Le trasformazioni del piano
Nigro Gerardina
Le Trasformazioni
Geometriche
Vogliamo conoscere le relazioni che
sussistono tra gli oggetti geometrici
quando subiscono trasformazioni
Si chiama trasformazione geometrica
una corrispondenza biunivoca che associa
punti di un piano a punti dello stesso piano
Nigro Gerardina
T
R
A
S
F
O
R
M
A
Z
I
O
N
I
Nigro Gerardina
La trasformazione identica o identità è quella
che associa ad ogni punto se stesso
Si dice involutoria una trasformazione che, applicata
due volte, coincide con la trasformazione identica
Si chiamano invarianti le caratteristiche che
rimangono inalterate
Varianti le caratteristiche che si modificano
Elementi uniti gli elementi che hanno per trasformati
se stessi
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Invarianti
Le principali caratteristiche che una
trasformazione può lasciare invariate sono:
La Lunghezza dei segmenti
L’ampiezza degli angoli
Il parallelismo
Le direzioni
Il rapporto tra i segmenti
L’orientamento dei punti del piano
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Trasformazioni geometriche
Si possono suddividere in tre categorie:
 Trasformazioni che si ottengono mediante
deformazioni (esempio: disegno su tela
elastica)
 Trasformazioni che si ottengono per
proiezioni (esempio: ombra di un oggetto)
Trasformazioni che si ottengono mediante
movimenti (esempio: immagine riflessa)
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La figura rappresenta un’incisione di
M.C.Escher (1898-1972).
Essa fornisce un esempio di
riflessione sulla sfera; è interessante
notare che le linee rette degli spigoli
della stanza dove si trova l’artista
sono diventate linee curve.
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Classificazione delle
trasformazioni basata
sugli invarianti
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Le classificazioni rappresentate nello schema sono via via più restrittive. Vengono identificate in base a
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numero e tipo di proprietà mantenute dalle figure dopo una trasformazione.
TOPOLOGIA
Esistono altre trasformazioni che non portano rette in rette: deformazioni continue
che conservano le “intersezioni”.
I ponti di Königsberg
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OMEOMORFISMI
Gli omeomorfismi, detti anche trasformazioni topologiche,
conservano la continuità




A curve chiuse corrispondono curve
chiuse
A curve aperte corrispondono curve
aperte
A curve intrecciate corrispondono
curve intrecciate con lo stesso numero
di nodi( i punti in cui le curve
intersecano se stesse )
Se un punto è intersezione di due
curve, il punto che gli corrisponde
risulta intersezione delle curve
corrispondenti
Una tazza ed una ciambella sono omeomorfi.
Dalla "deformazione senza strappi" mostrata in
figura si può infatti costruire un omeomorfismo fra
i due oggetti.
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La proiettività avviene mediante delle proiezioni a partire da
un punto detto "centro di proiezione".
Un esempio noto di proiettività è
l’ombra di un oggetto sottoposto a
una lampadina, fonte di luce
relativamente vicina a noi.
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La proiettività avviene mediante delle proiezioni a partire da un punto detto "centro di
proiezione".
Un esempio noto di proiettività è
l’ombra di un oggetto sottoposto a
una lampadina, fonte di luce
relativamente vicina a noi.
Notiamo che l’ombra del tavolo provocata dalla
lampadina è deformata rispetto alla figura di
partenza: mantiene solo l’allineamento dei punti delle
rette e la convessità (o la concavità) della figura
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Le trasformazioni affini sono particolari proiettività che mantengono anche il parallelismo tra
rette.
Se consideriamo ancora l’esempio comune dell’ombra, un’affinità è una trasformazione
che può derivare da una fonte di luce molto lontana, tendente all’infinito, come il sole, i
cui raggi sembrano essere paralleli tra loro.
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OMBRE:
AFFINITA’ e PROIETTIVITA’
Le ombre generate dal sole sono trasformazioni affini (conservano il parallelismo).
Quelle generate da una sorgente di luce sono proiettive (conservano l’allineamento).
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L’omotetia è una particolare affinità che conserva la forma delle figure e, in particolare, la congruenza fra gli angoli; inoltre
fra i segmenti esiste un rapporto costante, detto rapporto di similitudine.
Detto k il rapporto di similitudine:
• se k > 0 l'omotetia si dice diretta.
• se k < 0 l'omotetia si dice inversa.
• se k =1 si ha l'identità;
• se k = −1 si ha la simmetria rispetto all'origine.
B’
Il triangolo rosso è stato trasformato con
l’omotetia in quello blu, un triangolo simile.
Si può applicare lo stesso procedimento anche
a figure più complesse.
B
C’
C
A
A’
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Una trasformazione che consiste in un ingrandimento o
riduzione ha come invariante globale la FORMA delle figure.
Sono suoi invarianti :
•
L’ampiezza degli angoli
•
Il parallelismo
•
Il rapporto tra segmenti
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Le isometrie sono trasformazioni che conservano le distanze tra i punti, perciò le figure
trasformate risultano congruenti a quelle di partenza.
Sono isometrie le
traslazioni, le
rotazioni e le
simmetrie.
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L' identità è la trasformazione di ogni punto del piano associato a se stesso. In
un' identità tutti i punti sono uniti.
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Trasformazioni geometriche: LE ISOMETRIE
Sono trasformazioni geometriche nelle quali la
figura trasformata rimane congruente alla
figura iniziale, conservandone sia la forma e
sia la dimensione.
Le trasformazioni isometriche si ottengono
mediante movimenti rigidi delle figure, che
cambiano unicamente la loro posizione nel
piano.
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ISOMETRIE
Una trasformazione geometrica si chiama
isometria o congruenza quando, comunque si
scelgano due punti A e B del piano, se A’ e B’
sono i loro corrispondenti , il segmento A’B’
risulta congruente al segmento AB
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CONGRUENZA
Una particolare famiglia di
trasformazioni del piano
Le congruenze sono le
trasformazioni del piano che
conservano le distanze tra i punti
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LE ISOMETRIE
In matematica, e in particolare in geometria, si definisce isometria
(o trasformazione rigida) una trasformazione che non modifica le
distanze tra i punti (e, di conseguenza, le ampiezze degli angoli).
B'
B
F‘
F
A'
A
C
C'
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Le isometrie
Le principali isometrie sono:

