Capitolo 13
SPINTA DELLE TERRE
CAPITOLO 13
SPINTA DELLE TERRE
La determinazione della spinta esercitata dal terreno contro un’opera di sostegno è un
problema classico di ingegneria geotecnica che, ancora oggi, nonostante l’enorme ampliamento delle conoscenze, viene affrontato utilizzando due teorie “storiche”, opportunamente modificate e integrate alla luce del principio delle tensioni efficaci: la teoria di
Rankine (1857) e la teoria di Coulomb (1776). Entrambi i metodi assumono superfici di
scorrimento piane, ma per effetto dell’attrito fra la parete e il terreno, le reali superfici di
scorrimento sono in parte curvilinee, ed risultati che si ottengono applicando i metodi
classici, specie per le condizioni di spinta passiva (resistente) sono spesso non cautelativi.
È pertanto opportuno riferirsi, almeno per il calcolo della spinta passiva, al metodo di Caquot e Kérisel (1948) che è il più noto e applicato metodo fra quelli che assumono superfici di scorrimento curvilinee.
13.1 Teoria di Rankine (1857)
Si consideri un generico punto
A alla profondità Z in un deposito di terreno incoerente (c’ =
0), omogeneo e asciutto (o coZ
munque sopra falda), avente peσ’v0 = γ Z
so di volume γ costante con la
profondità,
e
delimitato σ’ = K σ’
h0
0 v0
superiormente da una superficie
A
piana e orizzontale (Figura
13.1).
Per ragioni di simmetria lo stato
tensionale (geostatico) è assialsimmetrico. La pressione inter- Figura 13.1 – Tensioni geostatiche in un deposito di terreno
omogeneo, incoerente, delimitato da una superificie piana e
stiziale è zero (terreno asciutto),
orizzontale
per cui le tensioni totali ed efficaci coincidono.
Nel punto A:
- la tensione verticale σ'v0 è staticamente determinata dalla condizione di equilibrio alla
traslazione in direzione verticale, e vale: σ'v0 = γZ;
- la tensione orizzontale σ'h0 è eguale in tutte le direzioni, non è staticamente determinata, e vale: σ'h0 = K0 σ'v0.
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Il coefficiente di spinta a riposo, K0, può essere misurato sperimentalmente o più spesso
stimato con formule empiriche1.
Poiché di norma K0 è minore di 1, la tensione verticale σ'v0 corrisponde alla tensione
principale maggiore σ'1, mentre la tensione orizzontale σ'h0 corrisponde alla tensione
principale minore σ'3. Per simmetria assiale la tensione principale intermedia σ'2 è eguale
alla tensione principale minore σ'3.
Sia la tensione verticale σ’v0 che la tensione orizzontale σ’h0 valgono zero in superficie
(Z=0) e variano linearmente con la profondità Z, rispettivamente con gradiente γ e con
gradiente K0 γ.
Assumiamo che il terreno abbia resistenza al taglio definita dal criterio di rottura di MohrCoulomb:
τ = σ'⋅ tan φ'
(Eq. 13.1)
τ
In Figura 13.2 è rappresentato nel
piano di Mohr il cerchio corrisponφ’
dente allo stato tensionale geostatico
nel punto A e la retta inviluppo a
Cerchio O
rottura.
Supponiamo ora di inserire, a sinistra e a destra del punto A, due pareσ’ ti verticali ideali, cioè tali da non
σ’v0
σ’h0
modificare lo stato tensionale nel
terreno (Figura 13.3). Alla generica
profondità z, sui due lati di ciascuna
Figura 13.2 – Stato tensionale geostatico nel punto A
parete, si esercita la tensione orizzontale efficace σ'h0 = K0 γ z.
La spinta orizzontale S0 (risultante delle tensioni orizzontali efficaci) presente sui due lati
di ciascuna parete, dal piano di campagna fino ad una generica profondità H, vale:
H
1
S0 = ∫ σ h' 0 ⋅ dz = ⋅ γ ⋅ H 2 ⋅ K 0
(Eq. 13.2)
2
0
1
Per la stima del coefficiente di spinta a riposo, K0, sono state proposte diverse equazioni empiriche, come
già visto nel Capitolo 3, le più note e utilizzate delle quali sono:
per terreni NC:
K 0 ( NC) ≅ (1 − senφ')
K 0 (OC) ≅ K 0 ( NC) ⋅ OCR 0,5
Per avere un’idea anche quantitativa dei valori di K0 si consideri che per φ’=30°, applicando le equazioni
sopra scritte si stima:
per OCR = 1 (terreno normalmente consolidato)
K0 ≈ 0,50
per OCR = 2 (terreno debolmente sovraconsolidato)
K0 ≈ 0,71
per OCR = 4 (terreno mediamente sovraconsolidato)
K0 ≈ 1,00
per OCR = 10 (terreno fortemente sovraconsolidato)
K0 ≈ 1,58
ovvero, in un terreno NC la tensione geostatica orizzontale σ’h0 è circa la metà di quella verticale, per OCR
= 4 lo stato tensionale geostatico è isotropo, mentre per OCR > 4 la tensione geostatica orizzontale σ’h0 diviene tensione principale maggiore.
e per terreni OC:
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La profondità Z0 della retta di applicazione di S0, vale:
H
∫σ
'
h0
⋅ z ⋅ dz
(Eq. 13.3)
2
⋅H
S0
3
che corrisponde alla profondità del baricentro dell’area triangolare del diagramma di pressione orizzontale di altezza H e base K0 γ H.
Supponiamo ora di allontanare gradualmente le due pareti (Figura 13.4). Nel punto A
permangono condizioni di simmetria, per cui le tensioni verticale ed orizzontali sono ancora principali. La tensione verticale σ’v0 = γZ non varia, mentre la tensione orizzontale
efficace si riduce progressivamente.
Z0 =
=
0
σ’h0
σ’h0
Z 0 = 2/3 H
σ’v0
A
σ’ha
H
A
S0
K 0γ H
K 0γ H
Figura 13.3 – Spinta a riposo
Figura 13.4 – Condizione di spinta attiva
Il cerchio di Mohr, rappresentativo dello stato tensionale in A, si modifica di conseguenza: la tensione principale maggiore σ’1 = σ’v0 rimane costante, mentre la tensione principale minore σ’3 si riduce progressivamente dal valore iniziale σ’h0 al valore minimo compatibile con l’equilibrio, σ’ha, detta tensione limite attiva, che corrisponde alla tensione
principale minore del cerchio di Mohr tangente alla retta di inviluppo a rottura (Figura
13.5).
Il raggio del cerchio di Mohr dello
π/4+ϕ’/2
stato di tensione limite attiva è R = ½ τ
(σ’v0-σ’ha), ed il centro è ad una diφ’
stanza dall’origine OC = ½
(σ’v0+σ’ha).
Cerchio A
Considerando il triangolo rettangolo τ
Cerchio O
F
f
OFC (Figura 13.5), si ha:
R
R = FC = OC ⋅ senφ '
(
)
(
)
1
1
⋅ σ v' 0 − σ ha' = ⋅ σ v' 0 + σ ha' ⋅ senφ '
2
2
O
σ’ha
σ’
h0
C
σ’v0
σ’
Figura 13.5 – Stato tensionale attivo (limite inferiore)
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σ ha' ⋅ (1 + senφ ' ) = σ v' 0 ⋅ (1 − senφ ' )
1 − senφ ' '
⎛ π φ' ⎞
⋅ σ v 0 = tan 2 ⎜ − ⎟ ⋅ σ v' 0
1 + senφ '
⎝4 2⎠
Il rapporto:
1 − senφ'
⎛ π φ' ⎞
= tan 2 ⎜ − ⎟
KA =
1 + senφ'
⎝4 2⎠
è detto coefficiente di spinta attiva.
