cifra significativa in più rispetto a quello richiesto nel risultato finale per ridurre
le inaccuratezze introdotte dagli arrotondamenti.
• La misura e l’errore devono essere espressi nella stessa unità di misura.
• In calcoli, il risultato deve essere arrotondato al numero di c.s. del dato che ne
possiede meno.
Nomenclatura:
Δx=σ Errore Assoluto
Δx/x Errore Relativo 100Δx/x Errore Percentuale
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Misura Indiretta di una Grandezze Fisiche
Area= Base  Haltezza
B=7.4±0.15 cm
H=5.3±0.15 cm
Areamin=7.255.15=37.3375 cm2
Areamax=7.555.45=41.1475 cm2
Probabilità del 68% che
37.3375 ≤ Area < 41.1475
Area=39±2 cm2
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(A±ΔA)
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Errore in una Misura Indiretta di Grandezza
(propagazione dell’errore)
y=y±Δy ; x=x±Δx ; z=z±Δz
G=f(x,y,z) con f relazione (legge) fisica, matematica, geometrica.
G=f (x,y,z)
G=G±ΔG
2
 f  2  f  2  f  2
G     x     y     z
 x 
 z 
 y 
2
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Errore in una Misura Indiretta di Grandezza
(casi più frequenti)
G=a x+b y
x=4.1±0.2
G=3x+2y
y=2.2 ±0.4
 G  a 2 2x  b 2 2y
G  9  0.04  4  0.16  1
G=16.7
G=17±1
G=x•y
G 
y 2 2x  x 2 2y
G=9 ±1.7
G=x/y
1
G  2
y
y 2 2x  x 2 2y
G=1.9±0.4
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