Traslazioni
 Rotazioni
 Simmetria assiale
 Simmetria centrale
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Proprietà delle isometrie
In una isometria:
•a una retta corrisponde una retta
•a rette incidenti corrispondono rette incidenti
•a retta parallele corrispondono rette parallele
•a ogni triangolo corrisponde un triangolo ad esso congruente
•ad ogni angolo corrisponde un angolo ad esso congruente
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Identita’
L’identità è una trasformazione
geometrica che fa corrispondere a ogni
punto il punto stesso e quindi a ogni
figura la figura stessa
Poiché a un segmento corrisponde lo stesso
segmento, l’identità è una ISOMETRIA.
Inoltre un’ identità è una trasformazione
involutoria in cui tutti gli elementi sono uniti
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La traslazione
F’
F
r
La figura F con un lato
appoggiato sulla retta r è stata
spostata con un movimento
rigido ottenendo F’.
Destro  destro
Il movimento che ha portato F in F’ è una traslazione:
ogni punto di F si è spostato della stessa lunghezza
(6 cm), nella stessa direzione (parallelo ad r) e nello
stesso verso ( a destra) dando origine ad F’.
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Gli elementi che caratterizzano la
traslazione sono quindi tre:
1. La sua lunghezza (6 cm)
2. La sua direzione (parallela ad r)
3. Il suo verso (da sinistra a destra)
Queste tre caratteristiche definiscono un
segmento orientato, chiamato vettore,
indicato con v o con AB
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TRASLAZIONE
Fissato nel piano un vettore v, se a un punto
P del piano si fa corrispondere un punto P’
tale che PP’ = v si ha una corrispondenza
biunivoca tra i punti del piano , che si chiama
Traslazione di vettore v.
v
P’
P
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Per individuare un vettore occorre indicare:
La sua direzione, cioè la retta a cui appartiene
Il suo verso, che indica il senso di percorrenza
La sua intensità o modulo, che rappresenta la
lunghezza del segmento AB
Teorema: la traslazione è un’isometria
Con questo teorema affermiamo che
due figure che si corrispondono in una
traslazione sono congruenti.
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Inoltre la traslazione ha come caratteristiche
invarianti:
L’allineamento dei punti
La lunghezza dei segmenti
L’ampiezza degli angoli
Il parallelismo
Le direzioni
Il rapporto tra segmenti
L’orientamento dei punti del piano
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La rotazione
Un’altra trasformazione che mantiene
invariate tutte le misure lineari e
angolari è la rotazione attorno ad un
punto.
Per definire una rotazione è necessario
che siano dati:
2.
Un punto, detto centro di rotazione
L’ampiezza dell’angolo di rotazione
3.
Il verso di rotazione (orario o antiorario)
1.
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ROTAZIONE
Siano dati in un piano un punto O e un angolo α di dato
verso;
per ogni punto del piano, si consideri la trasformazione
che associa a un punto P il punto P’ tale che sia OP
congruente a O’P’ e l’angolo POP’ congruente ad α
Si ottiene una corrispondenza biunivoca che si dice
Rotazione
di ampiezza α intorno al centro O .
P’.
α
.
P
O
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Teorema: la rotazione è un’isometria
La rotazione quindi ha le proprietà delle
isometrie ed in particolare trasforma una
figura in un’altra ad essa congruente.
Valgono le seguenti proprietà:
Il solo punto unito è il centro di rotazione
Non esistono rette unite se non quelle che si
corrispondono in una rotazione pari ad un angolo
piatto
La rotazione di ampiezza pari ad un angolo giro
coincide con la trasformazione identità
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La rotazione ha come caratteristiche invarianti:
L’allineamento dei punti
La lunghezza dei segmenti
Il parallelismo
L’ampiezza degli angoli
Il rapporto tra segmenti
L’orientamento dei punti del piano
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Una Rotazione Particolare:
La Simmetria Centrale
Una rotazione di 180° attorno ad un punto C è
una simmetria centrale.
Il centro di simmetria è il centro della rotazione
Destro va in destro
Teorema: la simmetria centrale è un’isometria
Questo teorema garantisce che due figure
simmetriche rispetto ad un punto sono congruenti
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SIMMETRIA
CENTRALE
Si dice simmetria centrale la trasformazione
che fa corrispondere a un punto del piano il
suo simmetrico rispetto a un dato punto 0,
detto centro della simmetria
0
P’
.
P
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Simmetria centrale