Dunque si può scrivere:
σ ha' =
(Eq. 13.4)
σ'ha = K A ⋅ σ'vo
(Eq. 13.5)
La tensione tangenziale critica, il cui valore τf è l’ordinata del punto F di tangenza del
cerchio di Mohr con la retta di inviluppo a rottura, agisce su un piano che forma un ango⎛ π φ' ⎞
lo di ⎜ + ⎟ con la direzione orizzontale (Figura 13.5).In condizioni di rottura per rag⎝4 2⎠
giungimento dello stato di equilibrio limite inferiore (spinta attiva), il terreno inizia a
scorrere lungo questi piani (Figura 13.6).
σ’v0
π/4+φ’/2
π/4+φ’/2
A
τf
A
Z
σ’ha
σ’f
Figura 13.6 – Piani di scorrimento nella condizione di spinta attiva
La spinta orizzontale SA presente sui
lati interni di ciascuna parete ideale,
dal piano di campagna fino ad una generica profondità H (Figura 13.7), vale:
H
SA = ∫ σ
0
'
hA
1
⋅ dz = ⋅ γ ⋅ H 2 ⋅ K A
2
σ’ha
A
(Eq.
13.6)
Z A= 2/3 H
H
SA
Poiché anche in questo caso il diagramma di pressione orizzontale è
KAγ H
triangolare, la profondità ZA della retta Figura 13.7 –Diagramma delle
tensioni efficaci orizdi applicazione di SA vale:
zontali in condizione di spinta attiva
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2
⋅ H = Z0
3
ZA =
(Eq. 13.7)
Se si suppone ora di avvicinare le due
pareti verticali ideali, alla destra ed alla
sinistra del punto A, la tensione verticale efficace non subisce variazioni
mentre quella orizzontale progressivamente cresce fino al valore massimo
compatibile con il criterio di rottura di
Mohr-Coulomb (Figura 13.8).
In tali condizioni la tensione verticale
efficace, corrisponde alla tensione
principale minore, σ’v0 = σ’3, e quella
orizzontale, detta tensione limite passiva, σ’hp, alla tensione principale
maggiore, σ’hp = σ’1 (Figura 13.9).
σ’hp
σ’v0
A
Procedendo in modo analogo a quanto
già fatto per la condizione di spinta atFigura 13.8 – Condizione di spinta passiva
tiva, si ottiene:
σ 'hp =
1 + senφ' '
⋅ σ v 0 = K P ⋅ σ 'vo
1 − senφ'
(Eq. 13.8)
Il rapporto:
è detto coefficiente di spinta passiva.
1 + senφ'
⎛ π φ' ⎞ 1
KP =
= tan 2 ⎜ + ⎟ =
1 − senφ'
⎝ 4 2 ⎠ KA
(Eq. 13.9)
Le tensioni tangenziali critiche agi- τ
scono su piani che formano un ango⎛π
⎝4
lo di ⎜ −
φ' ⎞
⎟ con la direzione oriz2⎠
π/4-φ’/2
τf
φ’
F
Cerchio P
R
Cerchio O
zontale (Figura 13.9). In condizioni
di rottura per raggiungimento dello
stato di equilibrio limite superiore
O
C
σ’h0
σ’v0 C
σ’hp σ’
(spinta passiva), il terreno inizia a
scorrere lungo questi piani (Figura Figura 13.9 – Stato tensionale passivo (limite superiore)
13.10).
La spinta orizzontale SP presente sui lati interni di ciascuna parete ideale dal piano di
campagna fino ad una generica profondità H (Figura 13.11), vale:
H
∫
S P = σ 'hP ⋅ dZ =
0
1
⋅ γ ⋅ H2 ⋅ KP
2
(Eq. 13.10)
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σ’v0
π/4 - φ’/2
π/4 - φ’/2
A
τf
σ’hp
Z
σ’ f
A
Figura 13.10 – Piani di scorrimento nella condizione di spinta passiva
σ’hp
Z P= 2/3 H
H
A
SP
KP γ H
Figura 13.11 –Diagramma delle tensioni efficaci orizzontali in condizione di spinta passiva
Poiché anche in questo caso il diagramma di pressione orizzontale è triangolare la profondità ZP della retta di applicazione di SP, vale:
2
⋅ H = Z0
3
ZP =
(Eq. 13.11)
I coefficienti di spinta attiva, KA, e passiva, KP, rappresentano i valori limite, rispettivamente inferiore e superiore, del rapporto tra le tensioni efficaci orizzontale e verticale:
KA ≤
σ 'h
σ 'v 0
≤ KP
(Eq. 13.12)
In particolare il valore del coefficiente di spinta a riposo, K0, è compreso tra il valore di
KA e quello di KP.2
2
Utilizzando per la stima di K0 le equazioni empiriche viste in precedenza si può constatare che i valori di
K0 sono molto più prossimi al limite inferiore KA che al limite superiore KP.
A titolo di esempio per φ’ = 30° si stima: KA = 0,333; K0 = 0,5; KP = 3
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13.1.1 Osservazioni sperimentali sull’effetto del movimento della parete sul diagramma
di pressione orizzontale
La distribuzione delle pressioni orizzontali dipende dal movimento della parete.
In Figura 13.12 sono qualitativamente
mostrati i diagrammi di pressione orizzontale contro una parete rigida in funzione del movimento della parete. Inoltre, è stato sperimentalmente osservato
(Tabella 13.1 e Figura 13.13) che le deformazioni di espansione necessarie per
far decadere la pressione orizzontale dal
valore σ’h0, che corrisponde allo stato
indeformato, al valore limite inferiore
σ’ha, sono piccole, e comunque molto
inferiori alle deformazioni di compressione necessarie per far elevare la pressione orizzontale dal valore σ’h0, al valore limite superiore σ’hp. Pertanto è
buona norma riferirsi all’angolo di resistenza al taglio di picco per il calcolo
della spinta attiva, ed all’angolo di resistenza al taglio a volume costante (ovvero per grandi deformazioni) per il calcolo della spinta passiva.
Passiva
Kp
Attiva
Rotazione rispetto alla testa K a K 0
Passiva
Kp
Pressione orizzontale
Pressione orizzontale
Rotazione rispetto al piede
Passiva
Attiva
Ka K0
Pressione orizzontale
Attiva
13.1.2 Effetto dell’inclinazione della
superficie del deposito
Se il deposito di terreno incoerente (c’ =
0), omogeneo e asciutto, avente peso di
Ka K0
volume γ costante con la profondità, è K p
Traslazione uniforme
delimitato superiormente da una superficie piana, inclinata di un angolo β < φ’
rispetto all’orizzontale, le tensioni principali non corrispondono più alle ten- Figura 13.12 – Diagrammi di pressione orizzontale contro una parete rigida. Dipendenza dai movisioni verticale ed orizzontali.
Si consideri un concio di terreno di lar- menti della parete
ghezza b e altezza Z, delimitato inferiormente da una superficie parallela al piano campagna e lateralmente da due superfici
ideali verticali (Figura 13.14). Per ragioni di simmetria, le risultanti delle tensioni che agiscono sulle due superfici laterali sono due forze S, eguali ed opposte, aventi la stessa retta
d’azione inclinata dell’angolo β sull’orizzontale.
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Tabella 13.1: Entità delle rotazioni della parete per raggiungere la rottura (con riferimento ai
simboli di Figura 13.13)
Terreno
Rotazione Y / H
Decompressione
(Stato attivo)
0,001
0,004
0,010
0,020
Incoerente denso
Incoerente sciolto
Coesivo consistente
Coesivo molle
Compressione
(Stato passivo)
0,020
0,060
0,020
0,040
Rapporto tra pressione orizzontale e verticale, K
Consideriamo l’equilibrio del concio:
- le forze S si elidono l’una con l’altra e
Sabbia densa
non intervengono nelle equazioni di
equilibrio;
Sabbia sciolta
- il concio ha peso W = γ Z b; la forza
Kp
W è verticale;
- la base del concio ha lunghezza l =
Stato passivo
Stato attivo
K0
b/cosβ;
Sabbia sciolta
- la risultante delle tensioni normali alKa
Sabbia compatta
la base del concio vale: N = W cosβ ;
Sabbia densa
- la risultante delle tensioni tangenziali
alla base del concio vale: T = W
Rotazione del muro, Y/H
sen β;
Figura 13.13 – Effetti del movimento della parete
- la tensione normale alla base del con- sulla pressione orizzontale esercitata da sabbia
cio vale: σ’n =N/l = γ Z cos2 β;
- la tensione tangenziale alla base del
concio vale: τ =T/l = γ Z sen β cos β.
Nel piano di Mohr il punto Q di coordinate σ’n – τ rappresenta la tensione agente sul piano di base del concio, alla profondità Z inclinato dell’angolo β rispetto all’orizzontale. Il
punto Q appartiene ad una retta di equazione τ = σ’ tan β (Figura 13.15).
b
β
S
S
τ
φ’
Z
W
Q
β
τ = γ Z senβcosβ
T
O
N
2
σ’n = γ Z cos β
σ’
l
Figura 13.14 – Condizione di equilibrio in Figura 13.15 – Stato di tensione sul piano alla base
un semispazio omogeneo, incoerente e a- del concio
sciutto delimitato da una superficie piana e
inclinata
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Il segmento OQ = γZ cos β = σ’v0 rappresenta la tensione verticale sul piano alla base del
concio.
Tutti i cerchi di Mohr passanti per il punto Q e sottostanti alla retta di inviluppo a rottura
di equazione τ = σ’ tanφ’ rappresentano stati di tensione alla profondità Z compatibili con
l’equilibrio.
Lo stato di tensione limite inferiore (attivo) e lo stato di tensione limite superiore (passivo) alla profondità Z sono rappresentati dai cerchi A e P di Figura 13.16.
τ
φ’
Cerchio P
Cerchio A
A
O
β
P
E
Q
B
σ’
C
Figura 13.16 – Stati di tensione limite in un deposito di terreno incoerente in pendio
I segmenti OA e OP (essendo A e P il polo dei relativi cerchi) sono rispettivamente il valore minimo, in condizioni di spinta attiva, ed il valore massimo, in condizioni di spinta
passiva, della tensione, inclinata dell’angolo β sull’orizzontale, agente sulla superficie
verticale alla profondità Z (il piano verticale non è principale, su di esso insistono una
tensione normale ed una tensione tangenziale).
Le spinte attiva, SA, e passiva, SP, sono le forze limite di equilibrio agenti su una parete
verticale e inclinate dell’angolo β rispetto all’orizzontale, corrispondenti alle rispettive aree dei diagrammi di pressione.
Si consideri il cerchio A:
σ a' = OA = OB − AB
OQ = γ ⋅ Z ⋅ cos β = OB + BQ
= OB + AB
⎛ OB − AB ⎞
⎟ ⋅ γ ⋅ Z ⋅ cos β
⎝ OB + AB ⎠
OB = OC ⋅ cos β
AC = EC = R = OC ⋅ senφ '
σ a' = ⎜
BC = OC ⋅ senβ
AB = AC2 − BC 2 =
(OC ⋅ senφ ')2 − (OC ⋅ senβ )2
= OC ⋅ senφ '2 −senβ 2
2
2
⎛
⎛ OC ⋅ cos β − OC ⋅ senφ ' 2 −senβ 2 ⎞
⎟ ⋅ γ ⋅ Z ⋅ cos β = ⎜ cos β − 1 − cos φ ' −1 + cos β
⎜ cos β + 1 − cos φ ' 2 −1 + cos β 2
⎜ OC ⋅ cos β + OC ⋅ senφ ' 2 −senβ 2 ⎟
⎝
⎠
⎝
2
2
⎛ cos β − cos β − cos φ ' ⎞
⎟ ⋅ γ ⋅ Z ⋅ cos β
=⎜
⎜ cos β + cos β 2 − cos φ ' 2 ⎟
⎝
⎠
σ a' = ⎜
⎞
⎟ ⋅ γ ⋅ Z ⋅ cos β =
⎟
⎠
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SPINTA DELLE TERRE
Da cui:
σ a' = K A ⋅ σ ' v 0
(Eq. 13.13)
essendo:
⎛ cos β − cos β 2 − cos φ ' 2
KA = ⎜
⎜ cos β + cos β 2 − cos φ ' 2
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
(Eq. 13.14)
La spinta attiva, dal piano di campagna fino alla profondità Z, è data da:
S A = γ ⋅ cos β ⋅
Z2
⋅ KA
2
(Eq. 13.15)
Analogamente, considerando il cerchio P, si ottiene:
σ p' = K P ⋅ σ ' v 0
(Eq. 13.16)
essendo:
⎛ cos β + cos β 2 − cos φ ' 2 ⎞
⎟
KP = ⎜
⎜ cos β − cos β 2 − cos φ '2 ⎟
(Eq. 13.17)
⎝
⎠
La spinta passiva dal piano di campagna fino alla profondità Z risulta:
Z2
(Eq. 13.18)
SP = γ ⋅ cos β ⋅
⋅ KP
2
Per la condizione di spinta a riposo, staticamente indeterminata, si assume in genere:
K 0,i = K 0 ⋅ (1 + senβ) = (1 − senφ' ) ⋅ (1 + senβ)
(Eq. 13.19)
13.1.3 Effetto della coesione
τ
Se il deposito di terreno asciutto,
omogeneo e delimitato da una
superficie orizzontale è dotato
anche di coesione oltre che di attrito, ovvero ha resistenza al taglio definita dal criterio di rottura
di Mohr-Coulomb:
σ’
τ = c'+σ'⋅ tan φ'
(Eq. 13.20)
φ’
F
R
c’
O
c’
tan ϕ’
σ’3
C
σ’1
σ1’ + σ’3
2
la relazioni che legano le tensioni
principali per uno stato tensionale
di equilibrio limite sono le seFigura 13.17 – Stato tensionale di equilibrio limite per un
guenti (Figura 13.17):
terreno dotato di coesione e di attrito
⎛ π φ' ⎞
⎛ π φ' ⎞
+ ⎟ + 2 ⋅ c'⋅ tan⎜ + ⎟
(Eq. 13.21)
⎝4 2⎠
⎝4 2⎠
⎛ π φ' ⎞
⎛ π φ' ⎞
σ 3' = σ 1' ⋅ tan 2 ⎜ − ⎟ − 2 ⋅ c'⋅ tan⎜ − ⎟
(Eq. 13.22)
⎝4 2⎠
⎝4 2⎠
Pertanto, in condizioni di spinta attiva, quando la tensione orizzontale corrisponde alla
tensione principale minore e la tensione verticale a quella maggiore, si ha:
σ 1' = σ 3' ⋅ tan 2 ⎜
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⎛ π φ' ⎞
⎛ π φ' ⎞
σ 'h ,a = γ ⋅ Z ⋅ tan 2 ⎜ − ⎟ − 2 ⋅ c'⋅ tan⎜ − ⎟ = γ ⋅ Z ⋅ K A − 2 ⋅ c'⋅ K A
(Eq. 13.23)
⎝4 2⎠
⎝4 2⎠
Poiché il terreno non ha resistenza a trazione, l’equazione soprascritta è valida per Z > Zc,
essendo Zc la profondità critica per la quale risulta σ’ha = 0:
2 ⋅ c'
Zc =
(Eq. 13.24)
γ ⋅ KA
mentre per Z < Zc si assume σ’h = 0.