Fissato il punto O
come centro di
simmetria, il punto
A’ è simmetrico di A
rispetto al centro O
se O è punto medio
del segmento AA’
A’
O
A
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Ogni retta passante per il centro è una retta unita,
ma non fissa perché cambia l’ordinamento dei suoi
punti
Come in ogni rotazione l’unico punto fisso è il
centro
Due segmenti, o rette che si corrispondono in una
simmetria centrale sono paralleli
La simmetria centrale è involutoria
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Il Ribaltamento:
La Simmetria Assiale
Esistono situazioni in cui le figure mantengono le loro
misure, ma si ‘ribaltano’ generando figure simmetriche
rispetto ad un asse.
Definizione: si dice simmetria assiale la trasformazione
che, data una retta r, associa ad un punto P il suo
simmetrico P’ rispetto ad r.
La retta r prende il nome di asse di simmetria.
P'
r
M
P
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Simmetria assiale

Fissata una retta r
come asse di
simmetria, il punto
A’ è simmetrico di A
rispetto alla retta r
se r è l’asse del
segmento AA’
A
r
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Segmenti corrispondenti sono uguali
Si conservano gli angoli
Triangoli corrispondenti sono congruenti
Sinistro  destro
Teorema: la simmetria assiale è un’isometria
Questo teorema ci permette di dire che due figure che
si corrispondono in una simmetria assiale sono
congruenti.
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Una retta a perpendicolare all’asse di
simmetria ha per trasformata se stessa ed è
quindi una retta unita;

Attenzione però: non è una retta di punti uniti perché ciascun punto della retta non ha come
.
Una retta a // all’asse di simmetria ha per
trasformata una retta a’ ancora // all’asse e
quindi a a stessa.
Ogni punto dell’asse di simmetria è unito
perché gli corrisponde se stesso
trasformato se stesso
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Se A’ è il trasformato di A nella simmetria di
asse r, il trasformato di A’ è ancora A e quindi la
trasformazione è involutoria;
 Se i vertici del triangolo ABC si susseguono in
senso orario, i loro corrispondenti A’B’C’ si
susseguono in senso antiorario e quindi
l’ordinamento dei punti non è un’invariante (è
un’isometria invertente)

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Un angolo ha come asse di simmetria la sua bisettrice
Un triangolo ha un asse di simmetria solo se è isoscele
Il rombo ha due assi di simmetria (diagonali)
Il cerchio infiniti assi di simmetria
Gli invarianti della simmetria assiale sono:
L’allineamento dei punti
La lunghezza dei segmenti
Il parallelismo
Il rapporto tra segmenti
L’orientamento dei punti del piano
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ISOMETRIE IN NATURA E NELL’ARTE
In natura si possono individuare forme geometriche
interpretabili assumendo come modello le trasformazioni
isometriche.
Le più frequenti sono la simmetria centrale e la simmetria
assiale, presenti in natura sia nelle forme più elementari quali
le diatomee, i protozoi e i cristalli di neve, sia in fiori, piante,
pesci, uccelli, mammiferi.
Nell’arte sin dall’antichità le trasformazioni isometriche del
piano sono state usate per creare fregi ornamentali e
pavimentazioni, per decorare soffitti e pareti di palazzi, per
disegnare tessuti, per costruire rosoni ed edifici monumentali,
realizzare statue.
Nigro Gerardina

La simmetria centrale e la simmetria
assiale sono involutorie
 La rotazione, in generale, non è
involutoria a meno che l’angolo di
rotazione non sia un angolo piatto o
nullo. Se è piatto la rotazione è una
simmetria centrale, se è nullo la
rotazione coincide con l’identità
 La traslazione non è involutoria
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fiocchi di neve
medusa
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rosoni
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porta dei leoni (XV sec a.C.) Micene
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fregio
disegno di tessuto
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