Per il calcolo della spinta attiva e della profondità di applicazione si fa riferimento al diagramma di Figura 13.183.
In condizioni di spinta passiva, quando la tensione orizzontale corrisponde alla tensione
principale maggiore e la tensione verticale a quella minore, si ha:
⎛ π φ' ⎞
⎛ π φ' ⎞
σ 'h ,p = γ ⋅ Z ⋅ tan 2 ⎜ + ⎟ + 2 ⋅ c'⋅ tan⎜ + ⎟ = γ ⋅ Z ⋅ K P + 2 ⋅ c'⋅ K P
(Eq. 13.25)
⎝4 2⎠
⎝4 2⎠
Per il calcolo della spinta passiva e della profondità di applicazione si fa riferimento al
diagramma di Figura 13.19:
1
S P ( Z ) = S P ,1 + S P , 2 = 2 ⋅ c'⋅ K P ⋅ Z + ⋅ γ ⋅ Z 2 ⋅ K P
(Eq. 13.26)
2
2
Z
S P ,1 ⋅ + S P , 2 ⋅ ⋅ Z
(Eq. 13.27)
2
3
⋅
Z (S P ) =
S P (Z )
2 c’ K a
2 c’ K p
ZC =
2/3 (Z - Z C )
2c’
SW
γ Ka
Z/2
2/3 Z
γ w Ζc
Z
Z
S’P,1
S’P,2
S’A
σ’ (Z)
σ’ (Z)
ha
hp
Figura 13.18 – Diagramma di spinta attiva in Figura 13.19 – Diagramma di spinta passiva in
un terreno dotato di coesione e attrito
un terreno dotato di coesione e attrito
3
Nella fascia di spessore Zc il terreno sarà interessato da fessure verticali di trazione che possono riempirsi
di acqua, ad esempio per la pioggia. Si tiene conto di tale possibilità considerando, per il calcolo della spinta, anche un triangolo di pressione idrostatica di altezza Zc e base γw Zc.
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Nel caso in cui, in presenza di un
τ
terreno coesivo, si faccia riferimento a condizioni non drenate
(come quelle che possono verifiϕ=0
carsi
immediatamente
dopo
l’esecuzione di uno scavo o la co- cu
struzione di un’opera di sostegno),
σ
σ’ σ
σ v0
σ h,p
h,a
per determinare la spinta attiva e
passiva bisogna applicare il criterio di rottura di Mohr-Coulomb
(Eq. 13.20) in termini di tensioni
Figura 13.20 – Stati pensionali limite attivo e passivo
totali (ϕ = 0, c = cu) e la tensione per un terreno coesivo in condizioni non drenate
limite attiva e passiva diventano
rispettivamente (Figura 13.20):
σ ha = σ v 0 − 2c u
(Eq. 13.28)
f
σ hp = σ v 0 + 2c u
(Eq. 13.29)
13.1.4 Terreni stratificati
Se il deposito di terreno è costituito da strati orizzontali omogenei, la spinta totale esercitata sulla parete verticale è la somma dei contribuiti di ciascuno strato. Il generico strato iesimo, di spessore Hi, fra le profondità Zi-1 e Zi, costituto da un terreno avente peso di volume γi e resistenza al taglio: τ = c i' + σ'⋅ tan φ i' , eserciterà contro la parete verticale ideale
una spinta Si pari all’area del diagramma delle pressioni orizzontali nel tratto di sua competenza, applicata alla quota del baricentro di tale area (Figura 13.21).
σ’
σ’
ha
H1
1
H2
2
σ’ (Z
i-1
Hi
ha
i-1
hp
σ’ (Z
)
hp
i-1
)
S’A,i
i
S’P,,i
σ’ (Z )
i+1
ha
σ’ (Z )
i
hp
Z
i
Z
Figura 13.21 – Spinta attiva e passiva in un terreno a strati orizzontali omogenei
236
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Capitolo 13
SPINTA DELLE TERRE
La tensione verticale agente al tetto dello strato i-esimo, alla profondità Zi-1, vale:
i −1
σ v' 0 ( Zi−1 ) = ∑ γ j ⋅ H j
(Eq. 13.30)
j=1
La tensione verticale agente alla base dello strato i-esimo, alla profondità Zi, vale:
σ 'v 0 ( Z i ) = σ 'v 0 ( Z i −1 ) + γ i ⋅ H i
(Eq. 13.31)
Il diagramma delle pressioni orizzontali in condizioni di spinta attiva è un trapezio avente:
altezza
Hi,
σ 'ha ( Z i −1 ) = σ 'v 0 ( Z i −1 ) ⋅ K A ,i − 2 ⋅ c i' ⋅ K A ,i ≥ 0 ,
base minore
e base maggiore
σ 'ha ( Z i ) = σ 'v 0 ( Z i ) ⋅ K A ,i − 2 ⋅ c i' ⋅ K A ,i ≥ 0
Poiché il terreno non ha resistenza a trazione:
- se i valori di σ’ha(Zi-1) e di σ’ha(Zi), calcolati con le formule precedenti, risultano entrambi minori di zero lo strato non esercita alcuna spinta,
- se il valore di σ’ha(Zi-1), calcolato con la formula precedente, risulta minore di zero per
il calcolo della spinta si considera il diagramma di pressione positiva triangolare4 (ovvero si assume σ’ha(Zi-1) = 0).
Il diagramma delle pressioni orizzontali in condizioni di spinta passiva è un trapezio avente:
altezza
Hi,
base minore
σ 'hp ( Z i −1 ) = σ 'v 0 ( Z i −1 ) ⋅ K P ,i + 2 ⋅ c i' ⋅ K P ,i ,
e base maggiore
σ 'hp ( Z i ) = σ 'v 0 ( Z i ) ⋅ K P ,i + 2 ⋅ c i' ⋅ K P ,i
13.2 Teoria di Coulomb (1776)
Molto prima di Rankine, il problema della determinazione della spinta esercitata dal terreno su un’opera di sostegno era stato affrontato dall’ingegnere militare francese Coulomb con un metodo basato sull’equilibrio delle forze in gioco.
Si consideri una parete di altezza H che sostenga un terrapieno di sabbia omogenea e asciutta.
Per semplicità di esposizione assumiamo, per il momento, le seguenti ipotesi:
1.
assenza di attrito tra parete e terreno,
2.
parete del muro verticale,
3.
superficie del terrapieno orizzontale,
terreno omogeneo, incoerente e asciutto, con peso di volume γ e resistenza al taglio:
4.
τ = σ’ tanφ’
5.
superficie di scorrimento piana.
4
In entrambi i casi, nelle zone non compresse in direzione orizzontale si dovrà tenere conto della spinta esercitata dall’acqua di percolazione.
237
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Capitolo 13
SPINTA DELLE TERRE
Per determinare il valore della spinta attiva, PA, limite inferiore dell’equilibrio, supponiamo di traslare gradualmente la parete verso l’esterno fino a produrre la rottura del terreno. La rottura si manifesta, nell’ipotesi di Coulomb, con il distacco di un cuneo di terreno ABC che scorre verso l’esterno e verso il basso su una superficie di rottura piana e inclinata di un angolo η sull’orizzontale, incognito (Figura 13.22). Il cuneo ABC trasla nella posizione A’B’C’.
In condizioni di equilibrio limite le forze che agiscono sul cuneo, rappresentate nel poligono delle forze di Figura 13.23, sono:
1
- il peso proprio W = ⋅ γ ⋅ H 2 ⋅ cot η , che agisce in direzione verticale,
2
- la risultante R delle tensioni normali e tangenziali sulla superficie di scorrimento, che è
inclinata di un angolo φ’ rispetto alla normale alla superficie AC, con componente tangente diretta verso l’alto, ovvero tale da opporsi al movimento incipiente del cuneo,
- e la spinta attiva PA, che agisce in direzione orizzontale per l’ipotesi di assenza di attrito tra parete e terreno.
H
tan η
B
C
B’
PA
C’
H
W
PA
A
η
R
R
η−φ’
W
φ’
A’
Figura 13.22 – Cuneo di spinta attiva di Coulomb
Figura 13.23 – Poligono delle forze
relativo al cuneo di spinta attiva di
Coulomb
Per l’equilibrio è:
1
⋅ γ ⋅ H 2 ⋅ cot η ⋅ tan (η − φ') = f (η)
(Eq. 13.32)
2
Per determinare il valore di η che corrisponde alla condizione di equilibrio limite attivo,
ηcrit, e quindi PA, occorre fare la ricerca di massimo5 della funzione f(η), che può essere
∂P
condotta per via grafica o numerica, imponendo la condizione: A = 0 .
∂η
PA = W ⋅ tan(η − φ' ) =
5
Si tratta di una ricerca di massimo (e non di minimo) della funzione f(η), poiché si ricerca il valore di η
corrispondente al cuneo critico, ovvero al cuneo che richiede il valore più alto di PA per l’equilibrio limite
inferiore. Se si immagina, partendo ad esempio dalla condizione a riposo, di ridurre progressivamente la
forza P, quando si perviene al valore PA si manifesta la rottura con la formazione del cuneo inclinato
dell’angolo ηcrit sull’orizzontale.
238
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Capitolo 13
SPINTA DELLE TERRE
Così facendo si ricava il valore critico dell’angolo η, che risulta:
π φ'
η crit = +
4 2
(Eq. 13.33)
Sostituendo il valore critico di η nell’equazione di PA si ottiene infine:
1
⎛ π φ' ⎞ 1
PA = ⋅ γ ⋅ H 2 ⋅ tan 2 ⎜ − ⎟ = ⋅ γ ⋅ H 2 ⋅ K A
2
⎝4 2⎠ 2
L’espressione trovata coincide con quella di Rankine.
(Eq. 13.34)
Analogamente, per determinare il valore della spinta passiva, PP, limite superiore
dell’equilibrio, supponiamo di traslare gradualmente la parete verso l’interno fino a produrre la rottura del terreno. La rottura si manifesta, nell’ipotesi di Coulomb, con il distacco di un cuneo di terreno ABC che scorre verso l’interno e verso l’alto su una superficie
di rottura piana e inclinata di un angolo η sull’orizzontale, incognito (Figura 13.24). Il
cuneo ABC trasla nella posizione A’B’C’.
In condizioni di equilibrio limite le forze che agiscono sul cuneo, rappresentate nel poligono delle forze di Figura 13.25, sono:
H
tan η
B’
C’
B
η+φ’
C
R
W
H
W
PP
η
φ’
R
PP
A’
A
Figura 13.24– Cuneo di spinta passiva Coulomb
Figura 13.25– Poligono delle forze
relativo al cuneo di spinta passiva di
Coulomb
1
⋅ γ ⋅ H 2 ⋅ cot η , che agisce in direzione verticale,
2
la risultante R delle tensioni normali e tangenziali sulla superficie di scorrimento, che
è inclinata di un angolo φ’ rispetto alla normale alla superficie AC, con componente
tangente diretta verso il basso, ovvero tale da opporsi al movimento incipiente del cuneo,
- e la spinta attiva PP, che agisce in direzione orizzontale per l’ipotesi di assenza di attrito tra parete e terreno.
-
il peso proprio W =
Per l’equilibrio è:
PP = W ⋅ tan(η + φ' ) =
1
⋅ γ ⋅ H 2 ⋅ cot η ⋅ tan (η + φ') = f (η)
2
239
(Eq. 13.35)
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Capitolo 13
SPINTA DELLE TERRE
Per determinare il valore di η che corrisponde alla condizione di equilibrio limite passivo,
ηcrit, e quindi Pp, occorre fare la ricerca di minimo della funzione f(η), che può essere
∂P
condotta per via grafica o numerica, imponendo la condizione: P = 0 .
∂η
Così facendo si ricava il valore critico dell’angolo η, che risulta:
π φ'
η crit = −
(Eq. 13.36)
4 2
Sostituendo il valore critico di η nell’equazione di PP si ottiene infine:
1
⎛ π φ' ⎞ 1
PP = ⋅ γ ⋅ H 2 ⋅ tan 2 ⎜ + ⎟ = ⋅ γ ⋅ H 2 ⋅ K P
(Eq. 13.37)
2
⎝4 2⎠ 2
L’espressione trovata coincide con quella di Rankine.
β
Le ipotesi semplificative inizialmente introdotte, eccetto l’ipotesi
di superficie di scorrimento piana,
possono essere rimosse, a costo di
λ
una soluzione analitica più comW
plessa o a costo di rinunciare alla
soluzione analitica per una solu- H
φ’
zione grafica o numerica.
δ
PA
R
Si considerino, ad esempio gli
schemi delle Figure 13.26 e 13.27,
η
che rappresentano i cunei di spinta
attiva e passiva nelle seguenti ipo- Figura 13.26 – Cuneo di spinta attiva di Coulomb (terratesi:
pieno e parete inclinati,presenza di attrito tra terreno e
- parete di altezza H inclinata di muro, terreno incoerente)
un angolo λ sulla verticale,
- terrapieno omogeneo e incoerente delimitato da una superficie inclinata di un angolo
β sull’orizzontale,
- presenza di attrito tra parete e terreno, con coefficiente d’attrito tanδ,
- superficie di scorrimento piana.
β
H
PP
W
λ
δ
φ’
R
η
Figura 13.27 – Cuneo di spinta passiva di Coulomb (terrapieno e parete inclinati, presenza di attrito tra terreno e muro, terreno incoerente)
240
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SPINTA DELLE TERRE
Sviluppando il calcolo analitico, con riferimento ai simboli delle figure, si ottiene
per la condizione di spinta attiva:
1
PA = ⋅ γ ⋅ H 2 ⋅ K A
(Eq. 13.38)
2
cos 2 (φ '−λ )
KA =
2
⎡
(Eq. 13.39)
sen (δ + φ ') ⋅ sen (φ '− β ) ⎤
2
cos λ ⋅ cos(λ + δ ) ⋅ ⎢1 +
⎥
cos(λ + δ ) ⋅ cos(λ − β ) ⎦
⎣
e per la condizione di spinta passiva:
1
PP = ⋅ γ ⋅ H 2 ⋅ K P
2
cos 2 (φ '+ λ )
KP =
2
⎡
sen (δ + φ ') ⋅ sen (φ '+ β ) ⎤
2
cos λ ⋅ cos(λ − δ ) ⋅ ⎢1 −
⎥
cos(λ − δ ) ⋅ cos(λ − β ) ⎦
⎣
(Eq. 13.40)
(Eq. 13.41)
In Figura 13.28 è schematicamente rappresentato il caso per la condizione di spinta attiva
nell’ipotesi, ancor più generale, di :
parete non verticale,
terreno dotato di coesione e di attrito (τ = c’ + σ’ tanφ’),
superficie del terrapieno inclinata,
resistenza per adesione ed attrito all’interfaccia parete-terreno (τ = ca + σ’ tanδ),
fessure di trazione nella fascia superiore di terreno (per la condizione di spinta attiva)6.
La soluzione può essere ricercata per via grafica, con la costruzione di Culmann rappresentata in Figura 13.29, o numerica.
β
D
PA
Zc
A
R
E
W
C’
Ca F
W
Ca
φ’
PA
η
B
R
C’ = c’ BC
CA= ca BC
C’
δ
Figura 13.28 – Cuneo di spinta attiva di Coulomb (terrapieno e parete inclinati,presenza di attrito tra terreno e muro, terreno coesivo)e poligono delle forze
6
Come già detto, nelle fessure di trazione può infiltrarsi acqua di percolazione, per cui è opportuno considerare anche la conseguente spinta idrostatica aggiuntiva.
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Capitolo 13
SPINTA DELLE TERRE
Zc
C’
Linea di Culmann
φ’
C’
Ca
C
Diagramma delle forze
Poligono delle forze
(su una sezione)
Figura 13.29 – Costruzione di Culmann
Per lo spessore della zona di trazione si assume:
⎡ ⎛ c ⎞⎤
2 ⋅ c'⋅ ⎢1 + ⎜ a ⎟⎥
(Eq. 13.42)
⎣ ⎝ c' ⎠ ⎦
Zc =
γ ⋅ KA
La teoria di Coulomb è più versatile della teoria di Rankine, poiché permette di risolvere
condizioni geometriche e di carico generali ed è alla base del più diffuso metodo pseudostatico di calcolo della spinta in condizioni sismiche.
13.3 Teoria di Caquot e Kérisel
Sia la teoria di Rankine che quella di Coulomb ipotizzano superfici di scorrimento piane.
Tale ipotesi non è verificata a causa dell’interazione fra la parete dell’opera di sostegno
ed il terreno. In Figura 13.30 sono mostrati gli effetti dell’attrito parete-terreno sulla forma della superficie di scorrimento, per i casi di:
a)
C
A A’
π/4 - φ’/2
b)
A’ A
C
π/2+φ’
H
π/4 + φ’/2
π/2 - φ’
δ
H/3
B
PP
D
H
PA
δ
D
H/3
B
Figura 13.30 – Effetto dell’attrito parete-terreno sulla forma della superficie di scorrimento, nel
caso di spinta passiva (a) e attiva (b)
242
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Capitolo 13
SPINTA DELLE TERRE
a) spinta passiva, con movimento del cuneo di terreno verso l’interno e verso l’alto rispetto al movimento del muro (δ < 0).
b) spinta attiva, con movimento del cuneo di terreno verso l’esterno e verso il basso rispetto al movimento del muro (δ > 0);
I casi a) e b) possono essere confrontati con le soluzioni di Coulomb per la spinta attiva e
passiva.
La soluzione fu ottenuta per via nume+β
rica da Caquot e Kérisel (1948) accoppiando le teorie di Rankine e di Boussinesq, ed è riportata in grafici e tabelle
in termini di coefficienti di spinta al
variare degli angoli di resistenza al taglio φ’, di attrito parete-terreno δ, di
inclinazione della parete rispetto alla +λ
+δ
verticale λ, e di inclinazione del piano
che delimita il terrapieno rispetto
all’orizzontale β, con la convenzione
sui segni indicata in Figura 13.31.
Figura 13.31 – Convenzione sui segni delle variabili angolari nelle Tabelle di Caquot and Kérisel
13.3.1 Dipendenza di KA e KP dall’angolo δ
Il valore di δ non può superare il valore di φ’, poiché in tal caso si formerebbe una pellicola di terreno solidale alla parete e lo scorrimento avverrebbe internamente al terreno
con coefficiente di attrito tanφ’. I coefficienti di spinta KA e KP crescono con continuità da
δ = +φ’ a δ = -φ’. Il segno di δ dipende, come abbiamo detto, dal movimento verticale relativo fra la parete e il terreno. In generale:
- in condizioni di spinta attiva, il terreno si abbassa rispetto alla parete e δ risulta compreso tra +φ’ e 0,
- in condizioni di spinta passiva, il terreno sale rispetto alla parete e δ risulta compreso
tra 0 e -φ’.
In genere, ma in modo più o meno arbitrario, si assume δ = φ’/4 per pareti in muratura o
in cemento armato intonacate, e δ compreso tra 2/3φ’ e φ’/2 per pareti in muratura o in
cemento armato non lisciate.
A titolo di esempio in Tabella 13.2 sono riportati i valori di KA e di KP al variare di δ per
φ’=30°, β = 0° e λ = 0°. Si può osservare che in condizioni di spinta attiva il coefficiente
KA varia poco, ovvero è poco influenzato dalla rugosità della parete. In condizioni di
spinta passiva invece la dipendenza del coefficiente KP da δ è molto sensibile.
Tabella 13.2 - Soluzione di Caquot e Kérisel: Coefficienti di spinta KA e KP al variare di δ per
φ’=30°, β = 0° e λ = 0°
|δ|
KA
KP
30°
0,31
6,56
20°
0,30
5,25
10°
0,30
4,02
0°
0,33
3,00
243
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SPINTA DELLE TERRE
13.3.2 Dipendenza di KA e KP dall’angolo β
Il valore dei coefficienti di spinta sia attiva che passiva cresce con β, poiché aumenta il
volume di terreno coinvolto nella rottura. A titolo di esempio in Tabella 13.3 sono riportati i valori di KA e di KP al variare di β per φ’=30°, λ = 0°, δ = φ’ in condizioni di spinta
attiva e δ = -φ’ in condizioni di spinta passiva. Si osservi che il caso β = +φ’ = 30° in condizioni di spinta attiva (δ = φ’) corrisponde al caso particolare dell’equilibrio limite inferiore di Rankine, poiché la spinta PA risulta parallela alla superficie libera e, analogamente, in condizioni di spinta passiva (δ = -φ’) corrisponde al caso particolare dell’equilibrio
limite superiore di Rankine.
Tabella 13.3 - Soluzione di Caquot e Kérisel: Coefficienti di spinta KA e KP al variare di β per
φ’=30°, λ = 0°, °, δ = +φ’ in condizioni di spinta attiva e δ = -φ’ in condizioni di spinta passiva.
β
-30°
0,232
0,84
KA
KP
-18°
0,257
2,85
0°
0,308
6,56
+18°
0,409
11,8
+30°
0,866
16,1
13.3.3 Dipendenza di KA e KP dall’angolo λ
In condizioni di spinta attiva, il coefficiente KA si riduce fino ad annullarsi quando
⎛ π φ' ⎞
⎟ , corrispondente all’inclinazione
⎝4 2⎠
⎛π
⎞
dei piani di scorrimento di Rankine, al valore λ = −⎜ − φ' ⎟ , che corrisponde all’angolo di
⎝2
⎠
l’angolo λ decresce gradualmente dal valore λ = ⎜ −
naturale declivio.
In condizioni di spinta passiva, il coefficiente KP cresce molto rapidamente quando
⎛π
⎝4
φ' ⎞
⎟ , corrispondente all’inclinazione dei piani di
2⎠
scorrimento di Rankine, al valore λ = −
π
, che corrisponde ad una fondazione superficia2
l’angolo λ diminuisce dal valore λ = ⎜ +
le. A titolo di esempio, in Tabella 13.4 sono riportati i valori dei coefficienti di spinta KA
e KP al variare di λ per β = 0°, φ’ = 30°, δ = + φ’ in condizioni di spinta attiva e δ = - φ’ in
condizioni di spinta passiva.
Tabella 13.4 - Soluzione di Caquot e Kérisel: coefficienti di spinta KA e KP al variare di λ per
φ’=30°, β = 0°, δ = +φ’ in condizioni di spinta attiva e δ = -φ’ in condizioni di spinta passiva.
λ
KA
KP
60°
0,8
45°
1,65
30°
0,5
2,80
15°
0,412
4,4
0°
0,308
6,56
-15°
0,203
9,5
-30°
0,109
13,6
-45°
0,039
19,2
-60°
0
27
-90°
52
13.3.4 Dipendenza di KA e KP dall’angolo φ’ e dal rapporto δ/φ’
In Tabella 13.5 sono riportati i valori dei coefficienti di spinta KA (prima riga) e KP (seconda riga) al variare dell’angolo di resistenza al taglio φ' e del rapporto δ/φ’ per terrapieno orizzontale (β = 0°) e parete verticale (λ = 0°). Come già detto, nella maggior parte dei
casi pratici, si assume che il rapporto δ/φ’ sia positivo in condizioni di spinta attiva e ne244
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Capitolo 13
SPINTA DELLE TERRE
gativo in condizioni di spinta passiva. Si osserva che al crescere dell’angolo di resistenza
al taglio φ’ il coefficiente di spinta attiva KA decresce lentamente, mentre il coefficiente di
spinta passiva cresce molto rapidamente.
Tabella 13.5 - Soluzione di Caquot e Kérisel: Coefficienti di spinta KA (prima riga) e KP (seconda
riga) al variare dell’angolo di resistenza al taglio φ' e del rapporto |δ/φ’| per terrapieno orizzontale (β = 0°) e parete verticale (λ = 0°)
φ’
5°
0,81
1,26
10°
0,65
1,66
15°
0,53
2,20
20°
0,44
3,04
25°
0,37
4,26
30°
0,31
6,56
35°
0,26
10,7
40°
0,22
18,2
45°
0,19
35,0
50°
0,16
75,0
δ 2
=
φ' 3
0,81
1,24
0,66
1,59
0,54
2,06
0,44
2,72
0,36
3,61
0,30
5,25
0,25
8,00
0,20
12,8
0,16
21,0
0,13
41,0
δ 1
=
φ' 3
0,82
1,22
0,67
1,52
0,56
1,89
0,45
2,38
0,37
3,03
0,30
4,02
0,25
5,55
0,20
8,10
0,16
12,0
0,13
19,0
δ
=0
φ'
0,84
1,19
0,70
1,42
0,59
1,70
0,49
2,04
0,41
2,46
0,33
3,00
0,27
3,70
0,22
4,60
0,17
5,80
0,13
7,50
δ
=1
φ'
13.3.5 Confronto con la soluzione di Coulomb
Il metodo di Coulomb ipotizza e impone la forma della superficie di scorrimento piana.
Pertanto i valori di PA e di PP, rispettivamente ottenuti dalle condizioni di massimo e di
minimo, limitatamente alla forma imposta della superficie di scorrimento, non sono il
massimo ed il minimo assoluti, ovvero per qualunque ipotetica forma della superficie di
scorrimento. Pertanto i valori dei coefficienti di spinta attiva che si stimano con il metodo
di Coulomb sono sempre inferiori ai valori stimati con il metodo di Caquot e Kérisel, che
ipotizza una superficie di scorrimento curvilinea, e analogamente i valori dei coefficienti
di spinta passiva che si stimano con il metodo di Coulomb sono sempre superiori ai valori
stimati con il metodo di Caquot e Kérisel. Le differenze minori si osservano proprio
quando risulta minore la differenza fra le superfici ipotizzate. Nel caso di spinta attiva,
nella maggior parte dei casi pratici, ovvero per β, λ e δ positivi, le differenze sono modeste. Nel caso di spinta passiva invece le differenze possono essere molto sensibili, e poiché in genere la spinta passiva è una forza resistente, non è cautelativo calcolarla con il
metodo di Coulomb.
Inoltre, come già fatto osservare, poiché le deformazioni necessarie per mobilitare la spinta passiva sono molto grandi, il valore di progetto dell’angolo di resistenza al taglio non è,
come nel caso di spinta attiva, il valore di picco, ma piuttosto il valore critico, a volume
costante.
13.4 Spinta dovuta all’acqua interstiziale in pressione (pressione interstiziale)
Le teorie sulla spinta delle terre che abbiamo esaminato si riferiscono a terreni asciutti o
comunque non sotto falda e quindi con acqua nei pori non in pressione (si ricorda che
convenzionalmente e per semplicità si assume in genere che l’acqua nei pori possa avere
245
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Capitolo 13
SPINTA DELLE TERRE
pressione solo positiva, ovvero maggiore della pressione atmosferica. Si assume che
l’acqua presente nei terreni sopra falda sia a pressione zero).
Se un terreno è anche solo parzialmente sotto falda, la spinta totale esercitata contro una
parete sarà somma di due forze: la prima forza è la spinta esercitata dal terreno, valutata
con le formule sopra citate, utilizzando le tensioni verticali efficaci7, la seconda forza è la
spinta esercitata dall’acqua interstiziale. Quest’ultima si calcola integrando il diagramma
delle pressioni interstiziali.
La presenza di acqua in pressione
contro una parete di sostegno del
Z
w
terreno determina un forte incremento della spinta totale, pertanto,
1 (Zw + 2Z)
ove possibile, è sempre opportuno
Z
3
realizzare opere di drenaggio a tergo
dell’opera allo scopo di abbattere il
livello di falda.
Sw
Nel caso particolare, ma frequente,
di falda freatica alla profondità Zw
(Figura 13.32) si ottiene:
γw (Z-Zw)
u ( Z) = 0
per
Figura 13.32 – Spinta idrostatica
Z < Zw
u ( Z) = γ w ⋅ ( Z − Z w )
per
Z ≥ Zw
1
2
⋅ γ w ⋅ (Z − Z w )
(Eq. 13.43)
2
1
1
Z(Sw ) = Z − ⋅ ( Z − Z w ) = ⋅ (2Z + Z w )
(Eq. 13.44)
3
3
Se vi è differenza tra il livello dell’acqua a monte e a valle dell’opera di sostegno, e vi è
filtrazione sotto e intorno alla parete, la pressione interstiziale dovrebbe essere determinata in base al reticolo idrodinamico, come descritto nel Capitolo 4. Tuttavia, nel caso di
terreno omogeneo, un approccio ragionevole e semplificato consiste nell’assumere che il
carico idraulico vari linearmente come mostrato in Figura 13.33. La differenza di carico
piezometrico tra monte e valle è:
∆h = (h + k – j),
S w ( Z) =
il percorso di filtrazione è
L = (h + d – j) + (d – k) = (h + 2d –j – k),
il gradiente idraulico è:
i = ∆h/L = (h + k – j) / (h + 2d – j – k)
(Eq. 13.45)
7
Le tensioni verticali efficaci, per il principio delle tensioni efficaci, si ottengono sottraendo le tensioni interstiziali alle tensioni verticali totali.
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Capitolo 13
SPINTA DELLE TERRE
j
h
k
d
Percorso di
filtrazione
ub
ub
Pressione dell’acqua netta
Pressione dell’acqua totale
Figura 13.33 – Schema semplificato della pressione dell’acqua su una parete in presenza di filtrazione
Nel tratto di monte del percorso la filtrazione è discendente e comporta una riduzione della pressione interstiziale rispetto alla condizione idrostatica. Nel tratto di valle la filtrazione è ascendente e comporta un aumento della pressione interstiziale rispetto alla condizione idrostatica. Al piede della parete (supponendo che il suo spessore sia trascurabile
rispetto alla lunghezza del percorso di filtrazione) la pressione interstiziale vale:
u b = γ w ⋅ (h + d − j) ⋅ (1 − i) = γ w ⋅ (d − k ) ⋅ (1 + i)
(Eq. 13.46)
13.5 Incremento della spinta attiva dovuta a carichi applicati sul terrapieno
13.5.1 Pressione verticale uniforme ed infinitamente estesa sulla superficie del deposito.
Una pressione q verticale, uniforme ed infinitamente estesa sulla superficie di un deposito
delimitato da un piano orizzontale produce in ogni punto del semispazio un incremento
costante della tensione verticale ∆σ’v0 = q ed un incremento costante della tensione orizzontale ∆σ’h = K q (Figura 13.34), avendo indicato con K il coefficiente di spinta che, a
seconda dello stato di deformazione orizzontale, assume valori compresi tra KA e KP. Ne
consegue che:
- le tensioni verticale ed orizzontali continuano ad essere le tensioni principali,
- il diagramma delle tensioni orizzontali è trapezio,
- la spinta orizzontale S presente su una parete ideale dal piano di campagna fino ad una
generica profondità H, è l’area del diagramma di pressione orizzontale e può essere
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SPINTA DELLE TERRE
calcolata come somma dell’area rettangolare di base Kq e altezza H, e dell’area triangolare di base K γ H e altezza H:
S = S(q ) + S( γ ) = K ⋅ q ⋅ H +
1
⋅ K ⋅ γ ⋅ H2
2
(Eq. 11.47)
- la profondità della retta di applicazione della componente S(q) è H/2, la profondità della retta di applicazione di S(γ) è 2H/3, dunque la profondità della retta di azione di S è:
Z(S) =
S(q) ⋅
H
2
+ S( γ ) ⋅ ⋅ H
2
3
S
(Eq. 11.48)
q
q
σv0‘
q
σ h‘
γ Z
Kq Κγ Z
Z
Z
Figura 13.34 – Effetto di una pressione verticale uniforme ed infinitamente estesa
13.5.2 Carichi concentrati sulla superficie del deposito
Se, in condizioni di spinta attiva, sulla superficie del deposito delimitato da un piano orizzontale agiscono carichi che possono essere schematizzati come puntuali o come distribuiti su una linea parallela al muro, di intensità piccola (minore del 30%) rispetto alla
spinta attiva, l’incremento di pressione orizzontale può essere valutato con le formule indicate in Figura 13.35, ottenute da Terzaghi (1954) modificando empiricamente le equazioni di Boussinesq. Se i carichi sono molto elevati o hanno una diversa distribuzione, occorre utilizzare il metodo del cuneo di Coulomb.
13.6 Effetto del costipamento meccanico del terrapieno
Molto spesso, ad esempio per la costruzione di strade, il terrapieno retrostante un’opera di
sostegno è costituito da un terreno incoerente asciutto, messo in opera in strati successivi,
costipati con rullo compressore per aumentarne la densità e quindi la rigidezza e la resistenza. Tale tecnica produce uno stato di coazione nel terreno ed un conseguente aumento
delle pressioni orizzontali nella condizione di spinta attiva.
Se l’azione esercitata dal rullo compressore può essere schematizzata con un carico di intensità p distribuito lungo una linea parallela alla parete, e se il terreno viene messo in opera in strati di piccolo spessore, per tenere conto dell’effetto di costipamento, si può as248
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Capitolo 13
SPINTA DELLE TERRE
Valori di n = z/H
sumere come diagramma di pressione orizzontale sul muro quello indicato in Figura
13.36.
Carico lineare
Carico
puntiforme
2
Valori di σh (H/Q L)
Valori di σh (H /Q )
P
Carico lineare Q L
Carico puntiforme Q
Per
P
Per
Per
Risultante
Per
Diagramma delle pressioni relativo al caso
di carico lineare Q
L
(equazione di Boussinesq modificata sperimentalmente)
Sezione a - a
Diagramma delle pressioni relativo al caso
di carico puntiforme Q
P
(equazione di Boussinesq
modificata sperimentalmente)
Figura 13.35 – Pressioni orizzontali su una parete in condizioni di spinta attiva dovute a carichi
concentrati sulla superficie orizzontale del terrapieno
La profondità critica è:
Zc = K A ⋅
2⋅p
π⋅γ
(Eq. 13.49)
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Capitolo 13
SPINTA DELLE TERRE
Il valore del carico p, dipende dai mezzi impiegati per il costipamento, e in particolare dal
peso statico e dalle dimensioni del rullo, e dalla eventuale azione vibratoria che si assume
equivalente ad un incremento di peso.
σ’h
Zc
σ’hp= KP σ’v
hc
σ’ha= KAσ’v
Z
Figura 13.36 – Effetto del costipamento sul diagramma di spinta attiva
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